Tema 1: Electrostática

* Ley de Coulomb y campo eléctrico.

- Ley de Coulomb- Concepto y definición de campo eléctrico* Distribuciones de carga.Aplicaciones- Dipolo- Hilo- Anillo- Disco* Flujo eléctrico. Ley de Gauss.

Aplicaciones- Lámina- Cilindro- Esfera* Potencial eléctrico.

- Determinación del campo a partir del potencialAplicaciones- Dipolo- Esfera*Capacidad. Condensadores.

Aplicaciones- Condensador plano-paralelo- Condensador cilíndrico- Condensador esférico.- Asociación de condensadores* Dieléctricos.* Energía potencial electrostática.

Temas 21-24 Tipler

Temas 21 y 25 Alonso - Finn

Ley de Coulomb y campo eléctrico.

La atracción electrostática decuerpos cargados eléctricamente seconoce desde la antigua Grecia.

Se observó que tras frotar el ámbar

(elektron en griego), este material

atraía pequeños objetos.

Sabemos que hay dos clases de

carga, positiva y negativa (en el SI

se miden en coulomb, C).

Cualquier fragmento de materia

tiene aproximadamente cantidades

iguales de cada clase. Al cargarlo

(por frotamiento u otro

procedimiento) esa situación de

equilibrio se modifica.

Ley de Coulomb

Charles Coulomb (1736-1806)estudió cuantitativamente la fuerzaejercida por un cuerpo cargadosobre otro.

Los resultados de sus

observaciones conducen al

enunciado de la ley que lleva su

nombre.

Es análoga a la ley de la gravedad

por la dependencia con la

distancia, pero difiere en tanto en

cuanto esta interacción puede ser

atractiva o repulsiva según sea el

tipo de carga de los cuerpos.

Campo eléctrico

Como en el caso gravitatorio, para manejar esta interacción a distancia se introduce elconcepto de campo, en este caso eléctrico. La carga qi produce un campo E en todo punto delespacio, capaz de ejercer una fuerza sobre cualquier otra carga q0, y se define como:

(q0 pequeña)

Volviendo a la ley de Coulomb, se tiene

Su unidad en el SI es el Volt por metro (V/m)

Gráficamente, se pueden cuantificar a través de las

líneas de campo.

0q

FE

punto de campo P

posición de la fuente i

iP2iP

iiP r

r

kqE

Distribuciones de carga.Distribuciones discretas. Dipolo eléctrico.

El campo eléctrico asociado a una distribución de cargas puntuales es:

Caso relevante de este tipo de distribución es el dipolo electrico.

Se describe por su magnitud momento dipolar eléctrico p

Para puntos muy distantes (rp+≈ rp-≈ rp >> L), la expresión

aproximada del campo es

i i

iP2iP

iiPP r

r

kqEE

Lqp

P2P

P2P

P rr

qr

r

qkE

3P

5P

PPdip

r

p

r

rpr3kE

Distribuciones de carga.Distribuciones continuas.

Si los cuerpos cargados son extensos y no pueden manejarse como puntos, habremos dedividirlos en elementos de carga dq suficientemente pequeños.

El diferencial de campo a que cada dq da lugar es

donde r es la distancia desde el elemento

de carga al punto de campo. El campo neto se

obtiene mediante integración:

Según cuales sean las dimensiones relativas de los cuerpos cargados, hablaremos de

distribuciones de carga en línea, en superficie o en volumen.

rr

dqkEd

2

dqr

rkEdE

2

Se descompone el campo según x e y

Estas expresiones se integrarán a la

longitud L, esto es de x=x1 a x2.

Conviene cambiar de variable

lo que conduce a:

Para una línea muy larga se tendrá

Distribuciones de carga.Distribuciones continuas. Línea cargada uniformemente .

dcscydx;sen

yr 2

ps

p

2s

y

2s

2s

x

r

sendxkdE

r

cosdxkir

r

dxkdE

p

yx21y

k2E;0Eθ,0θ

12

p

y12

p

x cos-cosy

k-Ε;sen-sen

y

kΕ

Distribuciones de carga.Distribuciones continuas. Eje de un anillo cargado uniformemente.

En este caso, la simetría de la distribución permite concluir que el campo resultante ha de

estar dirigido según el eje.

Su magnitud se obtendrá operando

del modo siguiente

k

az

zQkE

r

zQkdq

r

zk

r

dqzkE

r

dqzk

r

z

r

dqkcos

r

dqkdE

2/322

333z

322z

Distribuciones de carga.Distribuciones continuas. Eje de un disco cargado uniformemente.

Pasamos así a una distribución de carga en superficie. Vamos a aprovechar el resultado

previo, y descomponemos el disco en anillos de

radio a y anchura da. Estos producen un

campo

La carga en dicho anillo es

e integrando a toda la superficie se llega a

Esta expresión se puede adaptar para escribir el campo generado por un plano infinito.

Bastaría con tomar b muy grande, lo que conduciría a:

k

az

zdQkEd

2/322

ada2dAdQ

kbz

z

z

zk2E

222

kz

zk2E

Flujo eléctrico. Ley de Gauss.

El flujo de un campo vectorial C a través de una superficie cerrada S se define como

donde n es el vector unitario normal a la superficie. Desde un punto de vista físico, el flujo

de un campo es proporcional a la

magnitud de las fuentes del campo

englobadas por la superficie.

Para el caso específico del campo eléctrico

dicha relación viene establecida por la

ley de Gauss.

SS

C AdCdAnC

S 0

encencn

S

E

QkQ4dAEAdE

Flujo eléctrico. Ley de Gauss.

La ley de Gauss equivale a la de Coulomb. Para probarlo, es necesario recurrir al

concepto de ángulo sólido, análogo tridimensional del común.

Se mide en esterorradianes, y es el mismo para

toda superficie que corte el cono dado.

Su magnitud es la superficie de la esfera de

radio unidad secada por el cono. Para el

cono de apertura máxima

mientras que al degenerar en una recta, se obtendría el valor mínimo, 0.

Vayamos a la expresión del flujo eléctrico, y consideremos una sola carga puntual

como fuente.

22 r

cosA

r

rnA

4r

r42

2

Si la carga se encuentra dentro de la superficie,

la apertura angular para abarcarla es la misma

que para la esfera unidad, lo que llevaría a:

Si la carga fuese externa, tomando pequeños conos se observaría que estos atraviesan

la superficie en dos ocasiones. Se tendrían dos contribuciones idénticas a la integral del

ángulo sólido, salvo porque la componente normal del campo a la entrada y la salida

de la superficie han de tener signos opuestos. Por ello, dichas contribuciones se anulan.

Resumiendo, se tiene:

Flujo eléctrico. Ley de Gauss.

0

E

qkq4

o

enc

ext,jenc,i 0

iE

Q0

q

S s

2S

2E dkqr

cosdAkqAd·r

r

kq

Flujo eléctrico. Ley de Gauss.Lámina uniformemente cargada.

Esta distribución es simétrica respecto al plano Z.

Una traslación arbitraria según X o Y, no modifica

la distribución de cargas y, además cualquier eje

ortogonal al plano Z es también un elemento de

simetría, por lo cual:

Por ello, si se toma una superficie como la de la figura, la ley de Gauss simplifica

notablemente la resolución de este problema:

Para puntos externos al plano, el campo será:

Mientras que en su interior

)z(E)z(E;k)z(E)r(E

az,a2AdvQ;az,z2AdvQ

A)z(E2

V

enc

V

enc

E

kz

zak

a)az(E

00

kz

)az(E0

Flujo eléctrico. Ley de Gauss.Cilindro uniformemente cargado.

Para esta distribución una traslación arbitraria o un giro según el eje Z no altera la

distribución de cargas. Además cualquier eje ortogonal al Z es de simetría, por lo cual:

Nuevamente, al tomar una superficie como la

de la figura, la ley de Gauss simplifica

notablemente la resolución de este problema:

donde a es ahora el radio del cilindro cargado. Se llega así a que, en el interior:

Mientras que en el exterior

R)R(E)r(E

aR,LaQ;aR,LRdvQ

RL2)R(E

2enc

2

V

enc

E

R2

R)aR(E

0

RR2

a)aR(E

0

2

Ra

Flujo eléctrico. Ley de Gauss.Esfera uniformemente cargada.

Para este tipo de distribución, una rotación en torno a cualquier eje que pase por elcentro del sistema deja todo inalterado:

Las superficies de integración elegidas ahora

serán esferas concéntricas a la distribución:

con R radio de la distribución de carga.

Para el interior de esfera se tiene:

Y en el exterior

r)r(E)r(E

Rr,R3

4Q;Rr,r

3

4dvQ

r4)r(E

3enc

3

V

enc

2E

r3

r)Rr(E

0

rr3

R)Rr(E

20

3

Potencial eléctrico.

La fuerza eléctrica es conservativa y, al igual que en el caso de la gravitatoria, estopermite manejar una función energía potencial U asociada a ella. Para una variacióndiferencial dl en el lugar de aplicación de la fuerza sobre una carga puntual, dU vienedefinida por

Este incremento de energía es proporcional a la magnitud de la carga desplazada, al

igual que la fuerza eléctrica depende de la carga sobre la que se mide. Así como

introdujimos el campo eléctrico, definimos la función potencial eléctrico:

La unidad de potencial en el SI será J/C, que tiene

por nombre volt (V).

Consideremos el caso de una carga puntual.

Es habitual tomar como origen de potencial

un punto muy alejado del sistema. Entonces:

ldEqldFdU

a

b

b

a

ab ldEldEVVVldEq

dUdV

P0P2

0P2

0

Pr4

q

r

dr

4

qldr

r4

qVV

Potencial eléctrico.

r4

q)r(V

0

Vamos a aprovechar el ejemplo de la carga puntual para describir la representacióngráfica cuantitativa del potencial escalar.

Los campos escalares se representan

mediante curvas equiescalares. La

tasa de cambio de la magnitud

escalar entre dos superficies se fija.

En el caso del potencial eléctrico

de la carga puntual, las curvas

equipotenciales son esferas. Vemos

que estas superficies son normales

a las líneas de campo eléctrico.

Esto es así por la propia definición del

potencial: Eld,0dVsildEdV

dl

dVEdlEdlEldEdV tantancos

Potencial eléctrico. Determinación de E a partir de V.

Vamos a analizar con más detalle la definición del potencial eléctrico:

Para un desplazamiento arbitrario, la componente de E en dicha dirección es la derivada

direccional del potencial electrostático. Además, el máximo incremento de V seobservará

para un desplazamiento precisamente en la dirección del vector campo eléctrico, pero en

sentido opuesto a este. Matemáticamente, esos dos resultados se traducen en que el

campo eléctrico es, salvo por el sentido, el gradiente del potencial eléctrico.

VE

Podemos determinar las componentes del campo eléctrico, por ejemplo, en cartesianas,

si analizamos desplazamientos paralelos a los ejes X, Y y Z sucesivamente:

zyx

zzz

yyy

xxx

udz

dVu

dy

dVu

dx

dVE

dz

dVEdzEldEdV

dy

dVEdyEldEdV

dx

dVEdxEldEdV

Potencial eléctrico.Dipolo.

El potencial debido a un sistema de cargas puntuales, de acuerdo con el principio desuperposición, es:

donde ries la distancia desde la carga i-ésima hasta el punto de campo P.

Volvamos al caso de un dipolo eléctrico. La expresión exacta del potencial será:

La expresión asintótica para puntos de

campo muy distantes (respecto a la

distancia entre las cargas del dipolo) es:

i i0r4

qV

rr

rr

4

q

r4

q

r4

qV

000

30

dipr4

rpV

Potencial eléctrico.Esfera cargada uniformemente.

El potencial debido a una distribución continua de carga es:

donde r es la distancia desde el elemento de carga hasta el punto de campo P. Paradistribuciones de alta simetría, la integración directa del campo será más sencilla.Veámoslo para este caso ya estudiado. Recordemos:

Con el origen de potenciales en infinito,

evaluamos primero V fuera de la distribución:

Para el interior, se tendrá:

r4

dqV

0

rr3

R)Rr(E;r

3

r)Rr(E

20

3

0

P0

3

r2

0

3

Pr3

Rr

r3

R)Rr(V

P

2P

2

00

2

R

r 0R2

0

3

r

P

rR63

R

ldr3

rldr

r3

RldrE)Rr(V

PP

Capacidad. Condensadores.

Los conductores tienen portadores de carga móviles, luego en una situación estática elcampo eléctrico en su interior debe anularse. Por tanto, el potencial es constante en unconductor.

La ley de Gauss muestra que no puede haber

cargas en desequilibrio en su interior. La carga

neta se localizará sobre la superficie.

Vamos a considerar un sistema formado por

un solo conductor (esférico por simplificar). La

carga Q se distribuirá uniformemente sobre su

superficie, lo que implicará:

La razón entre la carga y el potencial que adquiere

un conductor aislado es su capacidad

R4

QV

r4

Q)Rr(Vr

r4

Q)Rr(E

0

conductor

02

0

R4V

QC 0

Capacidad. Condensadores.

Es más común hablar de capacidad cuando nos referimos a condensadores. Uncondensador es un dispositivo formado por dos conductores (placas) que adquierencargas de igual magnitud y signo opuesto. El cociente entre la magnitud de la carga delas placas y la diferencia de potencial entre ellas es, al igual que en el caso delconductor aislado, constante para una geometría fija

La unidad de capacidad en el SI es el farad (F).

Esta unidad, desde un punto de vista práctico, es demasiado grande (una esferaconductora debería tener un radio R9·109 m para que su capacidad fuese unitaria), porlo que habitualmente se emplean sus submúltiplos, como el microfarad (1 F=10-6 F),el nanofarad (1 nF=10-9 F) y el picofarad (1 pF=10-12 F).

En la expresión de la capacidad de la esfera conductora, se ve que dimensionalmente lapermitividad del vacío

es un cociente entre capacidad y longitud.

V

QC

m/F10854,8 120

Capacidad. Condensadores.Condensador plano-paralelo.

En este tipo común de condensador, las placas son dos láminasmetálicas planas (delgadas) paralelas, separadas una distancia (d)mucho menor que las dimensiones que definen el área (A) de dichasplacas.

Entonces, las placas son, a efectos prácticos, asimilables a dos planoscargados muy extensos (indefinidos). El campo producido por taldistribución, vimos que es:

Superponiendo los efectos de las dos placas, se tiene que en la regiónentre placas:

Así pues, la capacidad del condensador de placas paralelas es:

kA2

Qk

2kk2E

00

A

Qd

A

Qdzldk

A

QVk

A

QE

0

dz

z 0

dz

z 00

0

0

0

0

d

A

A

Qd

Q

V

QC 0

0

Capacidad. Condensadores.Condensador cilíndrico.

En este caso las placas son dos cilindros

conductores coaxiales, uno de radio R1

y

otro de radio interno R2, ambos de

longitud L (L>>R1, R

2). Con esta

condición, las distribuciones de carga son

prácticamente cilindros indefinidos

cargados uniformemente en superficie.

De aquí derivamos la diferencia de

potencial entre las placas y la capacidad:

o la capacidad por metro

RRL2

Q)R(E

L

lQQ

Rl2)R(E

0enc

E

)R/Rln(

L2

V

QC⇒)R/Rln(

L2

Q

R

dR

L2

Qld·

RL2

QV

12

012

0

R

R0

R

R 0

2

1

2

1

)R/Rln(

2

V

L/Q

L

C

12

0

Capacidad. Condensadores.Condensador esférico.

Las placas son ahora dos esferas

conductoras concéntricas, la interior de

radio R1

y la exterior de radio interno R2.

Las cargas se distribuirán uniformemente

en superficie. En la zona intermedia:

De aquí pasamos a la diferencia de

potencial y la capacidad:

RR4

Q)RrR(E

20

21

12

210

R

R 210

12

2102

0

R

R2

0

RR

RR4

V

QC

RR4

RRQ

R

1

R

1

4

Q

R

dR

4

Qld·R

R4

QV

2

1

2

1

Capacidad. Condensadores.Asociaciones de condensadores.

Asociación en paralelo

De la definición de capacidad:

Asociación en serie

Y de la relación entre las tres magnitudes:

V)CC(QQQVCQ

VCQ2121

22

11

i ieq21eq C

1

C

1

C

1

C

1Q

C

QV

21

21

2

2

1

1

C

1

C

1QVVV

C

QV

C

QV

i

ieq

21eq

CCCC

Q

C

QV

Dieléctricos.

En un material dieléctrico o aislante, a diferencia de un conductor, no se dispone de

portadores de carga capaces de desplazarse libremente bajo la acción de un campo.

Vemos abajo el efecto de un campo eléctrico para sustancias no conductoras, bien

apolares (izquierda) o polares.

En cualquiera de los dos casos, el resultado es el mismo: las cargas positivas tienden

a desplazarse siguiendo el campo, mientras las negativas lo tienden a hacer en el

sentido inverso: las moléculas se polarizan en la dirección del campo.

Dieléctricos.

Vamos a analizar la influencia de su presencia en los

fenómenos eléctricos. Consideramos para ello una

situación sencilla, un condensador plano-paralelo y

estudiaremos de forma semicuantitativa las variaciones

que se producen en este sistema.

En las proximidades de las placas, aparece una

concentración relativa de cargas en exceso del tipo

opuesto al de la placa. Esto se traduce, para una carga

fija en las placas, en una disminución de la intensidad

del campo dentro del condensador:

donde es la

constante dieléctrica

del material.

0E

E

Dieléctricos.

Si seguimos apoyándonos en el condensador planoparalelo, constatamos que la

disminución del la intensidad del campo implica una menor diferencia de potencial

entre las placas:

Esto, en la práctica, representa un incremento en la capacidad del condensador:

Siendo más específicos, para el caso concreto del condensador plano:

donde , producto de la permitividad del vacío por la constante dieléctrica del medio,

es la permitividad del dieléctrico. Cuando operemos con materiales aislantes, las

expresiones que veníamos manejando hasta ahora se habrán de modificar, de manera

que la permitividad del medio aparecerá en lugar de la del vacío. Así, por ejemplo, la

ley de Gauss se expresará como:

00der

izq

VdEdlEV

0

0

CV

Q

V

QC

d

A

d

ACC 0

0

enc

S

QAdE

Energía potencial electrostática.

La energía potencial electrostática de una distribución de cargas es el trabajo que se

invierte en transportar dichas cargas desde posiciones muy distantes entre sí hasta sus

posiciones finales en el sistema.

Para dos cargas, supuesta fija la carga 1, el trabajo para llevar la 2 hasta su posición es:

Si se añade otra carga al sistema, el trabajo adicional será:

El trabajo neto para juntar las tres cargas es:

120

12222

r4

qq)r(VqW

230

2

130

13333

r4

q

r4

qq)r(VqW

332211

230

2

130

13

230

3

120

12

130

3

120

21

230

32

130

31

120

21

VqVqVq2

1

r4

q

r4

qq

2

1

r4

q

r4

qq

2

1

r4

q

r4

qq

2

1

r4

qq

r4

qq

r4

qqW

Energía potencial electrostática.

La energía potencial electrostática U de un sistema de n cargas puntuales,

generalizando, es:

Para una distribución continua de carga, operaríamos del modo que ya hemos puesto

en práctica previamente:

Para una distribución de carga en volumen se tendría

Si fuese en superficie

Este tipo de distribución aparece, en particular, para medios conductores. Entonces

donde la suma se extiende ahora a los cuerpos conductores con cargas Qjy potenciales

Vj.

n

1iiiVq

2

1U

Vdq2

1U

ondistribuciV

dvV2

1U

óndistribuciS

dAV2

1U

j

jjj S

jjj

S

QV2

1dAV

2

1dAV

2

1U

jóndistribuci

Energía potencial electrostática.

Un condensador es un dispositivo que entra dentro de estas situaciones. Teniendo en

cuenta las características específicas de estos sistemas podremos escribir:

Tomemos la última expresión en el caso del condensador plano-paralelo

La energía aparece como producto del volumen del condensador (Ad) por cierta

expresión que tiene magnitud de energía por unidad de volumen. No lo probaremos,

pero, de hecho, la energía electrostática de un sistema se puede evaluar

alternativamente como integral de dicha densidad de energía:

C

Q

2

1VC

2

1VQ

2

1)Q(VQV

2

1QV

2

1U

22

21

j

jjrcondensado ∑

)Ad(E2

1Ed

d

A

2

1VC

2

1U 222

espacioeltodo

2dvE2

1U