Temas P1 Vectorial
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Universidad de los Andes Departamento de Matem´ aticas MATE1207 C´ alculo Vectorial Lo que debe saber para el parcial P1 A continuaci´ on se d´a una lista de temas que se deben conocer para el primer examen parcial. No est´an necesariamente en el orden tratados en clase. 1. Reconocer una cu´ adrica. Conocer las ecuaciones can´ onicas de las cu´adricas: Cono, elipsoide, paraboloide el´ ıptico, hiperboloide de un manto, hiperboloide de dos man- tos, paraboloide hiperb´ olico. 2. Reconocer una superficie cil´ ındrica, por ejemplo cilindro parab´ olico, cilindro circular. 3. Lugares geom´ etricos. Poder hallar las ecuaciones de superficies que est´an descritas mediante una propiedad geom´ etrica que satisface sus puntos. 4. Poder identificar en una funci´ on en dos variables sus curvas de nivel y el gr´ afico de la superficie. 5. Producto punto, a · b, y producto cruz, a × b, de dos vectores. Producto mixto, a · b × c , de tres vectores. Propiedades y aplicaciones de estos productos (tema de ´ algebra lineal). 6. Coordenadas cil´ ındricas y esf´ ericas. Ecuaciones de cambio de coordenadas. 7. ¿Qu´ e es una funci´ on vectorial en una variable? Poder encontrar una parametrizaci´ on de curvas determinadas en coordenadas cartesianas mediante una ecuaci´on. Por ejemplo dar una parametrizaci´ on de una circunferencia, una elipse, una par´ abola, un segmento entre dos puntos del espacio. Poder decidir si una curva en el espacio pertenece a la intersecci´on de dos superficies. 8. Significado geom´ etrico y f´ ısico de la primera y segunda derivada de la funci´ on r(t). Algunas leyes elementales de la f´ ısica. 9. Par´ ametro longitud de arco. Saber hallar la longitud de un trozo de curva. Saber c´ omo se reparametriza una curva dada en t´ erminos del par´ ametro natural (par´ ametro longitud de arco). 10. ¿Cu´ al es la definici´on de la curvatura de una curva? Conocer las f´ormulas para la curvatura. Saber calcular la curvatura de una curva en general y en un punto determinado. 11. ¿Cu´ al es la diferencia de una funci´ on vectorial y una funci´ on escalar? 12. ¿Qu´ e significa que una funci´ on escalar sea suave (diferenciable)? ¿Qu´ e significa que una funci´ on vectorial de una variable sea suave? Por ejemplo:¿Es la funci´ on escalar f (x, y)= xy x 2 + y 2 si (x, y) = (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0), (1)
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Universidad de los Andes Departamento de Matematicas
MATE1207 Calculo Vectorial
Lo que debe saber para el parcial P1
A continuacion se da una lista de temas que se deben conocer para el primer examenparcial. No estan necesariamente en el orden tratados en clase.
1. Reconocer una cuadrica. Conocer las ecuaciones canonicas de las cuadricas: Cono,elipsoide, paraboloide elptico, hiperboloide de un manto, hiperboloide de dos man-tos, paraboloide hiperbolico.
2. Reconocer una superficie cilndrica, por ejemplo cilindro parabolico, cilindro circular.
3. Lugares geometricos. Poder hallar las ecuaciones de superficies que estan descritasmediante una propiedad geometrica que satisface sus puntos.
4. Poder identificar en una funcion en dos variables sus curvas de nivel y el grafico dela superficie.
5. Producto punto, ~a ~b, y producto cruz, ~a ~b, de dos vectores. Producto mixto,
~a (
~b ~c)
, de tres vectores. Propiedades y aplicaciones de estos productos (tema
de algebra lineal).
6. Coordenadas cilndricas y esfericas. Ecuaciones de cambio de coordenadas.
7. Que es una funcion vectorial en una variable? Poder encontrar una parametrizacionde curvas determinadas en coordenadas cartesianas mediante una ecuacion. Porejemplo dar una parametrizacion de una circunferencia, una elipse, una parabola,un segmento entre dos puntos del espacio. Poder decidir si una curva en el espaciopertenece a la interseccion de dos superficies.
8. Significado geometrico y fsico de la primera y segunda derivada de la funcion ~r(t).Algunas leyes elementales de la fsica.
9. Parametro longitud de arco. Saber hallar la longitud de un trozo de curva. Sabercomo se reparametriza una curva dada en terminos del parametro natural (parametrolongitud de arco).
10. Cual es la definicion de la curvatura de una curva? Conocer las formulas parala curvatura. Saber calcular la curvatura de una curva en general y en un puntodeterminado.
11. Cual es la diferencia de una funcion vectorial y una funcion escalar?
12. Que significa que una funcion escalar sea suave (diferenciable)? Que significa queuna funcion vectorial de una variable sea suave?Por ejemplo:Es la funcion escalar
f(x, y) =
xy
x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0),(1)
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una funcion diferenciable?Donde lo es? Donde no lo es? Porque.Es la funcion vectorial
~r(t) = (t2, t3), 1 t 1 (2)
una funcion suave en su dominio? Porque.
13. Ecuaciones de rectas y planos en el espacio.
14. Interpretacion de las derivadas parciales, del gradiente y de las derivadas direc-cionales. Poder calcularlos en cualquier situacion.
15. El plano tangente y la recta normal. Cual es su relacion con el gradiente?.
16. Teorema de la funcion implcita. Calculo de derivadas implcitas. Calculo de gra-dientes para funciones definidas implcitamente. Plano tangente y recta normal enun punto de la superficie de una funcion definida implcitamente.
17. Derivadas superiores y el teorema de Clairault. La regla de la cadena.
18. Que es una superficie de nivel?. Plano tangente y recta normal para este tipo desuperficies.
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