Fuente: https://diezenmatematicas.jimdofree.com/algebra/sistema-de-ecuaciones/ https://matematicacerropelado.blogspot.com/p/funcion-cuadratica-una-funcion.html#:~:text =donde%20a%20%2C%20b%20y%20csus%2 0t%C3%A9rminos%20tiene%20un%20nombre.

Fecha: 02/2021 Guía N 1: Utilizo las propiedades de los números reales, sus operaciones,

relaciones y representaciones para analizar procesos infinitos y resolver

problemas

Grado: Decimo 1 CODIGOS INGRESO A CLASE EDMODO

10-1: tymh6e

Área: Matemáticas

Asignatura: Trigonometría

Docente (s): Jorge Jaramillo Ponce

Contacto (s): poncejaraj@gmail.com-3017967997

TENGAN TODOS USTEDES UN SALUDO

DE BIENVENIDA EN ESTE NUEVO

APRENDIZAJE. “Una idea siempre comienza

con una simple ejecución”. Anónimo

Instrucciones para el trabajo este año lectivo

1. La comunicación con el docente se hará a través de

la plataforma Edmodo así como también vía correo

electrónico y grupos de WhatsApp.

2. leer y analizar las guías expuestas como también los

ejercicios planteados, cualquier duda comunicarse con

el docente en el horario estipulado. También puedes

apoyarte con videos, libros de física 1 o física decimo.

3. El desarrollo de la guía podrá ser enviada por

Edmodo, Correo electrónico o WhatsApp.

4. Los estudiantes que asistan por medio de la

plataforma Edmodo se tomara listado de asistencia y

cualquier motivo de inasistencia debe ser justificado

ante coordinación de convivencia.

5. El método de evaluación será de la siguiente manera:

el saber hacer tendrá un porcentaje del 70%, donde

este comprende el desarrollo de la guía y una evaluación

al final de periodo, como también tiene mucho valor la

participación activa en la plataforma Edmodo. El ser

tiene un valor de 30%, el cual se divide de esta forma,

el 20% evalúa la responsabilidad y entrega oportuna de

las guías y el restante 10% corresponde a la

autoevaluación.

Repaso sistemas de ecuaciones lineales 2x2

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más

ecuaciones que contiene a dos o más incógnitas, dichas

ecuaciones tienen relación entre sí ya que el valor de

las incógnitas satisface todas las ecuaciones al mismo

tiempo.

Para esta ocasión estudiaremos los sistemas de

ecuaciones 2x2 (2 ecuaciones y 2 incógnitas). Este tipo

de sistemas es muy frecuente, son tan versátiles que

pueden ser usadas sin ningún problema para

representar casos reales. Existe muchas maneras de

resolver un problema de este tipo, algunas un poco más

difíciles y complicadas que otras, pero en esta ocasión

nos centraremos en dos maneras distintas, es decir: la

forma algebraica y la forma gráfica.

La primera se desglosa en varios procedimientos

algebraicos distintos: El método de reducción (también

conocido como de suma y resta), el método de

sustitución y el método de igualación; y por otra parte

el método gráfico consiste en interpretar y analizar de

forma gráfica el comportamiento de ambas ecuaciones

en un mismo plano cartesiano.

Empecemos analizando los métodos algebraicos y como

usarlos

Método de suma y resta

Es un método donde lo que se busca es eliminar una de

las dos incógnitas mediante el uso de una suma

algebraica. Esta eliminación puede darse de dos

maneras:

1. La manera directa es cuando nos damos cuenta que

en ambas ecuaciones del sistema, la misma incógnita

tiene el mismo coeficiente solo que con signo contrario,

como se puede observar en la imagen. Si se diera este

caso el primer paso es colocar ambas ecuaciones una

encima de la otra de manera que cada tipo de incógnita

forme una columna al igual que la parte sin incógnita

(que debe estar siempre a la derecha del igual).

Se hace la suma algebraica y nos damos cuenta que una

incógnita se elimina pues su coeficiente se vuelve cero

como en el ejemplo. Luego, se resuelve la ecuación de

primer grado que se ha creado para obtener el valor de

la primera incógnita.

Como paso final se sustituye dicho valor en una de las

ecuaciones originales, para ello donde se encuentre

dicha letra se usa paréntesis y se coloca su valor

dentro de estos, Se realiza las operaciones

correspondientes para resolver esta segunda ecuación

de primer grado y de esta manera se obtiene la segunda

incógnita.

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Con esto quedaría resuelto el sistema de ecuaciones en

donde la respuesta sería el valor de ambas incógnitas

2. Detectando múltiplo: Esta forma procede cuando

hay una relación entre alguna de las dos letras en

ambas ecuaciones en cuanto si a múltiplos de sus

coeficientes estamos hablando. Un ejemplo sería que

una ecuación fuera 2x+4y=20 y que la otra fuera

3x+8y=43 en donde la incógnita y en ambos casos tiene

coeficientes múltiplos de 4.

En este método no importa si los coeficientes sean de

signos contrarios, únicamente nos importan que sean

múltiplos.

Algo muy importante de este método es que su

propósito es lograr eliminar una de las incógnitas de

ambas ecuaciones para encontrar la que no se ha

eliminado. De esta manera y al obtener la segunda

incógnita podemos usar ese resultado para encontrar

la primera que hemos eliminado. Por ello en este método

se suma algebraicamente para lograr dicho propósito.

Método de Sustitución

Al igual que con la comida podemos elegir la bebida con

que acompañarla, los sistemas de ecuaciones tienen

distintas maneras o métodos de ser resueltos y está en

ti elegir el que te parezca más sencillo, con el que

sientas más confianza, etc. y no tendrás ningún

problema en absoluto ya que las respuestas siempre

serán las mismas.

El método de sustitución consiste en el procedimiento

de despeje de una variable (letra) de una de las 2

ecuaciones y sustituir el resultado en la segunda

ecuación (la que no elegimos primero), de esta manera

los pasos a seguir serían los siguiente:

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1.- Despejar una incógnita en solo una de las ecuaciones

(elige la que sea más sencilla de despejar).

2.- Hecho el despeje procedemos abrir paréntesis en

la segunda ecuación en los lugares donde se encuentre

la letra que despejamos en el punto 1.

3.- Dentro de los paréntesis, colocamos el resultado del

despeje del punto 1.

4.- Resolvemos la ecuación de primer grado que se ha

creado para obtener el valor de la segunda incógnita.

5.- Con el valor del paso 4 regresamos a donde teníamos

el despeje en el punto 2 y colocamos dicho valor (paso

4) para encontrar la primera ecuación.

6.- Comprobamos sustituyendo los valores al mismo

tiempo en alguna de las ecuaciones originales.

Como puedes observar en la imagen, el resultado del

sistema de ecuaciones es y=10 y x=35, que es

exactamente el mismo resultado que el método de suma

y resta, con lo que se comprueba que no importa que

método elijas siempre llegarás al mismo resultado. Esta

característica te puede ayudar a averiguar si

realizaste mal un cálculo en algún otro método ya que

debería darte el mismo resultado.

Método de igualación

Este método suele ser sencillo para aquellos que el

despeje se les facilita.

El método recibe el nombre del hecho que, para

resolver el sistema de ecuaciones debemos despejar la

misma letra en ambas ecuaciones, esto con el motivo de

igualar la parte de la derecha de la igualdad y resolver

una ecuación de primer grado con la misma incógnita en

ambos lados.

En las siguientes imágenes podemos observar el mismo

sistema de ecuaciones que se resolvió anteriormente,

la diferencia con el método de sustitución anterior es

que aquí se despeja la X para ambas ecuaciones, de esta

manera se igualan las partes derechas de los despejes

para finalmente encontrar el valor de la y.

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Encontrando el valor de y podemos sustituirlo en

cualquiera de los 2 despejes de x para encontrar el

valor de esta misma letra, para este caso (como en los

anteriores) el resultado es y=10 y x=35.

LA FUNCIÓN CUADRÁTICA EN EL SALTO DE LOS

ANIMALES.

La mayoría de animales que saltan describen una

trayectoria en forma de parábola debido a la fuerza

que ejerce la gravedad sobre su cuerpo. Por ejemplo,

los canguros, alcanzan una longitud de hasta tres

metros incluida la cola que les sirve de puntal. Estos

animales avanzan a saltos este avance es

exclusivamente bípedo (con las patas traseras) y la

disposición de sus patas y cola les permite alcanzar

grandes velocidades. Los canguros huyen a la menor

señal de peligro, y cuando lo hacen, pueden alcanzar los

3.30m de altura en un salto y los 9m de longitud en

terreno descubierto. Sin embargo, cuando están

tranquilos, sus saltos no sobrepasan los 1,90m de

longitud a una velocidad de 20km/h. Aunque estos

animales pueden saltar en varios ángulos de acuerdo

con sus necesidades y su estructura, el alcance máximo

en este tipo de movimiento denominado oblicuo o

parabólico, se obtiene cuando el salto o lanzamiento se

hace con un ángulo de 45º. En el caso de un salto con un

ángulo de despegue de 45º, el alcance máximo X está

dado por la ecuación:

Donde X está medido en metros y la velocidad inicial

Vo en metros por segundo.

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse

como una ecuación de la forma:

donde a, b y c (llamados términos ) son números reales

cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor

o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b

y de c sí puede ser cero.

En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos

tiene un nombre.

Así,

Ax2 es el término cuadrático

bx es el término lineal

c es el término independiente

Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o

cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los

términos se dice que es una ecuación completa, si a la

ecuación le falta el término lineal o el independiente se

dice que la ecuación es incompleta.

Representación gráfica de una función cuadrática

Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los

puntos de una función cuadrática, obtendríamos

siempre una curva llamada parábola.

Como contrapartida, diremos que una parábola es la

representación gráfica de una función cuadrática.

Dicha parábola tendrá algunas características o

elementos bien definidos dependiendo de los valores

de la ecuación que la generan.

Estas características o elementos son:

Orientación o concavidad (ramas o brazos)

Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)

Punto de corte con el eje de ordenadas

Eje de simetría

Vértice

ORIENTACIÓN O CONCAVIDAD

Una primera característica es la orientación o

concavidad de la parábola. Hablamos de parábola

cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba

y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos

se orientan hacia abajo.

Esta distinta orientación está definida por el valor (el

signo) que tenga el término cuadrático

Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas

hacia arriba, como en f(x) = 2x2 − 3x – 5

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Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas

hacia abajo, como en f(x) = −3x2 + 2x + 3

Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a),

más cerrada es la parábola.

Puntos de corte en el eje de las abscisas

(Raíces o soluciones)

Otra característica o elemento fundamental para

graficar una función cuadrática está el valor, o los

valores que adquiera x, los cuales deben calcularse.

Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier

función cuadrática calculamos

f (x) = 0.

Esto significa que las raíces (soluciones) de una función

cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la

expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que “y”

= 0; que es lo mismo que f(x) = 0.

Entonces hacemos

ax² + bx +c = 0

Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de

segundo grado, otro de primer grado y un término

constante, no podemos aplicar las propiedades de las

ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la

fórmula general de resolución de ecuaciones

cuadráticas.

Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación

cuadrática nos indican los puntos de intersección de la

parábola con el eje de las X (abscisas).

Respecto a esta intersección, se pueden dar tres

casos:

Que corte al eje X en dos puntos distintos

Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje

x)

Que no corte al eje X

Esta característica se puede determinar analizando el

discriminante.

Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de

las Y)

En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es

cero, por lo que el punto de corte en el eje de las

ordenadas lo marca el valor de c (0, c).

Veamos:

Representar la función f(x) = x² − 4x + 3

Representar la función f(x) = x² − 4x – 3

Observar que la parábola siempre cortará al eje de las

ordenadas (Y), pero como ya vimos más arriba al eje de

abscisas (X) puede que no lo corte, lo corte en dos

puntos o solamente en uno.

Eje de simetría o simetría

El eje de simetría de una parábola es una recta vertical

que divide simétricamente a la curva; es decir,

intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se

puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de

la parábola.

Su ecuación está dada por:

Donde x1 y x2 son las raíces de la ecuación de segundo

grado en x, asociada a la parábola. De aquí podemos

establecer la ecuación del eje de simetría de la

parábola:

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VérticeC

Como podemos ver en gráfico precedente, el vértice de

la parábola es el punto de corte (o punto de

intersección) del eje de simetría con la parábola y tiene

como coordenadas

ACTIVIDADES

REALIZAR CADA EJERCICIO CON SU

RESPECTIVA JUSTIFICIACION.

1. La solución del problema “Los valores de las entradas

para una función de teatro son $ 2500 y $ 5000. Si se

venden 275 entradas y se recaudan $ 1187500.

¿Cuántas entradas de cada valor se vendieron?”

A) 100 y 175

B) 150 y 125

C) 200 y 75

D) 225 y 50

2. El conjunto solución del sistema es

A) (1,2)

B) (2,3)

C) (2,1)

D) ∞ 3. La razón entre las edades de dos personas es de 2/3.

Sabiendo que se llevan 15 años, ¿cuál es la edad de cada

una de ellas?

4. Un número excede en 12 unidades a otro; y si

restáramos 4 unidades a cada uno de ellos, entonces el

primero sería igual al doble del segundo. Hallar los dos

números

5. El perímetro de un rectángulo es de 22 cm, y

sabemos que su base es 5 cm más larga que su altura.

Hallar las dimensiones del rectángulo

6. El doble de un número más la mitad de otro suman 7;

y, si sumamos 7 al primero de ellos, obtenemos el

quíntuplo del otro.

7. resolver el sistema de ecuaciones

8. En uno de sus vuelos, el avión de juguete de Mario,

describe una forma parabólica dada por la expresión

y = (X – 4)2, donde “y” es la altura del avión y “X” es su

desplazamiento en metros. ¿Para qué valores de X la

altura del avión del juguete es la misma?

A) 3 y 9 metros

B) 6 y 8 metros

C) 4 y 2 metros

D) 2 y 6 metros

9. La representación gráfica de una función cuadrática

es una curva llamada:

A) vértice

B) círculo

C) plano cartesiano

D) parábola

10. Al graficar la función cuadrática produce la imagen:

A) La imagen 4

B) La imagen 3

C) La imagen 2

D) La imagen 1

11. La anterior parábola tiene el vértice en:

A) El cuadrante 3

B) El cuadrante 2

C) El cuadrante 4

D) El cuadrante 1

12. Una función cuadrática es una función de la forma:

A) f(x) = ax3 + bx + c

B) f(x) = ax + bx + c

C) f(x) = ax2 + bx + c

D) f(x) = a +b +c