EDIFICACION 40.RevistadeEdificacin.Junio1989.N.o6 Conceptos bsicos para el diseo y anlisis de estructuras ligeras tensadas JIX ESGRIG yJUAN P REZVALCRCEL,DRS. ARQUITECTOS 1.Introduccin 2.Tipologas 3.Materiales y sus propiedades 4.Determinacin de formas 5.Clculo de estructuras tensadas 6.Despiecede conjuntoyconfec-cinde patrones 7.Acciones a considerar 8.Disposiciones constructivas 9.Planteamientodelproyectode estructura tensada 10.Pliego mnimo de prescripciones tcnicas particulares 11.Relacin de proyectos importan-tes y sus caractersticas, concep-tos basicos para el diseo yan-lisis de estructuras ligeras tensa-das 1.INTRODUCCION Estructurasligerastensadasson aquellas constituidas fundamentalmen-te por materiales que nicamente tienen rigidez a traccin y que antes de recibir lascargasexterioresparalasquese proyectandesarrollaninternamenteun fuerteestadodeesfuerzosdebidoa pretensados iniciales. Lgicamente pa-rahacer posibleesteestadoglobalde traccindeterminados elementos de la estructura, tales como mstiles, vigas y macizossufrirnaccionesdecompre-sin. Aunquelasgrandesestructurasar-quitectnicastensadascomenzarona finalesdelosaos50conunafuerza que haca presagiar un desarrollo abun-danteygeneralizadosusaplicaciones siempre atrevidas y vistosas se han su-cedido conmucha parsimonia. No obs-tanteesprevisibleuncrecimientoes-pectacular. Conindependencia deilustresante-cesores,loqueconocemoscomocu-biertas tensapas tienesusorgenesen las estructuras de cables dispuestas en superficiesparablico-hiperblicasa mediadosdeestesiglo.En1.953se construy la Arena de Raleigh en Caroli-na del Norte con diseo de Matthew Mo-vicki y dimensiones mximas de 92 x97 cm. (Fig. 1). En 1958 se utiliz una red de cables de forma triangular con 80 m. de lado y un cable de cabeza de grandes di-mensiones con170 m. de longitud apo-FIG. 1.ARENADERALEIGH,CAROLINADELNORTE1953 FIG. 2.AUDITORIOALAIRELIBREEN MELBOURNE1958 yado endos mstiles con 21m. de altu-ra.Mientras que enelcasoanterior se uschapa plegada,eneste elmaterial de cubierta fue de madera recubierta de aluminio.LosarquitectosfueronYun-cken,Freeman,Grl'ffitmsySimpson (Fig.2). EnelmismoaoEeroSaarinen construy la Pista de Hockey de la Uni-versidad de Yale basada enun arco de 67 m. de luz que sostiene una cubierta de cables de 55 m. de anchura recubier-ta con tablazn de madera (Fig. 3). .. EDIFICACION Revista deEdificacin.Junio1989.N.o6.41 En 1.964 Kenzo Tange realiz con un afortunadodiseolosPalaciosdeDe-portesparalasOlimpiadasdeTOKIO basadas encubiertasmetlicas tensa-das sobre cables (Fig.4). En1.967 se construy elPabelln de AlemaniaenlaEXPOdeMontrealcon proyecto, entre otros de Frei Otto. Con-sista en una red de cables sostenida so-bre ocho mstiles y anclada al suelo en 31puntos dando lugar a una compleja cubierta de aspecto estalagmtico a ba-se de tejido sinttico (Fig.5) . Elproyecto ms relevante y que des-pert el inters de gran pblico por este tipodeestructurasfuelacubiertadel EstadioOlmpicoparalosjuegosde 1.972 enMunich. Con este diseo con-trovertidoydeautorapolmicaseal-canzunrefinamientotecnolgicoque nohavueltoarepetirse.Dehechola complejidad y el precio de esta cubierta implicaron la cancelacin de esta va de trabajo. Eneste caso el material utiliza-do sobre la malla era metacrilato. La es-tructura tena ocho grandes mstiles de FIG. 3.PISTADEHOCKEY ENLAUNIVERSIDADDEYALE.NEWHAVEN1958 FIG. 4.PALACIOS OLlMPICOS TOKIO. 1969 -42.RevistadeEdificacin.Junio1989.N.O6 FIG. 5.PABELLONDEALEMANIA OCCIDENTAL EXPO. 1967 MONTREAL CANADA FIG. 6.ESTADIO OLlMPICO MUNICH1972 EDIFICACION FIG.7.CENTRODEACTIVIDADES LAVERNECOLLEGE CALIFORNIA1973 EDIFICACION FIG. 8.TERMINAL HAJ AEROPUERTO INTERNACIONAL DE JEDDAH ARABIASAUDI1981 87m.de altura ycubra34.000m.2 de gradero (Fig. 6). A partir de entonces se experimenta concubiertasdesuperficieactivaen donde no ser necesario utilizar los ca-bles como estructura base. Tejidos sin-tticos especiales se disponen de modo que alcancen altas resistencias a la trac-ciny larga duracin frente a las incle-mencias atmosfricas. Laprimera estructura textildegran-des dimensiones es el Centro de Activi-dades del La Verne College de Califor-nia de 1.973 de Shaver y Un, sustenta-do sobre tres mstiles (Fig. 7).Los pro-yectos sucesivos se sucedieron con ca-ractersticas muy verstiles y resultados espectaculares.DestacamoslaTermi-nalHajdel Aeropuerto Internacional de Jeddah en Arabia Saudita de 1 981 , una superficiecubiertadetelademsde 400.000 m.2 por medio de 210 mdulos cnicostensadosentremstiles.Este conjuntouneasuconfort yfuncionali-daduna sorprendenteespacialidadin-terior.Elproyecto esde la firmaSKID-MORE,OWINGS&MERRILL(Fig.8). Otroimportante proyecto es elEstadio InternacionaldeRiyadhenArabia,de 1.984delosarquitectosFrasery Ro-bets. Son 50.000 m.2 de gradero cubier-to en un anillo de 158 m. de radio exterior y 70 m. de radio interior con 24 mstiles Revista deEdificacin.Junio1989.N.O6.43 FIG. 9.ESTADIO DERIYADHENARABIASAUDITA EDIFICACION 44.Revista de Edificacin.Junio 1989N.o6 _ __ _o. .....:.:.:-...:.:.-_ .. ' .. -- - -- -_ . ..-._. __ . ....__.- . ..::. __ . ..:... . ....;.;_..FIG. 10.EXPO 88 ENBRISBANE. AUSTRALIA .. FIG. 11 .ASPECTO PARCIAL DELAESTRUCTURA DEL CENTRO RENAUL TENSWINDO y GRANBRETAIIA FOSTER & OVE ARDA 0oode 55 m. de altura. Toda la estructura de-sagua hacia elexterior (Fig. 9). Porltimohacemosreferenciaala msrecientedeestasestructuras.La cubiertadelrecintodelaEXPO-88en Brisbane(Australia)endondeunagi-gantesca vela de 40.000 m.2 planea so-bre los espacios pblicos y los pabello-nes como abanicos pivotantes en torno a 5 mstilesentre30y50m.de altura (Fig. 10). Elprimer y ltimo diseo estn realizados en fibra de poliester con PVC y los restantesconfibra de vidrio recu-bierta de Teflon, 2.TIPOLOGIAS Siaceptamosnoincluir lasestructu-ras hinchadas en este trabajo para dedi-carlesuncaptuloespecfico y elimina-moslasestructurascolgadaspuesto quenotienentensininicialypueden trabajar slo bajo determinadas orienta-ciones de las cargas vamos a clasificar lasestructurastensadasdelsiguiente modo: 2.1.Por la disposicin de la masa activa, es decir por la distribucinde la materiaresistenteencablesosuperfi-ciesy por suubicacin espacial. a)Estructurasrigidizadasporcables. Sonaquellasqueensufunciona-miento son estables gracias a la ac-cincomplementaria de cables ten-sados.Dentrode este tiposeinclu-yenlosmstiles,puentes,alerosy marquesinas atirantadas (Fig.11). b)Celosasdecables.Sonconjuntos fundamentalmenteplanosqueal-canzan su estabilidad gracias a la ac-cin combinada de dos lneas funicu-laresinvertidas conectadas entre s (Fig.12).Estos elementosnotienen queestarnecesariamenteconteni-dos en el mismo plano aunque esa es ladisposicinmsfrecuente.Enla Fig. 13 se muestran dos celosas es-paciales. Estas celosaspueden cruzarse en-tre spara constituir estructuras es-pacialesdecablescondoscapas (Fig.14). Unejemplodestasesel Auditorio Municipal de Utica de Zet-lin en 1 .959 con un dimetro de 80 m. condosfamiliasde cablesradiales con distinto pretensado para amorti-guar las vibraciones. c)Redesdecables.Sebasanenlos mismoselementosqueenelcaso anteriorperodispuestoscomosu-perficiesalabeadasmsomenos complejas.Lassuperficiestienen queseranticlsticasentodossus puntos.Ejemplosdeestasdisposi-ciones sonlas Fig.1 a 6. d)Membranas. Son conjuntos construi-dosapartirdematerialestextileso EDIFICACION Revista de Edificacin.Junio1989.N.o6.45 (& ) FIG. 12.CELOSIASDECABLESPLANAS FIG. 13.CELOSIASDECABLESESPACIALES EDIFICACION 46.Revistade Edificacin.Junio1989N.O6 F/G.14.CELOS/AS CRUZADA DE CABLES metlicos con desarrollo superficial y capaces de absorber exclusivamen-te esfuerzos de traccin. Por simis-mos pueden ser al mismo tiempo es-tructuraycerramientounidosalos elementos complementarios de sus-tentacin y anclaje. Son sistemas de grantradicinculturalque reciente-mentehanexperimentadograndes cambios tipolgicos conlosnuevos materialesdeavanzadatecnologa (Fig. 7 a 10). e)Estructuras tensadas mixtas. Son las obtenidas por la combinacin de ca-bles y textiles para optimizar suren-dimiento.Loscables soncasisiem-prenecesariosentodotipodees-tructurastensadas,perosujetasal material textil para reforzarlo slo se usanencontadasocasiones(Fig. 10). 2.2.Por el tipo de sustentacin Establecer una clasificacin con este criterioobedecealdistintocomporta-miento resistente que tiene un elemento conbordeslibresy aladificultadpara determinar formasque noterminanen lneasde geometra conocidas a priori. Podemos distinguir entre: a)Superficiestensadasentremarcos rgidosoconlneasde apoyointer-nascontinuas.Estassonespecial-mentesencillasdedeterminar (Fig. 15). b)Superciciestensadasentrepuntos altosdeapoyoybajosdeanclaje. Sondegrancomplejidadanaltica (Fig.16). 2.3.Por la forma La clasificacin por la forma es espe-cialmenterelevantedesdeelpuntode vista arquitectnico. a)Modulares de tipo longitudinal. Se in-cluyen en este apartado tanto las de crecimiento recto (por ejemplo el Pa-lenque para la Expo-92 en Sevilla de Prada.Fig.17)comolasdecreci-miento curvo (Fig.9). b)Modularesdetipobidireccional.En la fig. 18 se muestra un esquema del AuditorioPinardelReyenMadrid (1 .985, J. M. Prada) con superficie to-tal de 625 m.2 Un ejemplo muy desta-cado es la Fig.8. c)Polgonos simples con puntos eleva-dos. En algunos casos estn resuel-tosconsuperficiesenParaboloide Hiperblico (Fig. 19 de Frei Otto). En otros con formas que resultan de ten-sar hacia afuera algn punto interior (Fig.20). d)Superficiesajustadasentornoaun reducidonmerodemstilescomo EDIFICACION FIG. 16.SUPERFICIE TENSADAENTREPUNTOS FIG.17.PALENQUEDELAEXPO92. SEVILLA.1989 FIG.18.CUBIERTAPARAELAUDITORIOPINARDELREY. MADRID1985 Revistade Edificacin.Junio1989.N.o 6.47 elanfiteatrodeShorelineenMoun-tain Viwe, California de Blurock (Fig. 21 ). e)Superficiesmnimasdecontorno irregular.Representanelcasoms genrico, que permite la fijacin de la resultantehastaqueencajeenla condicindemnima rea de mate-rialdecubierta.LasFig.5Y 6son ejemplosrelevantes. f)Poliedros. Son redes tensadas sobre una malla espacialqueproporcional los puntos de anclaje. Esta malla pue-de ser de barras rgidas o incluso otra red de cables. Un ejemplo destacado eselShulumbergerCambridgeRe-searchCenterdeMichelHopkins (Fig. 23). Conestaclasificacinnopodemos recoger todas las formas pero de algn modonosacercaalconocimientode una geometra muy verstil. 3.MATERIALES Y SUS PROPIEDADES Vamos a evitar detenernos en mate-riales de uso tradicional que en su cam-podeaplicacintienenunbuencom-portamientoyhansidoextensamente utilizados,comoporejemplolasfibras vegetales y animales entre las que des-tacan el lino, el algodn, el camo, la la-na y la seda. Con ellos se han fabricado enormesvelasenusosmartimosy grandes estructuras, como los dirigibles enlosprimerostiemposde la navega-cin area. Una breve clasificacin nos permitir ordenar las fibras utilizadas en arquitec-tura del siguiente modo: - Fibras naturales: Lino Camo Lana Algodn - Fibras sintticas: Polietileno Polister Poliamida Acrlicas Viscosa Aramida Polietilenodecadena larga Fibras metlicas: Acero Acero inoxidable Aleaciones de cobre Aluminio EDIFICACION 48.Revista de Edificacin.Junio 1989N.o6 Fibras minerales: - Vidrio - Carbn Endeterminadoscasosestasfibras necesitanalgntipoderecubrimiento comoveremos .seleccionadodeentre los siguientes: Materiales de recubrimiento: Cloruro de Polivinilo (P.V.C.) Poliuretano (P.V.) Neopreno Caucho Hypaln - Tefln (P.T.F.E.)y (F.E.P.) - PVC con un pOlmero plastificador (P.V.F.) o (P.V.D.F.) - Silicona Parasuusoestructuralestosmate-rialesdebenutilizarseconjuntamente trenzados,laminadososuperpuestos para dar lminas o cables. En el caso de los materiales metlicos se utilizan casi exclusivamente en forma de cables y de chapas. No vamos a de-sarrollaresebloquepuestoquetiene una amplia bibliografa. En el caso de los materiales textiles la informacin es dispersa y contradictoria puesto que lamayorparte de ellaest dictada por intereses comerciales.No-sotros vamos a intentar una breve des-cripcinde ellos. Los textiles estructurales estn com-puestos por una trama de fibras de alta resistenciarecubiertadeunmaterial protector de menor resistencia pero me-jor comportamiento ante los agentes ex-ternos, fundamentalmente humedad, ra-yosultravioletasyagresionesdetipo qumico. Losentramadostextilespuedenser de varios tipos (Fig.24).Entodos ellos hay un entrelazado de trama y urdimbre que permite una alta resistencia en dos direcciones ortogonales, mayor en la de la trama y poca resistencia en cualquier otradireccinpuestoqueseproduce una distorsin angular de la malla. Conelrecubrimientoadecuadose garantiza ademsdelaproteccindel entramado un mejor reparto de la capa-cidadde trabajoaunquecomocriterio generalhabr que poner la trama enla direccin de las mximas tracciones. Las propiedades a considerar son de tres tipos: 1)Propiedades estructurales. Resistencia a la traccin. Se expre-sa normalmente en N/50 mm o kp/5 cmyrevelala resistencia longitudi-nal del tejido. Los ensayos que se uti-FIG. 19.PABELLONDEMUSICA KASSEL.1955 FIG. 20.PISTADEBAILE ENCOLONIA.1957 FIG. 21.ANFITEATRO SHORELlNE CALIFORNIA lizan son uniaxiales o biaxiales (Fig. 25). - Resistenciaalrasgado.Losensa-yos que nos determinan la resisten-cia al rasgado son de gran importan-cia. Sin embargo estn mal sistema-tizados y hay discrepancias entre la utilidad de cada uno de ellos. El dato ms importante es la resistencia a la propagacin del rasgado. Se expre-saenNoKpysemidesobreuna muestra de 100 mm de longitud a la que se ha practicado un corte trans-versalde 25 mm. - Adhesin de la capa protectora. Se pegan entre s dos tiras de tela de 5 cm. de anchura y se intentan separar luegomecnicamente.Laresisten-cia se mide enKp/5 cm y la prueba se denomina tambin de pelado. 2)Propiedades deconservacin: Resistencia a la intemperie. Las caractersticasmecnicas de es-tosmaterialesvaranmuchocon la temperatura,la humedad y so-bretodoconla degradacinque EDIFICACION Revista de Edificacin.Junio1989.N.o 6.49 FIG. 22.POLlGONO TENSADOCONUNPUNTOCENTRAL produce la accin de los rayos ul-travioletas. Por ello los ensayos de laboratorioquenospermitenco-nocerestecomportamientoson fundamentalesparalaeleccin del tejido. Resistencia de la capa protecto-ra.Determinalacapacidaddel materialderecubrimientopara conservar su proteccin a lo largo del tiempo. Permeabilidadde lasupeicie. Silasmembranassonabsoluta-menteimpermeablestendrn buena proteccin a efectos de ab-sorcin o de humedad que puede producir degradacin qumica asi como ayudar eldesarrollo demi-croorganismos,peroencontra-partidaproducirmolestascon-densaciones. Estabilidaddimensional.Algu-nosmateriales sufrenlos efectos de la relajacin y aumentan sus di-mensionesconcarcterperma-nente bajo el efecto de las cargas, loqueobligaaactuarsobrela geometra de la estructura en dis-tintas fases de su vida. Facilidad para la limpieza. Apar-tedelaprdida deapariencia,la suciedadpuedesercausantede deterioro fsico-qumicodelacu-bierta al reducir su transparencia y absorberdeterminadasradiacio-nes. Hay materiales que adhieren losdepsitosmientrasqueotros los repelen. Facilidadparaserreparados. Por medio de adhesivos o de cosi-dos todoslos textiles pueden ser parcheados, pero mientras los sis-temas basados en materiales sin-tticossonrelativamentesenci-llos, los basados en fibras minera-les requieren sumo cuidado. - Resistencia al fuego. Esta es una de las caractersticas bsicas que deter-minan la aceptacin de un tejido. La cla-sificacingenricaentremateriales combustiblesynocombustiblesnoes aplicable a estos casos y las Normas de PrevencindeIncendiosnormalmente notienenencuentalassingularesca-ractersticasdeestasestructuraslige-rasdetantaaplicacinenrecintosde usopblico.Estosmaterialespueden ser autoextinguibles y mientras algunos como los de pve se derriten a los 200e, los basados enFibra de Vidrio lo ha-cen a los 7000e, en todos los casos pro-duciendo perforaciones que ventilenel interior y ayudan a la eliminacin de hu-mos. No obstante son materiales maltra-tados por la normativa y que difcilmente cumplentodoslosrequisitosconcebi-dospara materiales rgidos. 3.Propiedades demontaje: Estabilidad dimensional del teji-do base.Unmaterialdemasiado extensibleocambianteconlas modificaciones ambientales sera difcildemanipularytratarcon precisin. Soldabilidaddelaspiezas. Puestoque todaslasestructuras hande ser contruidas uniendo di-versos patrones es muy importan-te que sus uniones puedan ser tan resistentes como elmaterial base puesdelocontrarioestaremos deperdiciando las propiedades de ste. La soldabilidad implica poder conectar las piezas por cosido, por pegadoconaportacindealgn adhesivo o por adherencia con ca-lor. Resistencia al doblado. Durante la etapa de montaje los paos lle-garna la obra confeccionados y doblados en paquetes. Es muy im-portantequeestedobladono dae el material. Tejidos muy den-FIG.23.SHULUMBERGER CAMBRIDGE RESEARCHCENTER EDIFICACION 50.Revistade Edificacin.Junio1989.N.o6 sos y de grande espesor o de com-ponentes frgiles quedan elimina-dos de estas aplicaciones. 4.Propiedades funcionales: - Coloracin. Las fibras que forman la tramaylaurdimbrenormalmente forman una malla traslcida de colo-resclaros.Elmaterialprotectorde recubrimientopuedeteneraspecto muyvariable,desdeabsolutamente transparente a completamente opa-co. Diversas pigmentaciones y mez-clas aparte de cambiar el comporta-miento de conjunto pueden dar lugar a una granvariedadde colores. To-doslosmaterialesbasados enpvc presentanunagamacompletade coloridomientrasquelosdeFribra de Vidrio slo se presentan en diver-sos blancos. - Transparencia.Cualquiertejido puede presentarse concierta capa-cidad de transmitir en forma difusa la luzcaptadadedeelexteriorypor tantoestosmaterialestienenun buen comportamiento luminoso. De-pendendiendodeltipodelosmis-mosvariarelmximode transmi-sin,desde un1596 hasta un9096, perodequererloas,todospueden presentarse enforma absolutamen-teopaca. Aislamiento.Elgranproblemade estos materiales es sumalcompor-tamientotrmicoyacsticoyaque por suligereza y escaso espesor no tienen inercia trmica o acstica. No obstante utilizando dos capas para-lelas y controlando intermedio o me-diantedisposicionesgeomtricas puede mejorarse aqul. El aeropuer-todeJeddah,situadoenplenode-sierto, por su efecto chimenea, es ca-paz de mantener una temperatura in-terna que no sobrepasa los 25C.El comportamiento acstico esmucho ms difcil de controlar puesto que el materialnopresenta barreras alrui-do extremo.Enelinteriorla escasa rugosidad multiplica las reflexiones y solamente con elementos rompedo-res puede controlarse la difusin; co-mopantallasacsticas,funcionan muybienyhansidoextensamente utilizadas las disposiciones textiles. Los tejidos ms frecuentes de tipo co-mercial sonlos siguientes: Fibra de Poliester con laca acrlica recubierta con PVC Sepresentaendiversosespesores de talmodo quepara 0,9mm.laresis-tencia alrasgadoesde 400Kplcm y la resistencia a la propagacindelrasga-do esde 70 Kp. Tieneunadurabilidadentre15y20 aos y una elongacin del 16% y retiene la deformacin al cesar la carga. Se pre-senta en todos los colores y con acaba-dos capaces de resistir cualquier agre-sin qumica. Es resitente al fuego con la adicindesalesretardadorasdela combustin.Suprecioestentrelas 1.000y1.500ptas./m.2 Esunmaterial muy impermeable. Fibra de Nylon recubierto de PVC Cualidadesy preciosmuyparecidos al anterior. Tiene menor mdulo de elas-ticidadperorecuperamejorlasdefor-maciones.Ha sido elmaterialms utili-zado hasta el desarrollo de las fibras del Poliester. Fibra de vidrio recubierta con Teflon Estematerial combina la enorme re-sistenciadelvidrioyelrecubrimiento conunmaterialqumicamenteinerte que repele la humedad. Lasuperficie re-sultante es resistente a la abrasin y es incombustible. Slosefabrica encolor blancoysutransparenciamximaes del1.696. Suelongacin esdel6%.Su resistencia al rasgado para 1 mm. de es-pesor es delorden de 700 Kplcm y a la propagacindelrasgadode35 Kp.Su durabilidadessuperior a 25aos aun-quelaprimera obra construida cumple ahora18aos.Elpreciooscilaentre 5.000 y10.000 pts./m.2 Fibra de vidrio recubierta con silicona Es ms flexible que el anterior y su trans-paranciapuedellegaral7.096aunque normalmente est entre 20 y 50%. Es ca-si tanestable ante elfuego como elte-fln y slo se fabrica en color blanco. Su elongacin es del6% y su resistencia a latraccinpuedellegara700kplcm. mientras que a lapropagacindelras-gado puede llegar 40 Kp. El precio oscila entornoa 5.000pts./m.2 4.DETERMINACION DE FORMAS Un aspecto primordial en el diseo de este tipo de estructuras es la determina-cindesugeometra.Adiferenciade otras tipologas en las que la forma es un dato de entrada, aqu debe ajustarse pa-ra conseguir un estado tensional ptimo y slo son conocidos algunos puntos de apoyo enelmejor de los casos. Sonestructurasmuydeformables donde la geometra vara conla aplica-cin de las cargas y donde el estado de pretensininterna tienepor objetode-sarrollar unos esfuerzos estabilizadores encoordinacinconla nueva tipologa. Elenfoque variar segn que conoz-camos o no todos los puntos del contor-no. En el primer caso podremos determi-nar la superficie planteando la condicin de que sea una superficie mnima, lo que fsicamentesignifica queesuna mem-brana tensada uniformemente en todas direccionesyestreguladaanaltica-mente por una expresin deltipo d2z_2dz.dz.~=O dx2 dxdydxdy queintegradaconlascondicionesde contornodadasnosllevarnalageo-metra.Estaecuacinserefiereauna superficie del tipo z=f(x.y) en coordena-dascartesianasysuresolucinpuede hacersepormtodosnumricos.Una pelcula de jabn est regulada por esa expresinmatemtica,yporelloalgu-nosproyectistas,comoFreiOttohan utilizadoextensamentefotografasde modelos de este tipo para sus diseos. Cuandonoconocemostampocoel contorno,elproblemaesmuchoms complejo. La forma que van a tomar los bordes entre apoyos es variable y aun-que matemticamente el estado de ten-sinuniformedelamembranaimplica curvatura constante para aqul, sta se desarrolla en el espacio y no tiene forma circular como pOdra asumirse en el pia-no. Uno de los mtodos ms utilizados es la medicinsobreunmodeloreducido por medios fotogramtricos manuales o automatizados.Conestageometra aproximadapodramospasar alafase de clculo (Fig.26). Otro procedimiento sera elde supo-nerdiscretizadalasuperficieenele-mentos cableo elementos finitosy su-poner que estos elementos, unidos por sus nudos deben equilibrar sus fuerzas de modo que la resultante de fuerzas en ellos se anule. Si adoptamos una super-ficie arbitraria para contener esos nudos e introducimos tensiones crecientes pa-raloselementospodremoshacerque varienesascoordenadas hasta que se alcanceelequilibriodefuerzasenlos nudos. ElMtodo Variacional es noli-neal y hay que recurrir a procedimiento iterativosdeclculo.Cuantomsnos acerquemos con la forma inicial a la de-finicin se necesitarn menos ciclos ite-rativos para llegar a la precisin requeri-da (Fig.27). Otro mtodo, eldeRelajacin Din-mica, consistira en considerar la super-ficieproyectadaenplanta,inclusolos puntos de apoyo y proceder ahora al le-vantamientosimultneoosucesivode cadaapoyoporescalonespequeos hastaalcanzarsucotadefinitiva.For-mulando estospasoscomoenelcaso anterior, trashaberdiscretizadolaes-tructura y resolviendo las ecuaciones no linealesporprocedimientositerativos, todos los puntos de la malla buscarn su posicin de equilibrio hasta la geometra finalrequerida (Fig.28). 5.CALCULO DE ESTRUCTURAS TENSADAS Sehadichoquelaobtencindela geometraimplicalaresolucindeun conjuntodeecuacionesdeequilibrio para fuerzas enlos nudos de una malla que discretiza la estructura. Ello implica lassiguientescuestionesateneren cuenta: a)Lastensadassonestructurasde geometra variablecon las cargas ynopuedeasumirselasimplifica-cin de que los desplazamientos son pequeos. Por tantolos esfuerzos y lascoordenadasdelosnudosvan ntimamenterelacionados (Fig. 29). b)Elsistema deecuaciones deequili-brio no es lineal y por tanto su resolu-cinescomplejayrequiereproce-sosespecialesdelinealizacin, siempre de tipo numrico. No pode-mosobtenerexpresionesanalticas contnuas de losesfuerzos. c)Sinuestra estructuraesunaredde cables,puedeasumirsequecada tramo entre nudos es una barra y ob-tenerunamallaespacial.Siesuna vela habr que discretizar la superfi-cie o bien en forma de elementos lon-gitudinales, con lo que obtendramos una red, o bien por medio de elemen-tosplanostriangularesquefaceten la superficie. En este caso podramos utilizar elMtodo de los Elementos Finitos con elemento triangular, o in-clusootrostiposdeelementos.De cualquier modo tenemos que discre-tizarlasupercicieobteniendoade-mslascaractersticaselsticasde los elementos (Fig.27). d)Discretizada la estructura como con-juntodeelementoscondetermina-daspropiedades,unidospormedio de nudos y con unas condiciones de contorno fijadashay que plantear el equilibriodefuerzasyresolverlas ecuacionesnolinealesresultantes con algn programa de clculo ade-cuado. (En el Laboratorio de Inform-tica de la E.T.S.A. de Sevilla se dispo-nedelprogramaCABLEydelpro-gramadeElementosFinitos ANSYS). EDIFICACION Revista de Edificacin.Junio1989.N.o6.51 FIG. 29.CAMBIODELAGEOMETRIA DEUN CABLEDEBIDOA LASCARGAS ,/ / >'/// FIG. 30.DESPIECESDEUNPARABOLOIDEHIPERBOLlCO +-. ,' ,' .. '...' .,. : . '".'.. '1'-

, ":l"0" ". 1 . ,' I -(-7"-FIG.24.TEJIDO TRENZADO TIPOSDETEJIDO Las fuerzas a considerar son: Estadodepretensadoestablecido previamente para garantizar la esta-bilidaddelconjuntoyparaquela aplicacin de acciones exteriores no destensepartessustancialesdela estructura.Estas fuerzashande in-troducirseenzonasendondesea posible utilizar un artilugio mecnico capaz de producirlas (por ejemplo en un apoyo con un tensor o un gato hi-dralico). , PROTECCIONTRAMAY URDIMBREPROTECCIOI\ PROTECCIONTRAMA Y URDIMBRE PROTECCION Accionesexteriores,fundamental-mente de viento.Por facilidadestas accionesseconcentranenlosnu-dos. Accionesreolgicas.Incrementos trmicos,relajacindelmaterialde cubierta, etc. Son acciones que se in-troducirn como cambios dimensio-nalesdelaestructuraynocomo fuerzas. e)Enelprocesodeclculounosele-mentosestarncomprimidosy EDIFICACION 52.Revista de Edificacin.Junio1989.N.o6 1 ; :' 1 3'0en. 50 -r . Ir 1/ !l\J [JIIHf 1/0 CA"I. ... - ... = - ....

:===:; -===:-:::::::;:::;l- = I ,=c-I :=1 -Ii==..... 1UJI'1Il fUIU f[1 .- ---.. I 5Vern I PIEZA PARAEL ENSAYO ATRACCIONBIAXIAL FIG. 25. ,-1 ;I tl J'an < 20 cm. ,r28'- 3C Cn1 'f --a- r=---------"-i I ,.-.f I VVs..oCtJ:::>!)!) .-;1. C/n / In/;, ENSA YO ATRACCION FIG. 26.MESA MEDIDORA DE COORDENADAS 3D EDIFICACION SUPERFICIECONTINUA DISCRETIZACIONMEDIANTE CARPAS FIG. 27. FIG. 28. Revista de Edificacin.Junio1989.N.o 6.53 otrostraccionados.Puestoqueel materialutilizadonotienerigideza compresin, la estructura considera-daserincorrecta.Paracorregirlo volveremosacalcularelconjunto dandorigideznulaaloselementos comprimidos.Enestesegundocl-culo volvern a aparecer nuevos ele-mentos comprimidos y posiblemen-te alguno de los de rigidez nula vuel-va a entrar en traccin. Realizaremos un nuevo clculo anulando la rigidez de los comprimidos y devolviendo la propiaalosquehanrecuperado traccin.Seguiremosconestepro-ceso hasta que todos los elementos activosestntraccionados.Sienel estado finalhaymuchos elementos destensadosesqueelestadode pretensadoinicialerainsuficientey que talvez serequiera aumentarlo. En general no es necesario que abso-lutamente todo est en traccin para los casos ms desfavorables de carga y si stas actan enbreves lapsos de tiem-popuedetolerarseciertodestensado. Esteprocedimientoesrelativamente simple y combinado con los ciclos itera-tivos del propio proceso de solucin del sistema de ecuaciones nolineales per-mitetenerencuenta que larigidezdel material es de un slo signo, sin aumen-tar elvolumenoperativo. Sinembargoenelementosfinitos, asumiendoelmaterialistropo,que aparezcan compresiones enuna direc-cinnoimplicaperderlarigidezen otras; por elprocedimiento anterior de-jaradecolaborarelelementoentero. Paracorregirestaincongruenciahay desarrollados recursos numricos ade-cuados que puedan conocerse enla bi-bliografa especializada. EDIFICACION 54.Revistade Edificacin.Junio1989.N.o6 6.DESPIECE DE CONJUNTO Y CONFECCION DE PATRONES Una vez definida la geometra podre-mos utilizar uno o varios de los materia-les con que contamos para formalizarla. Enelcaso de redde cables habra que trazar la malla sobre la superficie y me-dir lostramosentrenudopara obtener sus longitudes, o bien utilizar la formula-cin analtica que nos dice que entre dos nudos i(xi,yi,zi)y j(xj,yj,zj)la distancia es: Si el material utilizado es un tejido ha-br que encontrar la manera de montar unasuperficiedeciertadimensina partir de un material que la industria pro-porcionaplanoy enbobinasdeancho pequeo,generalmente1,60m.Como hara un sastre hay que proceder a com-poner la superficie a partir de unas pie-zasreducidasqueademsdesperdi-cien el mnimo tejido de la bobina y tenga las menos uniones posibles. A estas pie-zas se las denomina patrones y consti-tuyen una de las operaciones ms deli-cadasdelproceso.Cuantomspe-queosseanlospatronesmayoresla posibilidad de acercarse a la forma con precisinperoelnmerodesolapes, unionesyparticionesdebilita yafea el conjunto.Silospatronessongrandes los tramos planos no se adaptan bien al alabeoglobalyseproducenarrugasy bolsas que todava funcionan peor. Ade-ms, la lneas de unin deberan situarse lo ms paralelas posible a las mximas tensiones (Fig.30). Por otra parte las costuras imprescin-dibles sern muy aparentes en la super-ficietraslcida yhayqueintegrar enel diseo esasbandasque se producirn cada1,50m. Elegir biensuorientacin es decisivo. Lageometra que tenemosnolahe-mos obtenido con una expresin analti-ca continua y por tanto slo nos es cono-cidaenlosnudosdeencuentrodelos elementos. Para determinar el despiece son estos nudos los que nos tienen que servir de gua y podremos desplegar las caras como si de un poliedro de muchas caras triangulares se tratara. Si este de-sarrollo lo hacemos lo ms concentrado posiblepodremos ajustarlebandasdel ancho de la bobina conpoco desperdi-cio, de lo contrario aparecern muchos picos y zonas residuales que ms pare-cernparches que patrones. En ocasiones la malla utilizada para el clculo esdemasiado ancha y para los patronesnecesitamosunamodulacin menor. Para ello habr que obtener una discretizacinmenordelasuperficie, bien por interpolacin o por otros mto-dos;incluso,enalgunos casos la malla de clculo noes la ms adecuada para eldespiece y sehacenecesaria laob-tencin de una nueva. Una vez establecidos los patrones de corte hay que hacer algunas correccio-nes puesto que aqullos corresponden a la geometra definitiva tensada y estos patrones estn sin tensin. Conocida la extensibilidad de la trama ydelaurdimbrehabrquedisminuir proporcionalmente a sta eltamao de lospatronesparaquealcancensudi-mensin realcuando estos sean estira-dos.Aesteprocesosellamadecom-pensacin y si est bien hecho llevar a una forma finallibre de toda arruga. Cuando hemos obtenido los patrones planosenformadegruposdebandas cabela tentacinde quitar residuos de algunas de ellas para aadirlos al patrn contiguo. Engeneral no es posible este trasiego de formas puesto que el objeti-fb '5oL4l": NIxn:> vo de conseguir formas de doble curva-tura no permite esta Interpretacin geo-mtrica. Sila estructura tiene pequea curva-turalosbordesdelospatronessern sensiblementerectos.Delocontrario mostrar bordes muy curvados. Cuantomspequeosseanlospa-trones ms fcilmentenos ajustamos a la forma deseada. Launindepiezasenestostejidos puede ser de varios tipos, principalmen-tepegada,cosidaoambascosasala vez(Fig.31).Como estas uniones pue-den ser los puntos dbiles de la estruc-tura debernproducirse lo ms parale-las posible a las lineas mximas de ten-sin. EnlaFig.32serepresentaunape-quea estructura cuya forma se ha de-terminadoporunmtodovariacional con una discretizacin tipo barra. Poste-riormente se ha procedido a dibujar las dimensiones reales de las bandas de re-cuadrosdesplegndolasenunplanoy sehanobtenidolospatronesdecorte que seacompaan. FIG. 31 ====,..-;;:r:.iii1itiii = PERSPECTIVASDELA vELO