1 Cálculo del tensor de deformaciones en puntos cuánticos ...
Tensor Tensión
3
Tensor tensión Componentes del tensor tensión en un punto P de un sólido de- formable. En mecánica de medios continuos, el tensor tensión, también llamado tensor de tensiones o tensor de es- fuerzos, es el tensor que da cuenta de la distribución de tensiones y esfuerzos internos en el medio continuo. 1 Tipos de tensor tensión 1.1 Tensor tensión de Cauchy Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal. El teorema de Cauchy sobre las tensiones de un cuerpo, establece que dada una distribución de tensiones internas sobre la geometría de un medio continuo deformado, que satisfaga las condiciones del principio de Cauchy existe un campo tensorial T simétrico definido sobre la geometría deformada con las siguientes propiedades: 1. . t(x,n)=[T C (x)](n), 2. . ∇· T C (x)+ f (x)=0, 3. . T C (x)= T T C (x) La tercera propiedad significa que este tensor vendrá da- do sobre las coordenadas especificadas por una matriz si- métrica. Cabe señalar que en un problema mecánico a priori es difícil conocer el tensor tensión de Cauchy ya que este está definido sobre la geometría del cuerpo una vez deformado, y ésta no es conocida de antemano. Por tanto previamente es necesario encontrar la forma defor- mada para conocer exactamente el tensor de Cauchy. Sin embargo, cuando las deformaciones son pequeñas, en in- geniería y aplicaciones prácticas se emplea este tensor aunque definido sobre las coordenadas del cuerpo sin de- formar (lo cual no conduce a errores de cálculo excesivo si todas las deformaciones máximas son inferiores a 0,01). Fijado un sistema de referencia ortogonal, el tensor tensión de Cauchy viene dado por una matriz simétrica, cuyas componentes son: [T C ] xyz = σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 = σ xx σ xy σ xz σ yx σ yy σ yz σ zx σ zy σ zz = σ x τ xy τ xz τ yx σ y τ yz τ zx τ zy σ z La segunda forma es la forma común de llamar a las com- ponentes del tensor tensión en ingeniería. 1.2 Primer tensor tensión de Piola- Kirchhoff Los tensores de Piola-Kirchhoff TR se introducen para evitar la dificultad de tener que trabajar con un tensor definido sobre la geometría ya deformada (que normal- mente no es conocida de antemano). La relación entre ambos tensores viene dada por: T R (x)= det(∇F )T C (x)(∇F ) -T Donde F es el tensor gradiente de deformación. Este ten- sor sin embargo, tiene el problema de que no es simétrico (ver segundo tensor tensión de Piola-Kirchhoff). 1.3 Segundo tensor tensión de Piola- Kirchhoff Este tensor se introduce para lograr un tensor definido sobre la geometría previa a la deformación y que ade- 1
-
Upload
emmanuel-loayza-arias -
Category
Documents
-
view
240 -
download
0
description
a
Transcript of Tensor Tensión
-
Tensor tensin
Componentes del tensor tensin en un punto P de un slido de-formable.
En mecnica de medios continuos, el tensor tensin,tambin llamado tensor de tensiones o tensor de es-fuerzos, es el tensor que da cuenta de la distribucin detensiones y esfuerzos internos en el medio continuo.
1 Tipos de tensor tensin
1.1 Tensor tensin de Cauchy
Representacin grca de las componentes del tensor tensin enuna base ortogonal.
El teorema de Cauchy sobre las tensiones de un cuerpo,establece que dada una distribucin de tensiones internassobre la geometra de un medio continuo deformado,que satisfaga las condiciones del principio de Cauchyexiste un campo tensorial T simtrico denido sobre lageometra deformada con las siguientes propiedades:
1. . t(x; n) = [TC(x)](n);2. .r TC(x) + f(x) = 0;
3. . TC(x) = TTC (x)
La tercera propiedad signica que este tensor vendr da-do sobre las coordenadas especicadas por una matriz si-mtrica. Cabe sealar que en un problema mecnico apriori es difcil conocer el tensor tensin de Cauchy yaque este est denido sobre la geometra del cuerpo unavez deformado, y sta no es conocida de antemano. Portanto previamente es necesario encontrar la forma defor-mada para conocer exactamente el tensor de Cauchy. Sinembargo, cuando las deformaciones son pequeas, en in-geniera y aplicaciones prcticas se emplea este tensoraunque denido sobre las coordenadas del cuerpo sin de-formar (lo cual no conduce a errores de clculo excesivo sitodas las deformaciones mximas son inferiores a 0,01).Fijado un sistema de referencia ortogonal, el tensortensin de Cauchy viene dado por una matriz simtrica,cuyas componentes son:
[TC ]xyz =
2411 12 1321 22 2331 32 33
35 =24xx xy xzyx yy yzzx zy zz
35 =24x xy xzyx y yzzx zy z
35La segunda forma es la forma comn de llamar a las com-ponentes del tensor tensin en ingeniera.
1.2 Primer tensor tensin de Piola-Kirchho
Los tensores de Piola-Kirchho TR se introducen paraevitar la dicultad de tener que trabajar con un tensordenido sobre la geometra ya deformada (que normal-mente no es conocida de antemano). La relacin entreambos tensores viene dada por:
TR(x) = det(rF )TC(x)(rF )T
Donde F es el tensor gradiente de deformacin. Este ten-sor sin embargo, tiene el problema de que no es simtrico(ver segundo tensor tensin de Piola-Kirchho).
1.3 Segundo tensor tensin de Piola-Kirchho
Este tensor se introduce para lograr un tensor denidosobre la geometra previa a la deformacin y que ade-
1
-
2 3 REFERENCIAS
ms sea simtrico, a diferencia del primer tensor de Piola-Kirchho que no tiene por qu ser simtrico. El segundotensor tensin de Piola-Kirchho viene dado por:
R(x) =det(rF )((rF )1)TC(x)(rF )T ;
2 Vase tambin Mecnica de medios continuos Elasticidad (mecnica de slidos) Teorema de Rivlin-Ericksen Tensor deformacin
3 Referencias
3.1 Bibliografa R. J. Atkin & N. Fox: An Introduction to the
Theory of Elasticity, ed. Dover, ISBN 0-486-44241-1, 1980.
-
34 Text and image sources, contributors, and licenses4.1 Text
Tensor tensin Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Tensor%20tensi%C3%B3n?oldid=72704781 Colaboradores: BOT-Superzerocool,Echani, CEM-bot, Davius, Segedano, Mercenario97, Gullo, VolkovBot, Urdangaray, Muro Bot, Feministo, Numen17, Raulshc, Diegusjai-mes, 19jp87, Nixn, A455bcd9, Allforrous, Erupli, MerlIwBot, Addbot y Annimos: 6
4.2 Images Archivo:Stress_in_a_continuum.svg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d5/Stress_in_a_continuum.svg Licen-
cia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Sanpaz Archivo:Tenseur_des_contraintes_generalise.png Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e8/Tenseur_des_
contraintes_generalise.png Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: ? Artista original: ?
4.3 Content license Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0
Tipos de tensor tensin Tensor tensin de Cauchy Primer tensor tensin de Piola-Kirchhoff Segundo tensor tensin de Piola-Kirchhoff
Vase tambin Referencias Bibliografa
Text and image sources, contributors, and licensesTextImagesContent license
