Microsoft Word - Tema 3 - Corriente elctrica 2008

UNIDAD III: CORRIENTE ELECTRICA Y CIRCUITOS ELCTRICOS

Desplazamiento de cargas elctricas. Intensidad y densidad de corriente. Unidades. Resistencia y resistividad. Ley de OHM. Variacin de la resistividad con la temperatura. Superconductividad. Energa en un circuito elctrico. Ley de JOULE. Generadores de energa elctrica. Fuerza electromotriz. Unidades. Clculos de corrientes y diferencias de potencial. Leyes de KIRCHOFF. Diferencias de potencial en los terminales de un generador y de un motor. Resistencias en serie y paralelo. Anlisis del circuito RC. Carga y descarga de capacitores.IndiceIntroduccin.........................................................................................................................................2

Velocidad de arrastre. .........................................................................................................................5

Densidad de corriente elctrica. .........................................................................................................6

Resistencia, resistividad y conductividad............................................................................................8

Dependencia de la resistividad de los metales con la temperatura. ................................................11

Ley de OHM ......................................................................................................................................13

Resistividad - Comportamiento de los tomos ................................................................................. 14

Conduccin en semiconductores ......................................................................................................18

Semiconductores tipo-n y tipo-p. ..................................................................................................19

Intercambios de energa en un circuito elctrico ..............................................................................21

Fuerza Electromotriz .........................................................................................................................23

Calculo de la corriente en un circuito ................................................................................................26

Algunos circuitos simples..................................................................................................................27

Diferencias de potencial....................................................................................................................28

Resistencia equivalente - Resistencia en serie y en paralelo........................................................... 29

Resistencia equivalente de un conjunto de resistencias en serie ...............................................29

Resistencia equivalente de un conjunto de resistencias en paralelo ...........................................31

Ejemplo de resolucin de circuitos aplicando la Ley de Ohm ......................................................32

Redes elctricas Leyes de Kirchhoff ..............................................................................................34

La regla de los nodos o primera Ley de Kirchhoff ........................................................................ 35

La regla de las mallas o segunda Ley de Kirchhoff...................................................................... 35

Resolucin de circuitos mediante la aplicacin de las Leyes de Kirchhoff ..................................36

Ejemplo de resolucin de circuitos ...............................................................................................36

Circuitos RC Caga y descarga del condensador ........................................................................... 38

Introduccin

Hasta ahora hemos tratado principalmente la electrosttica, es decir los efectos de cargas estacionarias. Comenzaremos ahora a considerar el movimiento de los portadores de

carga, la conduccin elctrica. Ya vimos que el campo elctrico es nulo en el interior de unrconductor,

E = 0 , sin embargo, si mantenemos un campo elctrico distinto de cero en unconductor, por ejemplo conectndolo a una batera o una fuente, los portadores de carga del conductor se movern, y se establecer una corriente elctrica. Veremos los efectos de corrientes estacionarias e investigaremos modelos que nos ayuden a comprender la conduccin elctrica en la materia.Un conductor es un material en el cual algunas de las partculas cargadas se pueden mover libremente, estas partculas son los portadores de carga del conductor. Por ejemplo si pensamos en un metal como una estructura de iones positivos localizados en posiciones de red fijas, y entre stos se distribuyen los electrones libres. La carga del conjunto de los electrones libres es igual y opuesta a la carga del conjunto de los iones, resultando un material neutro.Los electrones de un metal pueden moverse entre la red de iones, y constituyen los portadores de carga de un metal.

Los electrones libres en un conductor metlico aislado, tal como trozo de alambre de cobre, se encuentran en movimiento irregular como las molculas de un gas encerrado en unrecipiente. No tienen ninguna direccin de movimiento definida a lo largo del alambre. Si hace pasar un plano hipottico a travs del alambre, la rapidez con la cual pasan electrones a travs de l de derecha a izquierda, es misma que la rapidez con la cual pasan de izquierda a

derecha; rapidez neta es cero. Si los extremos del alambre se conectan a una batera, se establecercampo elctrico E

en todos los puntos dentro del alambre.rEste campo Er

actuar sobre los electrones y les dar un movimiento resultanteen la direccin de

E .Decimos que se ha establecido una corriente elctrica ,si pasa una carga neta q por una seccin transversal cualquiera del conductor en el tiempo t , la corriente, supuestaconstante, es:i = q t

La unidad en el sistema internacional ser el Amper, definido como[i] = [q] = [coul] = [Amp][t ]

[seg ]

, se le ha dado el nombre de amperio en honor a AndrMarie Ampre (1775-1836).

Si la velocidad de flujo de carga no es constante al transcurrir tiempo, la corriente vara

con el tiempo y estar dada por:i = dq dt

, en los primeros anlisis consideraremos corrientes constantes.

La corriente i es la misma para todas las secciones transversales de un conductor,aun cuando el rea de la seccin transversal ser distinta en diferentes puntos. De la misma manera, la velocidad con la cual el agua (supuesta incompresible) fluye a travs una seccin transversal cualquiera de un tubo, es la misma aun cuando cambie la seccin El agua fluye ms aprisa en donde el tubo es de menor seccin y ms lentamente en donde su seccin es mayor, tal manera que el caudal, medido por ejemplo en litros / minuto cambia. Esta constancia de la corriente elctrica se deduce del hecho de que la carga debe conservarse; bajo las condiciones de rgimen estable supuestas, ni se acumula continuamente en ningn punto conductor ni se pierde continuamente en ningn punto. Usando expresiones ya vistas no hay "fuentes" ni "sumideros" de carga

La existencia de un campo elctrico dentro de un conductor no contradice lo que se explicamos anteriormente, ya que antes considerbamos aislado al conductor y que no se conservaba expresamente una diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera de l..

El campo elctrico que obra sobre los electrones en un conductor no produce una aceleracin neta, debido a los choques entre los electrones y los tomos (en rigor, los iones) que constituyen el conductor. Esta disposicin de los iones, junto con las fuerzas intensas de resorte de origen elctrico,- se llaman la red. El efecto total de estos choques es transformar energa cintica de los electrones que aceleran en energa de vibracin de la red. Los electrones

adquieren una velocidad de arrastre constante media

d , en direccin

r E . Se puedehacer una analoga con una bola que rueda por una escalinata muy larga y no con una bola que cae libre desde la misma altura. En el primer caso, la aceleracin causada por el campo (gravitacional) es contrarrestada efectivamente por los efectos retardadores de los choques con los escalones de tal manera que, condiciones adecuadas, la canica baja por la escalera con una aceracin media cero, esto es, a velocidad media constante.Aun cuando en los metales los portadores de carga son los electrones, en los electrlitos o en los conductores gaseosos los portadores de carga pueden ser tambin iones positivos, negativos o ambos.

La corriente elctrica es una magnitud escalar, y aunque no es vectorial, comnmente se habla de la direccin de una corriente, indicando con esto la direccin en que fluyen los portadores de carga positivos

Se necesita adoptar una convencin para asignar las direcciones de las corrientes porque las cargas de signos opuestos se mueven en direcciones opuestas en un campo dado. Una carga positiva que se mueve en una direccin es equivalente, para casi los efectos externos, a una carga negativa que se mueve en direccin opuesta. Por consiguiente, porsimplicidad y para establecer a uniformidad algebraica, suponemos que todos los portadores de

carga son positivos y dibujamos las flechas de la corriente en el sentido en que se moveran tales cargas. Si los portadores de carga negativos, simplemente se mueven en sentido contrario a lasflecha de la corriente. Hay casos, como en el efecto may, que ya veremos en el cual tiene mucha importancia el signo de los portadores de carga en los efectos externos, en estos a corriente elctrica I es una magnitud escalar, y aunque no es vectorial, comnmente sehabla de la direccin de una corriente, indicando con esto la direccin en que fluyen los portadores de carga positivos por alto la convencin y tomaremos en cuenta la situacinreal. En las figuras vemos los distintos casos que se nos presentanFigura 1Figura 2En la figura 1 se muestran portadores de carga positivos movindose hacia la

derecha, mientras que en la Figura 2 vemos portadores de carga negativos movindose hacia la izquierda. En la Figura 1 los portadores de carga positivos que se mueven hacia la derecha tienden a hacer que la parte derecha del alambre sea ms positiva y la parte izquierda ms negativa. En la Figura 2 los portadores de carga negativos que se mueven hacia la izquierda tienden a hacer que la parte derecha sea ms positiva y la izquierda ms negativa. Es decir que el movimiento de portadores en ambas figuras produce el mismo resultado, y por tanto el sentido de la corriente es en las dos el mismo, hacia la derecha.

La corriente i es una caracterstica de un conductor dado. Es una magnitud escalar, es una cantidad macroscpica, como la masa de un objeto, o la longitud de varilla. Una magnitudmicroscpica relacionada con la anterior la densidad de corrientej

Es un vector y es lacaracterstica de punto dentro de un conductor; no es la caracterstica del conductor en conjunto.

Velocidad de arrastre.Cuando se aplica a un conductor un campo elctrico externo, ste ejerce una fuerza sobre cada uno de los portadores de carga del conductor produciendo su movimiento a travs del material. (Las partculas que no son portadores se desplazan ligeramente, pero continan ligadas en sus posiciones de la red inica.) Si sobre los portadores de carga no actuaran otras fuerzas, un campo elctrico constante producira sobre ellos una aceleracin constante. Sin embargo, los portadores de carga interaccionan con las dems partculas del material, y el efecto combinado de estas interacciones y el campo elctrico aplicado hace que

los portadores se muevan a velocidad constante,

vd , llamada velocidad de arrastre.Veremos ahora la relacin entre la corriente i y el mdulo de la velocidad de arrastre,vd en un alambre de seccin S suponiendo que n es la densidad de portadores decarga en el alambre (nmero de portadores por unidad de volumen) y q la carga de cadaportador.En la figurasuponemos que todos losportadores llevan una velocidad

v, deforma que todos los portadores que hay en el cilindro de longitud de dl pasan a travs

de la superficie S en un tiempo dtEn condiciones de flujo estacionario, estos portadores son reemplazados por los del

siguiente cilindro a la izquierda, de manera que no vara la carga neta en el tramo de alambre.La longitud del cilindr dl ser

dl =

vd dtEl nmero de portadores de carga en el cilindro es

nAdl

= nAv

d dt ,y todos ellos pasan por la superficie S en un tiempo dt , el valor de la carga dQque pasa a travs de la superficie S en un tiempo dt ,esi = dQdQ=

nAdlq

= nAv

d dtq

,comodt

, podemos escribir

i = dQdt

= nAv

d q , o sea

i = nAv d q

,la corriente es proporcional a la velocidad de arrastredDensidad de corriente elctrica.Ya dijimos que una magnitud microscpica relacionada con la corriente elctrica i anterior es ladensidad de corriente

j . Es un vector y es la caracterstica de punto dentro de unconductor; no es la caracterstica del conductor en conjunto.

La corriente elctrica i caracteriza el flujo de carga a travs de la seccin perpendicular total de un conductor. Para describir el flujo de carga en puntos del interior de un conductordebemos usar la densidad de corriente j

. Si la densidad de corriente es uniforme, el modul dela densidad de corriente j es igual a la corriente i dividida por el reaA de la seccin del conductor

j = iA , sustituyendo el valor de

i = nAvd q

obtenido nos queda

j = i =Ar r

nAvd qA

= nvd q

, que podemos expresar en forma vectorial

j = nvd qLa densidad de corriente apunta en la misma direccin qued

para portadores positivos y enrcontra ded

para portadores negativos, y por tanto la direccin dej

coincide con el

sentido de la corriente en el alambre.Si un conductor posee ms de un tipo de portadores de carga, existir una contribucin aj por cada tipo de portadores. Si tuvisemos dos tipos de portadores de carga, a y b , tendramos que escribirrj =

ra da a

rb db b

donde los subndices a y b designan las magnitudes

correspondientes a cada tipo de portadores.rPodemos utilizar la ecuacin anterior para demostrar que las contribuciones aj

debidas aportadores de distinto signo apuntan en la misma direccin. Consideremos la densidad decorriente en una solucin salina en la que los portadores son iones con carga + e y

e .S i el medio es neutro las densidades de ambos tipos de iones son iguales. Tomaremos el ejerx en la direccin del campo,r

E = Ei

, con lo que la velocidad de arrastre esrvd = vd + i

para los iones positivos, y

vd

= vd i

para los iones negativos,donde los mdulos de las velocidades

vd + y

vd

son ambos positivos. Es decir, lavelocidad de arrastre de los iones positivos tiene la direccin del campo, y la velocidad de arrastre de los iones negativos tiene direccin opuesta al campo. La componente x de

rjser:jx =

nevd +

+ n( e)( vd ) =

nevd +

+ nevd rComo ambos factores son positivos las contribuciones de ambos tipos de iones aj

tambinrlo son. Por tanto, el sentido de la corriente i corresponde con la direccin dej

tantopara portadores positivos como negativos. De nuevo vemos que el efecto externo de los portadores de carga es el mismo, independientemente de su signo.

r =La ecuacinj

n vr qj =

es valida para cualquier clase de distribucin de corriente,

imientras que la ecuacinAuniforma.

solo lo es aplicable cuando la densidad de corriente esSi la velocidad de arrastre de los

portadores vara, como se ve en la figura, la densidad de corriente variar en la misma forma

En este caso la corriente i a travs de una superficie dada puede obtenerse mediante la integral

de superficie de la densidad de corriente jr ri =

jdSPor lo tanto podemos decir que la corriente a travs de una superficie es el flujo de la densidad de

corriente a travs de dicha superficie.

Resistencia, resistividad y conductividadSi se aplica la misma diferencia de potencial entre los extremos de una barra de cobre y de una barra de madera se producen corrientes muy diferentes. La caracterstica del conductor que interviene esta diferencia es su resistencia. Definimos la resistencia de un conductor (a menudo llamado una resistencia; smbolo -~) entre dos puntos aplicando una diferencia depotencial V entre puntos, midiendo la corriente i y dividiendo:

R=Vi

las unidades de la

resistencia sern si V esta en volts e i en Amper , entonces la resistencia estar en ohms, cuyo smbolo es , en honor a Georg Simon Ohm (1787-1854).El nombre de resistencia elctrica es apropiado, ya que es una medida de la oposicin queejerce un trozo de material al flujo de carga a travs de l. Si un trozo de un material tiene mayor resistencia, la misma diferencia de potencial producir una corriente menor. En los circuitos se aade a menudo resistencia para limitar o controlar la corriente.El flujo de carga a travs de un conductor se compara a nudo con el flujo de agua a travs de un tubo, el cual se debido a que hay una diferencia de presin entre los extremos tubo, establecida, por ejemplo, con una bomba. Esta diferencia presin se puede comparar con la diferencia de potencial establecida entre los extremos de una resistencia mediante una batera.

El de agua (digamos m3/ seg.) se compara con la corriente ( amp). La rapidez de flujo delagua para una diferencia de dada depende de la naturaleza del tubo. Es largo o corto? Es angosto o ancho? Est vaco o lleno de algo, por ejemplo, grava? Estas caractersticas del tubo son anlogas a la resistencia de un conductor.

Relacionada con la resistencia est la res istividad , que es una caracterstica de unmaterial y no de una muestra especial del material. Para materiales istropos, que son los

materiales cuyas propiedades, elctricas en este caso, no varan con la direccin que se tome enel material, se la define como

= Ej

La resistividad del cobre es de 1.7 X .10-8 Ohm-m; la delcuarzo fundido es aproximadamente de 10' Ohm-m. Pocas propiedades fsicas pueden medirse entre mrgenes tan amplios de valores. En la tabla siguiente vemos una lista de algunos valores para metales comunes.

Resistividada20C ohm-mCoeficientede temperatura DensidadPunto de fusinC

Aluminio2.8x10-83.9x10-32.7659

Plata1.6x10-83.8x10-310.5960

Cobre1.6x10-83.9x10-38.91080

Hierro1.0x10-75.0x10-37.81530

Carbono3.5x10-5-5x10-41.93500

1d , es el coeficiente de temperatura, en esta tabla esta definido como =dTdla fraccin que cambia la resistividad dT

por unidad de cambio de temperatura. Vara con latemperatura, los valores que aqu se consignan son para 20C. Para el cobre = 3.9 X 10-'/C) laresistividad aumenta en 0.39 x 100 para un aumento de temperatura de 1 C cerca de 20C. Ntese que a para el carbn es negativa, o sea, que la resistividad disminuye al aumentar la temperatura.

Considrese un conductor cilndrico de seccin transversal A, longitud l que lleva una corriente constante i. Apliquemos una diferencia de potencial V entre sus extremos. Si las secciones transversales del cilindro son superficies equipotenciales, la intensidad campo elctrico y la densidad de corriente sern constantes en todos, los puntos en el cilindro y tendrn los valores:

La resistividad puede escribirse entonces as:V=E =l =V Aj i i lAVPero i

es la resistencia R, de manera que se obtiene:=V A =R A i l lR=

l aV , i y R son cantidades macroscpicas, que se aplican a un cuerpo a una regin extensa en particular. Las cantidades microscpicas correspondientes son E, j y ; stas tienen sus

valores particulares en cada punto de cuerpo. Las cantidades macroscpicas estnrelacionadas entre s por medio de la ecuacin de la ecuacin V= Ri

y lascantidades microscpicas estn relacionadas , en forma vectorial por

E= jLas cantidades macroscpicas se pueden encontrar por integracin de cantidades microscpicas usando las relaciones ya conocidas:r r b r ri =

jdS

yVab

= a

EdlLa integral en la ecuacin de la corriente es una integral de superficie, que se debe obtener en

una seccin transversal cualquiera del conductor. La integral en la ecuacin de la diferencia de potencial es una integral de lnea que se debe e fectuar siguiendo una lnea arbitraria trazada a lo largo del conductor, uniendo dos superficies equipotenciales cualesquiera, designadas a y b . Para un alambre largo conectado con una batera, la superficie equipotencial a podra escogerse como una seccin transversal del alambre cerca

de la terminal positiva de la batera y b tomarse como una seccin transversal cerca de la terminal negativa.

La resistencia de un conductor entre a y b puede expresarse en trminos microscpicos dividiendo las dos ecuaciones miembro a miembro as:

bVElR= ab =

a

r rij d SSi el conductor es un cilindro largo de seccin transversal A, longitud ly los puntos a y

b estn en sus extremos, la anterior ecuacin de Rse reduce a:R=El jA

=

l a

ya vista

Las cantidades macroscpicas V , i y R son de inters primordial cuando efectuamos mediciones elctricas en objetos conductores reales. Son las cantidades que se leen en losmedidores. Las cantidades microscpicas E, j y son de importancia primordial cuando

nos ocupamos del comportamiento fundamental de la materia, como ocurre ordinariamente

en el campo de la fsica del estado slido. Ms adelante nos ocuparemos apropiadamente del punto de vista atmico de la resistividad de un metal y no de la r esis tenc ia de una muestrade metal. Las cantidades microscpicas son tambin importantes cuando estamos interesados enel comportamiento interior de objetos conductores de forma irregular.Dependencia de la resistividad de los metales con la temperatura.La resistividad de muchos metales puros vara casi linealmente con la temperatura en un amplio rango de valores de sta, c omo se muestra en la figura siguiente para el cobre.

Como generalmente para los metales slo aparece una ligera curvatura en la grfica de frente a T, podemos escribir

0 [1 +

(T

T 0 )]donde es la resistividad a la temperatura T,

0 la resistividad a una temperaturade referencia T0

y es el llamado c oefic ien te trm ico de la res istivida d . Es decir,en un rango limitado de temperaturas podemos aproximar la liger a curvatura de la grfica de frente a T por una recta. Notamos que en la figura la lnea recta dada porla ecuacin anterior es difcilmente distinguible de la curva para temperaturas cercanas a T0 . En la tabla dimos valores de los coeficientes trminos de la resistividad para algunos materiales representativosLa dependencia de la resistividad de los metales con la temperatura altura se aparta c lar ame n te d e la l in ea lid ad a ba jas te mp era tu ras , por deba jo de 2 0 K. E n la s ig uiente figu ra ve mos e l co mp orta mien to tpico e n es te r ang o

A estas bajas temperaturas la resistencia de un metal depende fuertemente de las pequeas cantidades de impurezas que contenga. Realmente en la practica, las medidas de resistividad a bajas temperaturas se usan a menudo o para determinar la cantidad de impurezas que contiene un metal.

En algunos metales aparece un hecho sorprendente cuando son enfriados a muy baja temperatura: su resistencia se anula completamente. Este comportamiento se muestra en la figura siguiente

El fenmeno fue descubierto en 1911 por

H. Kamerlingh Onnes (1853-1926), y se conoce como superconductividad. Hoy da la superconductividad constituye una activa rea de investigacin en fsica, y cada vez es mayor su importancia en ingeniera.

Todas las experiencias llevadas a cabo parecen indicar que la resistencia de los materiales

en el estado superconductor es realmente cero; una vez que se establecen corrientes en un circuito superconductor cerrado, persisten sin disminuir durante muchas semanas, aun cuando no haya batera en el circuito. Si la temperatura se eleva ligeramente sobre el punto superconductor, las corrientes se anulan inmediatamente.

Ley de OHMPara muchos conductores, la corriente a travs de un trozo del conductor es directamente proporcional a la diferencia de potencial aplicada entre los extremos del mismo, de forma que su resistencia es independiente de V (o de i). As por ejemplo, si se duplica la diferencia de potencial entre los extremos de un conductor, la corriente tambin se duplicar. En este caso podemos escribirV = RiEl nombre de Ley de Ohm esta ecuacin es posiblemente algo errneo porque el rango de validez de esta ecuacin est en ocasiones demasiado limitado como para garantizarlo

utilizando la palabra ley. No se trata de un hecho fundamental en la naturaleza, como por ejemplo lo es la ley de Coulomb. Por el contrario se trata de una expresin emprica que describe con precisin el comportamiento de muchos materiales en el rango de valores de

V tpicamente utilizados en los circuitos elctricos. En estas circunstancias la ley de Ohm resulta muy til.

Los materiales que cumplen la ley de Ohm se denominan hmicos, y los que no la cumplen

no-hmicos. Un conductor hmico se caracteriza por tener un nico valor de su resistencia.La grafica, de V con respecto a i, es una recta, de forma que la pendiente en todos los p de la grfica es la misma, y corresponde a R .

Un conductor no-hmico no posee un valor nico de resistencia, y su grfica de V frente a i no es una lnea rectaResistividad - Comportamiento de los tomosPodemos entender por qu los metales obedecen la ley de Ohm fundndonos en las ideas clsicas sencillas. Si se modifican estas ideas cuando sea necesario de acuerdo con los requisitos de la cuntica, es posible dar un paso ms y calcular los valores de la resistividad

para diversos metales. Estos clculos no son sencillos, pero cuando se han efectuado, los resultados ordinarios coinciden con los valores experimentales de .

En un metal, los electrones de valencia no estn ligados tomos individuales sino que tiene libertad para moverse dentro la red y se llaman electrones de conduccin. En el cobre hay uno de estos electrones por cada tomo, los veintiocho restantes estn ligados ncleos de cobre formando corazones inicos.

La distribucin de velocidades de los electrones de conduccin slo se puede describir correctamente aplicando la fsica cuntica. Sin embargo, para nuestras finalidades basta considerar solamente una velocidad media v definida en forma conveniente; para el cobre

v es igual a 1.6x108 cm / seg. En ausencia de un campo electrnico, las direcciones en que se mueven los electrones estn completamente azar, como las de las molculas de un gas confinado en un depsito.

Los electrones chocan constantemente con los corazones inicos del conductor, esto es, interactan con la red, sufriendo a menudo cambios repentinos en la rapidez y direccin. Estos choques concuerdan a los choques de las molculas de un gas confinado en depsito. Lo mismo que en el caso de los choques moleculares describir los choques del electrn con la red medianteun recorrido libre medio , siendo la distancia media que recorre un electrn entrechoques consecutivos, se puede demostrar que los choques entre electrones ocurren muy

pocas veces y tienen poco efecto en la resistividad.En un cristal metlico ideal a 0 K no ocurriran choques electrn-red segn pronostica la fsicacuntica, esto es,

, cuando T 00 K en los cristales ideales. Los choques ocurrenen los cristales ideales por las siguientes causas

(a) los corazones jnicos a cualquier temperatura Testn vibrando en torno de sus posiciones de equilibrio en una forma desordenada.

(b) pueden existir impurezas, esto es, tomos extraos.(c) los cristales pueden contener imperfecciones en la red, tales como filas de tomos faltantes y tomos desalineados.En vista de lo anterior, no es sorprendente que la resistividad de un metal se pueda aumentar de las siguientes maneras:

(a) elevando su temperatura,

(b) agregando pequeas cantidades de impurezas,

(c) sometindolo a esfuerzos severos, por ejemplo, estirndolo a travs de una hilera, para aumentar el nmero de imperfecciones de la red.

Cuando se aplica un campo elctrico a un metal, los electrones modifican su movimiento irregular de tal manera que son arrastrados lentamente en direccin opuesta a la del campo,con una velocidad media de arrastre

vd . Esta velocidad de arrastre es mucho menor quela velocidad efectiva media v mencionada anteriormente.

La figura sugiere la relacin entre estas dos velocidades. La lnea llena es una trayectoriairregular posible seguida un electrn cuando no se aplica un campo; el electrn avanza dey, aefectuando seis choques en el camino.Las lneas interrumpidas muestran cmo hubiera podido ocurrir el mismo fenmeno si se

hubiese aplicado un campo elctricoE. Notamos que el electrn es arrastradoconstantemente hacia la derecha, terminando en

y no.Se puede calcular la velocidad de arrastredr

de los electrones en del campo elctrico aplicadoE y de

vd y . Cuando se aplica campo a un electrn que est inicialmente en reposo,rrexperimenta fuerza F =Eley de Newton:

que le comunica una aceleracin a dada por la segundaa= eEmConsideremos a un electrn que ha chocado precisamente contra un corazn ion. El choque,en general, destruir momentneamente tendencia del arrastre y el electrn tendr una verdadera direccin desordenada despus de este choque. Al siguiente choque, la velocidad del electrn habr cambiado a:

v d=

=

= v

, siendo v

su tiempo medio entre choquesEl movimiento del electrn a travs del conductor es anlogo a la velocidad constante con que

cae una piedra en el agua. Contra la fuerza gravitacional sobre la piedra se opone una fuerza resistente viscosa que es proporcional a la velocidad. As pues, la velocidad final de la piedra es constante.

Podemos expresar a v d

en funcin de la densidad de corrientej y combinarla con la

ecuacin anterior, obtenemos:v=j

=eE

E =jm vdne

m v,de donde

ne 2 =Ey como sabemos quej

llegamos a:=E=1

jm v=m vjj ne 2

ne 2 Esta ecuacin se puede considerar como la afirmacin de que los metales obedecen la ley de Ohm si es que podemos demostrar que v y no dependen del campo elctrico aplicado E . En tal caso, no depender de E , lo cual es el criterio para saber si unmaterial obedece la ley de Ohm. Las cantidades v y dependen de la distribucin develocidades de los electrones de conduccin. Vemos que esta distribucin queda afectada sloligeramente al aplicar un campo elctrico aun cuando sea relativamente grande, puesto que v8es del orden de10 2

10cm / seg., mientras que

v d es solamente es del orden de10cm / seg., dando una relacin del orden de

10.Podemos estar seguros de que cualesquiera que sean valores de v y (por ejemplo parael cobre a 20C) cuando no hay un campo elctrico, se conservan casi sin cambio cuando se aplica un campo elctrico. As pues, nuestra ecuacin de es independiente del campo

elctrico Ey el material obedece la ley de Ohm. El clculo numrico de a partir de esta ecuacin se complica por la dificultad de calcular a , si bien se ha efectuado este clculo en

un buen numero de casosConduccin en semiconductoresAnteriormente habamos dividido los materiales en dos clases dependiendo de su conductividad elctrica: conductores y aislantes. Existe un tercer tipo, los semiconductores, cuya conductividad es intermedia entre la de los conductores y la de los aislantes. Los semiconductores juegan un papel esencial en la tecnologa moderna. Son los materiales usados para fabricar dispositivos electrnicos como diodos, transistores y circuitos integrados.. Pues bien, la densidad de portadores es el factor clave para controlar la conductividad de un semiconductor.Cond uccin e n semic onduc tores puros . Los semiconductores estn formados por elementos de las columnas centrales de la tabla peridica, entre los que el silicio es el ms comn. Estudiaremos el silicio como nuestro semiconductor representativo.

El silicio (Z

= 14)

tiene una valencia 4, y cuando los tomos de este elemento se juntanformando un slido, cada uno tiene cuatro vecinos ms prximos. En siguiente figura mostramos una representacin en dos dimensiones de la red cristalina tridimensional del silicio;

cada tomo aparece comoun ion de carga

+ 4eacompaado de cuatro electrones de valencia.En el silicio puro casi todos estos electrones estn ligados a sus respectivos iones a temperatura ambiente, pero las fluctuaciones de energa trmica hacen que algunos de ellos se encuentren libres. Es decir, una pequea fraccin de los tomos de silicio est trmicamente12ionizada. ( A temperatura ambiente, aproximadamente un tomo de cada

10 se encuentraionizado, es decir una fraccin muy pequea.) Los electrones liberados trmicamente sern portadores de carga negativos.

Adems de los electrones libres, los semiconductores tienen portadores de carga positivos. En la figura anterior vemos que si un electrn se libera de su sitio en el slido, deja atrs unaposicin donde falta un electrn. Esta falta de electrn se llama hueco, y un campo elctrico

aplicado puede hacer que un hueco se mueva a travs del slido en la direccin del campo. De esta forma un hueco es un portador de carga positivo.Un hueco movindose en un semiconductor, debido a un campo elctrico aplicado, es similar a una burbuja movindose hacia arriba desde e el fondo de una piscina debido al campo gravitatorio de la tierra; la burbuja sube a travs del agua, aunque realmente el agua estcayendo conforme la burbuja sube. En lugar de hablar del agua cayendo resulta ms apropiado hablar de la burbuja subiendo, pensamos en termino de la falta de agua (laburbuja) en ve; considerar el agua subiendo.Semiconductores tipo-n y tipo-p.

En el caso anterior el nmero de portadores del silicio era muy bajo en comparacin con, el de los metales. En un metal hay aproximadamente un portador por tomo, ya vimos que en el silicio a

12temperatura ambiente hay aproximadamente uno por cada

10 tomos. En consecuencia, la11resistividad del silicio a temperatura ambiente es del orden de 10 veces mayor que la de losmetales. Sin embargo, la densidad de portadores en un semiconductor puede aumentarse considerablemente introduciendo ciertas impurezas en el material. Consideremos el efecto de la

incorporacin de tomos de fsforo en silicio. El fsforo (Z

= 15)

tiene cinco electrones devalencia, uno ms que el silicio. Si se introduce una pequea cantidad de fsforo en el silicioslido, algunos lugares normalmente ocupados por los iones silicio (con carga

+ 4e ) sern ahoraocupados por iones fsforo (con carga

+ 5e ), como se muestra en la siguiente figura

Cuatro de los cinco electrones de valencia de cada tomo de fsforo estarn ligados al ion de

fsforo (en la misma disposicin de los electrones alrededor de los iones de silicio), y el electrn restante est siempre prcticamente libre a temperatura ambiente. Por tanto esencialmente cada tomo de la impureza de fsforo cede un portador de carga negativo, electrn libre al material.

Consideremos ahora el efecto de impurezas de aluminio en silicio. El aluminio (Z

= 13)

tienetres electrones de valencia, uno menos que el silicio. Si se introduce una pequea cantidad de aluminio en silicio slido, algunos lugares normalmente ocupados por iones silicio pasarn a estar

ocupados por iones aluminio (con carga

+ 3e ), como se muestra en la figura

A temperatura ambiente el hueco, formado por la falta de un electrn de valencia en el aluminio,

est prcticamente siempre libre, de forma que casi todos los iones aluminio tienen cuatro electrones a su alrededor, como los de silicio.

A temperatura ambiente el hueco, formado por la falta de un electrn de valencia en el aluminio, est prcticamente siempre libre, de forma que casi todos los iones aluminio tienen cuatro electrones a su alrededor, como los de silicio. El tomo de aluminio acepta un electrn del material, y ahora el material tiene un portador de carga en forma de hueco. Esencialmente cada tomo de aluminio produce un hueco en el material.

Cuando se introduce a propsito una impureza en un material que era puro se dice que el material est dopado. Por ejemplo, cuando se introduce fsforo en silicio puro, el material resultante es silicio dopado-con fsforo. Como hemos visto, el silicio dopado con fsforo contiene un exceso de portadores de carga negativos. Este tipo de material se denomina semiconductor tipo n; refirindonos a la carga negativa de los portadores, en este caso electrones. El silicio dopado con aluminio es un semiconductor tipo p; o sea a la carga positiva de los portadores, los huecos.

Para calificar un semiconductor corno tipo n o tipo p, la concentracin debe ser suficientemente alta como para que la densidad de electrones libres o huecos debe ser mucho mayor que la densidad de portadores en el material puro.

Intercambios de energa en un circuito elctricoLa figura muestra un circuito que consiste en una batera conectada con una caja cerrada, es decir no sabemos y para este primer anlisis no importa que hay adentro, sino solo su comportamiento al relacionarla con el exterior . Por los alambres de conexin pasa una corriente i constante y

existe una diferencia de potencial constante

Vab

entre las terminales a y b . La caja podracontener una resistencia, un motor o un acumulador, entre otras cosas.La terminal a , conectada con el borne positivo de la batera est a mayor potencial que la terminal b . Si se mueve una carga dq de a a

b , esta carga disminuir su energa potencialelctrica en una cantidad

dq *VabEl principio de conservacin de la energa nos dice que esta energa se transforma dentro de

la caja, de energa potencial elctrica a alguna otra forma Qu cosa ser esa otra forma? Ello depende del contenido de la caja. Entonces en un tiempo dt la energa dU transformada dentro de la caja es:

dU=

dqV ab

= idtV abEncontramos la rapidez de transmisin de energa P dividiendo entre el tiempo, o sea,dUP ==dt

iV abSi el artefacto que est dentro de la caja es un motor, la ener ga aparece casi toda comotrabajo mecnico hecho por el motor; si artefacto es un acumulador que se est cargando, la energa aparece casi toda como energa qumica almacenada en esa segunda batera.

Si el artefacto es una resistencia, aseguramos que la energa aparece como calor en la resistencia. Para darse cuenta de ello, consideremos una piedra de masa m que cae desde unaaltura h . Disminuye su energa potencial gravitacional en una cantidad mgh . Si la piedra cae en el vaco, o bien -para muchos fines prcticos el aire, esta energa se transforma en energa cintica de la piedra. Pero si la piedra cae en el agua, su velocidad al cabo de cierto 'tiempo se hace constante, lo cual significa que la energa cintica ya no aumenta. La

energa potencial de que continuamente se dispone conforme cae la piedra aparece entoncescomo energa trmica en la piedra y en el agua circundante. Es la fuerza viscosa de arrastre del agua, semejante a la friccin y que obra en la superficie de la piedra, la que evita que sta acelere, y es en esta superficie en donde aparece la energ a trmica.El paso de los electrones a travs de la resistencia es muy semejante al de la piedra atravs del agua. Los electrones avanzan con una velocidad constante de arrastre vd ypor consiguiente no ganan energa cintica. La energa potencial elctrica que pierden se transmite a la resistencia como calor. En una escala microscpica esto puede interpretarse considerando que los choques de los electrones con la red aumentan la amplitud de ls vibraciones trmicas de la red, en una escala macroscpica esto corresponde a un aumento de temperatura. Este efecto, que es te rmodinmicamente irreversible, se llama calentamiento por efecto Joule.Para una resistencia tenemos:P= Vi

, pero de la ley de Ohm tenemos que V=

Ri combinando ambasexpresiones podemos escribir:P=VP=Ri 2Tengamos presente que mientras que

P= Vi

se aplica a la transmisin de energa22P = Velctrica de todas las clases; las ecuaciones

P = RiyR

se aplican solamentea la transformacin de energa elctrica en energa calrificaa en una resistencia, estas son las que se conocen como de Joule. Esta ley es en definitiva una manera particular de escribir el principio de la conservacin de la energa para el caso especial en el cual energa elctrica se transforma en energa calorfica.La unidad de potencia la podemos deducir de:

joule

coul[P ] =

[V ][i ] =

[volt

][amp

] =

coul

seg =[P ] =

jouleseg

[watt]Fuerza ElectromotrizPara que en un circuito elctrico exista una corriente continua, el circuito debe contener un componente que acte como fuente de energa elctrica. Estos componentes se llaman fuentes de fuerza electromotriz, abreviado fem. Una fuente de fuerza electromotriz proporciona a los portadores de carga la energa elctrica necesaria para que realicen su trayecto a travs del circuito.En nuestro estudio captulo no nos ocuparemos de cmo estn construidos o de los detalles de su funcionamiento, sino que nos dedicaremos a describir sus caractersticas elctricas y a explorar su utilidad en circuitos elctricos.La batera produce esa corriente estable al mantener una diferencia de potencial aproximadamente constante entre sus terminales. El terminal que est a mayor potencial se denomina terminal positivo, y el terminal que est a menor potencial se denomina terminal negativo. Por tanto, el sentido de la corriente fuera de la batera (a travs de la resistencia) va desde el terminal positivo al terminal negativo, y el sentido de la corriente en el interior de la batera va del terminal negativohacia el positivo. Dos importantes magnitudes que caracterizan una batera son su fem

y. suresistencia interna r. Muchas veces para los clculos el valor de la resistencia interna restan pequeo que se lo puede despreciar.La figura siguiente muestra una fuente de fem

, representada por una batera y la cual vaconectada a una resistencia R .La fuente de fem conserva la terminal superior positiva y la terminal inferior negativa, como se representa con los signos + y - .

En el circuito exterior a la fem los portadores positivos de carga se moveran en la direccin quemuestran las flechas representadas por i. En otras palabras, se producira una corriente en el sentido de las manecillas del reloj.Una fuente de fem debe ser capaz de hacer trabajo sobre portadores de carga que penetren a ella.En el circuito anterior, el efecto de la fuente es mover las cargas pos de un punto de bajo potencial, la terminal negativa, a travs fuente a un punto de elevado potencial, la terminal positiva. Realiza un trabajo similar al de una bomba mediante la cual el agua se puede subir un lugar de bajo potencial a otro de elevado potencial.dqEn la circuito pasa carga

en un tiempo dt , esta carga entra a la fuente fem en su extremode bajo potencial y sale de ella en su extremo de elevado potencial. La fuente debe hacer una cantidad debajo dW sobre los portadores de carga (positiva) para forzarlos que vayan al puntode, mayor potencial. La fem

, de la fuente define as:=dWdq

Si una fuente de fem hace trabajo sobre un portador de carga, debe haber unatransmisin de energa dentro de la fuente. Por ejemplo, en una batera se transforma energa qumica en elctrica. Podemos describir una fuente de fem como un dispositivo en el cual se transforma, en forma reversible, energa qumica, mecnica o de otra forma, en energa elctrica. La energa qumica proporcionada por la batera en el circuito anterior se almacena en los campos elctricos y magnticos que rodean al circuito. Esta energa almacenada no aumenta porque se est gastando al transformarse en calor por el efecto Joule en la resistencia con la misma rapidez con que es abastecida. Los campos elctrico y magntico juegan el papel de intermediarios en el proceso de transmisin de energa, funcionando como depsitos de almacenamiento.El dibujo siguiente un smil gravitacional del circuito, en el mismo, la fuente de fem hace trabajo so- bre los portadores de carga. Esta energa, almacenada temporalmente como energa de campo electromagntico, aparece al fin de cuentas como calentamiento por el efecto Joule en la resistencia R .

El hombre, al levantar las bolas de boliche del piso al anaquel, hace trabajo sobre ellas. Esta energa queda almacenada temporalmente como energaen el campo gravitacionalLas bolas ruedan lentamente por el anaquel, cayendo por el extremo derecho a un cilindro lleno de aceite viscoso. Se hunden hasta el fondo a velocidad constante, y son extradas mediante un mecanismo adecuado que no se muestra en la figura. Despus van rodando por el piso hacia la izquierda. La energa que proporciona la persona al sistema aparece al fin de cuentas como caloren el fluido viscoso. La energa que proporciona la persona viene de su propia energa interna,qumica.La circulacin de las cargas en el circuito, se suspender a la larga si la batera no carga, la circulacin de las bolas de boliche en el dibujo se suspender a la larga si la persona no recupera con alimentos su provisin de energa interna.La figura muestra un circuito que contiene dos bateras, ideales A y B, una resistencia R y un motorelctrico ideal que opera levantando un peso.

Las bateras se conectan de tal manera que tienden a mandar cargas por el circuito en direcciones opuestas; la direccin definitiva de la corriente queda determinada por B, que proporciona la mayor diferencia de potencial.La energa qumica en B se est consumiendo continuamente, apareciendo la energa en las tres

formas mostradas a la derecha. La batera A se est "cargando" mientras que la batera B se est descargando. Nuevamente, los campos elctrico y magntico que rodean al circuito obran como intermediarios. Las transformaciones de energa en este circuito son:T ra bajoprodu c ido en lar e siste n c iaEn e r g a qu m ic ato m ada de B

E n er g a d e cam p oe lctr ic a ym a gne ticaal m a c e n ada

En e r g a qu m ic aalm a cen ada en AT r ab ajohe c h o po r el mo to rCalculo de la corriente en un circuitoEn un tiempo dt aparecer una cantidad de energa dada por la expresin:dW = i 2 Rdt

en la resistencia del circuito anterior como calor por el efecto Joule. Durante esemismo tiempo se habr movido una carga

dq =

idt

a travs de la fuente de fem, y stahabr hecho un trabajo sobre esa carga dado por la siguiente expresindW = dq = idtDe acuerdo con el principio de la conservacin de la energa, el trabajo hecho por la fuente debeser igual al calor generado por el efecto Joule, o sea,dW = idt

= i 2 RdtDespejando la corriente tenemos

idt = i 2 Rdt i = i 2 R

= iR i = RTambin podemos derivar esta ecuacin considerando que, para que el potencial elctrico tenga unverdadero significado, es preciso que un punto dado no pueda tener ms que un solo valor del potencial en un momento dado. Si comenzamos en un punto cualquiera del circuito de la figura, e imaginariamente seguimos todo el circuito el una direccin cualquiera, sumando algebraicamente los cambios de potencial encontrados, debemos llegar al mismo potencial cuando regresemos al punto de partida. En otras palabras, la suma algebraica de los cambios de potencial que se encuentren al recorrer el circuito completo, debe ser cero.VComencemos en un punto a cuyo potencial esa

y recorramos el circuito en sentido de lasmanecillas del reloj. Al pasar por la resistencia hay un cambio de potencial de valor

iR . Elsigno menos indica que la parte superior de la resistencia tiene un potencial mayor que la parte inferior, lo cual debe ser cierta porque los portadores de carga positiva se mueven por s mismos del potencial alto al potencial bajo. Al atravesar el acumulador de abajo. hacia arriba hay un

+ aumento de potencial de valor

debido a que la batera hace trabajo (positivo) sobre los

portadores de carga, lo que quiere decir que los mueve de un punto de bajo potencial a un punto deVpotencial elevado. Aadiendo la suma algebraica de los cambios de potencial al potenciala

debeVobtenerse el mismo valora

, o sea:V a iR +

= V a

, que lo podemos expresar iR + = 0VExpresin esta que no depende del valor dea

y que expresa explcitamente que la sumaalgebraica de los cambios de potencial al recorrer un circuito completo es cero.Estas dos maneras de encontrar la corriente en circuitos simples, basadas en la conservacin de la energa y en el concepto de potencial son completamente equivalentes porque las diferencias de potencial se definen en funcin del trabajo y energa.Si bien lo volveremos a ver ms adelante, el enunciado de que la suma de los cambios de potencial que se encuentran al seguir un circuito completo es cero se llama segunda ley de Kirchhoff; o tambin teorema de la trayectoria o de las mallas. Siempre debe tenerse presente que esteteorema es simplemente una manera particular de enunciar el principio de la conservacin de la energa en circuitos elctricos.Veamos las reglas para encontrar las diferencias de potencial en cualquier circuito; estas reglas se deducen del anlisis anterior.1. Si se recorre una resistencia en el sentido de la corriente, el cambio de potencial es iR

; en el sentido contrario es

+ iR .2. Si se atraviesa una fuente de fem en el sentido de la fem, el cambio de potencial es+ ; en el sentido contrario es Algunos circuitos simplesEn el circuito siguiente se pone de manifiesto que todas las fuentes de fem tienen una resistencia interna r intrnseca. Esta resistencia no se puede eliminar, aun cuando desde el punto de vista de las energas sera mejor hacerlo, porque es una parte inherente del aparato. La figura muestra la resistencia interior r y la fem separadas, aun cuando, en realidad, ocupan la misma regin del espacio.

Si aplicamos la ley de las mallas, comenzando en el punto a y dando la vuelta en el sentido de las manecillas del reloj, obtenemos:V b +

ir

iR

= V bo sea,

+ ir

iR = 0despejando la corriente i se obtienei =r + RDiferencias de potencialVeamos como calcular la diferencia de potencial entre dos puntos en un circuito. En el circuito siguiente calculamos la entre la diferencia de potencial entre los puntos a y b , es decirV ab

= V a

V bcr1

ar2b1 2iRPara encontrar esta relacin comencemos en el punto b y sigamos el circuito hasta el punto a ,pasando a travs de la resistencia R contra la corriente. Si V ben los puntos b y a , respectivamente, tenemos:

y V a

Va son los potencialesV b Ri

r1 i + 1

= V a

de dondeV ab

= V a

V b

= Ri

r1 i + 1Resumiendo podemos decir: Para encontrar la diferencia de potencial entre dos puntoscualesquiera en un circuito se comienza en un punto cualquiera y se recorre el circuito hasta llegar al otro punto, siguiendo cualquier trayectoria y se suman algebraicamente los cambios de potencial que se encuentren. Esta suma algebraica ser la diferencia de potencial. Este procedimiento es similar al que sirve para encontrar la corriente en un circuito cerrado, salvo que en este caso las diferencias de potencial se agregan en una parte del circuito y no en todo el circuito.La diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera no puede tener ms que un solo valor; as pues, debemos obtener el mismo resultado para todas las trayectorias que conecten estos puntosResistencia equivalente - Resistencia en serie y en paraleloLos circuitos elctricos contienen generalmente combinaciones de resistencias. El concepto de resistencia equivalente de una combinacin de resistencias es til para calcular la corriente que pasa por las diferentes ramas de un circuito. La resistencia equivalente de una combinacin de resistencias es el valor de una nica resistencia que reemplazada por la combinacin produce el mismo efecto externo. Para producir el mismo efecto externo que la combinacin, la resistencia nica debe transportar la misma corriente que la combinacin cuando la diferencia de potencial entre sus extremos sea igual que en sta.Es decir,

V R eq =i

, donde R eq

es el valor de la resistencia equivalente a lacombinacin, Vla diferencia de potencial entre los extremos de la combinacin, e i la corriente que fluye a travs de la combinacin.Resistencia equivalente de un conjunto de resistencias en serieEl circuito siguiente nos muestra tres resistencias de valores

R1 , R 2 y R 3

conectadas enserie. Las lneas rectas de conexin indican alambres de resistencia despreciable. Tambin se muestra la variacin del potencial en la direccin correspondiente al sentido de la corriente. Vamosa decir que dos o ms resistencias estn conectadas en serie cuando la corriente que circula porellas es la misma.R1R2R3iVVemos que la diferencia de potencial entre los extremos de la combinacin es igual a la suma de las diferencias de potencial entre extremos de cada resistencia:

V= V 1

+ V 2

+ V 3Puesto que estn en serie, debe pasar la misma corriente por las tres resistencias, de forma queV1 = V 2 = V 3 =

iR 1iR 2iR 3V= V1

+ V 2

+ V 3

= iR 1

+ iR 2

+ iR 3V= i (R 1 + R 2

+ R 3 ) i

= R 1 + R 2

+ R 3Por definicin la resistencia equivalente es :V R eq =i

= R 1 + R 2

+ R 3

R eq

= R 1 + R 2

+ R 3Una nica resistencia de valor

R eq

= R 1 + R 2

+ R 3 , puede reemplazar a las tresresistencias, manteniendo el mismo efecto externo. Generalizando podemos decir que para resistencias conectadas en serieR eq

n= i ,i =1Para nuestro caso el circuito quedarR eq iDonde

R eq

= R 1 + R 2

+ R 3VResistencia equivalente de un conjunto de resistencias en paralelo

La condicin para considerar a dos o ms resistencias en paralelo es que la diferencia de potencial entre los extremos de ambas resistencias sea la misma.R1 R2 R3V i1i

i2 i3La corriente i que entra en el conjunto de resistencias es igual a la suma de las corrientes queatraviesan cada resistencia.i = i1

+ i2

+ i3como la diferencia de potencial en los bornes de cada resistencia es V , aplicando la Ley de Ohm nos queda:i = V

i= V

i = V1

1

reemplazando ser

2323VVVi = i1

+ i 21

+ i31

=++R 1 R 2 R 31 i 1 1 1 i = V + R 1 R 2

+ R 3 V

= + R 1 R 2

+R 3 y por definicin de resistencia equivalente

V Req =i

de la ecuacin anterior nos queda:1

R eqser

1+ R1

11 R 2 R 3

generalizando para n resistencias conectadas en paralelo1

R eq

= 1i =1 R n

Nuestro circuito quedarDonde se cumple queReqi

1R eq

11++ R1 R 2

1R 3 Ejemplo de resolucin de circuitos aplicando la Ley de OhmEntendemos por resolucin de circuitos el hecho de calcular todas las corrientes elctricas que circulan por el mismo. En el ejemplo siguiente nos limitamos a un circuito que tiene una sola batera, el mtodo de resolucin ser tratar de encontrar la resistencia equivalente del circuito, luego por aplicacin de la Ley de Ohm encontrar las corrientes por cada resistencia.R3VR1R2

R4R5R6R7Como primer paso planteamos las corrientes por las resistenciasR3VR1

i23

R2i4R4R5R6i17En el circuito anterior resolvemos el equivalente paralelo entre las resistencias

R3

R 5 y R 6VR1

i2i3R2R4i17

R56

Donde1 =1 + 1R56R5 R6A continuacin el paralelo entre

R 3 y R 4R34VR1R7i1

R56

Donde1 = 1 + 1R34R3 R4Finalmente resolvemos el circuito serieVi1

Donde

Req

Req

= R1 + R2

+ R34 + R56 + R7Aplicando la Ley de Ohm, en este ultimo circuito ser:i=V1,conociendo el valor deeq

i1 , calculamos las diferencias detensin sobre las resistencias equivalentes

R34

y R56 , comoV34

= R34i1 y

V56

= R56i1Conociendo las diferencias de potencial, podemos calcular las corrientes sobre las resistencias

restantes como:i= V34

3

i= V56

6

i= V34

4

i= V56

5Redes elctricas Leyes de KirchhoffA la hora de disear un circuito que realice alguna funcin, generalmente se cuenta con bateras u otras fuentes de fem conocida y resistencias de valor conocido. A menudo el problema reside en cmo hacer que una determinada corriente pase por un elemento particular. No siempre se pude hallar una nica resistencia equivalente para todo el circuito, en consecuencia no podemos simplificarlo como el ejemplo anterior, en estos casos debemos aplicar las reglas conocidas como Leyes de Kirchhoff en honor al fsico alemn Gustav. R. Kirchhoff (1824-1887) , que fue el primero en enunciarlas ,nos ayudan a encontrar las corrientes que pasan por las diferentes partes de un circuito. Estas reglas son: la regla de las mallas y la regla de los nudos.Definimos algunos conceptos que usaremos en los prximos enunciados:Nodo o nudo a todo punto del circuito a donde concurren tres o ms conductores.

Rama es la parte del circuito comprendida entre dos nodos, dos nodos son consecutivos cuando para ir de uno al otro no es necesario pasar por un tercero, en una rama la corriente ser siempre la misma.Corriente de rama, es una corriente auxiliar para el calculo, nace en un nodo y termina enotroMalla es cualquier camino conductor cerrado que se pueda distinguir en el circuito, esta formada por ramas, pero una rama puede pertenecer a distintas mallas.La regla de los nodos o primera Ley de KirchhoffPara analizar un circuito con dos o ms mallas debemos usar la regla de los nudos, adems de la de las mallas que veremos a continuacin. Ya dijimos que un nudo es un punto de un circuito donde confluyen ms de dos conductores. La regla de los nudos dice que la suma de las corrientes que llegan a un nudo es igual a la suma de las corrientes que salen de l. Dado que la carga no se puede acumular en ningn punto de los conductores de conexin, la regla de los nudos es una consecuencia de la conservacin de la carga. Podemos escribir la regla de los nudos comoientrantes

= isalientesPor convencin consideramos con signo positivos a las corrientes entrantes a un nodo y con signonegativo a las salientes, podemos escribir entonces que para cada nodo del circuito se cumple quei= 0La regla de las mallas o segunda Ley de KirchhoffEsta regla es una consecuencia del principio de conservacin de energa, la energa que gana la unidad de carga al recorrer la malla debe ser igual a la energa convertida en calor, mecnica o cualquier otro tipo de energa.La regla de las mallas establece que la suma de las consecuencia de la diferencias de potencial encontradas en el recorrido de cualquier camino cerrado (malla) de un circuito es cero. Como el potencial est directamente relacionado con la energa potencial de los portadores, la regla de las mallas no es sino una forma de expresar la conservacin de la energa. Podemos escribir la regla de las mallas como:V = 0 =

o tambin, teniendo en cuenta la presencia de bateras, fem, y resistencias como Ripara escribir las ecuaciones originadas por la regla de las mallas debemos tener presente dosprincipios ya vistos:1. Si se recorre una resistencia en el sentido de la corriente, el cambio de potencial es iR

; en el sentido contrario es

+ iR .2. Si se atraviesa una fuente de fem en el sentido de la fem, el cambio de potencial es+ ; en el sentido contrario es Resolucin de circuitos mediante la aplicacin de las Leyes de KirchhoffEntendemos por resolucin de un circuito a calcular todas las corrientes que circulan por el mismo. Buscaremos plantear, basndonos en las reglas de Kirchhoff, tantas ecuaciones como corrientes incgnitas tengamos. A continuacin resumimos los pasos a seguir:Dado el circuito identificamos los nodos del mismo. Si bien no lo demostramos la cantidadde ecuaciones de nodos que podemos plantear es igual a de nodos totales del circuito.

n 1 , siendo n el numeroDibujamos las corrientes, dndole un sentido arbitrario de circulacin. Si luego de resolverlo el valor de la corriente da positivo es sentido arbitrario es el correcto de la corriente, si da negativo es sentido es el contrario. Planteamos todas las ecuaciones de nodos independientes.Conociendo la cantidad de incgnitas, vemos la cantidad de ecuaciones de mallas que necesitaremos plantear, identificamos las mallas con las que vamos a trabajar y fijamos un sentido arbitrario para recorrerla. Planteamos las ecuaciones de mallas. Una vez que planteamos la cantidad de ecuaciones necesarias para resolver todas las corrientes incgnitas , utilizamos cualquier mtodo, algebraico o no, para despejar las incgnitas.Muchas veces es posible realizar simplificaciones a nuestro circuito, por ejemplo encontrando resistencias equivalentes para una red de resistencias, a fin de disminuir el nmero de incgnitas con el cual trabajamos, debemos tener presente que al finalizar debemos hallar tambin las corrientes originales que pasa por cada resistencia.Ejemplo de resolucin de circuitosSea el siguiente circuitoR21V1R3R4R5V2R6Identificamos los nodos, y planteamos todas las corrientes que circulan por el mismoR2R113i3iV1R34

i2R452

26

Podemos identificar tres nodos y cinco corrientes en el circuito, estas cinco corrientes son las quedebemos hallar, vemos adems que las resistencias

R 4 y

R 5 , estn el paralelo,simplificamos nuestro circuito hallando la resistencia equivalente

R 45

, entoncesPodemos calcular

R 45

sabiendo que

1R 45

=1 +1R 4R 5Con lo cual el circuito quedaR1 1R2 3V1 R31

i i2

3

2

R45

2

Trabajamos con este circuito, en el vemos dos nodos independientes, en consecuencia planteamosla ecuacin de nodos en el nodo 1 , haciendo

i =

0 , seri1 i2

i3

= 0 , primera ecuacin a utilizar.A continuacin identificamos dos mallas cerradas, las que llamamos y , recorremos lasmallas segn el sentido que indica la flecha, este sentido es arbitrario, pero debe mantenerse paratoda la mallaR113

V1iR3i i3

R45V2R6Planteamos las ecuaciones de mallas, V

= Ri

, que nos quedaen la malla ser:

V 1 V 2=

R 1 i1 +

R 3 i 2+

R 6 i1en la malla ser:

V 2=

R 3 i 2+

R 2 i 3+

R 45 i 3Tenemos entonces un sistema formado por tres ecuaciones y tres incgnitas que se puede resolverpor cualquier mtodo.Nos queda hallar el valor de las corrientes i4 y

i5 , para ello aplicamos la Ley de Ohm.Calculamos la diferencia de potencial sobre la resistencia equivalente

R 45V 45

= R 45 i3 ,y entonces seri= V 45

i= V 454 y54 5Encontramos de esta manera las cinco corrientes, quedando el circuito resuelto.Circuitos RC Caga y descarga del condensadorHasta ahora vimos circuitos en los cuales elementos eran resistencias y en los que las corrientes no variaban en el transcurso del tiempo. Ahora vamos a introducir al condensador como un elemento del circuito, lo que nos conducir al concepto de corrientes variables con el tiempo. Consideramos el siguiente circuito,aSRb+CColocamos la llave en la posicin a , en esta situacin analizamos la corriente que comienza a circular. Realizamos nuestro anlisis aplicando los principios de la conservacin de la energaEn un tiempo dt se mueve por el circuito una carga dq , la cual ser

dq=

idtEl trabajo realizado por la fuente

lo podemos calcular comodW

= dq

, quedebe ser igual a la energa que aparece como calor por el efecto Joule sobre la resistencia duranteel tiempo dt , el cual lo podemos expresar como

dU R

= i 2

RdtMs el aumento en la cantidad de energa que se almacena en el condensador q 2 dUC

= d 2C,escribimos la ecuacin del balance de energas en el circuito

dq

i 2 Rdt

d qcomo dq

== i 2 Rdt

+ 2 C+qdq

, realizamos la derivacin y nos quedaC, dividiendo todos los miembros por dtdq

= i 2 R +qdq

i = dqdtC

dt,perodt = iR+qquedando nuestra ecuacinCVemos que esta ecuacin tambin responde a la regla de las mallas. Esta ecuacin presenta dosq i i = dqvariables, la cargaentonces escribimos

y la corriente elctrica

, pero ambas estn relacionadasdt , =R dq dt

+qC,debemos encontrar la funcin

q(t )que satisfaga estaecuacin diferencial, para poder resolver esta ecuacin debemos separar variables, de manera quequeden en cada miembro de la igualdad = R dq + q dtC

dqdt

= qR RCdq dtR

= qRC

Rdq dtRdt

= qRCRdq dt

= qRC

Rdt

= q dtCRdq = qC

dt + dt

R

dq =q C

= dtMultiplico y divido por -1

C Rdq= dt

Rdq = dt =q

=q +C

C RCdq=

dq = 1 dt(q C )dt

(q C )RCTenemos las variables separadas, a continuacin integramos ambos miembros de la igualdadqdq 1 t (q C ) = RC

dt0

Resolviendo la integral serln q

C

1 = t C RCDerivando esta funcin encontramos la ecuacin de la corriente i del circuitoi (t ) =

dq (t )=

te RCdt RVemos algunos grficos de estas funcionesla ecuacin de la carga

q(t ), vemos que para

t = 0 , se cumple que

q = 0 yfinalmente para

t

la carga alcanza el valor de

q = C

En el grfico superior vemos que para la corriente

i (t

en el instante

t = 0

es iguali =R

, y luego disminuye de tal manera que para

t , entonces

i 0La cantidad RC en las ecuaciones anteriores tiene las dimensiones de tiempo, puesto que el exponente no debe tener dimensiones y se llama la constante de tiempo capacitiva del circuito. Esque tarda el condensador en aumentar su carga en un factor (1equilibrio, equivalente al sesenta y tres por ciento del valor total.

e 1 )

de su valor deSupongamos ahora que el interruptorS del circuito ha estado en la posicin a durante untiempo t tal que

t >>RCEl condensador ha quedado totalmente cargado para todos los fines prcticos. Entonces elinterruptor S se pasa a la posicin b , veamos como cambia en funcin del tiempo la carga del condensador y la corriente elctricaCon el interruptor S cerrado en b , no hay fem en el circuito y la regla de las mallas daiR+qC

= 0i = dqSi reemplazamos pordt

podemos escribir la ecuacin diferencialR dq+q= 0

q (t ) = q

te RCdtC

cuya solucin es

0, siendoq 0 la carga inicial del condensador , la constante de tiempo capacitiva aparece igual que en elproceso de carga, la corriente de descarga viene dada por la expresindq q ti == 0 e RCdt RCel signo negativo pone de manifiesto que la corriente circula en sentido contrario a la del proceso decarga.Como la carga inicial anterior y quedar

q 0 es

q 0 = C

, podemos reemplazar el la ecuacini = C

te RC

t=e RCRCR

, donde para

t = 0 , se cumple que

i =R , lo cuales de esperar ya que la diferencia de potencial para el condensador totalmente cargado es v

r

d

v

r

r

v

v

r

n vq

+ n vq

d

r

r r

d

x

r

y

y

v

e

a

2

R

=

V

R

R

R

R

=

+

n

=

i

R

R

R

R

2

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