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DEPTO. DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS. I.E.S. “Cuenca del Nalón”.

x.-) Nociones elementales sobre el plano y sus elementos.

Conceptos:

Recta: Conjunto ilimitado de puntos colocados unos a continuación de los otros, sin principio ni fin. Se las denomina por una letra minúscula, t, r, s, etc. ... tiene una dimensión, nos podemos mover por ella en dos sentidos opuestos entre sí, adelante-atrás.

Punto: Lugar de intersección de dos rectas. Se los denomina por una letra mayúscu-la, A, B, C, etc. .... no tiene dimensiones, no se puede mover.

Plano: Superficie a la que pertenecen dos rectas coplanarias, que no se cruzan. Una recta y un punto exterior a la misma, determinan un plano. También dos rectas para-lelas, o que se corten, determinan un plano. Tres puntos no alineados determinan un plano. Se los denomina por letras griegas minúsculas, , , , etc. ... tiene dos dimensiones, nos podemos mover por el en dos direcciones perpendiculares entre si, y en dos sentidos opuestos para cada una de ellas, adelante-atrás y derecha-izquierda.

Posiciones relativas de: Dos rectas en el plano:

Paralelas, cuando no tienen ningún punto común. Secantes, cuando se cortan en un punto. Coincidentes, cuando tienen infinitos puntos comunes. Se trataría de la

misma recta. Dos rectas en el espacio:

Además de los tres casos anteriores, se pueden cruzar, es decir, estar en planos diferentes y al proyectarlas sobre un mismo plano se cortan. Por ejemplo los pasos elevados, rectas, cruzan sobre otras vías de comunica-ción.

Dos planos en el espacio: Paralelos, cuando no tienen ningún punto en común. Secantes, cuando tienen una recta en común. Coplanarios, cuando tienen infinitos puntos en común. Se trataría del

mismo plano. Tres planos en el espacio:

Son varias los posibilidades, pero la más importante es que se pueden cortar los tres en un punto común.

Espacio tridimensional: es el medio físico en el que nos movemos, y lo podemos hacer en tres direcciones y dos sentidos opuestos para cada una de ellas, adelante-atrás, arriba-abajo y derecha-izquierda. Tiene tres dimensiones. En el espacio de la tierra tendríamos las direcciones Norte-Sur, Este-Oeste y subir-bajar o Cenit-Nadir.

Segmentos: dos puntos sobre una recta determinan un segmento, a dichos puntos se les denomina extremos del segmento y al segmento se de denomina por .

Segmentos concatenados: son aquellos que tienen un extremo común, si además se encuentran sobre la misma recta se les denomina consecutivos.

Segmentos superpuestos: cuando además de tener un extremo común, todos los puntos de uno están sobre el otro.

Segmentos iguales: cuando superpuestos coinciden, en caso contrario se les deno-mina desiguales.

Teoría básica. Página.- i CFGM


Comparación de segmentos: según como sean entre sí escribiremos: cuando son iguales. cuando es mayor que . cuando es menor que .

Ángulos: dos semirrectas con un mismo origen determinan en el plano un ángulo. Al origen común se le denomina vértice, mientras que a las semirrectas se la deno-minan lados.

Denominación de los ángulos: se les denomina con tres letras, BAC ó CAB, sien-do la letra central el vértice del ángulo, o bien solo con la letra del vértice, , o con una letra griega minúscula, α.

Ángulos en el plano: dos rectas que se cortan determinan cuatro ángulos en el pla-no iguales dos a dos. Si las rectas se cortan perpendicularmente, entonces los cuatro ángulos son iguales y cada uno es un ángulo recto, 90o.

Clasificación de los ángulos: Agudo: cuando es menor que un ángulo recto.

Obtuso: cuando es mayor que un ángulo recto. Llano: cuando sus lados forman rectas opuestas. Convexo: cuando es menor que un ángulo llano. Cóncavo: cuando es mayor que un ángulo llano. Consecutivos: cuando tienen un vértice y un lado comunes, y los otros dos

están uno a cada parte del lado común. Adyacentes: cuando son adyacentes y los lados no comunes están en línea

recta, forman un llano. Complementarios: cuando entre los dos suman un recto, 90o. Suplementarios: cuando entre los dos suman un llano, 180o.

Medida de ángulos: Grados sexagesimales: si dividimos una circunferencia en 360 partes, el án-

gulo central que abarca un arco igual a una de esas partes se denomina ángulo unidad, y representa un grado sexagesimal, el cual se subdivide a su vez en

Teoría básica. Página.- ii CFGM

agudo obtusorecto

adyacentes

llano

consecutivoscóncavo

convexo

Segmentos concatenados

B M

N

A

A=M B N

Segmentos superpuestos

A

B

C

α ángulo


sesenta partes iguales llamadas minutos de arco, y éstos a su vez en otras se-senta partes llamadas segundos de arco. Así pues, cada parte consta de sesen-ta unidades, de ahí el nombre.

Notación compleja: , representa un ángulo de 25 grados, 12 minutos y 36 segundos. Para pasar a notación decimal haríamos:

para pasar los segundos a grados los dividimos por 3600

que son los segundos que tiene un grado, para pasar los mi-

nutos a grados los dividimos por 60 que son los minutos que tiene un grado, y por último sumamos ambos cocientes al número de grados y obtenemos el ángulo en notación decimal, en este caso

. Con la calculadora buscamos la tecla o ’ ” , y realizamos la siguiente operación 25 o ’ ” 12 o ’ ” 36 o ’ ” y en panta-lla tendremos la conversión ya realizada.

Notación decimal: , que es el ángulo anterior, para pasar de un án-gulo decimal a uno en notación compleja haríamos: , multiplicamos la parte decimal por 60, la parte entera

del nuevo número serán los minutos de arco,12, y , multi-plicamos la parte decimal de nuevo por 60, el número así obtenido serán los segundos de arco. Así pues, la parte entera del número origi-nal serán los grados, 25o, la parte entera del número que se obtiene al multiplicar la parte decimal por 60 serán los minutos, 12’, y la parte decimal de éste último número multiplicada por 60 serán los segundos, 36”. Utilizando la calculadora, haríamos 25.12 o ’ ” SHIFT o ’ ” , y nos quedaría , donde debemos leer .

Radián: es el valor del ángulo central de una circunferencia que abarca un arco igual al radio. Como la longitud total de una circunferencia es veces el radio, entonces equivale a radianes, de donde radianes equivalen a

360o, radianes serán 180o y radianes serán 90o o un ángulo recto.

Bisectriz de un ángulo: es la recta equidistante de los lados del ángulo que divide a éste en dos ángulos iguales.

Suma y resta de ángulos: la forma más rápida y cómoda, aparte de con la calcula-dora, es hacerlas siempre en notación decimal, es decir, convertir todas las medidas angulares a su notación decimal. Suma en notación compleja: sumaríamos grados con grados, minutos con

minutos y segundos con segundos, pero con las siguientes precauciones: Lo hacemos por columnas, así:

como hay más de sesenta segundos, restamos

60 a los que hay y añadimos un minuto más, luego hacemos lo mismo

Teoría básica. Página.- iii CFGM


con los minutos y añadimos un grado más, de este modo

que es el ángulo suma.

Con la calculadora sería 13 o ’ ” 55 o ’ ” 49 o ’ ” + 131 o ’ ” 25 o ’ ” 17 o ’ ” = SHIFT o ’ ” , y nos quedaría el resultado obtenido antes.

Resta en notación compleja: restaríamos por columnas, pero siempre que una unidad del minuendo sea menor que su correspondiente del sustraendo debe-mos convertir una unidad superior del minuendo en 60 unidades que añadire-mos a las que ya había.

Por ejemplo, restar los ángulos y , para que las cantidades del minuendo sean siempre mayores que sus correspondientes del sustraendo debemos pasar un minuto a segundos, así pasaríamos al ángulo , como siguen siendo los minutos del sustraendo mayores que los del minuendo debemos pasar un grado a minutos y nos quedaría por fin el ángulo , al cual ya le podemos restar sin problemas el otro ángulo dado, así:

.

Con la calculadora sería 119 o ’ ” 25 o ’ ” 3 o ’ ” – 25 o ’ ” 55 o ’ ” 49 o ’ ” = SHIFT o ’ ” .

Multiplicación y división de ángulos: en notación decimal procedemos como lo haríamos con un número decimal normal. Multiplicación en notación compleja: para multiplicar por un número natural

Se multiplican los grados, minutos y segundos, por separado, por dicho nú-mero.

Si los segundos obtenidos resultan ser más de 60, pasamos el excedente a minutos y los agregamos a los mismos.

Si los minutos obtenidos son más de 60, pasamos el excedente a grados y los agregamos a los mismos.

Así, el triple del ángulo será, , y

a continuación

que es el resultado final. Con la calculadora 79 o ’ ” 35 o ’ ” 50 o ’ ” X 3 = SHIFT o ’ ” .

División en notación compleja: para dividir por un número natural Dividimos los grados por dicho número, división entera, el resto de la divi-

sión lo pasamos a minutos multiplicándolo por 60 y se lo añadimos a los minutos que ya teníamos. Dividimos dichos minutos por el número, divi - sión entera, el resto de la división lo pasamos a segundos multiplicándolo por 60 y se lo añadimos a los segundos que ya teníamos. Por último dividi-mos éstos por el número, sacando a lo sumo tres decimales, es decir, milé-simas de segundo.

Teoría básica. Página.- iv CFGM


Así, la tercera parte del ángulo sería , el resto

por 60 lo añadimos a los minutos y obtendremos , como el

resto es cero dividimos directamente los segundos que teníamos, que dándonos 6.666, así pues, la tercera parte del ángulo es

. Con la calculadora 175 o ’ ” 15 o ’ ” 20 o ’ ” ÷ 3 = SHIFT o ’ ” .

xi.-) Nociones elementales sobre polígonos regulares y sus ele - mentos.

Conceptos:

Línea poligonal o quebrada: es la figura formada por varios segmentos concatena-dos. A los segmentos se les denomina lados y a los puntos de unión vértices. Pue-den ser: Abierta: cuando el primer extremo del primer segmento no enlaza con el se-

gundo extremo del último segmento. Cerrada: cuando el primer y el último segmento enlazan.

Polígono: parte del plano limitada por una poligonal cerrada. Convexo: es convexo cuando la recta determinada por la prolongación de uno

cualquiera de sus lados divide al plano de tal forma que todos los vértices del polígono quedan en el mismo semiplano

Cóncavo: cuando no ocurre lo anterior con uno o más lados. Perímetro: es la suma de todos los segmentos del polígono. Diagonal: todo segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono.

Número total de diagonales de un polígono: , siendo n el nú-mero de lados o vértices del polígono, ya que si te fijas bien, por cada vértice solo se pueden trazar diagonales.

Número total de diagonales distintas: , ya que todas se repiten

una vez. Ángulos:

Interiores, î: son los abarcan uno o más lados del polígono., están formados por dos lados consecutivos.

Exteriores, ê: los formados por un lado y la prolongación de su contiguo, o bien, los suplementarios de los interiores. La suma de todos ellos, en un polí-gono convexo, es de cuatro rectos, 360o. Como , , y si n es el número de lados o vértices, entonces , ya que hay tantos ángulos internos como externos, y tantos como vértices. Juntándolo to-do, tenemos que , o lo que es lo mismo .

Clases de polígonos: hay varias formas de clasificarlos: Atendiendo a la forma en sí:

Teoría básica. Página.- v CFGM

E

DC

B

A

D1D2 i

er

Diagonales por el vértice A, D1 y D2.i ángulo interno y e ángulo externo.


Equiláteros: cuando tienen los lados iguales entre sí, aunque no los ángu-los.

Equiángulos: cuando tienen los ángulos iguales entre sí, aunque no los la-dos

Regulares: son aquellos que tienen todos sus lados y ángulos iguales entre sí.

Irregulares: cuando los ángulos y los lados no son iguales entre sí. Atendiendo a sus ángulos:

Convexos. Cóncavos.

Atendiendo al número de lados: Triángulos, tienen tres lados. Cuadriláteros, tienen cuatro lados. Pentágonos, tienen cinco lados. Hexágonos, tienen seis lados. Heptágonos, tienen siete lados. Octágonos u octógonos, tienen ocho

lados. Eneágonos, tienen nueve lados. Decágonos, tienen diez lados. Undecágonos, tienen once lados. Dodecágonos, tienen doce lados. Pentadecágonos, tienen quince lados. Icosígonos, tienen veinte lados. …………… Para el resto de los casos se suelen nombrar como “polígono de n-lados”.

Polígonos regulares: Centro: es el punto equidistante de los vértices, es el centro de la circunferen-

cia circunscrita al mismo, y también el centro de la circunferencia inscrita. Un polígono se dice inscrito a una circunferencia cuando todos sus vértices

están situados sobre la misma y sus lados son cuerdas de ella. De tal circun-ferencia se dice que está circunscrita al polígono.

Un polígono se dice circunscrito a una circunferencia cuando todos sus la-dos son tangentes a la misma. De tal circunferencia se dice que está inscrita al polígono.

Radio, r: es la distancia del centro a un vértice, es el radio de la circunferencia circunscrita al polígono.

Apotema, a: es la distancia del centro a un lado, es el radio de la circunferen-cia inscrita al polígono.

Teoría básica. Página.- vi CFGM

Poligonal abierta.

Poligonal cerrada.

Convexo.

Cóncavo.

Âc

b

aC

B

A

BAC ó CAB


Ángulo central, ĉ: es el ángulo formado por dos radios consecutivos. La suma de todos ellos es de cuatro rectos, dos llanos o 360o. Luego, un ángulo

central de un polígono de n-lados vale .

Ángulo interior, î: un ángulo interior de un polígono regular de n-lados vale

.

Ángulo exterior, ê: un ángulo exterior de un polígono regular de n-lados vale

, luego se deduce que:

, .

xii.-) Nociones elementales sobre triángulos y sus elementos.

Conceptos:

Triángulo: polígono de tres lados. Terminología, convenios:

Los vértices se nombrarán con letras mayúsculas.

Los ángulos se nombrarán escribiendo los nombres de los tres vértices, el del ángulo siempre en el centro, con un ángulo pequeño dibujado encima, por la letra del vértice con un ángulo encima, o por una letra minúscula griega.

Los lados se nombran con la letra minúscula correspondiente a la de su ángulo opuesto.

Características notables: Son indeformables, los tres segmentos que componen un triángulo solo

encajan en una posición fija. Como polígono es siempre convexo. Todo polígono se puede descomponer en dos o más triángulos. Un lado cualquiera siempre es menor que la suma de los otros dos y mayor

que su diferencia. Tres segmentos cualesquiera forman un triángulo solo si el mayor de

ellos es menor que la suma de los otros dos.

Rectas y puntos notables:

Teoría básica. Página.- vii CFGM

φ

φ

β

β

α

α


Alturas: son los segmentos perpendiculares trazados desde un vértice a su lado opuesto, o a su prolongación. Al lado opuesto al vértice se le denomina base.

Ortocentro: es el punto en el que se cortan las tres alturas de un triángu-lo, o sus prolongaciones, por lo que puede ser interior o exterior al mis-mo.

Medianas: son los segmentos que unen un vértice con el punto medio de su lado opuesto.

Baricentro: es el punto donde se cortan las medianas, se corresponde con el centro de gravedad del triángulo y es siempre interior al mismo. Además la distancia de él a un vértice son los dos tercios de la longitud de la mediana correspondiente.

Mediatrices: son las rectas perpendiculares a los puntos medios de los la-dos.

Circuncentro: es el punto donde se cortan las mediatrices, y se corres-ponde con el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Puede ser interior o exterior al mismo. Está a igual distancia de los tres vértices, y éstos están situados sobre la circunferencia, siendo los lados cuerdas de la misma.

Bisectrices: son las rectas que dividen sus ángulos en dos partes iguales. Incentro: es el punto en el que se cortan las bisectrices y se corresponde

con el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Siempre es interior al mismo y equidista de los lados.

Clasificación de los triángulos: Por sus lados:

Equiláteros, tienen los tres lados iguales. Isósceles, tienen dos lados iguales. Escalenos, tienen los tres lados desiguales.

Por sus ángulos: Acutángulos, tienen los tres ángulos agudos. Obtusángulos, tienen un ángulos obtuso. Rectángulos, tienen un ángulo recto.

Suma de los ángulos interiores de un triángulo: Como se desprende de la figura suman un

llano. Como los ángulos interiores son

suplementarios de sus exteriores corres-pondientes y éstos siempre suman dos llanos o 360o, tenemos que:

Los triángulos son el único polígono que no posee diagonales.

Teoría básica. Página.- viii CFGM

altura

base

altura

base


Área del triángulo: , donde b es la base correspondiente a la altura h.

Área de un triángulo rectángulo: , donde b y c son los catetos.

Triángulos rectángulos: Elementos notables:

Hipotenusa, es el nombre que recibe el lado mayor del triángulo y se opo-ne al ángulo recto.

Catetos, es el nombre que reciben los otros dos lados. Teoremas fundamentales:

En la figura adyacente podemos distinguir tres triángulos rectángulos:

Son todos semejantes, ya que poseen ángulos iguales entre sí.

Aplicando las relaciones de semejanza entre , tenemos que .

Donde es la hipotenusa del triángulo grande, a, uno de sus catetos, el b, y es la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa, x.

Tomando los triángulos obtenemos que , donde vemos que se

trata de la misma relación, pero ahora con el cateto pequeño, c, y su proyección sobre la hipotenusa, y.En resumen, en ambos casos el cateto hace media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre la misma.

Teorema del cateto: en todo triángulo rectángulo un cateto es media propor-cional entre la hipotenusa del mismo y su proyección sobre la misma.

Si tomamos ahora los dos triángulos pequeños, , obtendremos la relación

, donde es la altura sobre la hipotenusa, con le que podemos decir:

Teorema de la altura: en todo triángulo rectángulo la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional con las proyecciones de los catetos so-bre la misma.

Por último, y juntando ambos teoremas del cateto, tenemos que:

Teoría básica. Página.- ix CFGM

bb

b

hh h

acutángulo obtusángulo rectángulo

β

φ

HC B

A

φ

β

yx

L/2

60o

30o L

HC B

A A

BH

Â = 30o

60o


Teorema de Pitágoras: en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipote-nusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Ternas pitagóricas: son todo conjunto formado por tres números que cum - plen que la suma de los cuadrados de los dos menores es igual al cuadrado del mayor.

Triángulo egipcio: es el triángulo formado por tres segmentos de longitudes 3, 4 y 5 unidades, además es rectángulo, ya que .

En todo triángulo rectángulo que tenga un ángulo de 30o el cateto opuesto al mismo mide la mitad que la hipotenusa.

No hay triángulos rectángulos equiláteros. El triángulo rectángulo isósceles tiene los ángulos iguales de 45o.

Criterios de igualdad de triángulos en general: Primer criterio:

Dos triángulos son iguales si tienen, respectivamente, iguales un lado y los ángulos adyacentes o contiguos al mismo.

Segundo criterio: Dos triángulos son iguales si tienen, respectivamente, iguales dos lados y el

ángulo comprendido entre ellos. Tercer criterio:

Dos triángulos son iguales si tienen, respectivamente, iguales los tres lados. Criterios de igualdad de triángulos rectángulos:

Primer criterio: Son iguales cuando tienen, respectivamente, iguales sus catetos.

Segundo criterio: Son iguales cuando tienen, respectivamente, iguales un cateto y un ángulo

agudo. Tercer criterio:

Son iguales cuando tienen, respectivamente, iguales un cateto y la hipote-nusa.

Cuarto criterio: Son iguales cuando tienen, respectivamente, iguales la hipotenusa y un án-

gulo agudo.

xiii.-) Nociones elementales sobre cuadriláteros y sus elementos.

Teoría básica. Página.- x CFGM


Conceptos:

Cuadrilátero: polígono de cuatro lados, de donde tendrá siempre

diagonales. Un cuadrilátero siempre se puede descomponer en dos triángulos, uniendo

dos vértices opuestos. La suma de todos sus ángulos internos es , dado lo anterior.

Clasificación: Por paralelismo de sus lados:

Paralelogramo: tiene dos pares de lados paralelos e iguales dos a dos, a su vez se dividen en: Rectángulos : tienen los cuatro ángulos iguales de 90o, y los lados igua-

les dos a dos. Rombos : tienen los cuatro lados iguales, y los ángulos iguales dos a

dos. Romboide : no tienen ninguna propiedad específica. Cuadrado : es un rectángulo y un rombo a la vez. Es el cuadrilátero

regular. Tiene los cuatro lados y los cuatro ángulos iguales. La cometa : es un tipo especial de romboide, ya que tiene sus diagona-

les perpendiculares entre sí. Trapecio: son los cuadriláteros con dos lados paralelos, a su vez se dividen

en: Trapecio rectángulo : tiene dos ángulos rectos. Trapecio isósceles : tiene dos lados no paralelos iguales y los ángulos

iguales dos a dos. Los ángulos no iguales entre sí son suplementarios. Trapecio escaleno : no tiene ninguna propiedad específica.

Trapezoide: no tienen ningún par de lados paralelos. Propiedades de los paralelogramos:

Los ángulos opuestos son siempre iguales. Los lados opuestos son siempre iguales y paralelos. Las diagonales se cortan siempre en su punto medio. Los ángulos adyacentes o contiguos son suplementarios. Las diagonales de un rectángulo son iguales. Las diagonales de un rombo son perpendiculares. Las diagonales de un romboide son oblicuas y desiguales.

Teoría básica. Página.- xi CFGM


Área de un rectángulo: siendo a el largo y b el ancho, el área será . Área de un paralelogramo en general: siendo a

el lado base y h la altura trazada desde uno cualquiera de los vértices opuestos al lado de la base,

Área del trapecio: si llamamos D a la base mayor, d a la base menor, h a la altura entre las

bases, el área será , ver la figura.

El área del rectángulo es doble que la del trapecio, es la del trapecio mas los triángulos y , y el cuadrado que configuran otro trapecio igual al primero. Luego el área

del trapecio será , como , y

, siendo la base menor y es la base

mayor, entonces , c.q.d.

Área del rombo: si llamamos D a la diagonal mayor y d a la

diagonal menor, el área del rombo será , ver figura.

El área del rombo es el cuádruplo del área del triángulo

rectángulo , la cual vale , como ,

y , nos queda por fín que el área del rombo será

Área de una figura en general: siempre que se trate de figuras limitadas por poligonales, podemos descomponer la misma en triángulos, rectángulos, cuadrados, trapecios y rombos, es decir, podemos medir su área a partir de las áreas de las figuras más sencillas en que la descompongamos.

Área de un polígono regular: para un pentágono podemos dividir éste en cinco triángulos formados por los radios del mismo. Los

Teoría básica. Página.- xii CFGM

Cuadrado

Trapecio rectángulo Trapecio escaleno

Romboide Trapezoide

Trapecio isósceles

Rectángulo

hRombo

CA B D E

E’D’A’

h

B’

D

d

A

B

O

O R

Circunferencia Círculo

R, radioO, centro


triángulos son todos isósceles e iguales, si a es la apotema del polígono, su área será

, donde l es el lado del polígono y p es el perímetro del mismo.

Para un polígono regular de n-lados, sería , es decir, nos

quedaría lo mismo.

xiv.-) Nociones elementales sobre circunferencias y sus elementos.

Conceptos:

Lugar geométrico: es el conjunto de los puntos del plano que gozan todos ellos de una misma propiedad.

Circunferencia: es una línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos tienen la propie-dad de equidistar de un punto O llamado centro. La distancia del centro a cual-quier punto de la circunferencia se llama radio. Como lugar geométrico, es el lugar geométrico de los puntos del plano que

se encuentran a igual distancia de un punto fijo llamado centro. A la distancia común se la denomina radio.

Otros lugares geométricos de interés, aparte de las cónicas: Mediatriz: es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de

los extremos de un segmento. Bisectriz: es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de

los lados de un ángulo. Círculo: es la región del plano limitada por una circunferencia. Elementos notables de la

circunferencia y del círculo: Cuerda: es el segmento de recta

que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

La mediatriz a toda cuerda pasa siempre por el centro de la circunferencia.

La mediatriz a una cuerda es la bisectriz del ángulo central que sustenta dicha cuerda.

Arco: es cada una de las partes en que queda dividida la circunferencia por una cuerda.

Se puede decir también que es el trozo de circunferencia comprendido entre dos radios.

Diámetro: es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Es la cuer-da más larga que se puede trazar en una circunferencia.

Un diámetro divide a la circunferencia en dos arcos de igual tamaño, llama-dos semicircunferencias. Además divide al círculo en dos segmentos circu-lares iguales, llamados semicírculos.

Radio: es el segmento de recta que une el centro con uno cualquiera de los puntos de la circunferencia.

Segmento circular: es cada una de las dos partes en que queda dividido el cír-culo por una cuerda.

Teoría básica. Página.- xiii CFGM


Sector circular: es la parte del círculo comprendida entre dos radios y su arco correspondiente.

Ángulo central: es el que está formado por dos radios y tiene su vértice en el centro de la circunferencia.

Ángulo inscrito: es el que tiene su vértice en un punto cualquiera de la circun-ferencia y sus lados son cuerdas de la misma.

Un ángulo inscrito vale la mitad que su correspondiente ángulo central, es decir, que el ángulo central que abarca el mismo arco.

Todo ángulo inscrito que soporte un diámetro, o que abarque una semicir-cunferencia, es un ángulo de 90o o recto.

Tangente: es una recta exterior a la circunferencia que toca a ésta en un solo punto de la misma.

El radio que une el centro de la circunferencia con la recta tangente a la misma, es perpendicular a ésta en el punto de tangencia.

El ángulo que forman dos rectas tangentes a una circunferencia trazadas desde un punto común exterior a la misma, es suplementario del ángulo central formado por los radios trazados a las tangentes en los respectivos puntos de tangencia.

La bisectriz del ángulo formado por dos rectas tangentes a una circunferen-cia, trazadas desde un punto común exterior a la misma, pasa por el centro de la circunferencia y divide a ésta en dos semicircunferencias, y al círculo correspondiente en dos semicírculos.

Secante: es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos de la misma. Corona circular: es la superficie comprendida entre dos circunferencias con-

céntricas. Trapecio circular: es la porción de corona circular limitada por dos radios.

Relación entre un ángulo inscrito a una circunferencia y el ángulo central correspon-diente que abarca el mismo arco:

De la figura se desprende que α es el ángulo central que abarca el mismo arco que el ángulo inscrito β, además de la relación de los ángulos del triángulo isósceles representado, en el cual se cumple que la suma de sus ángulos ha de ser 180o, de donde tenemos

, es decir, el ángulo

inscrito siempre es la mitad de su central correspondiente.

Valor del ángulo inscrito a una circunferencia y que abarca un diámetro.El ángulo inscrito es el ángulo .

Los triángulos AOC y AOB son ambos isósceles, ya que , siendo R el radio de la circunferencia.

Del triángulo AOC se desprende que .

Del triángulo AOB se desprende que

Es decir δ y β son complementarios, suman

Teoría básica. Página.- xiv CFGM

180-αβ

β

α

δ

δ180-φ

φ

β

βC B

A

O


90o, en consecuencia, todo ángulo inscrito a una circunferencia y que abarque un diámetro es un ángulo recto, el triángulo ABC es un triángulo rec-tángulo.

Longitud de la circunferencia: , siendo R el radio de la misma. Longitud de un arco en función del ángulo central que lo abarca: como la

longitud de toda la circunferencia sería la de un arco sostenido por un ángulo central de 360o, se trataría de resolver una regla de tres simple, si ha un ángulo central de 360o le corresponde una longitud de arco de , a un ángulo central de le

corresponderá Larc, o sea,

Área del círculo: , siendo R el radio de la circunferencia que lo envuelve. Considerando la circunferencia como un polígono de infinitos lados, el área

del mismo sería

Área del sector circular: al igual que con la longitud de un arco, se trata de resol-ver una regla de tres simple, si consideramos el círculo completo como un sector de ángulo central de 360o, tendremos que a 360o le corresponden unidades de

Teoría básica. Página.- xv CFGM

Segmento circular

Arco

Cuerda

Diámetro

Radio

Arco

Sector circularÁngulo central

Segmento circular

Tangente

Ángulo centralÁngulo inscrito

Secante

Trapecio circularCorona circular

φβ

90o

90o

A

R

R

OB

c

h


superficie, luego a un sector de ángulo central , le corresponderán Ssec, de donde

quedaría

Área del segmento circular: pueden darse dos casos: Si el ángulo φ es menor de 180o, en ese caso el área sería

la del sector correspondiente menos la del triángulo formado por los radios y la cuerda que lo sustenta, así, si h es la altura correspondiente a la cuerda trazada desde el centro y c la longitud de la cuerda,

Si el ángulo φ es mayor que 180o, en este caso sería la del sector correspon-

diente más la del triángulo,

Área de la corona circular: sería la diferencia entre el área de la circunferencia mayor menos la de la menor, así , donde R es el radio de la circunferencia mayor y r el correspondiente de la menor.

Área del trapecio circular: si φ es el ángulo central correspondiente al trapecio,

entonces

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