A502 - Teoría de Sistemas y SeñalesA502 A502 -- Teoría de Sistemas y SeñalesTeoría de Sistemas y Señales

TransparenciasDensidad Espectral de Energía de Densidad Espectral de Energía de

Señales AperiódicasSeñales AperiódicasAutor: Dr. Juan Carlos Gómez

A502 - TeSyS 2

Algunas DefinicionesAlgunas Definiciones

•• Señales de PotenciaSeñales de PotenciaVerifican

∞<+

=< ∑−=∞→

2N

NnN)n(x

1N21limP0 (1)

(2)

TD:

∞<=< ∫−∞→

T

T

2

Tdt)t(x

T21limP0TC:

A502 - TeSyS 3

Algunas Definiciones (cont.)Algunas Definiciones (cont.)

•• Señales de EnergíaSeñales de EnergíaVerifican

∞<=< ∑∞

−∞=

2

n)n(xE0 (3)TD:

TC: ( ) ∞<=< ∫−∞→

T

T

2

TdttxlimE0 (4)

A502 - TeSyS 4

Algunas Definiciones (cont.)Algunas Definiciones (cont.)

•• Señales PeriódicasSeñales PeriódicasUna señal en es periódica con período N (N>0) si y sólo si verifica

•• Señales AperiódicasSeñales AperiódicasSi no se verifica (5) para ningún N, la señal se denomina aperiódica.

( )nx

( ) ( ) n todopara Nnxnx += (5)

A502 - TeSyS 5

Análisis Frecuencial de Señales en TCAnálisis Frecuencial de Señales en TC

• Señales PeriódicasSeñales PeriódicasBajo ciertas hipótesis, una señal periódica x(t) con período puede representarse con la deno-minada Serie de Fourier

donde son los denominados Coeficientes de Fourier

(6)

0p F

1T =

∑∞

−∞=

π=k

tkF2jk

0e c)t(x Ecuación de Síntesis

kc

A502 - TeSyS 6

( ) dte txT1c tkF2j

Tpk

0

p

π−∫= Ecuación deAnálisis

(7)

La convergencia de la Serie de Fourier a x(t) para todo valor de t, queda garantizada si se verifican las Condiciones de Dirichlet:(condiciones suficientes)• x(t) tiene un número finito de discontinuidades en cualquier período.• x(t) contiene un número finito de máximos y mínimos en cualquier período.• x(t) es absolutamente integrable en cualquier período

( ) ∞<∫ dt txpT

(8)

A502 - TeSyS 7

• Puede probarse la siguiente identidad (una de las formas de la Identidad de Parseval) que permite calcular la potencia media en función de los Coeficientes de Fourier (es decir en el dominio frecuencial)

Por razones obvias a los se los denomina Densidad Espectral de Potencia de la señal x(t).En este caso resulta un espectro discreto o de líneas.

( ) ∑∫∞

−∞===

k

2k

T

2

pcdttx

T1P

p

2kc

(9)

A502 - TeSyS 8

• Señales aperiódicasSeñales aperiódicas

A partir de una señal aperiódica (de duración finita) puede generarse una señal periódica ,tal que

en el límite cuando

( )tx( )txp

( ) ( )txtxp =∞→pT

( )tx ( )txp

2Tp

2Tp−2

Tp2Tp−

A502 - TeSyS 9

Como es periódica puede representarse mediante su Serie de Fourier. En el límite cuando

la serie da lugar a una integral que es la denominada Transformada Inversa de Fourier

∞→pT

( )txp

∫∞

∞−

π= dFe )F(X)t(x Ft2j Ecuación de Síntesis

donde X(F) es la denominada Transformada de Fourier, definida como

∫∞

∞−

π−= dte )t(x)F(X Ft2j Ecuación de Análisis

(10)

(11)

A502 - TeSyS 10

Las condiciones (suficientes) que garantizan la existencia de la Transformada de Fourier son las denominadas Condiciones de Dirichlet

• x(t) tiene un número finito de discontinuidades.

• x(t) tiene un número finito de máximos y mínimos.

• x(t) es absolutamente integrable, es decir

( ) ∞<∫∞

∞−dt tx (12)

A502 - TeSyS 11

Densidad Espectral de EnergíaDensidad Espectral de Energía

Sea x(t) una señal de energía con transformada de Fourier X(F). La energía de la señal viene dada por

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

π−∗

∞

∞−

∞

∞−

π−∗

∗∞

∞−

∞

∞−

=

=

=

==

dF)F(X

dtetxdFFX

dFeFXdttx

dttxtxdttxE

2

Ft2j

Ft2j

2

A502 - TeSyS 12

Es decir se estableció lo siguiente

( ) ( )∫ ∫∞

∞−

∞

∞−== dFFXdttxE 22

que constituye otra de las formas de la Identidad de Parseval, y que permite calcular la energía de la señal en el dominio frecuencial, usando la transformada de Fourier. Debido a que su integral sobre todas las frecuen-cias es la energía de la señal, a la cantidad

se la denomina Densidad Espectral de Energía.

( )2xx FX)F(S =

(13)

(14)

A502 - TeSyS 13

La energía de la señal sobre una banda de frecuencias

21 FFF <<puede calcularse como

∫2

1

F

Fxx dF)F(S

Propiedades

• es real y no negativo, y

• no contiene information de la fase por lo que la señal no puede reconstruirse a partir de la den-sidad espectral de energía.

( )FSxx

( )FSxx

)F(S)F(S xxxx =−

(15)

A502 - TeSyS 14

Ejemplo: x(t) es un pulso rectangular de amplitud

A y duración τ .

( ) ( ) ( )2

2xx F

)Fsen(AFS , F

)Fsen(AFX

τπτπτ=

τπτπτ=

A502 - TeSyS 15

Nota: El espectro es la envolvente del espectro de líneas correspondiente a la repetición periódica del pulso rectangular.

A502 - TeSyS 16

Análisis Frecuencial de Señales en TDAnálisis Frecuencial de Señales en TD

• Señales periódicasSeñales periódicasPueden expandirse en Serie de Fourier en Tiempo Discreto (DTFS) como

∑−

=

π

=1N

0k

Nkn2j

kec)n(x

donde

Ecuación de Síntesis

∑−

=

π−=

1N

0k

Nkn2j

k e)n(xN1c Ecuación de Análisis

(16)

(17)

A502 - TeSyS 17

• A diferencia de en TC, la DTFS tiene un número finito N de términos (componentes frecuenciales) debido a la naturaleza discreta de la señal.

• Los Coeficientes de Fourier resultan periódicoscon período N.

• La potencia media (o la energía en un período) de la señal puede computarse en el dominio frecuencial a traves de la relación

kc

∑ ∑−

=

−

===

1N

0n

1N

0k

2k

2 c)n(xN1P Identidad de Parseval (18)

A502 - TeSyS 18

• Por razones obvias a los se los denomina Densidad Espectral de Potencia de la señal x(n). En este caso resulta un espectro discreto o de líneas.

2kc

• Señales aperiódicasSeñales aperiódicas

Similarmente a lo realizado en TC, puede extenderse el concepto de descomposición en serie de Fourier al caso de señales aperiódicas, resultando la definición de la Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Inversa (IDTFT)

( ) ( ) ωωπ

= ωπ

π−∫ deX

21nx nj Ecuación de síntesis (19)

A502 - TeSyS 19

donde es la Transformada de Fourier en Tiempo Discreto (DTFT) (no confundir con la Transformada Discreta de Fourier (DFT)), definida como

( )ωX

( ) ( ) nj

nenxX ω−

∞

−∞=∑=ω Ecuación de Análisis

• ConvergenciaLa suma finita

( ) ∑−=

ω−=ωN

Nn

njN e)n(xX

(20)

(21)

A502 - TeSyS 20

converge uniformemente a cuando six(n) es absolutamente sumable

( )ωX ∞→N

( )∑∞

−∞=∞<

n

2nx

Por convergencia uniforme se entiende

( ) ( ) 0XX lim NN=ω−ω

∞→(23)

(22)Condición de Dirichlet

Nota: Comentar Convergencia en media cuadrática.

A502 - TeSyS 21

Ejemplo: Señal de energía finita cuyo espectro es

( )

π<ω<ωω<ω

=ωc

c

01

X

( ) ( ) n

nsennx cπω=

x(n) no es absolutamente sumable, pero si cuadrado sumable ⇒ convergencia en media cuadrática

A502 - TeSyS 22

Definiendo la suma finita , la convergencia en media cuadrática provoca el denominado Fenómeno de Gibbs.

( )ωNX

La suma finita no conver-ge en los puntos de dis-continuidad de la trans-formada.

A502 - TeSyS 23

Densidad Espectral de EnergíaDensidad Espectral de Energía

Sea x(n) una señal de energía con una DTFT X(ω). La energía de la señal viene dada por

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )∫

∑∫

∫∑

∑∑

π

π−

∞

−∞=

ω−π

π−

∗

π

π−

ω−∗∞

−∞=

∗∞

−∞=

∞

−∞=

ωωπ

=

ω

ω

π=

ωω

π=

==

dX21

denxX21

deX21nx

nxnxnxE

2

n

nj

nj

n

nn

2

A502 - TeSyS 24

Es decir se estableció lo siguiente:

( ) ( )∫∑π

π−

∞

−∞=ωω

π== dX

21nxE 2

n

2 (24)

que constituye otra de las formas de la Igualdad de Parseval. Debido a que su integral sobre todo el rango de frecuencias es la energía de la señal, a la cantidad

( )2xx X)(S ω=ω

se la denomina Densidad Espectral de Energía.

(25)

A502 - TeSyS 25

Propiedades:

• es real y no negativo, y

• no contiene information de la fase por lo que la señal no puede reconstruirse a partir de la den-sidad espectral de energía.

( )ωxxS

( )ωxxS)(S)(S xxxx ω=ω−

Teorema de WienerTeorema de Wiener--KhintchineKhintchine

La secuencia de autocorrelación y la densidad espectral de energía de una señal de energía a valores reales son Pares Transformados de Fourier.

A502 - TeSyS 26

( ) ( )ω →← xxDTFT

xx Sr ! (26)

La secuencia de autocorrelación y la densidad espec-tral de energía contienen la misma información de la señal.

A502 - TeSyS 27

Respuesta de un Sistema LTI a entradas aperiódicasRespuesta de un Sistema LTI a entradas aperiódicas

LTIh(n)

u(n) y(n)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ωω=ω⇒ωω=ω uu2

yy SHS UH)(Y

( ) ( ) ( ) ωωωπ

=ωωπ

= ∫∫π

π−

π

π−dSH

21dS

21E uu

2yyy

(27)

(28)