Teoría homotópica de grupos -...
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Teoría homotópica de grupos
José María Cantarero LópezCONACYT / CIMAT Mérida
2o Encuentro Nacional de Jóvenes Investigadores en MatemáticasInstituto de Matemáticas, UNAM
19 Febrero 2018
José María Cantarero López Teoría homotópica de grupos
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Acciones de grupos
DefiniciónUna acción de un grupo G sobre un espacio topológico X esuna función continua
G × X → X
(g, x) 7→ g · x
tal que1 1 · x = x2 (gh) · x = g · (h · x)
EjemploEl grupo Z actúa sobre R mediante
n · x = x + n
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EjemplosEjemplo
El grupo Z/2 = 1, σ actúa sobre Sn mediante
σ · x = −x
Ejemplo
El grupo Z/5 actúa sobre R mediante
g · x = x
para todo g ∈ Z/5 y todo x ∈ R.
Ejemplo
El grupo Z/2 actúa sobre S1 mediante
σ · z = z
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Acciones libres
DefiniciónSe dice que una acción es libre si g · x = x solamente puedeocurrir cuando g = 1.
Una razón por la que esta condición es útil es que si X es unavariedad con una acción libre de un grupo finito G, entoncesX/G también es una variedad.
Ejemplo
La acción de Z sobre R era libre y R/Z ∼= S1.
Ejemplo
La acción de Z/2 sobre Sn era libre y Sn/Z/2 = RPn.
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Espacios clasificantes
Sea EG un espacio contráctil sobre el que G actúa libremente.El espacio clasificante de G es BG = EG/G.
Ejemplo
Podemos escoger EZ = R con la acción que vimos y BZ = S1.
Ejemplo
Podemos escoger EZ/2 = S∞ con la acción antipodal yBZ/2 = RP∞.
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EjemploRecordemos que F2 es el grupo libre de palabras reducidas endos letras a y b. Podemos escoger EF2 el árbol dibujado abajodonde a mueve "una unidad" a la derecha y b mueve "unaunidad" arriba. Por lo tanto BF2 = S1 ∨ S1.
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Relaciones con acciones
G actúa libremente sobre algún árbol si y sólo si BG eshomotópicamente equivalente a un grafo.
Un grupo finito G actúa libremente sobre algún complejofinito X ' Sn si y sólo si BG tiene cohomología periódica.
Si G actúa linealmente y fielmente sobre algún Cn,entonces H∗(BG) es finitamente generado como anillo.
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Relaciones con álgebra
G es un grupo libre si y sólo si BG es homotópicamenteequivalente a un grafo.
H2(BG; A) está en biyección con el conjunto de clases deequivalencia de extensiones centrales de G por A.
Hn(BG; A) ∼= TorZGn (Z,A) Hn(BG; A) ∼= Extn
ZG(Z,A).
cd(BG) = projdimZG Z.
K (BG) ∼= R(G)∧IG .
Si BG es un CW-complejo de dimensión finita, entonces Gno tiene elementos de orden finito.
G ∼= H si y sólo si BG ' BH.
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Posibles accionessalvo homotopía de G
oo //
OO
Propiedades algebraicasde GOO
Propiedades homotópicas
de BGoo // Propiedades de ZG-módulos
o D(ZG)
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Propiedades p-locales de grupos
Denotamos cg(x) = gxg−1.
DefiniciónSe dice que G y H son p-localmente equivalentes si existe unisomorfismo φ : S → R entre sus p-Sylows tal que para cadaG-conjugación cg : P → Q entre subgrupos de S se tiene queφcgφ
−1 = ch para algún h ∈ H, y para cada H-conjugaciónck : A→ B entre subgrupos de R existe z ∈ G tal queφ−1ckφ = cz .
Lo denotamos por G ∼p H. Sea Q una propiedad de gruposfinitos tal que si G cumple Q y G ∼p H, entonces H cumple Q.Se dice que Q es una propiedad p-local. Igualmente si F esuna asignación que a cada grupo finito le asigna un objeto talque si G ∼p H entonces F (G) ∼= F (H), se dice que F es uninvariante p-local.
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Algunas propiedades p-locales de grupos
Ser p-nilpotente. Los elementos de orden primo a pforman un subgrupo.
Tener un p-subgrupo normal no trivial.
El p-rango. El máximo natural n tal que G contiene unsubgrupo isomorfo a (Z/p)n.
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Propiedades p-locales de espaciosDefiniciónSe dice que dos espacios X y Y son p-localmenteequivalentes si existe f : X → Y que induce un isomorfismo entodos los grupos de homología con coeficientes en Fp.
Igualmente lo denotamos X ∼p Y y tenemos igualmentepropiedades e invariantes p-locales.
Para cada espacio X , existe un espacio X∧p que se llama sup-completación. Si los espacios son p-buenos, una funciónf : X → Y induce un isomorfismo en Fp-homología si y sólo sila función inducida f∧p : X∧p → Y∧p es una equivalenciahomotópica.
Así que las propiedades (invariantes) p-locales de espacioscorresponden a propiedades (invariantes) homotópicas de susp-completaciones.
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Relaciones entre ambas
G es p-nilpotente si y sólo si BG∧p ' BS.
El p-rango de G coincide con la longitud de Krull deHeven(BG∧p ;Fp).
Hn(Ω(BG∧p );Fp) ∼= ExtneFpGe(FpGe,FpGe) para cierto
idempotente e en FpG y para todo n > 1.
Si G contiene p-subgrupos elementales abelianosmaximales de dimensiones diferentes, entoncesH∗(BG∧p ;Fp) no es Cohen-Macaulay.
G ∼p H si y sólo si BG ∼p BH.
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Posibles accionessalvo p-equivalencia de G
oo //
OO
Propiedades p-localesde GOO
Propiedades p-locales
de BGoo // Propiedades de FpG-módulos
o D(FpG)
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El sistema de fusión de un grupo finito
Teorema (Cartan-Eilenberg)
H∗(BG;Fp) ∼= lim←−FS(G)
H∗(BQ;Fp)
Dado un grupo finito G y un p-Sylow S, su sistema de fusiónFS(G) es la categoría con
Objetos: Subgrupos de S.
HomG(P,Q) = cg : P → Q | g ∈ G
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El sistema de fusión de un grupo finito II
Es más, este resultado se puede mejorar a
BG∧p '
(hocolim−−−−−→FS(G)
BQ
)∧p
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Sistemas de fusión abstractos
Definición (L. Puig ; C. Broto, R. Levi y B. Oliver ’03)
Un sistema de fusión F sobre un p-grupo finito S es unasubcategoría de la categoría de grupos cuyos objetos son lossubgrupos de S y cuyos morfismos HomF (P,Q) satisfacen:(a) HomS(P,Q) ⊆ HomF (P,Q) ⊆ Inj(P,Q) para todo
P,Q ≤ S.(b) Todo morfismo en F factoriza como un isomorfismo en F
seguido de una inclusión.
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Definición (L. Puig ; C. Broto, R. Levi y B. Oliver ’03)
Sea F un sistema de fusión sobre un p-grupo finito S.Un subgrupo P ≤ S está completamente centralizado enF si |CS(P)| ≥ |CS(P ′)| para todo P ′ ≤ S que seaF-isomorfo a P.Un subgrupo P ≤ S está completamente normalizado enF si |NS(P)| ≥ |NS(P ′)| para todo P ′ ≤ S que seaF-isomorfo a P.F es un sistema de fusión saturado si se cumplen:
(I) Para cada P ≤ S que está completamente normalizado enF , P está completamente centralizado en F y AutS(P) esun p-Sylow de AutF (P).
(II) Si P ≤ S y φ ∈ HomF (P,S) son tales que φP estácompletamente centralizado, considerando
Nφ = g ∈ NS(P) | φcgφ−1 ∈ AutS(φP)
existe φ ∈ HomF (Nφ,S) tal que φ|P = φ.
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Grupos p-locales finitos
Definición (Broto, Levi, Oliver ’03)Un grupo p-local finito es un espacio de la forma
BF =
(hocolim−−−−−→F
BQ
)∧p
donde F es un sistema de fusión saturado.
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Los grupos 2-locales de Solomon
Sea P un 2-Sylow de Spin7(F3).
Teorema (Solomon ’74)No existe ningún grupo finito G con 2-Sylow P tal queFP(Spin7(F3)) ⊆ FP(G) y tal que todos los elementos de ordendos en P son G-conjugados.
De haber existido, habría sido un nuevo grupo finito simple.
Sin embargo, R. Levi y B. Oliver construyeron en 2002 unsistema de fusión saturado sobre P con esas característicasañadiéndole a FP(Spin7(F3)) más automorfismos de ciertosubgrupo y sus restricciones.
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Otros sistemas de fusión
En teoría de representaciones modulares, dado un grupo finitoG y un campo K algebraicamente cerrado de característica p,un bloque de G es un ideal indescomponible de KG.
La teoría de Brauer asocia a cada bloque un grupo de defecto,que es un p-grupo S. Las G-conjugaciones entre los subgruposde S que son compatibles en cierto sentido con los bloquesrespectivos dan lugar a un sistema de fusión saturado sobre S.
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Propiedades homotópicas de grupos p-locales finitos
H∗(BF ;Fp) ∼= lim←−F
H∗(BQ;Fp). (Broto, Levi, Oliver ’03)
[BQ,BF ] ∼= Rep(Q,F) para cualquier p-grupo finito Q.(Broto, Levi, Oliver ’03)
BCF (ρ(Q)) ' Map(BQ,BF)ρ si ρ(Q) es completamentecentralizado. (Broto, Levi, Oliver ’03)
Aut(BF) ' |Auttyp(L)|, donde L es una cierta categoríadeterminada por F . (Broto, Levi, Oliver ’03)
H2(BF ; A) está en biyección con el conjunto de clases deequivalencia de extensiones centrales de F por A. (Broto,Castellana, Grodal, Levi, Oliver ’07)
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Propiedades homotópicas de grupos p-locales finitos
BF ' BS si y sólo si F = FS(S). También generalizamosmuchos de los criterios de p-nilpotencia. (C., Scherer,Viruel ’14)
K(BF) ∼= R(F) (C., Castellana, Morales ’17)
K (BF) ∼= R(F)∧IF (Bárcenas, C. ’18)
αK (BF) ∼= αR(F)∧IF (Bárcenas, C. ’18)
h∗(BF) ∼= lim←−F
h∗(BQ) (C., Castellana, Morales ’17)
Si H∗(BF ;Fp) es Cohen-Macaulay, entonces esGorenstein. (C., Castellana, Morales ’17)
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Conjetura de Quillen
Un grupo finito G tiene un p-subgrupo normal no trivial si y sólosi la realización geométrica del poset de p-subgrupos notriviales de G es contráctil.
Esta conjetura sigue abierta desde 1978!
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La cohomología de los 2-grupos locales de Solomon
Sea FSol el grupo 2-local finito construido por Levi y Oliversobre un 2-Sylow de Spin7(F3)
H∗(BFSol;F2) ∼= F2[u8,u12,u14,u15, y7, y11, y13]/I
donde I es el ideal generado por los polinomios
y211 + u8y2
7 + u15y7
y213 + u12y2
7 + u15y11
y47 + u14y2
7 + u15y13
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La cohomología de los 2-grupos locales de Solomon
H∗(BFSol;F2) es un F2[u8,u12,u14,u15]-módulo libre yfinitamente generado. Así que es Cohen–Macaulay.
El cociente H∗(BFSol;F2) por el ideal generado por el subanillopolinomial F2[u8,u12,u14,u15] es el anillo graduado
F2[y7, y11, y13]/(y47 , y
211, y
213)
que es un álgebra con dualidad de Poincaré en dimensión 45,así que H∗(BFSol;F2) is Gorenstein.
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