teorema d
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EJEMPLO 5 Encuentre ( a ) ∫ ( x 4 + 3 x ) 30 ( 4 x 3 +3 ) dx ; ( b ) ∫ sen 10 x cos xdx. Solución ( a ) Sea g ( x) =x 4 + 3 x; entonces, g ' ( x ) =4 x 3 +3. Por lo tanto, por el teorema D, ∫ ( x 4 +3 x ) 30 ( 4 x 3 + 3) dx = ∫ [ g ( x) ] 30 g ' ( x ) dx = [ g ( x ) ] 31 31 + C= ( x 4 +3 x ) 31 31 +C ( b ) Sea g ( x) =senx; entonces, g ' ( x ) =cos x; entonces. ∫ sen 10 x cos xdx = ∫ [ g ( x ) ] 10 g ' ( x ) dx= [ g ( x) ] 11 11 +C= sen 11 x 11 +C Ahora se puede ver porqué Leibniz usaba la diferencial dx en su notación ∫ … dx. Si hacemos u=g ( x) , entonces du= g ' ( x ) dx . La conclusión del teorema, D es, por lo tanto, ∫ u r du = u r +1 r+ 1 + C,r≠−1 que es la regla ordinaria de potencias con u como variable. Entonces, la regla de potencias generalizada no es más que la regla ordinaria de potencias aplicada a funciones. Pero al aplicarla, siempre debemos asegurarnos de que tenemos a du para acompañar a u r . Los siguientes ejemplos ilustrarán lo que queremos decir. Teorema D (Regla de potencias generalizada.) Sea g una función diferenciable y r un número irracional distinto de -1. Entonces ∫ [ ( ) ] r ( ) [ g ( x ) ] r +1
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Teorema D(Regla de potencias generalizada.) Sea g una funcin diferenciable y r un nmero irracional distinto de -1. Entonces
EJEMPLO 5 Encuentre Solucin Sea entonces, Por lo tanto, por el teorema D,
Sea entonces, entonces.
Ahora se puede ver porqu Leibniz usaba la diferencial dx en su notacin . Si hacemos entonces La conclusin del teorema, D es, por lo tanto,
que es la regla ordinaria de potencias con u como variable. Entonces, la regla de potencias generalizada no es ms que la regla ordinaria de potencias aplicada a funciones. Pero al aplicarla, siempre debemos asegurarnos de que tenemos a du para acompaar a Los siguientes ejemplos ilustrarn lo que queremos decir.EJEMPLO 6 Encuentre Solucin Sea entonces, Por lo tanto, y entonces
