Instituto Superior Tecnico

Departamento de Matematica

Seccao de Algebra e Analise

Prof. Gabriel Pires

Teorema da Mudanca de Variaveis

1 Mudanca de Variaveis

Definicao 1 Seja T ⊂ Rn um aberto. Diz-se que uma funcao g : T → R

n e uma Mudancaou Transformacao de Variaveis em T se verificar as seguintes condicoes:

i) g e de classe C1.

ii) g e injectiva.

iii) A derivada de g e injectiva, ou seja, detDg(t) 6= 0 ; ∀t ∈ T.

Exemplo 1.1 Coordenadas Polares (r, θ) em R2

As coordenadas polares (r, θ) sao definidas por

x = r cos θ

y = r sen θ

De acordo com a figura 1, r =√

x2 + y2 designa a distancia de cada ponto de coor-denadas (x, y) a origem e θ e o angulo formado entre o semi-eixo positivo x e o vector(x, y).

x

y

0

(x, y)

θ

r

Figura 1: Coordenadas Polares (r, θ) em R2

1

Seja g(r, θ) = (r cos θ, r sen θ) = (x, y). Entao, g e de classe C1 em R2 e a derivada e

injectiva em R2 \ {(0, 0)}. De facto temos

detDg(r, θ) =

[

cos θ −r sen θsen θ r cos θ

]

= r(cos2 θ + sen2 θ) = r.

Dado que as funcoes trigonometricas sao periodicas, a funcao g nao e injectiva emR

2 \ {(0, 0)}. Mas, se definirmos

T = {(r, θ) ∈ R2 : r > 0 ; 0 < θ < 2π}

entao, a funcao g : T → R2 e uma mudanca de variaveis.

A funcao g transforma T no conjunto

g(T ) = R2 \ {(x, y) : y = 0 ; x ≥ 0}

Dado que x2 + y2 = r2, para cada r fixo em T obtemos, em (x, y), uma circunferenciade raio r e centro na origem tal como se representa na figura 2.

x

y

0

0

θ

θ

θ

r

r rR

R

2π

Figura 2:

Por outro lado, para cada θ fixo em T obtemos, em (x, y) um segmento de recta talcomo se mostra na figura 2. Portanto, ao cırculo centrado na origem e de raio R e do qualse retire o semi-eixo positivo x corresponde, nas coordenadas polares (r, θ), o rectangulo]0, R[×]0, 2π[ tal como se apresenta na figura 2.

Exemplo 1.2 Coordenadas Cilındricas (ρ, θ, z) em R3

As coordenadas cilındricas (ρ, θ, z) sao definidas por

x = ρ cos θ

y = ρ sen θ

z = z

2

De acordo com a figura 3, ρ =√

x2 + y2 designa a distancia de cada ponto de coor-denadas (x, y, z) ao eixo z e θ e o angulo formado entre o semi-eixo positivo x e o vector(x, y, 0).

x

y

z

0

θρ

(x, y, z)

(x, y, 0)

Figura 3: Coordenadas Cilındricas (ρ, θ, z) em R3

SejaT = {(ρ, θ, z) ∈ R

3 : ρ > 0 ; 0 < θ < 2π ; z ∈ R}entao a funcao g : T → R

3 definida por

g(ρ, θ, z) = (ρ cos θ, ρ sen θ, z)

e de classe C1, injectiva e a respectiva derivada e injectiva porque

detDg(ρ, θ, z) = det

cos θ −ρ sen θ 0sen θ ρ cos θ 00 0 1

= ρ > 0

Portanto a funcao g : T → R3 e uma mudanca de variaveis.

Facilmente se verifica que ao cilindro com eixo z, de raio R e altura h e do qual seretire o plano {x ≥ 0 ; y = 0} corresponde, em coordenadas cilındricas, o paralelipıpedo]0, R[×]0, 2π[×]0, h[ tal como se mostra na figura 4.

3

PSfrag

z

θ

ρ

h

T

R

2π

x

y

z

h

X

R

Figura 4:

Exemplo 1.3 Coordenadas Esfericas (r, θ, φ) em R3

As coordenadas esfericas (r, θ, φ) sao definidas por

x = r sen φ cos θ

y = r sen φ sen θ

z = r cosφ

De acordo com a figura 5, r =√

x2 + y2 + z2 designa a distancia de cada ponto decoordenadas (x, y, z) a origem, θ e o angulo formado entre o semi-eixo positivo x e o vector(x, y, 0) e φ designa o angulo entre o semieixo positivo z o vector (x, y, z).

x

y0

θ

z

rφ

(x, y, z)

(x, y, 0)

Figura 5: Coordenadas Esfericas (r, θ, φ) em R3

SejaT = {(r, θ, φ) ∈ R

3 : r > 0 ; 0 < θ < 2π ; 0 < φ < π}entao a funcao g : T → R

3 definida por

g(r, θ, φ) = (r senφ cos θ, r sen φ sen θ, r cosφ)

4

e de classe C1, injectiva e a respectiva derivada e injectiva porque

detDg(r, θ, φ) = det

sen φ cos θ −r sen φ sen θ r cosφ cos θsenφ sen θ r sen φ cos θ r cosφ sen θ

cosφ 0 −r sen φ

= −r2 senφ 6= 0

Portanto, a funcao g : T → R3 e uma mudanca de variaveis.

0θ

r

φ

π

2π

T

R

x

y

z

X

Figura 6:

Assim, a bola centrada na origem, de raio R e da qual se retire o plano {x ≥ 0 ; y = 0}corresponde o paralelipıpedo [0, R[×]0, 2π[×]0, π[ tal como se representa na figura 6.

***

Devemos notar que as coordenadas cilındricas e as esfericas podem ser vistas no mesmodiagrama para mais facilmente as relacionarmos tal como se ilustra na figura 7.

E claro que temos

z = r cos(φ) ; r2 = ρ2 + z2 ; ρ = r sen(φ)

e, portanto, basta ter presente o diagrama bidimensional em ρ , z, representado na figura7, para podermos descrever subconjuntos de R3 em coordenadas cilındricas e/ou esfericas,como veremos nos exemplos.

***

5

x

(x, y, z)

(x, y, 0)

y0

θ

z

rφ

ρ

z

r

ρ

(ρ, z)φ

Figura 7: Coordenadas esfericas e cilındricas

Exemplo 1.4 Transformacao Linear de Variaveis em Rn

Seja g : Rn → Rn uma transformacao linear e seja A a matriz que a representa, ou seja

g(v) = Av ; v ∈ Rn. Tendo em conta que uma transformacao linear e de classe C1 e que a

respectiva derivada e representada pela matriz A, entao g e uma mudanca de variaveis emRn desde que se verifique a condicao

detA 6= 0.

Na figura 8 encontra-se representada uma transformacao linear em R2. Se designarmos

por {e1, e2} a base canonica de R2, teremos

g(e1) = g(1, 0) = v1 ; g(e2) = g(0, 1) = v2,

e, portanto, a funcao g transforma o quadrado T no paralelogramo X, ou seja,

X = g(T ).

Note-se que a matriz A que representa a transformacao g e a que se obtem colocandoem colunas os vectores v1 e v2.

E sabido da Algebra Linear que o modulo do determinante da matriz A e precisamentea area do paralelogramo X. Assim, fica claro que temos

vol2(X) = det(A) vol2(T )

e, portanto,∫∫

X

dxdy =

∫∫

T

| det(A)|dudv.

6

Se notarmos que, por ser linear, a derivada de g e a matriz A, ou seja, Dg(u, v) = A,

teremos∫∫

X

dxdy =

∫∫

T

| det(Dg(u, v)|dudv.

E claro que esta formula se verifica em Rn substituindo o conceito de area pelo de

volume de dimensao n.Veremos adiante que, para uma transformacao de variaveis qualquer, teremos a mesma

formula de transformacao do integral e constituira a essencia do teorema da mudanca devariaveis.

x

y

u

v

e1

e2

v1

v2

TX

Figura 8: Transformacao linear em R2

Exemplo 1.5 Transformacoes Primitivas em R2

Seja φ : R2 → R uma funcao de classe C1 tal que ∂φ∂u(u, v) 6= 0, e consideremos a funcao

p : R2 → R2 definida por

p(u, v) = (φ(u, v), v).

E claro que p e de classe C1, injectiva e detDp(u, v) = ∂φ∂u(u, v) 6= 0 e, portanto e uma

mudanca de variaveis em R2.

Seja ψ : R2 → R uma funcao de classe C1 tal que ∂ψ∂v(u, v) 6= 0, e consideremos a funcao

q : R2 → R2 definida por

q(u, v) = (u, ψ(u, v)).

E tambem claro que q e uma mudanca de variaveis em R2 e que detDq(u, v) =

∂ψ∂v(u, v) 6= 0Nas figuras 9 e 10 mostra-se como um intervalo se transforma sob a accao de p e de

q, respectivamente. Note-se que p mantem as arestas horizontais e q matem as arestasverticais.

As transformacoes definidas deste modo chamamos transformacoes primitivas.Qualquer mudanca de variaveis em R

2 pode ser dada, localmente, pela composicao deduas primitivas.

De facto, seja g : R2 → R2 uma mudanca de variaveis definida por

g(u, v) = (φ(u, v), ψ(u, v)).

7

x

y

u

v

a b

cc

dd

x = φ(u, v)

T X = p(T )

Figura 9: Transformacao Primitiva (x, y) = p(u, v) = (φ(u, v), v)

x

y

u

v

aa bb

c

dy = ψ(u, v)

TX = q(T )

Figura 10: Transformacao Primitiva (x, y) = q(u, v) = (u, ψ(u, v))

Sendo,

detDg(u, v) =∂φ

∂u

∂ψ

∂v− ∂φ

∂v

∂ψ

∂u6= 0,

pelo menos uma das derivadas parciais de φ ou de ψ deve ser nao nula.Se tivermos

∂φ

∂u(u0, v0) 6= 0,

entao, pelo teorema da funcao implıcita, a equacao x = φ(u, v) define localmente u comofuncao de (x, v), ou seja, teremos u = u(x, v) em algum intervalo que contem o ponto(u0, v0) e em algum intervalo que contem x0 = φ(u0, v0).

Se definirmos p(u, v) = (φ(u, v), v) e q(x, v) = (x, ψ(u(x, v), v)), entao

g(u, v) = (q ◦ p)(u, v) = (φ(u, v), ψ(u, v)).

Portanto, existe um intervalo que contem o ponto (u0, v0) e um intervalo que contem oponto (x0, y0) = g(u0, v0), em que a transformacao g e a composicao de duas transformacoesprimitivas.

8

2 Teorema da Mudanca de Variaveis

Muitas vezes o calculo do integral simplifica-se bastante mudando de variaveis. Ovolume de conjuntos que apresentam simetria cilındrica ou esferica pode ser calculadomais facilmente em coordenadas cilındicas ou esfericas respectivamente, como veremos nosexemplos.

Teorema 2.1 Seja T ⊂ Rn um conjunto aberto e limitado, g : T → R

n uma mudanca devariaveis tal que X = g(T ) e f : X → R uma funcao integravel em X. Entao,

∫

X

f(x)dx =

∫

T

f(g(t)) |detDg(t)|dt.

A demonstracao do caso geral pode ser vista na bibliografia (cf. [2, 1]). No entanto,nao e difıcil aceita-lo como verdadeiro bastando ter em conta o caso em que a mudanca devariaveis e linear tal como foi visto no exemplo 1.4.

Por ser muito instrutivo, veremos com algum detalhe o caso em R2, usando a nocao de

transformacoes primitivas.Do exemplo 1.5, sabemos que uma mudanca de variaveis g : T → R

2 pode ser dada,localmente, pela composicao de duas transformacoes primitivas, ou seja,

g(u, v) = (q ◦ p)(u, v) = (φ(u, v), ψ(u, v)),

em quep(u, v) = (φ(u, v), v) ; q(u, v) = (u, ψ(u, v))

sao funcoes de classe C1.

Suponhamos, por simplicidade, que temos

∂φ

∂u> 0 ;

∂ψ

∂v> 0.

SejaS = p(T ) = {(φ(u, v), v) : (u, v) ∈ T}

e, portanto,X = g(T ) = q(p(T )) = q(S) = {(x, ψ(x, v) : (x, v) ∈ S}.

Seja I um intervalo tal que S ⊂ I e consideremos uma particao de I dada pelos pontosxj , j = 1, . . . ,M e pelos pontos vk, k = 1, . . . , N.

Sejam Ijk os subintervalos dessa particao tal como se ilustra na figura 11.

Seja R = q(I) e Rjk = q(Ijk). E claro que, o conjunto Rjk e limitado pelas linhasparalelas x = xj e x = xj+1 e pelas linhas y = ψ(x, vk) e y = ψ(x, vk+1), tal como se ilustrana figura 12.

9

xu

vv

Ijk

T

I

S = p(T )

Figura 11: Mudanca de variaveis: S = p(T )

xx

yv

xjxj xj+1xj+1

vk

vk+1

Ijk Rjk

Figura 12: Mudanca de variaveis: Rjk = q(Ijk)

Assim, teremos

vol2(Rjk) =

∫ xj+1

xj

(ψ(x, vk+1)− ψ(x, vk+1))dx.

Pelo teorema do valor medio em R, existe um ponto x′j ∈ ]xj , xj+1[, tal que

vol2(Rjk) = (ψ(x′j , vk+1)− ψ(x′j , vk))(xj+1 − xj).

Pelo teorema de Lagrange em R, existe um ponto v′k ∈ ]vk, vk+1[, tal que

vol2(Rjk) =∂ψ

∂v(x′j , v

′k)(xj+1 − xj)(vk+1 − vk).

Dado que f e integravel em X entao a soma

∑

j,k

f(x′j, v′k)∂ψ

∂v(x′j , v

′k)(xj+1 − xj)(vk+1 − vk)

converge para o integral de f em X.

Mas, sendo vol2(Ijk) = (xj+1 − xj)(vk+1 − vk), entao∫∫

X

f(x, y)dxdy =

∫∫

S

f(x, v)∂ψ

∂v(x, v)dxdv.

10

Argumentando da mesma forma trocando os papeis de x, y e de φ, ψ, respectivamente,obtemos∫∫

S

f(x, v)∂ψ

∂v(x, v)dxdv =

∫∫

T

f(φ(u, v), ψ(φ(u, v), v))∂ψ

∂v(φ(u, v), v)

∂φ

∂u(u, v)dudv.

Notando que

detDg(u, v) =∂ψ

∂v(φ(u, v), v)

∂φ

∂u(u, v),

teremos entao,∫∫

X

f(x, y)dxdy =

∫∫

T

f(g(u, v))| detDg(u, v)|dudv.

Dado que T e limitado, entao pode ser decomposto numa uniao finita de intervalos emque a mudanca de variaveis g e a composicao de transformacoes primitivas e, portanto,teremos a formula da mudanca de variaveis.

***

Exemplo 2.1 Area de um cırculo em R2:

Seja S o cırculo centrado na origem de R2 e de raio R

S = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < R2}

Seja X o conjunto que se obtem de S retirando-lhe o semi-eixo positivo x

X = S \ {(x, 0) : x ≥ 0}

Considerando a mudanca de variaveis para coordenadas polares em R2

g(r, θ) = (r cos θ, r sen θ) = (x, y)

sabemos queX = g(T )

em queT = {(r, θ) : 0 < r < R ; 0 < θ < 2π}

Notando que o segmento de recta {(x, 0) : 0 ≤ x < R} tem conteudo nulo em R2 e,

aplicando o teorema da mudanca de variaveis e o teorema de Fubini, obtemos

vol2(S) = vol2(X) =

∫

T

rdrdθ =

∫ 2π

0

(∫ R

0

rdr

)

dθ = πR2.

E de salientar que o conjunto T e um intervalo e, portanto, a aplicacao do teorema deFubini no calculo do integral duplo e muito simples.

11

Exemplo 2.2 Volume de um cilindro em R3:

Seja S o cilindro vertical de raio R e altura h dado por

S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 < R2 ; 0 < z < h}

Seja X o conjunto que se obtem de S retirando-lhe o semi-plano {y = 0 ; x ≥ 0 }, ouseja,

X = S \ {(x, y, z) : 0 ≤ x < R ; y = 0 ; 0 < z < h}e consideremos a mudanca de variaveis para coordenadas cilındricas em R

3

g(ρ, θ, z) = (ρ cos θ, ρ sen θ, z) = (x, y, z)

Entao,X = g(T )

em queT = {(ρ, θ, z) : 0 < ρ < R ; 0 < θ < 2π ; 0 < z < h}

Sabendo que o rectangulo {(x, y, z) : 0 ≤ x < R ; y = 0 ; 0 < z < h} tem contedo nuloem R

3 e, aplicando o teorema da mudanca de variaveis e o teorema de Fubini, obtemos

vol3(S) = vol3(X) =

∫

T

ρ dρdθdz =

∫ 2π

0

(∫ h

0

(∫ R

0

ρdr

)

dz

)

dθ = πR2h

Note-se que T e um intervalo e, portanto, a aplicacao do teorema de Fubini ao calculodo integral e simples.

Exemplo 2.3 Volume de uma bola em R3:

Seja B a bola centrada na origem de R3 e de raio R

B = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 < R2}

Seja X o conjunto que se obtem de B retirando-lhe o semi-plano {y = 0 ; x ≥ 0}

X = S \ {(x, y, z) : y = 0 ; x2 + z2 < R2}

e consideremos a mudanca de variaveis para coordenadas esfericas em R3

g(r, θ, φ) = (r sen φ cos θ, r senφ sen θ, r cosφ) = (x, y, z)

Entao,X = g(T )

sendoT = {(r, θ, φ) : 0 < r < R ; 0 < θ < 2π ; 0 < φ < π}

12

Tendo em conta que o semi-cırculo {(x, y, z) : y = 0 ; x2+ z2 < R2} tem conteudo nuloem R

3 e, aplicando o teorema da mudanca de variaveis e o teorema de Fubini, obtemos

vol3(B) = vol3(X) =

∫

T

r2 sen φdrdθdφ =

∫ 2π

0

(∫ π

0

(∫ R

0

r2 senφdr

)

dφ

)

dθ =4

3πR3.

Tal como nos exemplos anteriores, o conjunto T e um intervalo e a aplicacao do teoremade Fubini ao calculo do integral triplo e bastante simples.

Exemplo 2.4 Volume de uma calote esferica em R3:

Seja S a calote esferica, representada na figura 13 e definida por

S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 < R2 ; z > h}

e seja X o conjunto que se obtem de S retirando-lhe o semi-plano {y = 0 ; x ≥ 0}

X = S \ {(x, y, z) : y = 0 ; x ≥ 0}

x

y

z

h

RX z

h

R

ρ

ρ2 + z2 = R2

Figura 13: Calote esferica em coordenadas esfericas e cilındricas

Sendo S uma porcao de uma bola em R3, consideremos a mudanca de variaveis para

coordenadas esfericas

g(r, θ, φ) = (r sen φ cos θ, r senφ sen θ, r cosφ) = (x, y, z)

Da condicao z > h, obtemos r > hcosφ

e, portanto,

X = g(T )

em que

T = {(r, θ, φ) : 0 < θ < 2π ; 0 < φ < arccos(h

R) ;

h

cosφ< r < R}

13

Assim, o volume de S e dado por

vol3(S) = vol3(X)

=

∫ 2π

0

(

∫ arccos( hR)

0

(

∫ R

hcos φ

r2 sen φ dr

)

dφ

)

dθ

=2π

3

∫ arccos( hR)

0

sen φ

(

R3 − h3

cos3 φ

)

dφ

e, tendo em conta qued

dx

(

1

cos2 x

)

= 2sen x

cos3 x

obtemosvol3(S) =

π

3

(

2R3 − 3R2h+ h3)

Por outro lado, a calote esferica S tambem apresenta simetria cilındrica em torno doeixo z e, portanto, consideremos a mudanca para coordenadas cilındricas

g(ρ, θ, z) = (ρ cos θ, ρ sen θ, z) = (x, y, z)

Da inequacao x2 + y2 < R2 − z2 obtemos ρ <√R2 − z2 e entao

X = g(T )

em queT = {(ρ, θ, z) : h < z < R ; 0 < θ < 2π ; 0 < ρ <

√R2 − z2}

Assim, o volume de S e dado por

vol3(S) = vol3(X)

=

∫

T

ρ dρdθdz

=

∫ 2π

0

(

∫ R

h

(

∫

√R2−z2

0

ρ dρ

)

dz

)

dθ

= π

∫ R

h

(R2 − z2)dz

=π

3

(

2R3 − 3R2h + h3)

Exemplo 2.5 Volume de um cone em R3:

Seja S o cone representado na figura 14 e definido por

S = {(x, y, z) ∈ R3 :√

x2 + y2 < z < h}

14

x

y

z

h

X

z

h

h

ρ

z = ρ

Figura 14: Cone em R3

em que h > 0.Para cada valor de z temos um cırculo de raio z, ou seja, S apresenta simetria cilındrica

com eixo em z e, portanto, consideremos a mudanca para coordenadas cilındricas

g(ρ, θ, z) = (ρ cos θ, ρ sen θ, z) = (x, y, z)

Seja X o conjunto que se obtem de S retirando-lhe o plano {y = 0 ; x ≥ 0}.Das condicoes

√

x2 + y2 < z < h obtemos ρ < z < h e, portanto,

X = g(T )

em queT = {(ρ, θ, z) : 0 < θ < 2π ; 0 < ρ < h ; ρ < z < h}

O volume de S e, entao, dado por

vol3(S) = vol3(X)

=

∫ 2π

0

(∫ h

0

(∫ h

ρ

ρ dz

)

dρ

)

dθ

= 2π

∫ h

0

ρ(h− ρ)dρ

=π

3h3

Exemplo 2.6 Consideremos o solido V representado na figura 15 e descrito por

V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 < 1 + z2 ; x2 + y2 + z2 < 5 ; z > 0}

15

x

y

z

1

√5

√2

z

1 ρ

ρ2 + z2 = 5

ρ2 = 1 + z2

√5

√2

Figura 15:

Das inequacoes x2 + y2 + z2 < 5 e z > 0, obtemos 0 < z <√5. Por outro lado, as

superfıcies dadas, respectivamente, por x2 + y2 = 1+ z2 e x2 + y2 + z2 = 5 intersectam-sesegundo a linha dada pelas equacoes

z =√2 ; x2 + y2 = 3

E claro que V apresenta simetria cilındrica relativa ao eixo z. Assim, em coordenadascilındricas (ρ, θ, z), V e descrito por

i) Para 0 < z <√2, temos 0 < θ < 2π ; 0 < ρ <

√1 + z2

ii) Para√2 < z <

√5, temos 0 < θ < 2π ; 0 < ρ <

√5− z2

Portanto, pelo teorema da mudanca de variaveis, o volume de V pode ser calculado daseguinte maneira

vol3(V ) =

∫ 2π

0

(

∫

√2

0

(

∫

√1+z2

0

ρdρ

)

dz

)

dθ +

∫ 2π

0

(

∫

√5

√2

(

∫

√5−z2

0

ρdρ

)

dz

)

dθ

= π

∫

√2

0

(1 + z2)dz + π

∫

√5

√2

(5− z2)dz

= π10√5− 8

√2

3

Exemplo 2.7 Consideremos o solido limitado por um cone e uma esfera, representado nafigura 16 e descrito por

V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 < 2 ;

√

x2 + y2 < z}.

16

x

y

z

1

√2

z

1 ρ

ρ2 + z2 = 2

ρ = z

√2

Figura 16:

E claro que este solido apresenta simetria cilındrica em torno do eixo Oz. De facto,temos

ρ2 + z2 < 2 ; z > ρ,

ou seja,0 < θ < 2π ; 0 < ρ < 1 ; ρ < z <

√

2− ρ2,

tal como se ilustra na figura 16.Assim, o respectivo volume sera dado por

vol3(V ) =

∫ 2π

0

(

∫ 1

0

(

∫

√2−ρ2

ρ

ρdz

)

dρ

)

dθ

= 2π

∫ 1

0

ρ(

√

2− ρ2 − ρ)

dρ

=4π

3(√2− 1).

Da figura 16 tambem e claro que podemos recorrer as coordenadas esfericas para calcular

o volume de V. Sendo z > ρ e claro que 0 < φ <π

4e, portanto, teremos

0 < θ < 2π ; 0 < φ <π

4; 0 < r <

√2,

e o respectivo volume sera dado pelo integral

vol3(V ) =

∫ 2π

0

(

∫ π/4

0

(

∫

√2

0

r2 sen(φ)dr

)

dφ

)

dθ

=4π

3(√2− 1).

17

Exemplo 2.8 Consideremos o toro de raios R e r que se representa na figura 17 e descritopor

X = {(x, y, z) ∈ R3 : (

√

x2 + y2 −R)2 + z2 < r2}.

x y

z

X

N

ρ

z

s

φ

(ρ, z)r

−r

R

Figura 17: Toro de raios R, r

E claro que este toro pode ser descrito em coordenadas cilındricas mas iremos faze-lonas coordenadas (s, θ, φ), chamadas coordenadas toroidais.

Para isso, recorrendo a figura 17, e claro que temos

ρ−R = s cosφ ; z = s senφ

e, portanto

x = (R + s cosφ) cos θ

y = (R + s cosφ) sen θ

z = s senφ.

Note-se que o toro resulta da rotacao do cırculo centrado no ponto (ρ, z) = (R, 0) e raior, em torno do eixo Oz.

Seja T = {(s, θ, φ) ∈ R3 : 0 < θ < 2π ; 0 < φ < 2π ; 0 < s < r} e g : T → R

3 a funcaodefinida por

g(s, θ, φ) = ((R + s cosφ) cos θ, (R + s cosφ) sen θ, s senφ).

E facil verificar que g e uma mudanca de variaveis e que g(T ) = X \N, em que N e oconjunto definido por

N = {(0, y, z)} ∪ {(x, y, 0)},tal como se representa na figura 17.

Para alem disso temos detDg(s, θ, φ) = (R + s cosφ)s.Assim, o volume do toro sera dado pelo integral

vol3(X) =

∫ 2π

0

(∫ 2π

0

(∫ r

0

(R + s cosφ)sds

)

dφ

)

dθ

= 2π2Rr2.

18

Exemplo 2.9 Seja S ⊂ R2 a regiao representada na figura 18 e definida por

S = {(x, y) ∈ R2 : −x ≤ y ≤ π − x,

x

2− π

4≤ y ≤ x

2}

e consideremos funcao f : R2 → R definida por

f(x, y) = sen(x+ y) cos(x− 2y)

x

y

0 u

v

ST

π2

π

y = −x

y = x2

Figura 18:

Para calcular o integral∫

Sf consideremos a transformacao linear (u, v) = g(x, y) defi-

nida por

u = x+ y

v = x− 2y

Note-se que atraves desta transformacao a funcao f passa a ser o produto de duasfuncoes de uma variavel cada. Este facto ira certamente simplificar o calculo do integral.

Sendo linear, para que g seja uma mudanca de variaveis basta que a matriz que arepresenta seja nao singular. (Recorde-se que para uma transformacao linear a matriz quea representa e a sua derivada coincidem). Assim, g e uma mudanca de variaveis porque

detDg(x, y) =

[

1 11 −2

]

= −3 6= 0

E de salientar que a transformacao g permite mudar das coordenadas (u, v) para ascoordenadas (x, y) e o que se pretende e a mudanca inversa.

No entanto, a transformacao inversa g−1 e tambem uma mudanca de variaveis e

detDg−1(u, v) = −1

3

19

Assim, seja T ⊂ R2 tal que S = g−1(T ). Da definicao de S, obtemos

T = {(u, v) : 0 ≤ u ≤ π ; 0 ≤ v ≤ π

2}

Usando o teorema da mudanca de variaveis, obtemos,∫ ∫

S

f(x, y)dxdy =

∫ ∫

T

f(g−1(u, v)) |detDg−1(u, v)|dudv

=1

3

∫ π

0

(

∫ π2

0

sen(u) cos(v)dv

)

du

=1

3

(∫ π

0

sen(u)du

)

(

∫ π2

0

cos(v)dv

)

=2

3

Exemplo 2.10 Seja S ⊂ R2 a regiao representada na figura 19 e definida por

S = {(x, y) ∈ R2 : 1 < xy < 2 ; x > 0 ; x < y < 3x}.

e consideremos o integral em S da funcao definida por

f(x, y) =y

x(1 + x2y2)

x

y

0 0

1

1 2

3

u

v

ST

xy = 2xy = 1

y = x

y = 3x

Figura 19:

Note-se que S e um conjunto limitado e que a funcao f e limitada e contınua em S e,portanto, o respectivo integral existe.

20

Tendo em conta que S pode ser dado por

S = {(x, y) ∈ R2 : 1 < xy < 2 ; x > 0 ; 1 <

y

x< 3}.

e a funcao f depende do produto xy e da razao yx, consideremos a transformacao (u, v) =

g(x, y) definida por

u = xy

v =y

x

Entao,T = g(S) = {(u, v) : 1 < u < 2 ; 1 < v < 3}

ou seja, a funcao g transforma S no rectangulo T = g(S).Vejamos que g e uma mudanca de variaveis em S. E claro que g e de classe C1. Da

definicao de g, obtemos

x =

√

u

v

y =√uv

e, portanto, g e invertıvel, ou seja, injectiva.A derivada de g e dada pela matriz

Dg(x, y) =

[

y x

− yx2

1x

]

e, tendo em conta que, y > x > 0, temos

detDg(x, y) = 2y

x> 0

Portanto, g e uma mudanca de variaveis.Aplicando o teorema da mudanca de variaveis e, tendo o cuidado de notar que a trans-

formacao a usar e a funcao g−1 e que

detDg−1(u, v) =1

2v

obtemos∫ ∫

S

f(x, y)dxdy =

∫ ∫

T

f(g−1(u, v)) |detDg−1(u, v)|dudv

=1

2

∫ 3

1

(∫ 2

1

1

1 + u2du

)

dv

= arctan(2)− arctan(1)

21

Exemplo 2.11 Seja S o cırculo centrado na origem de R2 e de raio R e consideremos a

funcao definida porf(x, y) = e−(x2+y2)

Para calcular o integral de f em S consideremos a mudanca para coordenadas polares

g(r, θ) = (r cos θ, r sen θ)

Do exemplo 1.1 sabemos queg(T ) = S

em queT = {(r, θ) : 0 < r < R ; 0 < θ < 2π}

Assim, temos∫

S

f(x, y)dxdy =

∫

T

f(g(r, θ)) |detDg(r, θ)|drdθ

=

∫ 2π

0

(∫ R

0

re−r2

dr

)

dθ

= 2π

∫ R

0

re−r2

dr

= π(1− e−R2

)

Note-se que se aplicarmos o teorema de Fubini ao calculo do integral em coordenadas(x, y), obtemos

∫

S

f(x, y)dxdy =

∫ R

−Re−x

2

(

∫

√R2−x2

−√R2−x2

e−y2

dy

)

dx

e este integral nao e facilmente calculavel por nao termos a disposicao uma primitiva paraa funcao e−x

2

.Em coordendas polares este problema nao existe porque a funcao a integrar e dada por

re−r2

cuja primitivacao e imediata.

***

Referencias

[1] Luıs T. Magalhaes. Integrais Multiplos. Texto Editora, 1996.

[2] W. Rudin. Principles of Mathematical Analysis. McGraw Hill, 1996.

22