Universidad Nacional Autónoma de MéxicoColegio de Ciencias y Humanidades Lizamar Escobar Estrada Grupo: 611

Teorema de Chebyshev

El matemático ruso P. L. Chebyschev (1821–1894) descubrió que la fracción de área entre cualesquiera dos valores simétricos alrededor de la media está relacionada con la desviación estándar. Como el área bajo una curva de distribución de probabilidad, o de un histograma de probabilidad, suma 1, el área entre cualesquiera dos números es la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor entre estos números.

El siguiente teorema, debido a Chebyshev da una estimación conservadora de la probabi8lidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de κ desviaciones estándar de su media para cualquier número real κ proporcionaremos la demostración solo para el caso continuo y se deja el caso discreto como ejercicio.

En probabilidad, la desigualdad de Chebyshev es un resultado estadístico que ofrece una cota inferior a la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria con varianza finita esté a una cierta distancia de su esperanza matemática o de su media; equivalentemente, el teorema proporciona una cota superior a la probabilidad de que los valores caigan fuera de esa distancia respecto de la media.

El teorema es aplicable incluso en distribuciones que no tienen forma de "curva de campana" y acota la cantidad de datos que están o no "en medio".

Teorema: Sea X una variable aleatoria de media μ y varianza finita σ². Entonces, para todo número real k > 0,k\sigma)\leq\frac{1}{k^2}." src="http://upload.wikimedia.org/math/a/b/c/abc4ac8eeb75c0db369ab6c6f8be19ec.png">Sólo los casos con k > 1 proporcionan información útil.

Para ilustrar este resultado, supongamos que los artículos de Wikipedia tienen una extensión media de 1000 caracteres y una desviación típica de 200 caracteres. De la desigualdad de Chebyshev se deduce que al menos el 75% de los artículos tendrán una extensión comprendida entre 600 y 1400 caracteres (k = 2).Otra consecuencia del teorema es que para cada distribución de media μ y desviación típica finita σ, al menos la mitad de los valores caerán en el intervalo (μ-√2 σ, μ+√2 σ).

Las cotas proporcionadas por la desigualdad de Chebyshev, en general, no se pueden mejorar; es posible construir una variable aleatoria cuyas cotas de Chebyshev sean exactamente iguales a las probabilidades reales. Sin embargo, en general el teorema proporcionará cotas poco precisas.El teorema puede ser útil a pesar de las cotas imprecisas porque se aplica a una amplia gama de variables que incluye las que están muy alejadas de la distribución normal, y porque las cotas son fáciles de calcular. El teorema se emplea para demostrar la ley débil de los números grandes.El teorema recibe su nombre del matemático Pafnuty Chebyshev.

TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL

Teorema:

Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una distribución con media μ y varianza σ ². Entonces, si n es suficientemente grande, X tiene aproximadamente una distribución normal con μx = μ y σx ² = σ ²/n, y T0 tiene también aproximadamente una distribución normal con μT0 = n.μ, σ ²T0 = n.σ ². Cuanto mas grande sea el valor de n, mejor será la aproximación.El Teorema del Límite Central garantiza una distribución normal cuando n es suficientemente grandeSi n > 30, se puede usar el TLC.Si la distribución madre es normal, la distribución de la media muestral también es normal, independientemente del tamaño.x ≈ N(μx; σx) x ≈ N(μx; σx)Ejemplo 1:Si se sabe que la dureza Rockwell de pernos de cierto tipo tiene un valor medio de 50 y desviación estándar de 1,5.a) Si la distribución es normal, ¿cuál es la probabilidad de que la dureza muestral media para una muestra aleatoria de 9 pernos sea por lo menos 52?b) ¿Cuál es la probabilidad (aproximada) de que la dureza muestral media para una muestra aleatoria de 40 pernos sea al menos 52?x = 50σ = 1,5x ≈ N(50; 1,5)a)n = 9x = 52x ≈ N(50; 1,5.√9)z = (x - μ)/(σ/√n) 

La probabilidad de que la media muestral sea superior a 52 es:

P(x ≥ 52) = P(z ≥ 4) = 0Con el valor de z obtenido de tablas:

P(x1 ≤ x ≤ x2) = P(z1 ≤ z ≤ z2) = φ(z) Tener en cuenta que los valores para:φ(z) = P(z ≤ z1)b)n = 40Con el valor de z obtenido de tablas:

P(x ≥ 52) = P(z ≥ 8,4327) = 0

Reglas empíricas

W.W. Hines y D. Montgomery, en su texto Probabilidad y Estadística para Ingeniería, (CECSA 1998, pág. 238), se hacen la pregunta “¿Qué tan grande debe ser n para obtener resultados razonables utilizando la distribución normal para aproximar la distribución de X(n)? Después de confesar que no es una pregunta fácil de responder puesto que la respuesta depende tanto de las características de la distribución de las variables Xk, como del significado de “resultados razonables”, proponen lo que llaman “reglas empíricas imperfectas” para el caso en que la distribución de las variables Xk entre en uno de los siguientes tres grupos:

1)     Buen comportamiento. La distribución de las variables Xk es acampanada y aceptablemente simétrica. En este caso n ≥ 4. Esta regla es aceptada en el control estadístico del proceso y en otras áeas de aplicación.

2)     Comportamiento moderado. La distribución de las variables Xk es razonablemente uniforme. En este caso n ≥ 4. Esta regla también es seguida por los especialistas en simulación, en el proceso de generación de números aleatorios con distribución normal.

3)     Comportamiento nocivo. La distribución concentra su masa en los extremos. Aquí cualquier recomendación es de alto riesgo, pero n ≥ 100 suele dar resultados satisfactorios.