Teorema de Clasificación de Superficies Compactas

5/12/2018 Teorema de Clasificación de Superficies Compactas - slidepdf.com

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Clasificacion de superficies compactas

Elisa Nievares Garcıa y Sergio Porres BlancoUniversidad de Valladolid

Curso 2011/12

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Indice

1 Introduccion 3

2 Teorema de Poincare 4

2.1 Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Definiciones previas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Demostracion del Teorema de Poincare 12

3.1 Toda superficie puede obtenerse como un polıgono de 2n lados, con las aristas iden-

tificadas a pares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Eliminacion de aristas adyacentes de primera especie. . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3 Transformacion en un polıgono tal que todos los vertices esten identificados a unosolo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.4 Hacer adyacentes todo par de aristas de segunda especie. . . . . . . . . . . . . . . 15

3.5 Pares de primera especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.6 Caracterıstica de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Bibliografıa 19

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1 Introduccion

Queremos clasificar todas las superficies compactas conexas, es decir, poder definir una noci onde equivalencia entre superficies dando una lista completa de representantes, de modo que cadarepresentante tiene una descripcion simple explıcita.

El teorema de clasificacion para superficies compactas dice que, a pesar de sus formas aparente-mente diversas, las superficies pueden ser clasificadas, lo que quiere decir que cada superficiecompacta es homeomorfa a exactamente una superficie representativa, tambien llamada superficieen forma canonica.

Estas formas canonicas son muy concretas: polıgonos obtenidos identificando aristas. Veremosque mediante un numero finito de transformaciones, todas ellas homeomorfismos, aplicadas a unasuperficie, llegaremos a una de estas formas canonicas.

Enunciado 1.1. Toda superficie compacta es homeomorfa a una esfera, a una suma conexa detoros, o a una suma conexa de planos proyectivos.

Desde luego, para hacer las susodichas declaraciones rigurosas, necesitamos definir con precisi´ on que es una superficie y que es suma conexa, triangulaci´ on y orientabilidad de superficies.

Solucion 1.2. La demostraci´ on del teorema comprende varios pasos:

• Probar que cada superficie compacta es triangulable.

• La superficie puede obtenerse como espacio cociente de un polıgono con las aristas identifi-

cadas a pares.

• Este polıgono puede ser transformado a una forma can´ onica en un n´ umero finito de pasos,usando un n´ umero finito de transformaciones.

• Demostrar que los tres representantes can´ onicos no son homeomorfos entre sı.

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2 Teorema de Poincare

2.1 Enunciado

Teorema 2.1. Toda superficie compacta orientable es homeomorfa a una esfera o a la suma conexa de n toros. Toda superficie compacta no orientable es homeomorfa a la suma conexa deuna superficie compacta orientable con un plano proyectivo, o bien con una botella de Klein.

2.2 Definiciones previas

Definicion 2.2. Una superficie es un espacio de Hausdorff, conexo tal que cada punto tiene un entorno abierto homeomorfo a un disco abierto 2-dimensional.

Figura 1: Representamos la esfera como espacio cociente de un polıgono con los lados identificadosa pares.

Figura 2: Descripci´ on de un toro como un cuadrado con los lados opuestos identificados: ab−1a−1b.

Figura 3: Descripci´ on de una botella de Klein como un cuadrado con los lados identificados con la relaci´ on baba−1.

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Proposicion 2.3. Sea la Botella de Klein con la presentaci´ on del grupo fundamental

< a, b : baba−1 = 1 > .

Entonces, el subgrupo generado por b, , es un subgrupo normal.

Demostraci´ on. Veamos en primer lugar que es realmente un subgrupo: Observemos que loselementos de son todos del tipo bn, n ∈ Z. Ademas:

• bnbm = bn+m ∈

• b−n ∈, n ∈ N

• 1 = b0 ∈

Veamos que es normal:Queremos ver que dado g ∈< a, b > gbng−1 ∈. g es del tipo g = en11 . . . enss ,con ei ∈ {a, b} ni ∈ Z.Luego, podemos escribir que g = ges, siendo g = en11 . . . ens−1s .Como gbng−1 = gesbne−1s g−1, podremos reducirlo al caso de probar abna−1 ∈.Como baba−1 = 1, se tiene aba−1 = b−1, con lo cual ab = b−1a.Luego, abna[−1 = abbn−1a−1 = b−1abn−1a−1 = b−2abn−2a−1 = · · · = b−n+1aba−1 = b−n ∈.

Observacion 2.4. < a > y < a,b > / son subgrupos cıclicos infinitos.

Demostraci´ on.< a > −→ Z

an −→ n

obviamente es un isomorfismo.Veamos ahora que < a,b > / ∼=< a >. Para ello, definiremos el siguiente epimorfismo:

φ :< a, b > −→ < a >an −→ an

bn −→ 0an1bn2an3 . . . bn2k −→ an1+n3+···+n2k−1 .

Es claro que el nucleo de φ =. Luego podremos aplicar el Primer Teorema de Isomorfıa,resultado que nos asegura que < a,b > / ∼=< a >.

Como preparacion para la demostracion, describiremos lo que puede entenderse por forma canonicade una suma conexa de toros o planos proyectivos.

Definicion 2.5. Sean S 1 y S 2 dos superficies compactas y conexas,D1 ⊂ S 1 y D2 ⊂ S 2 doscerrados homeomorfos al disco D2. Sea h : ∂D1 → ∂D2 un homeomorfismo. Definimos una nueva superficie, su suma conexa , por

S 1#S 2 ≡ (S 1\D1)

(S 2\D2)/∼

donde x ∼ y ⇔ x ∈ ∂D1, y ∈ D2, h(x) = y.

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Podemos obtener una descripcion analoga de la suma conexa de dos toros, de la siguiente manera.Representemos cada uno de los toros, T 1 y T 2, como un cuadrado con los lados opuestos identifica-dos. Observese que los cuatro vertices de cada cuadrado estan identificados en un solo punto deltoro correspondiente.

Figura 4: Para formar su suma conexa tenemos, primero, que recortar un agujero circular en cada toro, lo cual podemos hacerlo como mejor nos convenga. Designemos por c1 y c2 los bordes de losagujeros, que est´ an identificados tal como indican las flechas en la Figura 4.

Podemos representar tambien los complementarios de los agujeros en los dos toros por los siguientespentagonos (Figura 5), ya que las identificaciones de las aristas indicadas implican que los dosextremos del segmento ci estan identificados, i = 1, 2.

Figura 5: Complementarios de los agujeros de los toros.

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Identificamos, ahora los segmentos c1 y c2. Obtenemos un octogono, en el cual los lados estanidentificados a pares, tal como esta indicado en la Figura 6.

Figura 6: Observese que los ocho vertices del oct´ ogono estan identificados en un solo punto en T 1#T 2. Este oct´ ogono con las aristas identificadas a pares es nuestra ”forma can´ onica” de la suma conexa de dos toros: a1b1a−11 b−11 a2b2a−12 b−12 .

Figura 7: Visualizaci´ on de lo explicado anteriormente.

Repitiendo este proceso, la suma conexa de tres toros es el espacio cociente de un dodec agono,donde las aristas estan identificadas a pares (Figura 8).

Figura 8: ”Forma can´ onica” de la suma conexa de dos toros: a1b1a−11 b−11 a2b2a−12 b−12 .

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Claramente se ve como se puede demostrar por induccion que la suma conexa de n toros eshomeomorfa al espacio cociente de un polıgono de 4n lados cuyas aristas estan identificadas apares segun el esquema a1b1a−11 b−11 a2b2a−12 b−12 . . . anbna−1n b−1n .

Estudiemos ahora el procedimiento para la suma conexa de planos proyectivos. Consideramos elplano proyectivo como el espacio cociente de un disco circular, al identificar los puntos diametral-mente opuestos como vertices, el cırculo del disco queda dividido en dos segmentos. Ası, podemosconsiderar el plano proyectivo como obtenido a partir de un polıgono de dos lados al identificarlos(Figura 9).

Figura 9: Esquema del plano proyectivo: aa.

Usamos el mismo metodo para obtener una representacion de la suma conexa de dos planos proyec-tivos como un cuadrado con las aristas identificadas a pares (Figura 12).

Figura 10: Dos planos proyectivos disjuntos.

Figura 11: Planos proyectivos disjuntos con agujeros recortados.

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Figura 12: Una vez pegados. Su esquema es a1a1a2a2.

Repitiendo este proceso, vemos que la suma conexa de tres planos proyectivos es el espacio cocientede un hexagono con los lados identificados a pares.

Figura 13: Suma conexa de tres planos proyectivos.

Mediante una induccion bastante obvia, vemos para todo entero positivo n, la suma conexa de nplanos proyectivos es el espacio cociente de un polıgono de 2n lados con los lados identificados apares, segun el esquema a1a1a2a2 . . . anan. Observese que todos los vertices de este polıgono estanidentificados a un punto.

Nota 2.6. Hemos mostrado c´ omo cada una de las superficies compactas mencionadas en el teorema de clasificaci´ on puede obtenerse como espacio cociente de un polıgono con las aristas identificadasa pares.

Introducimos ahora un metodo para indicar de manera precisa los pares de aristas identificados enuno de estos polıgonos.

Consideremos el diagrama en el que esta indicado como se identifican las aristas; partiendo de unvertice determinado, recorramos el borde del polıgono, anotando una tras otra las letras asignadasa los diferentes lados.

Ası pues tenemos los siguientes esquemas para representar las formas canonicas pues tenemos lossiguientes esquemas para representar las formas canonicas:

• Esfera: aa−1 (Figura 1).

• Suma conexa de n toros: a1b1a−11 b−11 a2b2a−12 b−12 . . . anbna−1n b−1n (para n=3, Figura 8).

• Suma conexa de n planos proyectivos: a1a1a2a2 . . . anan (para n=3, Figura 13).

Definicion 2.7. Una triangulaci´ on de una superficie compacta S consiste en una familia finita de subconjuntos cerrados {T 1, T 2, . . . , T n} que cubren S , y una familia de homeomorfismosϕi : T i → T i, i = 1, . . . , n ,donde T i es un tri´ angulo del plano R

2 (es decir, un subconjunto com-pacto de R2 limitado por tres rectas distintas). Los subconjuntos T i se llaman ”tri´ angulos”. Los

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subconjuntos de T i que son imagen por φi de vertices y aristas del tri´ angulo T

i se llaman tambien ”vertices” y ”aristas” respectivamente. Finalmente se impone la condici´ on de que dos tri´ angulosdistintos T i y T j o son distintos, o tienen un solo vertice com´ un, o tienen toda una arista com´ un.

No admitiremos como interseccion de triangulos los casos de la Figura 14:

Figura 14: Tres tipos no admisibles de intersecciones de tri´ angulos.

Una demostracion rigurosa de que una superficie compacta es triangulable fue dada por primeravez en 1925, por Tibor Rado. Esta requiere el uso de una forma fuerte del teorema de la curva deJordan. La prueba es mas tediosa que complicada y la intuicion que hay detras es confusa. Otraspruebas mas cortas y simples han sido encontradas, quiza la mas accesible, aunque no corta, seala debida a Carsten Thomassen. Toda triangulacion de una superficie compacta satisface las doscondiciones siguientes:

(1) Cada arista lo es exactamente de dos triangulos.(2) Sea ν un vertice de una triangulacion. Entonces podemos ordenar el conjunto de todos lostriangulos que tienen el vertice ν cıclicamente T 0, T 1, T 2, . . . , T n = T 0, de manera que, para0 ≤ i ≤ n− 1, T i y T i+1 tengan una arista comun.

Se deduce que todo punto de la arista en cuestion debe tener un entorno abierto homeomorfo aldisco abierto U 2, y esto no serıa posible si una arista lo fuera de un solo triangulo. O bien de masde dos.

La condicion (2) puede demostrarse de la siguiente manera:El hecho de que el conjunto de todos los triangulos que tienen el vertice ν pueda dividirse ensubconjuntos disjuntos, tales que los triangulos de cada subconjunto puedan ordenarse cıclicamente,como hemos descrito, es una consecuencia inmediata de (1). Sin embargo, si hubiera mas de unode estos subconjuntos, entonces no podrıa ser cierto que ν tuviera un entorno homeomorfo a U 2.

Definicion 2.8. Dar orientaci´ on en el plano por ejemplo, o en una peque˜ na regi´ on de el, es fijar el sentido de rotaci´ on en el plano, alrededor de un punto, que se considera como positivo y el que se considera como negativo.

Es decir, es elegir un sistema de coordenadas como positivo: si la matriz del cambio de base tienedeterminante positivo, decimos que las coordenadas son de la misma clase. Por tanto ”tener lamisma orientacion” es una relacion de equivalencia que divide a los sistemas coordenados en dosclases.

Si todo camino cerrado preserva la orientacion, es decir, si moviendo un cırculo orientado a lo largode un camino cerrado, no cambia la orientacion cuando volvemos al punto de partida, la superficiese dira orientable, y no orientable en caso contrario; es decir, si existe al menos un camino cerradoque no lo preserva.

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Un ejemplo de superficie no orientable es la banda de Mobius, y cualquier superficie que contengaun subconjunto homeomorfo a ella (Figura 15).

El plano proyectivo no es orientable, porque contiene un subconjunto homeomorfo a una banda deMobius.

Figura 15: Banda de M¨ obius.

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3 Demostracion del Teorema de Poincare

3.1 Toda superficie puede obtenerse como un polıgono de 2n lados, con

las aristas identificadas a pares.

Para demostrar el teorema de clasificacion vamos a proceder del siguiente modo:

Vamos a trabajar con polıgonos cocientados por identificaciones en sus aristas, ya que cualquiersuperficie compacta se puede modelar de este modo (es homeomorfa al espacio cociente).

A partir de nuestro polıgono con sus identificaciones, vamos a ir haciendo transformaciones en elde modo que estos nuevos polıgonos sigan representando la misma superficie, hasta llegar a unpolıgono que represente una de las superficies que establece el teorema (S2 , Tn o P2m).

Tomemos E y F dos espacios topologicos homeomorfos al disco D2 , y sean A ⊂ ∂E , B ⊂ ∂F cerrados homeomorfos a I = [0, 1] . Sea h : A → B un homeomorfismo.

Consideremos ahora el espacio cociente (E ∪ F )/∼ donde x ∼ y ⇐⇒ x ∈ A, y ∈ B, h(x) = y.

Este nuevo espacio topologico es tambien homeomorfo a D2. Este proceso que acabamos de describirinformalmente como pegar E con F siguiendo A y B.

Tambien podemos definir el proceso contrario, cortar.

Tomemos E un espacio topologico homeomorfo a D2 y una curva γ que desconecte E en dos

componentes conexas G y H . Tenemos que E es homeomorfo a G y H pegados por la traza de γ .

Hemos pues definido un metodo para cortar y pegar compactos, el cual va a ser la base de nuestrademostracion.

Vamos ahora a ver que toda superficie compacta se puede, de hecho, modelar por un polıgono de2n lados con identificaciones en las aristas.

Tomemos una triangulacion de S , la cual esta compuesta por un numero finito de triangulos, k.Rigurosamente tenemos k triangulos en S , y k homeomorfismos de dichos triangulos en triangulosT i ⊂ Rf , es decir ϕi : T i → T i .

Puesto que dos triangulos cualesquiera son homeomorfos, podemos considerar los T i disjuntos dos

a dos y ası tomar el compacto no conexo T =

k

i=1

T i y el homeomorfismo ϕ : T → S dado por

ϕ|T ≡ ϕi.

Dado que cada arista de un triangulo de S pertenece a exactamente dos triangulos, podemos crearidentificaciones entre las aristas de los triangulos de T (identificando puntos que mediante ϕ vanal mismo punto de S ).

Por ultimo, como los triangulos son homeomorfos a D2 , y cada arista es un cerrado contenido ensu frontera homeomorfo a I , podemos pegar todos estos triangulos:

Pegamos dos, al resultado le pegamos otro, y en k−1 pasos hemos pegado todos (no puede quedarninguno fuera ya que trabajamos bajo la hipotesis de que la superficie es conexa). De este modo,obtenemos un polıgono conexo P , que cocientado por las relaciones dadas por las aristas que nohemos pegado es homeomorfo a T , luego tambien lo es a S .

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3.2 Eliminacion de aristas adyacentes de primera especie.

Hemos obtenido un polıgono D tal que la superficie dada S resulta al identificar a pares las aristasde D. Podemos indicar estas identificaciones con los sımbolos apropiados;

Si la letra que indica un cierto par de aristas aparece en el sımbolo con los dos exponentes +1 y−1, entonces decimos que este par de aristas es de primera especie; de lo contrario, el par es desegunda especie.

Figura 16: Par de aristas de primera especie.

Figura 17: Par de aristas de segunda especie.

Vamos a mostrar que podemos eliminar un par de aristas adyacentes de primera especie, supuestoque el polıgono tenga por lo menos cuatro aristas. Este proceso queda facilmente reflejado en lossiguientes diagramas.

Podemos continuar este proceso hasta que hayan sido eliminados todos los pares de este tipo, ohasta que obtengamos un polıgono con solo dos lados. En el ultimo caso, este polıgono, cuyo sımbolosera aa o aa−1, sera un plano proyectivo o una esfera, y ya habremos acabado la demostracion.En caso contrario procedemos de la siguiente manera.

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3.3 Transformacion en un polıgono tal que todos los vertices esten iden-tificados a uno solo.

Diremos que dos vertices del polıgono son equivalentes si y solo si estan identificados. A pesarde que las aristas de nuestro polıgono han de estar identificadas a pares, los vertices pueden estaridentificados en conjuntos de uno, dos, tres, cuatro,. . .

Por ejemplo, en el polıgono de la Figura 18 hay ocho clases de equivalencia de vertices distintas:

Figura 18: [1] = [3]; [4] = [14] = [12]; [5] = [11] = [9]; [6] = [8].

Ası en las clases de equivalencia de [2], [7] y [10] solo hay un vertice, en las de [1] y [6] hay dosvertices y en las de [4] y [5] hay tres vertices.

Suponiendo que hemos eliminado todos los pares de aristas adyacentes de primera especie queremosdemostrar que podemos transformar nuestro polıgono en otro tal que todos los vertices pertenezcan

a una sola clase e equivalencia.Supongamos que por lo menos hay dos clases de equivalencia distintas. Entonces existen un par devertices adyacentes del polıgono que no son equivalentes (si todos los pares de vertices adyacentesfuesen equivalentes entonces solo habrıa una clase de equivalencia). Designemos a estos verticespor P y Q. Veamos con diagramas como debemos proceder.

Puesto que P y Q no son equivalentes y hemos realizado ya el segundo paso, los lados a y b nopueden estar identificados.

Figura 19: Como no hay pares de primera especie y los vertices P y Q ya est´ an identificadosninguno de estos casos es posible.

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Figura 20: Cortemos a lo largo de la lınea c, desde el vertice Q hasta el otro vertice de la arista a.Entonces pegamos las dos aristas designadas por a. Resulta ası un nuevo polıgono con un verticemenos en la clase de equivalencia de P y uno m´ as en la de Q.

Si es necesario, eliminamos de nuevo las aristas de primera especie. Entonces, llevamos a cabo, otravez, este paso para reducir el numero de vertices de la clase de equivalencia de P , y volveremosa eliminar aristas. Vamos alternando estos pasos hasta que la clase de equivalencia de P seatotalmente eliminada. Si queda aun mas de una clase de equivalencia de vertices, repetimos esteproceso para reducir su numero. Si continuamos ası, obtenemos finalmente un polıgono con todoslos vertices identificados a uno solo.

3.4 Hacer adyacentes todo par de aristas de segunda especie.

Queremos demostrar que podemos transformar nuestra superficie de manera que todo par de aristasde segunda especie sean adyacentes. Supongamos que tenemos un par de aristas de segunda especieque no sean adyacentes.

Figura 21: Cortemos a lo largo de la l ınea punteada a y peguemos a lo largo de b de modo que lasdos aristas son ahora adyacentes.

Continuemos este proceso hasta que todos los pares de aristas de segunda especie sean adyacentes.Si no hay pares de primera especie ya hemos acabado, puesto que el sımbolo del polıgono sera dela forma a1a1a2a2 . . . anan, y por tanto la superficie es la suma conexa de n planos proyectivos.

Supongamos, por el contrario, que en este punto de la reducci on hay al menos un par de aristas deprimera especie; designemoslas con la letra c. Afirmamos entonces que por lo menos hay otro parde aristas de primera especie tal que estos dos pares se separan uno al otro; es decir, al recorrer elborde del polıgono las aristas de estos dos pares aparecen alternativamente (por tanto, el sımbolosera de la forma c . . . d . . . c−1 . . . d−1 . . . , donde los puntos indican otras letras posibles).

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Para probar esto, supongamos que las aristas c no estan separadas por ningun otro par de aristasde primera especie. Entonces, nuestro polıgono tendra el mismo aspecto que la Figura 22:

Figura 22: A y B designan sendas sucesiones de aristas.

Importa senalar que ninguna asista de A puede identificarse con otra arista de A, y analogamentepara B; ninguna arista de A esta identificada con una arista de B. Pero esto contradice el que losvertices inicial y final de cada una de las aristas c han de estar identificadas, en virtud del pasoanterior.

3.5 Pares de primera especie

Supongamos que tenemos dos pares de primera especie que se separan uno al otro. Demostraremosque podemos transformar el polıgono de manera que los cuatro lados en cuestion sean consecutivosa lo largo del perımetro del polıgono.

Figura 23: Cortamos a lo largo de c y pegamos a lo largo de b.

Figura 24: Cortamos a lo largo de d y pegamos a lo largo de a.

Continuamos este proceso hasta que todos los pares de primera especie esten en grupos adyacentesde cuatro aristas, tal como el cdc−1d−1.

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Si no hay pares de segunda especie, tenemos ya el resultado buscado porque, en tal caso, el sımbolosera de la formaa1b1a−11 b−11 a2b2a−12 b−12 . . . anbna−1n b−1n

y la superficie es la suma conexa de n toros.

Falta, pues, considerar el caso en que, despues de estos cinco pasos, haya pares de aristas de primeraespecie y de segunda especie simultaneamente. El siguiente lema, resuelve la situacion.

Lema 3.1. La suma conexa de un toro y un plano proyectivo es homeomorfa a la suma conexa detres planos proyectivos.

Demostraci´ on.

Figura 25: Primero, tenemos que K2 ≈ RP2#RP2.

Figura 26: Representamos RP2#K2 con el primer hex´ agono, y tras dos pasos obtenemos el tercero,RP

2#T2.

Este lema resuelve el caso que nos quedaba. En efecto, supongamos que despues de haber realizadoel ultimo paso, el polıgono tiene m pares de segunda especie, tales que las dos aristas de cada parson adyacentes, y n cuaternas de lados, cada una de ellas formadas por dos pares de primera especieque separan uno al otro. Entonces, la superficie es la suma conexa de m planos proyectivos y ntoros, que por el lema anterior es homeomorfa a la suma conexa de m + 2n planos proyectivos.

Este paso es reversible. Si tenemos tres pares de segunda especie, podemos reemplazarlos por unpar de segunda especie y dos pares de primera.

Teorema 3.2. Toda superficie compacta orientable es homeomorfa a una esfera o a la suma conexa de n toros. Toda superficie compacta no orientable es homeomorfa a la suma conexa deuna superficie compacta orientable con un plano proyectivo, o bien con una botella de Klein.

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3.6 Caracterıstica de Euler

Hemos demostrado que toda superficie compacta es homeomorfa a una esfera, a una suma conexade toros, o a una suma de planos proyectivos. Para terminar demostraremos que estos tres tiposde superficies no son homeomorfos entre sı. Esto es, podrıa suceder que existieran enteros m y n,tales que la suma de m toros fuera homeomorfa a la suma de n toros. Para demostrar que esto noes posible utilizamos la caracterıstica de Euler, que es un invariante topologico.

Sea M una superficies con una triangulacion T 1, T 2, . . . , T n Seanv = numero total de vertices de M .e = numero total de aristas de M .t = numero total de triangulos, aquı t = n.

Entonces χ(M ) = v− e + t se llama caracterıstica de Euler y depende solamente de M y no de

la triangulacion elegida.

Dadas dos superficies compactas S 1 y S 2, entonces χ(S 1#S 2) = χ(S 1) + χ(S 2) − 2, ya que comoson triangulables formamos su suma conexa, quitando el interior de un tri angulo de cada una deellas e identificando las aristas y vertices de los bordes de los triangulos suprimidos y contandovertices, aristas y triangulos antes y despues de formar la suma conexa obtenemos la formula.

Mediante este teorema y una induccion se obtiene las caracterısticas de Euler de:

Esfera 2.Suma conexa de n toros 2− 2n.Suma conexa de n planos proyectivos 2− n.

Un polıgono representa una superficie no orientable si su forma canonica contiene un par de aristas

de segunda especie.

Podemos reformular el teorema reduciendo el problema de la clasificacion a determinar la ori-entabilidad y la caracterıstica de Euler, problemas ambos facilmente resolubles.

Teorema 3.3. Sean S 1 y S 2 superficies compactas. Entonces S 1 y S 2 son homeomorfas si y s´ olosi sus caracterısticas de Euler coinciden y las dos superficies son ambas orientables o ambas noorientables.

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4 Bibliografıa

References

[1] Massey, William S. , “Introduccion a la Topologıa Algebraica”, Reverte, 1972.

[2] Hatcher, Allen, “Algebraic Topology”, Cambridge University Press, 2002.

[3] Ivorra Castillo, Carlos, “Topologıa Algebraica”.

[4] Kosniowsky, Czes, “A first course in Algebraic Topology”.

[5] Macho Stadler, Marta, “Revista Sigma no 20. ¿Que es la topologıa? ”.

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Teorema de Clasificación de Superficies Compactas

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