7/22/2019 Teorema de Dilworth

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Teorema de Dilworth 1950

Si (P, R) es un CPO (Conjunto parcialmente ordenado), finito, el mayor cardinal de una

anticadena de (C, R) es igual al menor nmero de cadenas (disjuntas) en que se puededescomponer P.

Llamemos grosor g(P) al mayor cardinal posible de una anticadena de P y sea c(P) el

menor cardinal posible de una particin en cadenas de P.

Dem Es evidente que g(P) !c(P). Pues si hubiera una particin con c(P) cadenas,

cualquier anticadena con c(P)+1 o ms elementos debera tener dos o ms elementos en

una misma cadena de la particin, contradiciendo que dichos elementos no estnrelacionados.

Para demostrar que g(P) "c(P), sea C una cadena de tamao el mximo posible.

Si g(P\C) < g(P), entonces aplico hiptesis inductiva a P\C, lo descompongo en g(P\C)cadenas y luego agrego la cadena C. As tengo una descomposicin en g(P\C)+1 !g(P)

cadenas #c(P) ! g(P\C)+1 #c(P) !g(P).

Si por el contrario supongamos que g(P\C) = g(P). Entonces tomemos una anticadena A

en P\C tal que |A| = g(P) y consideremos los conjuntos A$y A+definidos por:

A$= {x: %y &A: x !y}

A+= {x: %y &A: y !x}

Afirmo que el mximo mde C no pertenece a A$, es decir, m :=mx C 'A$.Efectivamente como C es del mayor cardinal posible, entonces mes un mximal de P,

por otro lado si m&A$#%y &A: m !y #m = y #m &A #A (C )*

contradictotio pues A +P\C.

Por lo tanto |A$| < |P| y puedo aplicar HI y descomponer A$en ciertas cadenas C1$,,

Cg(P)$.

Afirmo que mi:= mx Ci$&A, es ms A (Ci

$posee un nico elemento y es igual a mi.

La existencia sale del hecho de que no es vaco pues A +A$y A es una anticadena con

g(P) elementos. La unicidad sale del hecho general que la interseccin de una cadena

con una anticadena posee a lo sumo un elemento. Seax

dicho elemento, debemos probarque es el mximo mi de Ci$. Efectivamente si no lo fuera, como mi&Ci

$+A$existe un

y &A: mi!y. Entonces tendremos que x !mi!y, es decir x e y elementos

relacionados de una anticadena A: contradictorio.

Haciendo lo propio con A+, es decir mn C 'A+#|A

+| < |P| #HIA+se descompone en

cadenas C1+,,Cg(P)

+, tales que mn Ci+&A.

Reordenando los ndices puedo suponer que mx Ci$= mn Ci

+. Hecho esto, la particin

buscada es C1,,Cg(P)definidas por Ci= Ci$,Ci

+.

7/22/2019 Teorema de Dilworth

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Efectivamente son cadenas pues si x, y &Ci#o bien x, y &Ci$#x !y o y !x, o bien

x, y &Ci+#x !y o y !x, o bien x &Ci

$, y &Ci+# x !mi!y #x !y o bien x &

Ci+, y &Ci

$# y !mi!x #y !x.

Y son disjuntas pues si x &Ci( Cj# o bien x &Ci$(Cj

$= *# o bien x &Ci+(

Cj+= *# o bien x &Ci

$(Cj+#mj!x !mi# o bien x &Ci

+(Cj$#mi!x !mj #.