TEMA V: Teorema de la cantidad de movimiento

UNIVERSIDAD DE SALAMANCA

5.1. Introducción

Una vez estudiados los teoremas de continuidad y Bernouilli, se analiza en este tema el de la cantidad de movimiento que, en unión con los anteriores, permite resolver la mayor parte de los problemas que se presentan en la práctica de la ingeniería hidráulica.

Dicho teorema es especialmente útil para abordar problemas de los esfuerzos sobre contornos (codos, bridas, boquillas, etc.) ypermite determinar las características hidráulicas de algunos movimientos en los que no puede utilizarse directamente el teorema de Bernouilli, por desconocer “a priori” las pérdidas de carga que en ellos se producen, como sucede en un resalto hidráulico.

5.2. Deducción del teoremaConsideremos una partícula de fluido incompresible de masa dm, que se mueve en el seno de la corriente por la acción de fuerzas que sobre ella actúan (ver figura), cuya resultante es dF.

En estas condiciones, la masa adquiriráuna aceleración dada por:

Teniendo en cuenta que dm = · dVol resulta:

Siendo dQ el caudal constante que circula por el tubo de flujo elemental AB. Integrando esta expresión a lo largo de dicho tubo de corriente entre la S1 y la S2, se tiene:

5.2. Deducción del teoremaExtendiendo la integral entre esas dos secciones a todos los tubos elemental:

Así pues, la expresión del teorema de la cantidad de movimiento, adopta la forma:

Pero, como las fuerzas interiores de unas partículas sobre las contiguas se anulan al ser iguales y contrarias, esta integral se reduce al sumatorio de las fuerzas exteriores al volumen fluido entre S1 y S2.

5.2. Deducción del teoremaSi la distribución de velocidades en S1 y S2 es uniforme,

y

En el caso general:

Y si las líneas de corriente son paralelas y la sección normal a ellas (se suelen tomar secciones suficientemente alejadas de las zonas de posible curvatura para la ello ocurra y así lo supondremos en los restantes apartados) se tiene que:

Siendo n, el versor normal a la superficie

Siendo V1 y V2 los vectores velocidad en S1 y S2, con lo que la expresión se reduce a:

5.2. Deducción del teoremaPor otra parte, QV = SV2 y si llamamos

Resulta

En el caso de bifurcaciones (ver figura) unos tubos de flujo irán a unas secciones y otros a otras, por lo que habrá que extender las integrales a todas ellas y generalizar la relación según

con signo positivo para caudales salientes

y negativo para los caudales entrantes.

En los casos prácticos, se puede admitir normalmente

5.2. Deducción del teorema

En estas expresiones hay que hacer notar:

a) Se trata de ecuaciones vectoriales

b) Para aplicar dichas ecuaciones no es necesario conocer (en general) las pérdidas de carga en la conducción.

El Fext engloba las siguientes fuerzas:

a) El peso propio: P (nótese que si el conjunto se encuentra en un plano horizontal XOY, el efecto del peso del fluido sería igual y de sentido contrario a la acción del contorno sobre el fluido en el eje Z)

b) La acción del contorno sobre el fluido –R (le ponemos el signo menos, para reservarnos el positivo R para el empuje del fluido sobre el contorno)

c) Los empujes debidos a las fuerzas de presión en las secciones extremas Si provocadas por el resto del fluido

5.3. EjerciciosLa boca de una manguera de 75mm de diámetro, produce un chorro de agua de 38mm de diámetro. Determinar la fuerza longitudinal en la junta situada en la base de la boquilla cuando desagua 20 l/s.

En una tubería horizontal lisa, terminada en una brida ciega, se practican cerca de su extremo y en la superficie cilíndrica varios orificios con una sección total igual a la de la tubería. Aplicando el teorema de la cantidad de movimiento, se pide hallar el ángulo que forman los chorros que salen a través del orificio con el eje de la tubería (coeficiente de contracción en los orificios = 1).

A través del codo de doble salida, representado en la figura y situado en un plano horizontal, se mueve agua de forma permanente con v1=5m/s y v2=10m/s. Despreciando las pérdidas de carga en la bifurcación, determinar la fuerza resultante que ejerce el agua sobre el codo.

5.3. Ejercicios

5.3. EjerciciosA través del codo reductor representado en la figura, fluyen 150 l/s de agua. Un tubo de 60mm de diámetro está soldado al codo reductor y pasa a través de éste conduciendo un flujo permanente de aceite de densidad relativa r=0,80 a una velocidad v3=10 m/s.

Las presiones manométricas medidas son p1=240.000Pa y p3=1,80KP/cm2. Las pérdidas de carga en el codo reductor, por el que fluye el agua vienen dadas por la expresión AH=0,12v2

2/2g y en el codo de 90º por el que fluye aceite, las que corresponden a un radio del codo de 150mm.

Considerando únicamente las pérdidas de carga anteriormente indicadas y suponiendo que el conjunto, codo – tubo, se encuentro situado en un plano medio horizontal, se pide calcular la fuerza total que el agua y el aceite ejercen sobre el codo.

5.3. Ejercicios

5.3. EjerciciosLa bifurcación horizontal de la figura divide el caudal Q, en dos flujos de 0,4Q y 0,6Q. La presión manométrica en la sección 2 es p2=0,84Kp/cm2. El soporte de la bifurcación estáproyectado para soportar un empuje horizontal en cualquier dirección de 1.250Kp. Se pide calcular el caudal máximo de aceite de densidad relativa r=0,86 que puede circular por la sección 1, si se desprecian las pérdidas de carga en la bifurcación.

5.3. Ejercicios