7/17/2019 Teorema de la divergencia

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TEOREMA DE LA

DIVERGENCIA

CALCULO VECTORIAL

 ANDRES XAVIER IBARRABARAHONA

7/17/2019 Teorema de la divergencia

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En cálculo vectorial, se establece una forma analítica del cálculo de la integral de un campo

vectorial sobre una superficie como una simple integral de volumen. 

Se puede concebir como la suma de todas las fuentes menos la suma de todos los

sumideros da el flujo de salida neto de una región. Es un resultado importante

en física, sobre todo en electrostática y en dinámica de fluidos. Desde el punto de

vista matemático es un caso particular del teorema de Stokes. 

La ingeniería eléctrica es un campo del cual se encarga del estudio y aplicación de hacer

diseños de sistemas u equipos que permitan generar, transportar, distribuir, y utilizar la

energía eléctrica, para poder hacer este tipo de sistemas necesitamos como base los

conocimientos de cálculos a base de física, matemáticas,… para poder lograr diseños

perfectos.

La divergencia nos ayuda a hallar el flujo de una figura geométrica la cual puede formar

parte de algún diseño de un dispositivo en construcción.

El teorema de Gauss, establece que el flujo de ciertos campos a través de una

superficie cerrada es proporcional a la magnitud de las fuentes de dicho campo que

hay en el interior de la misma superficie. Estos campos son aquellos cuya intensidad

decrece como la distancia a la fuente al cuadrado. La constante de proporcionalidad

depende del sistema de unidades empleado.

Se aplica al campo electrostático y al gravitatorio. Sus fuentes son la carga eléctrica y

la masa, respectivamente. También puede aplicarse al campo magnetos tatico.

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El flujo del campo eléctrico se lo denomina como es una propiedad de

cualquier  campo vectorial referida a una superficie hipotética que puede ser cerrada o

abierta. Para un campo eléctrico, el flujo ( ) se mide por el número de líneas de

fuerza que atraviesan la superficie.

Supóngase una superficie cilíndrica colocada dentro de un campo uniforme tal como

muestra la figura:

El flujo puede escribirse como la suma de tres términos:

  una integral en la tapa izquierda del cilindro (a)

  una integral en la superficie cilíndrica (b)

  una integral en la tapa derecha: (c)

Para la tapa izquierda, el ángulo , para todos los puntos, es de , tiene un valor

constante y los vectores son todos paralelos.

Entonces:

siendo el área de la tapa. Análogamente, para la tapa derecha:

Finalmente, para la superficie cilíndrica:

Por consiguiente: da cero ya que las mismas líneas de fuerza que entran, después salen del

cilindro.

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La divergencia es una cantidad escalar con signo. Este signo posee significado

geométrico y físico:

  Si la divergencia de un campo vectorial en un punto es positiva, quiere decir

que en dicho punto el campo radia hacia el exterior. Se dice que esa posición el

campo vectorial posee un manantial.

  Si por contra la divergencia es negativa, el campo converge hacia dicho punto;

se dice que el campo posee un sumidero.

Ambos, manantiales y sumideros, constituyen las fuentes escalares de un campo

vectorial; por ello

  Si la divergencia es nula en un punto el campo carece de fuentes escalares en

dicho punto.

que nos dice que la cantidad de campo que escapa hacia el exterior de una

superficie cerrada es igual a la suma neta de las fuentes escalares contenidas

en el interior de dicha superficie.

Ecuación y formula

Campo vectorial en un punto como el límite

Un campo cuyas fuentes escalares son nulas en todos los puntos del espacio se

denomina campo solenoidal.

Electromagnetismo, campo senosoidal = campo magnético

Coordenada cartesiana

Coordenada cilíndrica

Coordenada esférica

Divergencia de una suma y un produco

Teorema de gauss

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Ejercicio de MATLAB:

Función (sin(x)*cos(y))+z

Función (x+2)*y*z

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Bibliografía

https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_divergencia 

https://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Gauss 

http://es.slideshare.net/Diomedes1905/tema-3-densidad-de-flujo-elctrico-ley-de-gauss-y-

divergencia 

https://www.youtube.com/watch?v=TBvgl7i7ukE 

https://es.khanacademy.org/math/multivariable-

calculus/partial_derivatives_topic/divergence/v/divergence-1 

https://es.khanacademy.org/math/multivariable-

calculus/partial_derivatives_topic/divergence/v/divergence-2 

https://es.khanacademy.org/math/multivariable-

calculus/partial_derivatives_topic/divergence/v/divergence-3 

http://laplace.us.es/wiki/index.php/Divergencia_de_un_campo_vectorial