Teorema de Pitágoras.

En un triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos.

Si un triángulo tiene catetos de longitud a y b, la longitud c de la hipotenusa es:

Demostración de Platón: el Menón

En uno de los meandros del Menón se plantea el problema de la duplicación del cuadrado –izquierda y centro-. La solución que elabora Platón encierra inesperadamente una demostración del teorema de Pitágoras –derecha-, si bien referida exclusivamente a los triángulos rectángulos isósceles.

Dinos, Sócrates, ¿cómo se adquiere la virtud? ¿Mediante la enseñanza o mediante el ejercicio? Esta filosófica pregunta es el comienzo del Menón de Platón, y a su tenor no parece que la Geometría vaya a hacer acto de presencia en el Diálogo, pero el filósofo es quién maneja los hilos y unas páginas más adelante nos encontramos con cuadrados y superficies.

La cuestión es la búsqueda del conocimiento de la verdad mediante lo que Platón llama reminiscencias. Sin entrar en consideraciones filosóficas, digamos simplemente que para Platón aprender es recordar, y para demostrarlo le plantea a un esclavo ignorante de la geometría el problema de la duplicación del cuadrado. Sucesivas preguntas van sacando de la mente del esclavo la solución del problema, con lo que pretendidamente aquél no hizo sino recordar lo que ya sabía.

Platón construye un cuadrado cuyo lado es de dos unidades (izquierda, gris). Su área vale cuatro unidades cuadradas. Trazando un nuevo cuadrado sobre su diagonal AB, obtiene un cuadrado de ocho unidades cuadradas (centro, azul), doble superficie de la del primero.[2] Hasta aquí la duplicación del cuadrado. Pero también se ha demostrado el teorema de Pitágoras (derecha): el área del cuadrado azul (8u2) construido sobre la hipotenusa AB del triángulo rectángulo ABC, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados grises (4u2

cada uno) construidos sobre los catetos AC y BC. Generalizando: cada uno de los cuadrados construidos sobre los catetos contiestrellita del sur cuadrado de la hipotenusa contiene cuatro de dichos triángulos.

Queda demostrado el teorema de Pitágoras, si bien restringido a los triángulos rectángulos isósceles.

Demostración de Euclides: proposición I.47 de Los Elementos

La proposición I.41 de Euclides. La superficie del rectángulo ABCD es el doble de la de cualquiera de los triángulos: sus bases son la misma –DC-, y están

entre las mismas paralelas. Esto es cuanto necesita Euclides para demostrar el teorema de Pitágoras.

La demostración de Euclides es puramente geométrica. Su columna vertebral es la sencilla proposición I.47 de Los Elementos.

El descubrimiento de los números irracionales por Pitágoras y los Pitagóricos supuso un contratiempo muy serio.[3] De pronto, las proporciones dejaron de tener validez universal, no siempre podían aplicarse. La demostración de Pitágoras de su teorema se basaba muy probablemente en proporciones, y una proporción es un número racional. ¿Sería realmente válida como demostración? Ante esto, Euclides elabora una demostración nueva que elude la posibilidad de encontrarse con números irracionales.

El eje de su demostración es la proposición I.47 de Los Elementos:

Si un paralelogramo y un triángulo tienen la misma base, y están comprendidos entre las mismas paralelas, entonces el área del paralelogramo es doble de la del triángulo. Esto es tanto como decir que a igual base y altura, el área de aquél dobla a la de éste.

Tenemos el triángulo ABC, rectángulo en C, y construimos los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa. La altura CH se prolonga hasta J. Seguidamente se trazan cuatro triángulos, iguales dos a dos:

Triángulos ACK y ABD: son iguales, pues siendo AD=AC, y AK=AB, necesariamente BD=CK. Sus tres lados son iguales.

Triángulos ABG y CBI: análogamente, AB=BC, y BG=BI, así que AG=CI. Sus tres lados son asimismo iguales.

Abundando en las anteriores consideraciones, nótese que un giro con centro en A, y sentido positivo, transforma ACK en ABD. Y un giro con centro en B, y sentido también positivo, transforma ABG en CBI. En la demostración de Leonardo da Vinci nos encontraremos de nuevo con giros que demuestran la igualdad de figuras.

Veamos seguidamente que:

1. Las paralelas r y s comprenden al triángulo ACK y el rectángulo AHJK, los cuales tienen la misma base, AK. Por tanto de acuerdo con la proposición I.47 AHJK tiene doble área que ACK.

2. Las paralelas m y n contienen a ABD y ADEC, cuya base común es AD. Así que el área de ADEC es doble de la de ABD.

Pero siendo ACK=ABD, resulta que el rectángulo AHJK y el cuadrado ADEC tienen áreas equivalentes.

Haciendo razonamientos similares con los triángulos ABG y CBI, respecto al cuadrado BCFG y al rectángulo HBIJ respectivamente, concluimos que éstos últimos tienen áreas asimismo iguales.

A partir de aquí es inmediato que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa

Pitágoras nace en el 570 a.C. proveniente del Asia menor (Isla de Samos). Luego más tarde se traslada a Crotona al ser desterrado por Policrates. Se le atribuyen varios viajes a oriente, entre otros a Persia, donde hubo de conocer al mago Zaratás, es decir, a Zoroastro o Zaratustra. De los egipcios heredó la Geometría y el arte de adivinación; de los fenicios aprendió la aritmética y el cálculo; y de los caldeos la investigación de los astros. Además obtuvo una formación y disciplina de los sacerdotes egipcios. Dentro de la comunidad que él fundó (pitagóricos), todas la investigaciones realizadas allí eran atribuidas a Pitágoras.Las doctrinas de este centro cultural eran regidas por reglas muy estrictas de conducta. Su escuela (aunque rigurosamente esotérica) estaba abierta a hombres y mujeres indistintamente, y la conducta discriminatoria estaba prohibida (excepto impartir conocimiento a los no iniciados). Sus estudiantes pertenecían a todas las razas, religiones, y estratos económicos y sociales.

Poco se sabe de la niñez de Pitágoras. Todas las pistas de su aspecto físico probablemente sean ficticias excepto la descripción de una marca de nacimiento llamativa que Pitágoras tenía en el muslo. Es probable que tuviera dos hermanos aunque algunas fuentes dicen que tenía tres. Era ciertamente instruido, aprendió a tocar la lira, a escribir poesía y a recitar a Homero. Había tres filósofos, entre sus profesores, que debieron de haber influenciado a Pitágoras en su juventud. El esfuerzo para elevarse a la generalidad de un teorema matemático a partir de su cumplimiento en casos particulares ejemplifica el método pitagórico para la purificación y perfección del alma, que enseñaba a conocer el mundo como armonía; en virtud de ésta, el universo era un cosmos, es decir, un conjunto ordenado en el que los cuerpos celestes guardaban una disposición armónica que hacía que sus distancias estuvieran entre sí en proporciones similares a las correspondientes a los intervalos de la octava musical. En un sentido sensible, la armonía era musical; pero su naturaleza inteligible era de tipo numérico, y si todo era armonía, el número resultaba ser la clave de todas las cosas.

Los pitagóricos observaron como muchos de los comportamientos y propiedades de los seres reales podían ser formulados de forma matemática. Su suposición fue que todos los seres del Universo son formulables matemáticamente.

Filosofía y religión

Afirmaba que las almas eran inmortales y transmigraban, y que conseguían su pureza a través del conocimiento y una serie de prohibiciones. Pitágoras creía firmemente que había habitado en otros cuerpos humanos anteriores que él:

1.La transmigración de las almas: Se puede admitir que Pitágoras aceptó la doctrina de la metempsícosis. El renacimiento religioso había devuelto a la vida

la vieja idea del poder del alma y de que su vigor perdura tras la muerte, en contra de la concepción homérica de las sombras de los difuntos como incapaces de articular palabra. Aquí se presenta Pitágoras con algo inaudito. Lo que permanece fuera del cuerpo no es un resto miserable, sino lo verdaderamente vivo. La vida que sigue a la presente no es un pálido reflejo, sino la verdadera y más intensa vida. La existencia terrena del hombre es sólo una de sus vidas posibles y una de las más pequeñas. El alma es lo más alto, prisionero en el cuerpo. El alma va tomando los más distintos cuerpos de todas las cosas que hay en el cosmos. La forma más alta y propia del alma parecen haber sido los astros, y donde llega la influencia pitagórica hallamos también la doctrina del parentesco del alma con la sustancia de los astros. El alma es eterna por ser semejante a los astros, y tiene en ellos su verdadera morada.

2.Parentesco de todos los seres vivos: El alma va tomando los más distintos cuerpos de todas las cosas que hay en el cosmos. Pero el alma tiene en su mano el decidir la clase de cuerpo en el que va a introducirse, y que puede ser el cuerpo de una bestia o de un dios. Por lo tanto las almas podían reencarnarse en forma de seres vivos distintos del hombre, lo que, a su vez, sugiere el parentesco de todos los seres vivos. La versión de Empédocles incluía algunas plantas entre los seres vivos, y, por esta razón se pedía la abstención de las hojas de laurel y de las habas. Es muy posible que también Pitágoras creyera que era posible la reencarnación en forma de planta Sobre este tema Empédocles escribe lo siguiente : “Lo que sobre él(Pitágoras) dice es lo siguiente: -Dice que al pasar él, en una ocasión, junto a un cachorro que estaba siendo apaleado, sintió compasión y dijo: Cesa de apalearle, pues es el alma de un amigo que reconocí al oírle gritar-. Se piensa que esta doctrina fue aprendida por Pitágoras en el extranjero. Escritores tardíos dicen que visitó a los caldeos, indios brahmanes, los judíos, druidas o celtas. Heródoto sugiere que su teoría proviene de Egipto.

3.Reglas de abstinencia y otras prohibiciones: La metamorfosis del alma se realiza por necesidad, pero es también un camino de la libre decisión del hombre. Al puro se le da una encarnación en lo puro, y al impuro en lo impuro. Es tarea del hombre comportarse de tal modo que, al abandonar la vida terrena, pueda esperar, volver a nacer en una forma más elevada. De este modo el concepto de pureza es una pieza maestra de la vida pitagórica. De el brotan no sólo preceptos prácticos de vida, sino también, en un posterior desarrollo, dos ciencias que han conservado todavía en el bajo helenismo elementos de su origen: la medicina y la música. La práctica del silencio, la influencia de la música y el estudio de las matemáticas se consideran valiosas ayudas para la formación del alma. Sin embargo, varias de estas prácticas tuvieron un carácter meramente externo. Si es que Pitágoras prohibió en verdad comer carne, tal prohibición se debería probablemente a la doctrina de la metempsícosis, o estaría, por lo menos, en conexión con ella. Como también lo estaría la prohibición de ofrecer sacrificios sangrientos a la divinidad. El

vegetarianismo en la Antigüedad tiene su origen en el pitagorismo. También prohibe gustar el vino, las habas , el laurel... Además existen listas transmitidas de preceptos como “no te dejes poseer por una risa incontenible”, “no creas nada extraño sobre los dioses o sobre las creencias religiosas”. Son en parte preceptos y en parte símbolos que hay que interpretar. Otros símbolos que utilizaban era llamar al mar “las lágrimas de Cronos”, a los planetas “los perros de Perséfone”...y otros tomados y elaborados por el pitagorismo avanzado: la justicia es el número cuatro, la salud o buena fortuna el siete, el matrimonio el cinco.

4. Su idea de dios: Protesta contra la imagen de los dioses trazada por la mitología. Es el comienzo de una época nueva en la religión griega. Enseña la existencia de un único Dios que mantiene el mundo unido en la justicia. Este Dios no piensa de manera humana ni tiene forma humana. Su cuerpo es una esfera y la divinidad se manifiesta en el movimiento circular del fuego de los astros.

Crisis del racionalismo numérico

El pensamiento pitagórico se levanta sobre una estructura matemático–racional. Lo que no sabían es que desde el mismo ámbito matemático provendría un descubrimiento que pondría en crisis aquellos fundamentos, pues se trataba del descubrimiento de lo irracional, de la raíz cuadrada de dos. Los pitagóricos supieron que el número podía medirlo todo, entendiendo por medir lo que para ellos es expresable en su naturaleza mediante un número entero o razones entre números enteros. Pues esta convicción no era aplicable a la relación entre los lados de un cuadrado y la diagonal, pues los pitagóricos encontraron que en el caso del lado y la diagonal del cuadrado no existe ningún patrón que los mida exactamente a ambos.

Este hallazgo de los pitagóricos tiene una gran incidencia negativa en la escuela, ya que cuestionaba los cimientos de su racionalismo numérico en el cual tenían afianzado su convencimiento de la gran coherencia interior y la solidez de su doctrina, pues encontraron que la relación entre el lado y la diagonal de un cuadrado no se podía someter a la perfección que era el Número, lo cual causó grandes desequilibrios entre los pitagóricos.

Biografia de Pitágoras    

Pitágoras, matemático, filósofo, astrónomo, músico e místico grego, nasceu na ilha de Samos (na actual Grécia).

   Pitágoras é uma figura extremamente importante no desenvolvimento da matemática, sendo frequentemente considerado como o primeiro matemático puro. No entanto, pouco se sabe sobre as suas realizações matemáticas pois não deixou obra escrita e, além disso, a sociedade que ele fundou e dirigiu tinha um carácter comunitário e secreto.

 Essa sociedade, a escola pitagórica, de natureza científica e religiosa (e até mesmo politica), desenvolvia estudos no domínio da matemática, de filosofia e da astronomia. O símbolo de irmandade era a estrela de cinco pontas (ou estrela pentagonal).

 

  

A Escola Pitagórica defendia o princípio de que a origem de todas as coisas estava nos números, o atomismo numérico.

   Ao longo da sua vida, Pitágoras viajou por vários países, tendo aprendido muitos conhecimentos matemáticos com os egípcios e os babilónios.  Entre outros, dois filósofos com que Pitágoras estudou e que influenciaram as suas ideias matemáticas foram Tales de Mileto e o seu pupilo Anaximander.

 

  

No domínio da matemática, os estudos mais importantes atribuídos a Pitágoras são:

A descoberta dos irracionais; O teorema do triângulo rectângulo (Teorema de Pitágoras).

 

    Apesar de actualmente sabermos que, cerca de mil anos antes, já eram conhecidos casos particulares deste teorema na Babilónia, no Egipto e na Índia, Pitágoras foi o primeiro a enunciar e demonstrar o teorema para todos os triângulos rectângulos.

   São também atribuídos a Pitágoras (e aos pitagóricos) outros trabalhos matemáticos, que incluem:

A descoberta da tabuada; O estudo de propriedades dos números (dos números ímpares

regulares, dos números triangulares, etc.);

A construção dos primeiros três sólidos platónicos (é possível que tenha construído os outros dois);

A descoberta da relação existente entre a altura de um som e o comprimento da corda vibrante que o produz.

 

    Não se sabe ao certo quando nasceu e morreu Pitágoras mas calcula-se que viveu uma longa vida (entre 80 a 100 años), entre a primera metada do sáculo VI a.C. e o inicio do sáculo V a. C.