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Filosofo y matemático griego nacido en la

isla de Samos, viajó por el mediterráneo

aprendiendo de egipcios, caldeos y magos

adquiriendo conocimientos de geometría

(como los casos particulares de triángu-

los en tablas de arcilla) y una filosofía

ciertamente oriental, diferente a la grie-

ga, en cuestiones como la transmigración

del alma.

Fundó una escuela en Crotona (Italia),

pues al regresar del viaje encontró que en Samos estaba instaurada la ti-

ranía de Polícrates. Fue maestro de la clase aristocrática que gobernaba la

ciudad haciéndola muy próspera, sin embargo, en su escuela admitía a

todo el mundo sin discriminación siempre y cuando hiciesen el juramen-

to de abstenerse del vino, los huevos y las habas. A los alumnos les estaba

prohibido reír y al final de cada curso estaban obligados ha hacer su auto-

crítica. Un selecto grupo de estudiantes luego de haber estado cuatro

años preparándose recibía por primera vez clases impartidas por Pitágo-

ras. De carácter vanidoso, pretendió extender su filosofía a todo el pueblo

de Crotona sin éxito pues estos rodearon el seminario, prendieron a los

alumnos y persiguieron a su maestro el cual en su huida llegó a un campo

de habas, legumbre que al parecer odiaba, y no se escondió diciendo para

sí “Mejor es ser prendido que pisar estas habas”. Así acabó la vida de este

hombre medio viajante, medio filósofo, de alma oriental y fisionomía

griega que según un famoso autor es más místico que matemático pero

que dejaría una marca en la matemática, filosofía, numerología y que

merecería que Diógenes Laercio le dedique una biografía que ha llegado

hasta nosotros a pesar de no tener de Pitágoras ninguna obra escrita.

582a.C —PITÁGORAS DE SAMOS — 507a.C

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El presente artículo no pretende dar todas las demostraciones exis-

tentes hasta el momento del teorema de Pitágoras, ya que son numero-

sas, sino más bien dar a conocer de manera amena lo que muchas veces

nos es enseñado en la secundaria como una simple fórmula truncando

varios milenios de razonamiento y recopilación hecha por las culturas

antiguas.

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*DEMOSTRACIÓN ATRIBUIDA A

PITÁGORAS:

Usa relaciones de semejanza entre los

triángulos para probar el teorema.

1° Observamos que los triángulos

ABM y ABC son semejantes pues sus

tres ángulos interiores son semejantes.

Entonces se cumple:

Los numeradores son los lados opuestos a gamma y los denominadores los opuestos al

ángulo recto, en rojo las medidas de BCM mientras que en azul las dimensiones de

ABC.

2° Observamos que los triángulos BCM y ABC son semejantes, por lo tanto:

Los numeradores son los lados opuestos a gamma y los denominadores los opuestos al

ángulo recto, en rojo las medidas de BCM mientras que en azul las dimensiones de

ABC.

3° Sumamos las dos relaciones obtenidas anteriormente (en negrita) y resulta:

El cual es el teorema de Pitágoras.

DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS

Educad a los niños y no será necesario castigar a los hombres Pitágoras de Samos

CARLOS ALBERTO LEÓN CHACÓN 2014

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*SEGUNDA DEMOSTRACIÓN ATRIBUIDA A PITÁGORAS:

Dados dos triángulos semejantes como los mostrados analizaremos las propiedades geomé-

tricas que aprovecharemos en seguida.

Los triángulos ADE y ABC son semejantes pues tienen

sus tres ángulos iguales, a partir de estos se pretende

hallar una relación en el área tal que sea útil para hacer

la demostración.

Se define pues la razón de semejanza:

Si se compara el área de ambos triángulos encontraremos una relación interesante.

Ahora bien, conociendo las relaciones arriba mencionadas podemos aplicarlas a nuestro ca-

so:

1° Aplicamos la fórmula para los triángulos

semejantes ABM y BMC considerando los la-

dos opuestos al ángulo recto.

2° Observamos que los triángulos BCM y

ABC son semejantes, por lo tanto:

Si recordamos las propiedades de las proporciones fácilmente de-

ducibles con el teorema de Tales obtenido de la pequeña figura de la izquierda, obtenemos

que:

DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS

Entre dos hombres de igual fuerza, el más fuerte es el que tiene razón Pitágoras

CARLOS ALBERTO LEÓN CHACÓN 2014

Nótese que los numeradores pertenecen a

el triángulo ADE y los denominadores al

ABC, además n y q están opuestos al ángu-

lo DAE, mientras m y p al ABC

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Recordemos que el triángulo ABC es semejante a ABM y a BMC por lo que se cumple la

relación:

Si igualamos este resultado con el anterior se obtiene:

Despejamos y se demuestra el teorema de Pitágoras.

*DEMOSTRACIÓN QUE APARECE EN EL LIBRO CHOU PEI

SUAN CHING:

1°Inicialmente consideremos el triángulo AFE mostrado, nuestro

propósito será encontrar una relación entre a, b y c.

2°Agreguemos al primer triángulo el mismo pero girado tal como se

muestra en la segunda figura:

Observemos que el segmento EF será igual a (b-a)

Si seguimos agregando triángulos de la misma

forma tendremos al exterior un cuadrado de lado

“c” y en el centro un cuadrado pequeño de longi-

tud “b-a”.

3°Procedemos a dibujar lo indicado en el párrafo

de arriba:

Ahora colocamos cada una de las áreas de las figuras que están

dentro del cuadrado ABCD:

-Área de los cuatro triángulos

-Área del cuadrado pequeño:

-Área del cuadrado grande:

4°Escribimos la relación entre las áreas:

DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS

Escribe en la arena las faltas de tu amigo Pitágoras de Samos

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Reemplazando:

*DEMOSTRACIÓN DE EUCLIDES:

1°Los triángulos ADC y ABI son iguales pues comparten los mismos lados AC=AI,

AD=AB y CD=BI.

2°Los triángulos en azul son iguales según la proposición 1.41 que aparece en el libro

“Elementos” de Euclides (si el paralelogramo tiene la misma base que el triángulo y esta en-

tre las mismas paralelas, entonces el paralelogramo tiene el doble de área del triángulo). Los

triángulos en naranja son iguales según el mismo teorema:

DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS

Economizad las lágrimas de vuestros hijos a fin de que puedan regar con ellas vuestra tumba—Pitágoras

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3°Los triángulos ACG y BCH son iguales, pues AC=CH, CG=BC y AG=BH

4°Los triángulos en rojo son iguales según la proposición I.41, del mismo modo los triángu-

los en amarillo también son iguales.

Si reunimos la información de los pasos anteriores veremos

que el triángulo en azul es igual al naranja (figura de la dere-

cha), así como el triángulo en rojo es igual al amarillo.

Como conclusión tenemos que:

El teorema de Pitágoras

DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS

No desprecies a nadie, un átomo hace sombra Pitágoras de Samos

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*DEMOSTRACIÓN DE PAPPUS:

Pappus abordó el mismo problema usando en vez de la proposición 1.41 de los

“Elementos” la proposición 1.36 (paralelogramos que tienen las mismas bases y están entre

las mismas paralelas son iguales).

1°Nuestro objetivo es hallar el equivalente de las áreas de los cuadrados en azul y en rojo

graficadas sobre los lados del triángulo ABC.

2°Usamos la proposición 1.36 y nos queda como sigue:

3°Usamos otra vez la misma proposición y encontramos que:

Probándose el teorema de Pitágoras.

DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS

La felicidad consiste en poder unir el principio con el fin Pitágoras de Samos

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*DEMOSTRACIÓN SEGÚN BASKARA:

El pequeño cuadrado encerrado dentro de otro ya ha sido visto y se ha probado el teorema

usando el suma de áreas, Baskara plantea un reordenamiento geométrico como sigue:

1°Trasladamos las áreas en verde hacia la parte de

abajo y se obtienen dos rectángulos y un cuadrado.

2°Calculamos:

Pero

Entonces:

*DEMOSTRACIÓN DE DA VINCI:

1°En la figura izquierda, el área verde es

igual que el área azul pues los polígonos

poseen los mismos lados y ángulos.

2°De igual modo en la figura derecha ve-

mos que el área en rojo es igual al área en

amarillo por los mismos motivos.

3°Si observamos aún más vemos que el

cuadrilátero ACGD es igual a AHJB y EFGD es igual a CIJB.

4°Además los triángulos EFB, ABC y HIJ son iguales

5°Se concluye que ADEB, BCFG y ACIH son iguales con lo que se prueba el teorema de

Pitágoras.

*DEMOSTRACIÓN DE PLATÓN:

Platón aborda el problema para un caso especial: el triángulo rec-

tángulo e isósceles, como se puede observar la demostración es

muy visual y aparece en los Diálogos que el autor escribió.

DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS

El hombre es mortal por sus temores e inmortal por sus deseos Pitágoras

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*DEMOSTRACIÓN DE GARFIELD:

1°Calculamos el área del trapecio.

2°Calculamos el área del triángulo en azul.

3°Con las áreas calculadas hallamos el área del triángulo verde.

Se obtiene

*DEMOSTRACIÓN DE VIETE:

1°En la figura dibujada queremos hallar una fórmu-

la que relacione a, b y c.

2°Si observamos al detalle existe un triángulo ABE

gracias al cual podremos aplicar una importante

proposición de los “Elementos” de Euclides:

Numéricamente:

DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS

Ayuda a tus semejantes a levantar su carga, pero no te consideres obligado a llevársela Pitágoras

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TEOREMA DE PITÁGORAS GENERALIZADO:

El teorema de Pitágoras ya fue probado por los numerosos métodos desarro-

llados a lo largo de la historia, pero nos nace la curiosidad luego de ver que a

cada lado del triángulo se colocan cuadrados e imaginamos si podemos colo-

car otras figuras en vez de los cuadrados. En este punto probaré que se puede

colocar otras figuras semejantes entre sí cumpliendo de igual forma tal como se intuyó.

-Área de un polígono regular:

Primero hallaremos el área del triángulo equilátero, el área som-

breada es igual a:

Si generalizamos para polígonos regulares:

La fórmula anterior es útil en otros casos, pero necesitamos que esté en función del lado L.

Acomodando nos queda:

Analicemos, el área de un polígono regular tiene una parte que depende del número de la-

dos y otra que depende de las dimensiones del lado, en resumen lo siguiente:

Donde N depende del número de lados

Siendo más analíticos comprenderemos que cuando se tienen polígonos regulares semejan-

tes N no varía, esto la hace especial (depende de la forma de la figura representada como

número de lados).

DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS

Una bella ancianidad es, ordinariamente, la recompensa de una vida bella Pitágoras

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Así para cada uno de los lados del triángulo tenemos que:

Si sumamos el área de las figuras puestas sobre los catetos nos dará el área del de la figura

puesta sobre la hipotenusa siempre que sean polígonos regulares:

Gráficamente:

En el caso original era un cuadrado y N valía

1.

Hasta aquí se hizo un gran progreso, pero vamos aún más allá: ¿Podrá colocarse figuras irre-

gulares semejantes en vez de polígonos?, razonemos:

Supongamos que conocemos el área de una figura irregular, esta dependerá de la forma y el

tamaño (la figura estará apoyada en un lado del triangulo), al ser las tres figuras semejantes

tendrán el mismo valor para la forma en tanto que el tamaño será proporcional al cuadrado

del lado del triángulo sobre el cual se han dibujado.

Con:

Para los lados de dimensiones a, b y c:

Después de esto volvemos a comprobar que aún usando figuras

irregulares siempre que sean semejantes sus áreas cumplen la rela-

ción de Pitágoras.

DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS

Preciso es encontrar lo infinitamente grande en lo infinitamente pequeño para encontrar la presencia de Dios—Pitágoras

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