UNIVERSIDAD DE LA COSTA, CUC

FACULTAD DE INGENIERIA

TRABAJO DE TOPOGRAFIA

TEOREMA DE PITAGORAS Y TEOREMA DEL COSENO

MERCEDES BENITEZ MOJICA

PRESENTADO CESAR DAZA

09/08/2013

BARRANQUILLA, ATLANTICO

Tabla de contenido

Introduccin2Objetivos 3Teorema de Pitgoras 4Historia, definicin, demostracin, ejemplo Teorema del coseno 7Demostracin

Conclusiones 10Bibliografa 11

INTRODUCCION

Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonomtricas en la fsica y en casi todas las ramas de la ingeniera, sobre todo en el estudio de fenmenos peridicos, y tambin topogrficos; la topografa trata de la obtencin de informacin fsica y su procesamiento numrico, para conseguir la representacin geomtrica, ya sea en forma grfica o analtica, del espacio fsico que nos rodea. De acuerdo a lo anterior podemos deducir la estrecha afinidad entre las funciones trigonomtricas (teorema del coseno entre otras), el teorema de Pitgoras y la topografa.El teorema del coseno es una extensin del teorema de Pitgoras, este expone que en cualquier triangulo, el cuadro de un lado es equivalente a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos su doble producto por el coseno del ngulo que forman. Esta relacin es til para resolver ciertos tipos de problemas de tringulos.

El teorema de Pitgoras es una de las relaciones matemticas ms importantes. Gracias a ste se han resuelto infinidad deproblemasprcticos que han incidido en el mejoramiento del nivel de vida de la humanidad dentro de la aritmtica, algebra y geometra por sus diversas aplicaciones en la determinacin de distancias, alturas y reas de terrenos y/o superficies.Sin embargo, su mxima aplicacin se da en la trigonometra, ya que por medio de l podemos determinar el seno, coseno y tangente de cualquier tringulo rectngulo.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERALDefinir, identificar y comprender los conceptos bsicos del teorema de Pitgoras y del teorema del coseno.

OBJETIVOS ESPECIFICOS Identificar las leyes del Seno y Coseno para la solucin de tringulos. Establecer las distintas formas de demostraciones de los teoremas. Aplicar los teoremas para el desarrollo de problemas de aplicacin.

TEOREMA DE PITGORAS

HISTORIAEl Teorema de Pitgoras lleva este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagrica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocan ternas de valores que se correspondan con los lados de un tringulo rectngulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados tringulos.La pirmide de Kefrn, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirmide que se construy basndose en el llamado tringulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5. El Teorema de Pitgoras es de los que cuentan con un mayor nmero de demostraciones diferentes, utilizando mtodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exiga una nueva demostracin de l para alcanzar el grado de Magster matheseos.

DEFINICION

El Teorema de Pitgoras establece que "Si se tiene un tringulo que tenga un ngulo recto (tringulo rectngulo), y se coloca y cuadrado a cada uno de los lados del tringulo el cuadrado ms grande ser exactamente la misma rea de los otros dos cuadrados juntos (la suma)En los tringulos rectngulos el cuadrado sobre el ngulo opuesto al ngulo recto es equivalente a los cuadrados sobre los lados que forman el ngulo recto. Si un tringulo tiene lados de longitud (a, b, c), con los lados (a, b) formando un ngulo de 90 grados ("ngulo recto"), tenemos quea2+b2=c2

El teorema tambin se puede definir de otra forma: si las longitudes de los tres lados (a, b, c) de un tringulo satisfacen la relacin anterior, el ngulo entre los lados a y b debe ser de 90 grados.

DEMOSTRACION:Este teorema era conocido en China, Mesopotamia y Egipto, mucho antes de los tiempos de Pitgoras. Una de las demostraciones ms antiguas es la siguiente. Partiendo de un tringulo rectngulo como el de la figura 1 y utilizando cuatro de ellos, construimos la figura 2.Figura 1Figura 2

En la figura 2, el rea del cuadrado grande es (a+b)2. Pero la figura 2 se descompone en 4 tringulos y un cuadrado ms pequeo. El rea que obtenemos sumando las cinco partes es c2+4(ab/2) = c2+2ab. De aqu obtenemos que (a+b)2= c2+2ab; es decir, a2+2ab+b2= c2+2ab, y simplificandoa2+b2= c2.Existe una cantidad muy numerosa dedemostraciones del teorema de Pitgoras, pero quizs la ms famosa es la que aparece en "Los Elementos" de Euclides. El rea del rectngulo amarillo (A'A''BM) es igual al rea del cuadrado amarillo (ABPQ). Los tringulos ABM y CBP son congruentes (iguales). Esto es cierto porque:a) Los ngulos obtusos de ABM y CBP son iguales.b) El lado AB de ABM es igual al lado BP de CBPc) El lado BM de ABM es igual al lado CB de CBPEs decir, los tringulos tienen dos lados iguales e igual el ngulo comprendido.

El tringulo ABM tiene un rea igual a la mitad de la del rectngulo amarillo (A'A''BM) porque tienen la misma base y altura (para verlo tomar BM como base). Asimismo, el rea del tringulo CBP es la mitad de la del cuadrado amarillo (ABPQ) por la misma razn (tomar BP como base). Como los dos tringulos son iguales, el rectngulo y el cuadrado tambin lo son. De forma anloga se procede con el rectngulo y el cuadrado de la izquierda y el teorema queda demostrado.

EJEMPLOEl teorema de Pitgoras es de mucha utilidad en la resolucin de problemas de la vida cotidiana. Para el clculo de distancias y/o alturas: Se desean bajar frutos de un rbol de naranjas, para ello se quiere construir una escalera que sea capaz de alcanzarlos, sabiendo la altura a la queseencuentran los frutos y la distancia del rbol a la base de la escalera.

Sustituyendo valores en la formula, tenemos que: c2=a2+b2C2= (8)2+ (5)2C2=64+25C2=89C=89C= 9.43 m es la altura de la escalera.

TEOREMA DEL COSENO

Este teorema demuestra que El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ngulo comprendido Estos trminos forman el teorema del coseno, que es una extensin del teorema de Pitgoras al caso de tringulos cualesquiera; Con ello, es posible resolver cualquier tipo de tringulos conociendo: Un lado y los ngulos adyacentes a l. Dos lados y el ngulo comprendido entre ellos. Dos lados y el ngulo opuesto a uno de ellos.

DEMOSTRACION

EJEMPLO Desde lo alto de un globo se observa un pueblo A con un ngulo de 50, y otro B, situado al otro lado y en lnea recta, con un ngulo de 60. Sabiendo que el globo se encuentra a una distancia de 6 kilmetros del pueblo A y a 4 del pueblo B, calcula la distancia entre los pueblos A y B.

El ngulo debajo del globo es de 110 porque si trazramos una perpendicular desde el globo al suelo, a la izquierda tendramos 50 y a la derecha 60.Aqu tendremos que usar el teorema del coseno, porque el ngulo que conocemos es el que forman los dos lados de los cuales tenemos su longitud.

CONCLUSIONES

En el estudio de estas deducciones del Teorema de Pitgoras y del teorema del coseno, pudimos observar que a per que hoy en da a pesar de los avances tecnolgicos es necesario utilizar clculos y funciones matemticas que se crearon hace varios siglos siguen siendo tiles para resolver problemas de la vida cotidiana.El Teorema de Pitgoras es un claro ejemplo de ello, ya que se considera parte de la educacin elemental de cualquier individuo, en su forma ms simple, nos proporciona una solucin sencilla a problemas de longitud, alturas y distancias que en cualquier etapa de nuestra vida se nos pueden presentarTambin en topografa es normal que se resuelvan los problemas con tringulos, ya que cualquier polgono se puede dividir en tringulos y a partir de ello podemos obtener el rea por ejemplo, esto con ayuda del teorema del coseno y teorema de Pitgoras.

BIBLIOGRAFIA

http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/pitagoras.htm

http://www.angelfire.com/cantina/senocoseno/news.htm

http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/teoremapitagoras.htm

http://www.jorge-fernandez.es/proyectos/angulo/temas/temao/index.html

http://www.cajondeciencias.com/Descargas%20mate2/ER%20teoremas%20seno%20y%20coseno.pdf