Teorema de Rosen

Un circuito pasivo constituido por n impedancias Z1, Z2, ..., Zn conectadas en estrella (Fig. 1),

Figura 1

puede ser sustituido por otro circuito equivalente formado por n(n-1)/2 impedancias Z12, Z13, ..., Z1n, Z23, ..., Z2n, ..., Zmn conectadas en polígono (Fig. 2).

Figura 2

La equivalencia se refiere a la posible conexión a otro circuito externo, de la totalidad o parte de los n terminales 1, 2, ...n.

Exceptuaremos el centro N de la estrella, que no existe en la configuración polígono.

Dicha equivalencia quedará probada si las intensidades i1, i2, ..., in salientes de los nudos son iguales en las dos configuraciones para todo conjunto de tensiones u1, u2, ..., un de dichos terminales, que actúe sobre ambas. Estas tensiones de los terminales son respecto de un

punto cualquiera de referencia (representamos la conexión externa por un circuito activo C.A.).

Puede verse que esas intensidades son iguales si:

Ecuacion 1

Veamos algunos casos particulares como aplicación.

a) n=2 : Resistencias en serie.

En este caso el polígono estará formado por 2·(2-1)/2 = 1 resistencia.

Figura 3

b) n = 3 (Estrella-Triángulo).

Figura 11

En este caso tendremos 3(3-1)/2 = 3 resistencias en triángulo.

Ecuacion 12

c)n = 4 :

Ahora tendremos 4(4-1)/2 = 6 resistencias en polígono.

Figura 12

Las admitancias del polígono serán:

Ecuacion 13

Dado un polígono de impedancias, no siempre es posible el cálculo de una estrella equivalente.

Para n = 2, resulta evidente que dada Z12 en la ecuación, existen infinitos valores de las incógnitas Z1 y Z2 que cumplen que Z1 + Z2 = Z12.

Para n = 3 tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas, siendo la solución única (ya vimos que dado el triángulo, la estrella equivalente está determinada).

Para n = 4 disponemos de seis ecuaciones con cuatro incógnitas, por lo que el sistema puede ser incompatible (si el polígono proviene de una estrella se tendrán otras dos relaciones:

Y12Y34 = Y13Y24 = Y14Y23) que nos permitirán calcular los elementos de la estrella equivalente.