7/23/2019 Teorema de Vaschy-Buckingham

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Teorema de Vaschy-BuckinghamDe Wikipedia, la enciclopedia libre

El Teorema de (pi) de Vaschy-Buckingham es el teorema fundamental del anlisis dimensional. teorema establece que dada una relacin fsica expresable mediante una ecuacin en la que est

involucradas nmagnitudes fsicas o variables, y si dichas variables se expresan en trminos de kcantidadfsicas dimensionalmente independientes, entonces la ecuacin original puede escribirse equivalentemen

como una ecuacin con una serie de n - knmeros adimensionales construidos con las variables originales

Este teorema proporciona un mtodo de construccin de parmetros adimensionales, incluso cuando

forma de la ecuacin es desconocida. De todas formas la eleccin de parmetros adimensionales no es nic

el teorema no elige cules tienen significado fsico.

ndice

1 Introduccin2 Ejemplo3 Uso prctico4 Referencia

4.1 Notas4.2 Enlaces externos

Introduccin

Si tenemos una ecuacin fsica que refleja la relacin existente entre las variables que intervienen en ucierto problema debe existir una funcinftal que:

en dondeAi son las n variables o magnitudes fsicas relevantes, y se expresan en trminos de k unidad

fsicas independientes. Entonces la anterior ecuacin se puede reescribir como:

en donde son los parmetros adimensionales construidos de n k ecuaciones de la forma:

http://-/?-http://-/?-https://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Teoremahttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_dimensionalhttp://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_adimensionalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_dimensionalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema

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en donde los exponentes mi son nmeros enteros. El nmero de trminos adimensionales construidos n - es igual a la nulidad de la matriz dimensional en donde kes el rango de la matriz.

La notacin de icomo parmetros adimensionales fue introducida por Edgar Buckingham en su artculo d

1914, de ah el nombre del teorema. No obstante, la autora del mismo debe adscribirse a Aim Vaschy

quien lo enunci en 1892.

EjemploImaginemos un problema donde pretendemos relacionar la resistencia aerodinmica o fuerza aerodinmic

Fa sobre un cuerpo, por ejemplo una esfera o cualquier otra forma geomtrica, en funcin de su tamao

dimensin caracterstica d, la densidad del fluido , la viscosidad del mismo y la velocidad del cuerpo

en el seno de dicho fluido. Dado que parece que esas variables deberan explicar por s mismas

resistencia aerodinmica se tiene relacin matemtica del tipo:1

Puesto que tenemos 5 variables relevantes . Estas cinco variables no son dimensionalmen

independientes ya que desde el punto de vista dimensional se tiene en trminos de masa, tiempo y longitu

que:

en este caso se tiene por tanto ya que todas las magnitudes son reducibles a slo 3 magnitud

dimensionales independientes. Esto implica que existen combinanciones adimensionales tales que

relacin (2) se puede reducir a la forma:

Para continuar se escogen arbitrariamente 3 de las cinco magnitudes orignales como "bsicas" y se forma

unto con las otras dos consideradas "dependientes" productos adimensionales. En este caso se toman com

bsicas por ejemplo , v y d (aunque podra haberse hecho otra eleccion). Ahora buscamos exponent

enteros tales que los siguientes productos sean adimensionales:

http://-/?-http://-/?-https://es.wikipedia.org/wiki/Viscosidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/1892https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Aim%C3%A9_Vaschy&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/1914https://es.wikipedia.org/wiki/Edgar_Buckinghamhttps://es.wikipedia.org/wiki/Rango_de_una_matrizhttps://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_enterohttp://-/?-

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(3b)

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(7b)

La condicin de adimensionalidad para lleva a que por ejemplo:

Esto lleva al sistema de ecuaciones sobre los enteros:

Anlogamente para el parmetro , se llega a que: y por tanto la relacin buscada es:

Si se asumen cierta condiciones de regularidad y diferenciabilidad sobre la funcin anterior, podr usarse

teorema de la funcin implcita para escribir las relaciones:

Esta ltima ecuacin dice es consistente con la expresin comn para la resistencia aerodinmica:

https://es.wikipedia.org/wiki/Resistencia_aerodin%C3%A1micahttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_funci%C3%B3n_impl%C3%ADcita

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Donde, y es una funcin del nmero de Reynolds que precisamente es proporcion

al parmetro . Obviamente el teorema no es capaz de darnos todos los factores de proporcionalida

requeridos, ni la forma funcional exacta de algunas partes de la frmula, pero simplifica mucho el conjun

de expresiones a partir de la cual tenemos que buscar los datos.

Uso prctico

Para reducir un problema dimensional a otro adimensional con menos parmetros, se siguen los siguientepasos generales:

1. Contar el nmero de variables dimensionales n.2. Contar el nmero de unidades bsicas (longitud, tiempo, masa, temperatura, etc.) k3. Determinar el nmero de grupos adimensionales. Nmero de .4. Hacer que cada nmero dependa de n - kvariables fijas y que cada uno dependa adems de una

las k variables restantes (se recomienda que las variables fijas sean una del fluido, una geomtricaotra cinemtica).

5. El nmero que contenga la variable que se desea determinar se pone como funcin de los demnmeros adimensionales.

6. El modelo debe tener sus nmeros adimensionales iguales a los del prototipo para asegurar similitud7. Se determina la dependencia del nmero adimensional requerido experimentalmente.

Referencia

Vaschy, A.: "Sur les lois de similitude en physique". Annales Tlgraphiques 19, 25-28 (1892)Buckingham, E.: On physically similar systems. Illustrations of the use of dimensional equationPhysical Review 4, 345-376 (1914).

Notas1. Experimentalmente se ha probado que esas variables determinan la resistencia aerodinmica, ver (7)

Enlaces externos

Generalizacin del teorema de Buckingham (http://www.oasification.com/archivos/Pidebuck.pdf)

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