Teorema fundamental de álgebra

El teorema fundamental del álgebra establece que todo polinomio de una variable no constante con coeficientes complejos tiene una raíz compleja, es decir, existe un número complejo que evaluado en el polinomio da cero. Este incluye polinomios con coeficiente reales, ya que cualquier número real es un número complejo con parte imaginaria igual a cero.

Aunque ésta en principio parece ser una declaración débil, implica todo polinomio de grado n de una variable no constante con coeficientes complejos n tiene, contando con las multiplicidades, exactamente n raíces. La equivalencia de estos dos enunciados se realiza mediante la división polinómica sucesiva por factores lineales.

El teorema se enuncia comúnmente de la siguiente manera:

Todo polinomio en una variable de grado n ≥ 1 con coeficientes reales o complejos tiene por lo menos una raíz (real o compleja).1

Es ampliamente conocido también el enunciado: Un polinomio en una variable, no constante y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces2 como indica su grado, contando las raíces con sus multiplicidades. En otras palabras, dado un polinomio complejo p(z) de grado n ≥ 1, la ecuación p(z) = 0 tiene exactamente n soluciones complejas, contando multiplicidades.

Otras formas equivalentes del teorema son:

El cuerpo de los complejos es cerrado para las operaciones algebraicas.

Todo polinomio complejo de grado n ≥ 1 se puede expresar como un producto de n polinomios lineales, es decir

Ejemplos

Sea   un polinomio de grado  .   es una función entera. Para cada constante positiva 

, existe un número real positivo   tal que

Si   no tiene raíces, la función  , es una función entera con la propiedad de que

para cualquier número real   mayor que cero, existe un número positvo   tal que

Concluimos que la función   es acotada. Pero el teorema de Liouville dice que si   es una

función entera y acotada, entonces,   es constante y esto es una contradicción.

De manera que   no es entera y por tanto   tiene al menos una raíz.   se puede escribir

por tanto como el producto

donde   es una raíz de   y   es un polinomio de grado  . Por el argumento

anterior, el polinomio   a su vez tiene al menos una raíz y se lo puede factorizar

nuevamente.

Repitiendo este proceso   veces,3 concluimos que el polinomio p puede escribirse

como el producto

donde  ...   son las raíces de   (no necesariamente distintas) y   es una constante.

Encuentre la solución de la siguiente ecuación . .

Comentamos que encontrar la solución de una ecuación es encontrar los valores de x

reales para los cuales , es decir, en este caso si hacemos y(x)=0 tendremos

Vemos que este es el único valor para el cual , es decir, solo existe una raíz, algo que era

un resultado que podíamos afirmar del teorema fundamental del álgebra, si el polinomio

es de grado impar por lo menos tenemos una raíz real, en este caso como el polinomio es

de primer grado era lógico suponer que no existía mas de una sola solución o raíz. Su

aspecto gráfico es el siguiente, el punto de intersección con el eje x es cuando

y=0. La gráfica de la ecuación es una línea recta de pendiente 2 ya que recordando la

ecuación de la línea recta de la forma con m la pendiente. La ordenada al origen es b=1

es decir con ello tenemos la otra coordenada que se requiere para representar una línea

recta, .

Bibliografía

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/atrigonometria/segundo%20grado.htm (Consultada 06 Agosto 2014)

http://matematica.laguia2000.com/general/teorema-fundamental-del-algebra (Consultada 06 Agosto 2014)