Teoremas de lmites

Para facilitar la obtencin del lmite de una funcin sin tener que recurrir cada vez a la definicin Epsiln-Delta se establecen los siguientes teoremas.

Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.

Nota: los teoremas se presentan sin demostracin, pero quien quiera verla puede hacer clic en el vnculo correspondiente.Teorema de lmite1:Si k es una constante y a un nmero cualquiera, entonces

Teorema de lmite2:Para cualquier nmero dado a,

Teorema de lmite3:Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces

Teorema de lmite4:

Teorema de lmite5:

Teorema de lmite6:Si f es un polinomio y a es un nmero real, entonces

Teorema de lmite7:Si q es una funcin racional y a pertenece al dominio de q, entonces

Teorema de lmite8:

Procedimiento para calcular lmites Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores, el lmite se calcula directamente. Con respecto a las propiedades, como la propiedad 6 se aplica a cualquier polinomio y las propiedades 1, 2, 3, y 4 implican funciones polinmicas es indistinto que nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6 cuando calculamos el lmite de una funcin polinmica. Lo mismo, la propiedad 7 se aplica a una funcin racional y la propiedad 4 (III) tambin.

Cuando al sustituir la a por x en la funcin nos da la forma indetermidada 0/0 es posible calcular el lmite pero, previamente, hay que transformar la frmula de la funcin de tal modo que se pueda evitar la divisin por cero: para lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficaces como la factorizacin, la conjugada, etc.

Ejercicios resueltos Evalu los siguientes lmites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en cada paso:

S o l u c i o n e s1. Solucin

2. Solucin:

3. Solucin:

4. Solucin:

5. Solucin:

6. Solucin:

No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendra la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresin, se obtiene fcilmente el lmite aplicando el TL1:

7. Solucin:

No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendra la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresin se obtiene fcilmente el lmite aplicando el TL7 o el TL4(III):

8. Solucin:

Si pretendiramos aplicar el lmite directamente a partir del TL7, nos dara la forma indeterminada 0/0;

por lo que, se debe factoriazar y luego simplificar la expresin antes de poder hacer uso del TL6:

9. Solucin:

No se puede aplicar el lmite directamente, dara la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la expresin en el numerador y luego reduciendo y simplificando, se puede aplicar el TL para hallar el lmite:

10. Solucin:

Luego de la transformacin de la expresin se aplican los TL7 y TL8:

11. Solucin:

El lmite no se puede aplicar directamente, resultara la forma indeterminada 0/0; no obstante, una vez factorizando y simplificando, la expresin queda expedita para hallar el lmite mediante los TL7 y TL6:

12. Solucin: