Teoremas de límites mediante Infinitésimos

Definición

Infinitésimo

f(x) es un infinitésimo en a si limx->af(x) = 0 (a puede ser inf)

Ejemplo: limx->-inf ex = 0 => ex es un infinitésimo para -infinito.

Definición

Infinitésimos equivalentes

Se dice que dos infinitésimos f(x) y g(x) son equivalentes si el limx->af(x)/g(x) = 1

limx->a f(x) = 0, limx->ag(x) = 0f(x) es equivalente a g(x) <=> limx->af(x)/g(x) = 1

Varios de los límites tipo son límites de cocientes de infinitésimos y valen 1. De ahí podemos establecer las siguientes equivalencias:

L(1 + x)lim -------- = 1 => L(1 + x) equiv xx->0 x x->0

También: Lx equiv x - 1 (Se deduce haciendo un cambio de x->1 variable en la equivalencia 1)

ex - 1lim ------- = 1 => ex - 1 equiv xx->0 x x->0

ax - 1lim ------ = La (a perteneciente a R+) => ax - 1 equiv xLax->0 x x->0

sen x lim ----- = 1 => sen x equiv xx->0 x x->0

tg xlim ---- = 1 => tg x equiv xx->0 x x->0

1 - cos x 1lim ---------- = -- => 1 - cos x equiv x2/2x->0 x2 2 x->0

(1 + x)m - 1lim ------------- = 1 => (1 + x)m - 1 equiv mxx->0 mx x->0

n ______ n _____ \|1 + x - 1 1 \|1 + x - 1 lim ------------- = -- => lim ------------ = 1 x->0 x n x->0 x/n n _____=> \|1 + x - 1 equiv x/n

Comparación de infinitésimos

Sean f(x) y g(x) dos infinitésimos en a.

1. Se dice que f(x) y g(x) tienen el mismo orden si limx->af(x)/g(x) = k ≠ 0

2. Se dice que el orden de f(x) es mayor que el orden de g(x) si limx->af(x)/g(x) = 0

3. Se dice que el orden de f(x) es menor que el orden de g(x) si limx->af(x)/g(x) = inf

4. Cuando no existe limx->af(x)/g(x) se dice que los infinitésimos no son comparables.

Teorema

Dos infinitésimos son equivalentes <=> el orden de la diferencia es mayor que el orden de ambos.

H) f(x)x->a--> 0, g(x)x->a--> 0, f(x) equiv g(x) cuando x->a

T) orden(f(x) - g(x)) > orden f(x)    orden(f(x) - g(x)) > orden g(x)

Demostración:

Directo:

1 1 pues f(x) equiv g(x) --^-- --^-- x->a f(x) - g(x) f(x) g(x)lim ---------- = lim --- - --- = 0x->a f(x) x->a f(x) f(x)=> (por órdenes de infinitésimos) orden (f(x)-g(x)) > orden (f(x))Análogamente se prueba que orden (f(x)-g(x)) > orden (g(x)).Recíprocoorden(f(x) - g(x)) > orden (f(x)) => (por órdenes de infinitésimos) f(x) - g(x)lim ---------- = 0x->a f(x) 1 (por def. infinitésimos equivalentes) --^-- | f(x) g(x) g(x) | lim --- - --- = 0 => lim ---- = 1 => f(x) equiv g(x) x->a f(x) f(x) x->a f(x) x->a

Teorema

La suma de dos infinitésimos de distinto orden es equivalente al infinitésimo de menor orden.H) f(x)x->a--> 0, g(x)x->a--> 0, orden(f(x)) < orden(g(x))T) f(x) + g(x) equivalente a f(x) cuando x->a.

Demostración: 1 0 pues orden (f(x)) < orden (g(x)) --^-- --^-- f(x) + g(x) f(x) g(x)lim ---------- = lim --- + --- = 1x->a f(x) x->a f(x) f(x)

Generalización:

La suma de n infinitésimos es equivalente al infinitésimo de menor orden.

Ejemplo: 7x5 + 4x3 + 2x2 equiv 2x2 cuando x->0

Teorema

Sustitución de infinitésimos equivalentes

H) limx->a α(x).f(x) = b (finito o infinito)    α(x)x->a--> 0    Existe β(x), β(x)x->a--> 0 / β(x)x->a equiv α(x)T) limx-a β(x).f(x) = b

Demostración: pues lim α(x)/β(x) = 1 | x->a α(x).β(x).f(x) | lim α(x).f(x) = lim --------------- = lim β(x).f(x) = bx->a x->a β(x) x->a

Teorema

Sustitución de infinitésimos equivalentes

H) limx->a f(x)/α(x) = b (finito o infinito)    α(x)x->a--> 0    Existe β(x), β(x)x->a--> 0 / β(x)x->a equiv α(x)T) limx-a f(x)/β(x) = b

Demostración: pues lim β(x)/α(x) = 1 | x->a f(x) β(x).f(x) | f(x) lim ---- = lim --------- = lim ---- = bx->a α(x) x->a β(x).α(x) x->a β(x)