UNIDAD 1 - ELEMENTOS BASICOS

AXIOMA DE EXISTENCIA DEL ESPACIO: Existe un conjunto llamado el espacio que tiene subconjuntos propios

llamados planos, quienes a su vez tienen subconjuntos propios llamados rectas. Cada uno de estos conjuntos está

formado por infinitos elementos llamados puntos.

AXIOMA DE ENLACE DE LA RECTA: Sean A y B dos puntos distintos, entonces existe una y sólo una recta a la

cual ambos pertenecen, llamada “la recta AB”, ( AB ).

AXIOMA DE ENLACE DEL PLANO: Sean A, B y C, puntos no colineales, entonces existe uno y sólo un plano al

cual ellos pertenecen, llamado “el plano ABC”, (ABC).

AXIOMA DE CONTENCIÓN DE LA RECTA EN EL PLANO: Si una recta L y un plano tienen dos puntos

distintos en común, entonces la recta L está contenida en el plano .

AXIOMA DE INTERSECCIÓN DE PLANOS: Si dos planos distintos tienen algún punto en común entonces su

intersección es una recta.

AXIOMA DE ORDENACIÓN DE LA RECTA:

Una recta es un conjunto linealmente ordenado, que no tiene ni primero ni último punto y no tiene puntos

consecutivos.

AXIOMA DE SEPARACIÓN DE LA RECTA: Todo punto de una recta separa a los demás puntos de la recta en dos

conjuntos: el conjunto de los que le preceden y el conjunto de los que le siguen y tales que:

1. Todo punto de la recta, distinto de él, pertenece a uno y sólo a uno de dichos conjuntos.

2. El punto dado está entre dos puntos de conjuntos distintos y no está entre dos puntos del mismo conjunto.

AXIOMA DE SEPARACIÓN DEL PLANO: Toda recta de un plano separa a los demás puntos del plano en dos

regiones tales que:

1. Todo punto del plano, exterior a la recta, pertenece a una y sólo a una de las regiones.

2. El segmento que une dos puntos de regiones distintas corta a la recta y de la misma región no la corta.

AXIOMA DE SEPARACIÓN DEL ESPACIO: Todo plano separa a los demás puntos del espacio, en dos regiones

tales que:

1. Todo punto del espacio, exterior al plano, pertenece a una y sólo a una de las regiones.

2. El segmento que une dos puntos de distintas regiones corta al plano y de la misma región no lo corta.

AXIOMA DE DISTANCIA: Dados dos puntos P y Q existe un único número real llamado “La distancia entre P y Q”, denotado por “d(P,Q)” o “PQ”, el cual cumple las siguientes propiedades:

1. d(P,Q) 0

2. d(P,Q) = 0 sii P coincide con Q

3. d(P,Q) = d(Q,P)

4. Si P, Q y R son puntos del espacio, entonces d(P,R) d(P,Q) + d(Q,R)

5. Si Q está entre P y R entonces

d(P,R) = d(P,Q) + d(Q,R)

TEOREMA: Si dos rectas tienen dos puntos distintos en común, entonces ellas coinciden.

TEOREMA: Si dos planos tienen tres puntos no colineales en común, entonces los planos coinciden

TEOREMA: (PLANO RECTA Y PUNTO EXTERIOR) Por una recta y un punto exterior a ella pasa uno y sólo un

plano que les contiene.

TEOREMA: (PLANO RECTAS SECANTES) Dos rectas secantes determinan uno y sólo un plano que les contiene.

COROLARIO: Dos rectas cruzadas no tienen ningún punto en común.

TEOREMA: (PLANO RECTAS PARALELAS) Dos rectas paralelas determinan uno y sólo un plano que les contiene.

TEOREMA: La intersección entre dos planos secantes es una recta.

UNIDAD 2 - SEGMENTOS Y ANGULOS

TEOREMA: La congruencia de segmentos es una relación de equivalencia, es decir, cumple las siguientes

propiedades:

1. Reflexiva: AB AB

2. Simétrica: AB CD CD AB

3. Transitiva: AB CD CD EF AB EF

AXIOMA DE CONSTRUCCIÓN DE SEGMENTOS: En toda semirrecta OA , para cada real positivo “x”, existe un

único punto B sobre OA , distinto de O, tal que m( OB ) = x.

AXIOMA DE MEDIDA DE ÁNGULOS: Dado un semiplano con una semirrecta OA , fija en su borde, entonces a

cada semirrecta OB de dicho semiplano, se le asigna un único número real “a” en el intervalo 0,180. Para la

semirrecta OA se asigna el 0 y para su semirrecta opuesta el 180.

TEOREMA: La congruencia de ángulos es una relación de equivalencia, es decir, cumple las siguientes propiedades:

1. Reflexiva: ABCABC

2. Simétrica: ABCDEF DEFABC

3. Transitiva:

ABCDEFDEFPQRABCPQR

AXIOMA DE CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS: Dado un semiplano y fijada una semirrecta OA sobre su borde,

entonces para cada real “x” en el intervalo 0,180, existe solamente una semirrecta OB en dicho semiplano, tal que

mAOB = x°.

TEOREMA: Dos ángulos son congruentes si y sólo si sus complementos son congruentes si y sólo si sus suplementos

son congruentes.

TEOREMA: Si dos ángulos forman un par lineal entonces son suplementarios.

TEOREMA: Si dos ángulos adyacentes, ABC y CBD son suplementarios entonces forman un par lineal y por lo

tanto los puntos A, B y D son colineales.

TEOREMA: Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

TEOREMA: Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice son semirrectas opuestas. (Ejercicio)

.TEOREMA: Dos rectas perpendiculares forman cuatro ángulos rectos. (Ejercicio)

TEOREMA: Las bisectrices de un par lineal son perpendiculares. (Ejercicio)

TEOREMA: Por cada punto de una recta pasa una y solamente una recta perpendicular a ella.

UNIDAD 3. TRIÁNGULOS

TEOREMA: Todo triángulo equilátero es isósceles. El recíproco es falso.

TEOREMA: La congruencia de triángulos es una relación de equivalencia:

1. Reflexiva: ABCABC

2. Simétrica: ABCDEF DEFABC

3. Transitiva:

ABCDEF DEFGHIABCGHI

AXIOMA: Dos triángulos son congruentes si tienen un ángulo congruente formado por lados respectivamente

congruentes.

COROLARIOS:

1. En todo triángulo isósceles los ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes.

2. Todo triángulo equilátero es equiángulo. (Ejercicio)

3. En todo triángulo isósceles, la bisectriz del ángulo opuesto a la base también es mediana, altura y mediatriz con

respecto a la base.

4. Por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una perpendicular a ella.

5. En todo triángulo, cada ángulo exterior es mayor que cualquiera de los dos ángulos interiores no adyacentes.

6. Todo triángulo tiene por lo menos dos ángulos agudos.

TEOREMA: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes dos ángulos y el lado común a

ellos.

COROLARIOS:

1. Si un triángulo tiene dos ángulos congruentes entonces es isósceles.

2. Todo triángulo equiángulo es equilátero.

TEOREMA: Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes.

TEOREMA: Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado opuesto a

uno de ellos congruente.

TEOREMA: Dos triángulos rectángulos son congruentes si satisfacen alguna de las siguientes condiciones:

1. RCC: Si tienen respectivamente congruentes los dos catetos.

2. RCAady: Si tienen respectivamente congruentes un cateto y el ángulo agudo adyacente a dicho cateto.

3. RCAop: Si tienen respectivamente congruentes un cateto y el ángulo agudo opuesto a dicho cateto.

4. RHA: Si tienen respectivamente congruentes la hipotenusa y un ángulo agudo.

5. RHC: Si tienen respectivamente congruentes la hipotenusa y un cateto.

TEOREMA: Si dos triángulos son congruentes entonces las medianas, las alturas y las bisectrices respectivamente

homólogas son congruentes.

TEOREMA:

1. Un triángulo es isósceles si y sólo si tiene dos ángulos congruentes.

2. En todo triángulo isósceles la mediana, la altura, la mediatriz (con respecto a su base) y la bisectriz del ángulo

opuesto, coinciden y recíprocamente.

3. Todo triángulo isósceles tiene respectivamente congruentes dos alturas, dos medianas y dos bisectrices.

TEOREMA: Si un triángulo tiene dos lados no congruentes entonces al mayor de dichos lados se opone un ángulo

mayor y recíprocamente.

COROLARIOS:

1. En todo triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cada uno de los catetos

2. En todo triángulo obtusángulo el lado mayor es el que se opone al ángulo obtuso.

TEOREMA: En todo triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que el valor absoluto la

diferencia entre ellos.

COROLARIOS:

1. El camino más “corto” entre dos puntos es el segmento que los tiene por extremos. (Ejercicio)

2. Toda poligonal abierta convexa es menor que cualesquiera otra poligonal abierta envolvente que tenga sus

mismos extremos.

3. Para que un triángulo exista dados sus tres lados, es suficiente que el lado mayor sea menor que la suma de los

otros dos.

TEOREMA DE LA BISAGRA: Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo

comprendido desigual entonces al mayor ángulo comprendido se opone un mayor tercer lado y recíprocamente.

TEOREMA: Si desde un punto exterior a una recta se trazan el segmento perpendicular a la recta y segmentos

oblicuos a ella, con el otro extremo sobre la recta, entonces:

1. El segmento perpendicular es menor que cualesquiera de los segmentos oblicuos. (Ejercicio)

2. Dos segmentos oblicuos son congruentes sii sus pies equidistan del pie de la perpendicular. (Ejercicio)

3. Entre dos segmentos oblicuos aquel que tenga su pie más cercano del pie de la perpendicular es menor y

recíprocamente.

TEOREMA: En un plano, la mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que

equidistan de los extremos del segmento.

COROLARIO: En un plano, si dos puntos equidistan de los extremos de un segmento entonces la recta que ellos

determinan es la mediatriz del segmento.

TEOREMA: En un plano, la bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del interior del ángulo que

equidistan de los lados del ángulo.

COROLARIO: Si un punto del interior de un ángulo, equidista de los lados del ángulo, entonces pertenece a la

bisectriz del ángulo.

UNIDAD 4 – PARALELISMO

TEOREMA: (1er Criterio de paralelismo) Si en un mismo plano, dos rectas son perpendiculares a una tercera

entonces ellas son paralelas.

TEOREMA: Por un punto exterior a una recta, pasa por lo menos una paralela a dicha recta.

AXIOMA: Por un punto exterior a una recta solamente pasa una paralela a dicha recta.

TEOREMA: En un plano, si dos rectas son paralelas entonces toda secante a una de ellas también es secante a la

otra.

TEOREMA: (Criterio de perpendicularidad) En un plano, si dos rectas son paralelas entonces toda perpendicular a

una de ellas es perpendicular a la otra.

TEOREMA: En un plano, dos rectas respectivamente perpendiculares a dos rectas secantes, son secantes.

TEOREMA: (2o Criterio de paralelismo) Dos rectas paralelas a una tercera son paralelas, es decir, la relación de

paralelismo es transitiva.

TEOREMA: Entre dos paralelas y una transversal se forman ángulos alternos internos congruentes.

COROLARIO: Entre dos paralelas y una transversal se forman pares de ángulos:

1. Alternos internos congruentes.

2. Alternos externos congruentes.

3. Correspondientes congruentes.

4. Colaterales internos suplementarios.

5. Colaterales externos suplementarios.

TEOREMA: (3er Criterio de paralelismo) Si entre dos rectas y una transversal, se forma algún par de ángulos

alternos internos congruentes entonces las dos rectas son paralelas.

COROLARIO: Si entre dos rectas y una transversal se forma algún par de ángulos alternos externos congruentes, o

correspondientes congruentes, o colaterales internos (externos) suplementarios entonces las dos rectas son

paralelas.

TEOREMA: Dos ángulos agudos (obtusos) con sus lados respectivamente paralelos son congruentes. (Ejercicio)

COROLARIO: Dos ángulos, uno agudo y otro obtuso, con sus lados respectivamente paralelos son suplementarios.

TEOREMA: En un plano, dos ángulos agudos (obtusos) con sus lados respectivamente perpendiculares son

congruentes

COROLARIO: En un plano, dos ángulos, uno agudo y otro obtuso, con sus lados respectivamente perpendiculares son

suplementarios.

TEOREMA: Dadas dos rectas paralelas entonces la distancia de cualquier punto, (de una de ellas), a la otra es una

constante.

TEOREMA: (4o Criterio de paralelismo) Si dos puntos A y B, en el mismo semiplano con respecto a una recta L,

equidistan de ella entonces la recta es paralela a L.

TEOREMA: La suma de los ángulos interiores de un triángulo mide 180°.

COROLARIOS:

1. En todo triángulo equilátero cada ángulo interior mide 60°.

2. En todo triángulo rectángulo los ángulos agudos son complementarios

3. En todo triángulo, cada ángulo exterior es congruente con la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a

él.

4. En todo triángulo, la suma de sus ángulos exteriores mide 360°.

5. En todo polígono convexo de n lados, los n ángulos interiores suman 180°(n2).

6. En todo polígono convexo de n lados, los n ángulos exteriores suman 360°.

7. En todo triángulo rectángulo 60º-30º la hipotenusa es el doble del cateto menor

TEOREMA: (5o Criterio de paralelismo) La base media de un triángulo es paralela al tercer lado y mide la mitad de

dicho lado.

TEOREMA: Si por el punto medio de un lado de un triángulo se traza una paralela a un segundo lado, entonces se

obtiene la base media con respecto a dicho lado.

TEOREMA: En todo triángulo rectángulo la mediana relativa a la hipotenusa es congruente con la mitad de la

hipotenusa.

TEOREMA: Si en un triángulo un lado es el doble de su respectiva mediana, entonces el triángulo es rectángulo.

AB