Teoría Clásica de Placas

TEORÍA CLÁSICA DE PLACAS

1. INTRODUCCIÓN

1.1. GENERALIDADES. Se define como Placa al sólido paralepipédico en el que una de sus dimensiones (espesor) es mucho menor que las otras dos (las vigas tiene dos dimensiones pequeñas, ancho y canto, respecto a una tercera, longitud). La superficie plana equidistante de las dos caras con mayores dimensiones se denomina plano medio de la placa. Por otra parte se define como estado de placa al sistema de cargas en el que sólo actúan fuerzas exteriores normales al plano medio de la placa y momentos contenidos en planos perpendiculares al mismo (o lo que es lo mismo momentos cuyos ejes están contenidos en el plano medio).

Esta tipología es tan frecuente en la práctica de la construcción que su estudio está plenamente justificado. Se pueden encontrar ejemplos de aplicación en los forjados de edificación, algunos tipos de cimentación, puentes losa, depósitos rectangulares, pavimentos, etc.. Es decir en estructuras tan simples, comunes y frecuentes con las que cualquier ingeniero sea cual sea su especialidad va a encontrarse muchas veces en el desarrollo de su vida profesional y por tanto debe poder conocer su respuesta estructural sin necesidad de ser un gran especialista en el cálculo de estructuras.

Análisis de Estructuras 2

La tipología Placa es en principio una estructura tridimensional y como tal debería estudiarse. Sin embargo su comportamiento podría representarse con un modelo bidimensional si se pudiera considerar que la variación de las variables significativas a lo largo del espesor es una función conocida de los valores que las mismas toman en el plano medio de la placa. En estas condiciones sería suficiente analizar el plano medio para encontrar una solución tensodeformacional compatible y equilibrada. En esta dirección son numerosos los trabajos realizados por grandes matemáticos y fisicos, tales como Euler, Lagrange, Navier, Poisson, etc. . Sin embargo, y debido al trabajo contenido en su libro Clases de Fisica Matemática (1876), Kirchhoff (1824-1887) es considerado como el padre de la denominada teoría clásica de placas. Posteriormente Love recogió y amplió aquellos trabajos hasta el punto que hoy dia, la teoría clásica de placas se conoce también como de Kirchhoff-Love. A finales del siglo 19 los constructores de barcos cambiaron sus métodos constructivos reemplazando la madera por el acero. Este cambio de material estructural provocó fructíferos desarrollos en las teorías de análisis de elementos superficiales, placas y láminas. Los científicos rusos de la epóca (Krylov, Boobnov) hicieron importantes contribucciones en este campo, reemplazando los antiguos métodos de cálculo por teorías matemáticas sólidas. De entre todos ellos cabe destacar a Timoshenko que tuvo el mérito de provocar en Occidente una gran credibilidad, hasta el punto que los científicos occidentales fueron recogiendo e incorporando gradualmente la investigación rusa en el campo de la Elasticidad. En los últimos años el desarrollo de los ordenadores ha tenido una considerable influencia en el análisis estático y dinámico de placas. Los métodos de Diferencias Finitas (1941) y de los Elementos Finitos (1956) proporcionan la técnica necesaria para, discretizando el continuo, tratar con la ayuda del ordenador, con problemas complejos de placas encontrando soluciones numéricas e introducir las más avanzadas teorías de comportamiento estructural .

Teoría Clásica de Placas 3

1.2. CONSIDERACIONES INTUITIVAS. Se supone una placa rectangular sustentada, apoyada o empotrada, en dos bordes opuestos pero con los otros dos bordes libres, sometida a una carga q variable pero sólo con la coordenada relativa a los bordes libres.

Si se descompone la placa transversalmente, paralelamente a los bordes libres, en n vigas paralelas, cada una de ellas soporta la carga que le afecta y en un funcionamiento independiente las próximas no le prestan más ayuda que en impedir su contracción lateral, ya que la deformación longitudinal es, para todas las vigas ficticias, idéntica y compatible.

Por formar parte de una placa estas vigas ficticias tienen limitada su contracción lateral lo que reduce su deformación longitudinal en una proporción que como se verá más adelante es de 1-ν2. Es decir la placa en este caso tiene una respuesta estructural similar a la de una viga equivalente pero con una rigidez mayor.

ν 2-1EI = PLACA RIGIDEZ EI = VIGA RIGIDEZ

Si no se satisfacen las condiciones de borde y de carga anteriores, es decir, los bordes libres tienen algún movimiento impedido y/o la carga es variable en la dirección transversal el comportamiento descrito para la placa varía. Las vigas longitudinales ficticias además de tener limitada su contracción lateral, ahora no tienen la misma deformación longitudinal.


En este supuesto la aproximación sólo con vigas longitudinales, no es válida y el comportamiento resistente de la placa se simula mejor con dos series de vigas ortogonales entre sí. En la hipótesis de que la carga actúe totalmente sobre ambas vigas o franjas, la compatibilidad de deformaciones, exige que en los puntos comunes actúen unas fuerzas dirigidas en sentido contrario que igualen los movimientos. Esto es equivalente a suponer que la carga está soportada en parte por cada una de la serie de vigas en ambas direcciones. Por lo tanto las tensiones y deformaciones serán menores en cada una de ellas.

Pero además entre las series de vigas existe una solidaridad de otro tipo ya que el giro de flexión provoca, tanto entre las vigas paralelas como con las ortogonales, la presencia de un momento torsor. Entre vigas ortogonales es necesario compatibilizar el giro de flexión de una serie con uno de torsión en la ortogonal. Entre vigas paralelas es necesario controlar el deslizamiento que se produciría en las caras comunes por una flexión diferente. En el primer caso aparece un momento torsor de compatibilidad. En el segundo unas tensiones tangenciales en la cara de contacto que evitan el deslizamiento y cuya resultante da lugar a un momento torsor. En estas consideraciones intuitivas se basan algunos métodos aproximados de cálculo de placas que se ven a continuación.


1.3. METODOS APROXIMADOS. En el análisis estructural es interesante en ocasiones disponer de métodos de cálculo rápidos y fiables que, aún sin constituir una solución exacta de un determinado problema físico, si permitan determinar soluciones aproximadas muchas veces suficientes para los objetivos de un proyecto o anteproyecto estructural. En este sentido algún tipo de placas rectangulares constituyen un ejemplo típico en el que aplicando exclusivamente razonamientos y modelos estructurales intuitivos y sencillos pueden obtenerse soluciones razonables. 1.3.1 Método de Grashof para cálculo de placas rectangulares. Sea una placa rectangular que se descompone en franjas de ancho unidad normales entre sí y paralelas a los bordes x e y de la misma. Cada franja absorberá parte de la carga y es evidente que en la zona o punto de intersección debe existir compatibilidad de desplazamientos. Asumiendo un comportamiento como viga y compatibilizando flechas:

Dl p

384

5 =D

l p

3845 = )(w = )(w

y

4y2

x

4x1

2l y

2l x

)-(1 12tE =)-(1 EI =D=D 2

32

yxν

ν

que conjuntamente con p = p1 + p2 nos permite determinar la carga que soporta cada una de las vigas.

lx

ly

P1

P2


p l +l

l =p p l +l

l =p 4

y4x

4x

24y

4x

4y

1

o de forma genérica p1 = κ p p2 = ρ p Para distintas condiciones de borde los coeficientes κ y ρ toman las expresiones siguientes:

κρ

κ

−=

+=

1

52

544

4

yx

y

ll

l

κρ

κ

−=

+=

1

5

544

4

yx

y

ll

l

κρ

κ

−=

+=

1

2

244

4

yx

y

ll

l

κρ

κ

−=

+=

1

44

4

yx

y

ll

l

1.3.2. Método de Marcus para el cálculo de placas rectangulares.

lx

ly

lx

ly

lx

ly

lx

ly


Este método representa una considerable mejora del anterior de Grashof y basicamente introduce un coeficiente reductor en los esfuerzos anteriormente obtenidos para tener en cuenta la influencia del momento torsor. Si denominamos mx max y my max a los momentos máximos obtenidos por el método de Grashof, Marcus propone usar los siguientes coeficientes reductores:

m )-(1 =M m )-(1 =M y yy xxx maxmax ϕϕ

Según las comparaciones efectuadas por Marcus con los valores exactos de los momentos, los coeficientes jx y jy , pueden determinarse para cualquier condición de enlace en los cuatro bordes, mediante las expresiones:

8l p

=m 8l p

=m2y

y 0 2x

x 0

donde: 2

0

2

0 65

65

=

=

x

y

y

maxyy

y

x

x

maxxx m

mm

ml

l

l

lϕϕ


EJEMPLO 1

Dada la placa cuadrada de hormigón de 10 m. de lado y 25 cm de canto simplemente apoyada en sus cuatro bordes, sometida a una carga uniforme 1 T/m2 SE PIDE Determinar la flecha y momentos en el centro de la placa.

SOLUCION: E=250.000 kg/cm2

ν=0,2 t= 25 cm.

D= Et3/12(1-ν2) = 2,5 x 106 T/m2 x 0,253 m3 / 12 (1-0,22) = 3.391 Tm.

0,5 = l +l

l = 0,5 = l +l

l =

4y

4x

4x

4y

4x

4y ρκ

p1 = 0,5 p p2 = 0,5 p

m. 0,019 = 3391

100,5. 3845 = w

4

5,5

La solución exacta tal y como se verá en los próximos capítulos es:

w(5,5)= 0,00406 p l4/D = 0,012 m error = 50,8 % Los momentos en cada dirección x e y, en el centro de cada viga valen:

Mx = My = pl2 / 8 = 0,5. 102 /8 = 6,25 m T

La solución exacta de la placa tal y como se verá en los próximos capítulos es:

Mx = My = 0,0479 p l2 = 4,8 mT/m error = 30,5 %

Los errores son apreciables pero no excesivos y por tanto el método permite de forma intuitiva y sencilla, acotar la respuesta tenso deformacional de la placa.

10 m

10 m


EJEMPLO 2 Resolver la placa del ejemplo 1.1 por el método de Marcus. SOLUCION

La solución de esfuerzos obtenida por el método de Grashof proporciona unos momentos máximos:

mx max = 6,25 mT/m = my max

En este caso el momento isostático de referencia vale:

m0 x = m0 y = p l2/8 = 12,5 mT por tanto:

ϕx = 5/6 . mx max/m0 x . ( l x / l y )2 = 5/6 x 6,25/12,5 x 1 = 0,41

ϕy = 5/6 . my max/m0y . ( l y / l x )2 = 5/6 x 6,25/12,5 x 1 = 0,41

mx = my = ( 1 - 0,41 ) x 6,25 = 3,7 mT/ m.

lo que representa un error respecto a la solución exacta de un 22,9 % inferior al 30,5% obtenido en el método de Grashof pero que está del lado de la inseguridad, inferior al exacto.


2. TEORÍA CLÁSICA DE PLACAS 2.1. INTRODUCCION A LA TEORIA DE LA ELASTICIDAD. Un sólido tridimensional bajo la acción de unas cargas exteriores se deforma y queda sometido a un estado tensodeformacional equilibrado y compatible con los enlaces. En este apartado se hace una breve revisión de aquellos conceptos de la Elasticidad necesarios para formular la teoría de Placas a partir de un comportamiento tridimensional. 2.1.1. Estado tensional en Elasticidad Tridimensional. En la elasticidad tridimensional se describe el estado tensional (σx ,σy ,σz ,τxy , τxz , τyz ) sobre un elemento paralepipédico diferencial (dx dy dz) con caras paralelas a los planos coordenados.

Las tensiones normales se representan afectadas de un subíndice que hace referen-cia a la normal al plano sobre el que actúa. Las tensiones tangenciales tienen dos subíndices. El primero indica la normal al plano en el que actúa y el segundo la dirección de la tensión en el mismo.


Puesto que las tensiones en un punto son función de su posición en el sólido, su intensidad cambia al mover el plano de referencia un dx, dy o dz . Para representar esta variación se toman, para la tensión incrementada, los dos primeros términos del desarrollo en serie de Taylor . Como criterio de signos en los planos más avanzados (x+dx,y+dy,z+dz) se considera la tensión positiva cuando lleva la dirección de los ejes coordenados. En los planos opuestos el criterio cambia, de forma que, se considera positiva cuando lleva la dirección contraria a los ejes coordenados.

Como caso particular, la elasticidad bidimensional sigue los mismos criterios y sólo con fines aclaratorios se presenta en la figura el estado tensional, con sus direcciones y signos, asociado a un dominio rectangular diferencial bidimensional (dx,dy) que responde también a la nomenclatura y signos definidos anteriormente. 2.1.2. Deformaciones en la Elasticidad Tridimensional. Los desplazamientos de un punto cualquiera del sólido son función de su posición y vienen dados en general por:

z)y,(x,f 3 = wz)y,(x,f 2 = v z)y,(x,f 1 =u

dónde u, v y w representan los desplazamientos de un punto P (x,y,z) en las direcciones de los ejes coordenados X, Y y Z respectivamente. La relación entre desplazamientos y deformaciones se establece en un elemento diferencial paralepipédico dx dy dz. Por simplicidad se presenta en la figura la proyección de la deformación del elemento diferencial tridimensional sobre el plano XY lo que puede generalizarse con facilidad para los demás planos.


Las deformaciones normales εx y εy vienen dadas por:

yv =

dy

v-dy yv+v

= xu =

dx

u-dx xu+u

= yx ∂∂∂

∂

∂∂∂

∂

εε

y por extensión: zw = z ∂

∂ε

La deformación tangencial o deslizamiento en el plano XY, γxy viene dada por:

yu +

xv =

dy

dyyu

+ dx

dxxv

= + = xy ∂∂

∂∂∂

∂

∂∂

′′′ γγγ

donde se considera que las deformaciones son pequeñas y por tanto el ángulo considerado coincide con su tangente. Por extensión para los demás planos:

yw +

zv =

xw +

zu = yzxz ∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

γγ

2.1.3. Relaciones Tensión-Deformación. Si suponemos que el material tiene un comportamiento lineal, las relaciones entre las tensiones y las deformaciones normales vienen dadas por las ecuaciones clásicas siguientes:


] ) + ( - [ E1 =

] ) + ( - [ E1 = ] ) + ( - [

E1 =

yxzz

xzyyzyxx

σσνσε

σσνσεσσνσε

y para las componentes tangenciales:

G =

G =

G = yz

yzxz

xzxy

xyτ

γτγτ

γ

donde E y G son respectivamente los módulos de elasticidad y de rigidez transversal, que están relacionados entre sí por:

) +1 ( 2E =G

ν

Planteando las ecuaciones de equilibrio, de compatibilidad de deformaciones y de desplazamientos en los bordes es teóricamente posible encontrar una solución compatible y equilibrada. En general esta mecánica presenta, aún asumiendo pequeñas deformaciones, grandes dificultades matemáticas que impiden obtener la solución del problema planteado integrando el sistema de ecuaciones diferenciales resultante. 2.2. TEORIA CLASICA DE PLACAS. 2.2.1 Hipótesis Básicas. La respuesta tenso deformacional de una placa puede obtenerse por degeneración de la teoría de la elasticidad tridimensional suponiendo que la variación, de las distintas magnitudes que intervienen en el proceso a lo largo del espesor, es una función conocida de los valores que toman en el plano medio de la misma. Para generar la teoría de Placas clásica bajo estas condiciones es necesario establecer las siguientes hipótesis: - El material de la Placa se supone elástico, homogéneo e isótropo.

- Se supone válida la teoría de las pequeñas deformaciones. Una flecha del 10% del espesor puede ser considerada como un límite máximo para satisfacer la hipótesis de flechas pequeñas.


- Todos los puntos situados sobre una recta normal al plano medio de la placa sin deformar, permanecen después de la deformación sobre una recta (Hipótesis de Navier) normal al plano medio deformado. Hipótesis de Normalidad.

- Los puntos del plano medio sólo se mueven en la dirección

perpendicular al mismo. Es decir sólo se considera la deformación provocada por la flexión.

- Todos los puntos situados sobre una normal al plano medio tienen la

misma flecha. Es decir w (x, y, z) = w (x, y). - La tensión normal al plano medio de la placa se considera despreciable. Estas hipótesis permiten expresar los desplazamientos, deformaciones, tensiones y esfuerzos en el plano medio sólo en función de la flecha w(x, y) que caracteriza cada punto de la placa transformando así un problema inicialmente tridimensional en bidimensional. Posteriormente estableciendo las ecuaciones de equilibrio, se determina la ecuación diferencial en derivadas parciales que debe satisfacer esta función w(x, y). 2.2.2. Campo de desplazamientos. Bajo las hipótesis anteriores, el campo de desplazamientos puede expresarse en función de un solo parámetro del plano medio, la flecha w(x, y), en la forma siguiente:


w(xy)= (xyz) wy

w(xy)-z = (xyz) vx

w(xy)-z = (xyz)u ∂

∂∂

∂

Se supone que los giros son pequeños y que por tanto el giro se produce según la perpendicular. El signo menos aparece al considerar el eje z en sentido descendente y los giros positivos en el sentido de las agujas del reloj. 2.2.3. Campo de deformaciones. Por lo tanto el campo de deformaciones de acuerdo con las expresiones anteriormente presentadas viene dado bajo las hipótesis anteriores por:

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

0

0

yxw(xy)2z-

0

yw(xy)z -

xw(xy)z -

=

zv(xyz) +

yw(xy)

zu(xyz) +

xw(xy)

xv(xyz) +

yu(xyz)

zw(xy)

yv(xyz)

xu(xyz)

=

2

2

2

2

yz

xz

xy

z

y

x

2

γ

γ

γ

ε

ε

ε

Este campo de deformaciones también sólo depende de la flecha w(x, y) que caracteriza al plano medio de la placa y como puede observarse los deslizamientos


en los planos perpendiculares al plano medio son nulos (lo que equivale a que las hipótesis de partida no consideran la deformación debida al esfuerzo cortante y por ello sólo son válidas para el análisis de placas delgadas) y el resto de componentes varían linealmente a lo largo del espesor. 2.2.4. Campo de tensiones. El campo de tensiones de acuerdo con las relaciones tensión deformación deducidas anteriormente, viene ahora dado por:

( )

∂

∂+

∂

∂

−−=+

−=

2

2

2

2

22),(),(

11 yyxw

xyxwzEE

yxx νν

ενεν

σ

( )

∂

∂+

∂

∂

−−=+

−=

2

2

2

2

22),(),(

11 yyxw

xyxwzEE

yxy νν

εενν

σ

0),(1

2===

∂∂∂

+−== yzxzzxyxy yx

yxwzEG ττσν

γτ

Nuevamente las tensiones normales y tangenciales no nulas varían linealmente a lo largo del espesor. Las tensiones tangenciales en los planos normales al plano medio son nulas. Esto significa que no se considera en el proceso el efecto del esfuerzo cortante, fuerza vertical actuando en los planos (XZ) Qx e (YZ) Qy, lo cual no implica que este sea nulo.


El estado tensional descrito provoca unos esfuerzos internos que actúan sobre la sección recta de la Placa y que son equivalentes a las resultantes de tensiones sobre el plano medio de la misma. Se obtienen así unos Momentos Flectores a partir de las tensiones normales y unos Momentos Torsores a partir de las tensiones tangenciales. No aparecen siguiendo este esquema los esfuerzos Cortantes, dado que las tensiones tangenciales son nulas, pero existen y no tienen porque ser nulos. 2.2.5. Esfuerzos sobre el Plano medio. Los esfuerzos internos de flexión y torsión se obtienen integrando las tensiones a lo largo del espesor de la Placa y son función de la flecha w(x, y) de los puntos del Plano medio de la misma.

) - 1 ( 12t E = D

y xw

) +(112t E-= dzz =M

) yw +

xw (

)-(112t E-= dzz =M

) yw +

xw (

)-(112t E-= dzz =M

2

323

t

txyxy

2

2

2

2

2

3

t

tyy

2

2

2

2

2

3

t

txx

νντ

νν

σ

νν

σ

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∫

∫

∫

−

−

−

2

2

2

2

2

2

Este coeficiente D es clásico en placas, la caracteriza desde el punto de vista resis-tente y tiene un significado físico similar a la rigidez EI en vigas. Para expresar los esfuerzos cortantes Qx y Qy en función de la flecha del plano medio w(x, y) es necesario establecer las ecuaciones de equilibrio ya que la formu-lación en desplazamientos planteada no permite explicitarlos al no considerar su influencia durante el proceso de deformación . Como estos esfuerzos se han obtenido como la resultante de tensiones a lo largo del espesor vienen dados por unidad de longitud horizontal X e Y. Es decir los mo-mentos tienen dimensiones de F . L/ L (T. m. / cada m.).


2.3. ECUACION DIFERENCIAL DE LA PLACA. El equilibrio del elemento diferencial de placa de la figura, (dx, dy, t), se plantea considerando que exteriormente actúa una carga normal al plano medio q= q(x, y) por unidad de superficie. El equilibrio tiene que satisfacerse en fuerzas y momentos y por lo tanto debe incorporarse la longitud que afecta a cada uno de los esfuerzos anteriormente presentados.

0 =M 0 =M 0 =F yxz ∑∑∑ 2.3.1. Equilibrio de Momentos respecto a x=0

0 =M x∑

0= Q - x

M +

yM

0=dy dx Q-dy M -dy ) dx x

M +M ( dx M - dx )dy

yM

+M (

yxyy

yxyxy

xyyy

y

∂

∂

∂

∂

∂

∂+

∂

∂


2.3.2. Equilibrio de Momentos respecto a y=0

0 = M y∑

0 = Q - y

M +

xM

0 =dxdy Q-dx M -dx dy) y

M+M( dy M -dy dx)

xM+M(

xyxx

xyxyx

yxxx

x

∂

∂

∂∂

∂

∂+

∂∂

2.3.3. Equilibrio de fuerzas verticales. 0 = F z∑

0 =dy dx q + dxdy y

Q +dy dx

xQ yx

∂

∂

∂

∂

Sustituyendo las expresiones de Qx y Qy en esta última ecuación se obtiene:

y)(x, q -= y

M +

y xM

+ xM

2y

2xy

2

2x

2

∂

∂∂∂

∂

∂∂ 2

y sustituyendo los momentos por sus expresiones en función de la flecha del plano medio w(x,y) se obtiene la ecuación diferencial que rige el comportamiento de la Placa:

D

y)q(x, = y)w(x, ∆∆

Por tanto resuelta la ecuación diferencial y obtenida la expresión de w(x, y) es sencillo conocer el campo de desplazamientos, deformaciones, tensiones y esfuerzos en cualquier punto de la placa. Los esfuerzos cortantes vienen dados por:

) w ( y

D- = ) yw +

xw (

y D - =

yM

+ x

M = Q 2

2

2

2yxyy ∆

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

) w ( x

D- = ) yw +

xw (

x D - =

yM

+ x

M = Q 2

2

2

2yxxx ∆

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂∂


2.4. CONDICIONES DE CONTORNO. Al resolver la ecuación diferencial de la placa es necesario imponer unas determinadas condiciones en los bordes. Esto es obvio tanto desde el punto de vista físico como matemático ya que la respuesta de una Placa, o la solución de la ecuación diferencial que la representa, es distinta según su contorno este apoyado, empotrado o libre. 2.4.1. Contorno Empotrado. Sí el borde x=a esta empotrado la flecha y el giro en dicho borde son nulos. Se tienen por tanto las siguientes condiciones que debe satisfacer la función w(x, y):

( )[ ] ( )0

,0, =

∂

∂=

==

axax x

yxwyxw

2.4.2. Contorno Apoyado. Si el borde x=a esta simplemente apoyado, la flecha w(x,y) es nula a lo largo del borde. Como en el borde la placa puede girar libremente el momento Mx es nulo. Matemáticamente un borde simplemente apoyado introduce las siguientes condiciones para la flecha w :


( )[ ] [ ] ( ) ( )0

,,00,

2

2

2

2=

∂

∂+

∂

∂⇒==

===

axaxxax y

yxwx

yxwMyxw ν

Si el borde x=a esta apoyado de forma continua, la curvatura según el eje Y a lo largo de la línea x=a es nula:

2.4.3. Borde Libre. Si el borde x=a esta libre a lo largo de él los Momentos Flectores, Torsores y esfuerzo Cortante son nulos.

[ ] [ ] [ ] 000 === === axxaxxyaxx QMM En principio un borde libre incorpora tres condiciones que debe satisfacer la ecuación diferencial que representa el comportamiento de la placa estudiada. No obstante Kirchoff probó que estas tres condiciones son excesivas y son suficiente dos para determinar correctamente la flecha w(x, y). Kirchoff puso de manifiesto que las condiciones relativas al momento torsor y al esfuerzo cortante pueden sustituirse por una condición única.

( ) ( )0

,0

,2

2

2

2=

∂

∂⇒=

∂

∂

== axax xyxw

yyxw


Los esfuerzos que actúan sobre la placa no varían si el momento torsor Mxy dy que actúa sobre un elemento diferencial de longitud dy del borde x=a, se sustituye por dos fuerzas verticales de valor Mxy y brazo dy. Es decir la distribución de momentos torsores Mxy en el borde libre x=a es estáticamente equivalente a una distribución de esfuerzos cortantes Q'x de intensidad:

ax

xyx y

MQ

=

∂

∂=′

Por lo tanto la condición conjunta relativa al momento torsor Mxy y esfuerzo cortante Qx en un borde x=a libre puede escribirse como:

[ ] [ ] 0=

∂

∂+=+′=

===

ax

xyxaxxxaxx y

MQQQV

condición que expresada en función de la flecha w(x ,y) toma la forma:

( ) 022

3

3

3=

∂∂

∂−+

∂

∂

=axyxw

xw

ν

Si el borde libre está definido por y=b las condiciones anteriores son las siguientes:


by

xyy x

MQ

=

∂

∂=′

[ ] [ ] 0=

∂

∂+=+′=

===

by

xyybyyybyy x

MQQQV

( ) 022

3

3

3=

∂∂

∂−+

∂

∂

=byxyw

yw

ν

Este razonamiento conduce a que en cualquier borde libre o no, debe satisfacerse esta condición conjunta de torsión y cortante de forma que ambos esfuerzos son estáticamente equivalentes a una fuerza vertical Vx o Vy dadas por:

( ) ( )

∂∂

∂−+

∂

∂=

∂∂

∂−+

∂

∂=

yxw

ywDV

yxw

xwDV yx 2

3

3

3

2

3

3

322 νν

Si el borde estudiado tiene el movimiento vertical impedido estas expresiones cambiadas de signo, una vez determinada la flecha w(x, y) en función de los condicionantes del tipo de apoyo considerado, permiten obtener las reacciones en la sustentación.

En las esquinas como puede verse en la figura existen dos fuerzas concentradas del mismo sentido Vx y Vy de valores Mxy (debido al signo diferente de Myx) de forma que sí la placa esta apoyada en los bordes aparece una reacción:

yxw D )-(1 2- = M 2 = R

2xy ∂∂

∂ν


Es decir la placa frente a una carga vertical se levanta en las esquinas y es necesario en la práctica realizar el anclaje correspondiente para soportar este efecto. Si la placa tiene unas condiciones de apoyo tales que el momento torsor es nulo en el borde este efecto no aparece. 2.4.4. Sustentación Elástica. 2.4.4.1. Apoyo Elástico. Sí el borde x=a esta apoyado elásticamente, constante elástica del apoyo variable a lo largo del borde considerado k = k (y), la función w(x, y) debe satisfacer las siguientes condiciones:

[ ] ( ) ( )[ ] [ ] 0, == === axxaxaxx MyxwykV lo que conduce

2.4.4.2. Empotramiento Elástico. Sí el borde x=a esta empotrado elásticamente, constante elástica del empotramiento variable a lo largo del borde considerado k = k (y), la función w(x,y) debe satisfacer las siguientes condiciones:

[ ] ( )axx

wykaxxM=

∂∂==

( )( ) ( ) 02,

2

3

3

3

=

∂∂

∂−+

∂∂

=

∂

∂

== axax yxw

xw

ykD

xyxw

ν

( )[ ] ( ) ( ) 02

323

3, =

=

∂∂

∂−+

∂

∂==

axyx

w

x

wyk

Daxyxw ν


2.4.4.3. Viga de Borde. Un caso interesante aparece cuando en el borde x=a de la placa existe una viga de borde de rigidez EI. En este caso la condición de borde se obtiene estableciendo compatibilidad entre la viga y el borde de la placa considerado.

[ ] [ ] ( )axax

axxax yxw

xwD

xyxwEIyxVxq

====

∂∂

∂−+

∂

∂=

∂

∂=

2

3

3

3

4

42

),(),()( ν

2.4.4.4. Placa sobre lecho elástico. Si todos los puntos de la placa están bajo condiciones de apoyo elástico la carga se modifica con una reacción vertical R(x,y) = -k(x,y) w(x, y) con lo que la ecuación diferencial de la placa se modifica en la forma:

Dy)q(x, =y) w(x,

Dy)k(x, + y)w(x, ∆∆

PLACAS RECTANGULARES

1. PLACAS RECTANGULARES 1.1.GENERALIDADES. Matemáticamente la ecuación diferencial en derivadas parciales que gobierna el comportamiento de una placa se clasifica entre las de cuarto orden con coeficientes constantes. Si el término independiente es nulo, ecuación diferencial homógenea, se denomina Ecuación Biarmónica.

0 = y) w(x, D

y)q(x, = y) w(x, ∆∆∆∆

La solución de la ecuación diferencial de la placa debe satisfacer las condiciones de contorno lo que dificulta extraordinariamente el proceso en tal forma que sólo es posible encontrar dicha solución en muy pocas situaciones. Incluso en la mayoría de estos casos debe recurrirse a la linealidad de la ecuación diferencial lo que permite obtener la solución como superposición de las soluciones de la ecuación diferencial homogenea (q=0) y a una solución particular de la ecuación no homogenea (q≠ 0). Es decir: y)w(x, +y)w(x, = y)w(x, PH donde wH representa la solución de la ecuación diferencial homogénea y wP es una solución particular de la ecuacion original. Es decir:

Dy)q(x,=

yw+

yxw2+

xw 0=

yw+

yxw2+

xw

4P

4

22P

4

4P

4

4H

4

22H

4

4H

4

∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂

Algunas condiciones de borde permiten el uso de soluciones especiales, tal como sucede con la solución de Navier que se describe más adelante en la que wH=0 de modo que:

y)w(x, = y)w(x, P


Las primeras soluciones básicas en la estática de Placas fueron dadas por Navier en 1821 poco después de haber deducido Lagrange su ecuación diferencial y haber estudiado Fourier las series que llevan su nombre. 1.1.1. Solución de la Ecuación Homogénea. La ecuación homogénea, término independiente nulo, puede físicamente interpretarse como la asociada a una placa sobre la que sólo actúan acciones exteriores en los bordes. La solución de la ecuación homogénea w(x,y)H , describe plenamente las condiciones de borde de la Placa y mantiene el equilibrio con las fuerzas externas en los bordes pero no considera el equilibrio de las fuerzas q(x,y). La determinación de esta solución presenta en general graves dificultades y limita el campo de aplicación de esta metodología de cálculo. 1.1.2. Solución Particular. La solución particular w(x,y)P , satisface la ecuación diferencial completa de la Placa pero no satisface completamente las condiciones de contorno. En general la solución particular tiene un mayor sentido físico y es sencilla de determinar. Por ejemplo en placas rectangulares pueden usarse como soluciones particulares la flecha de una viga con las mismas condiciones de borde y carga o la flecha de una Placa con condiciones de borde simplemente apoyados. Más adelante se presenta algún ejemplo de aplicación de esta metodología a placas de interés práctico.

1.2. SOLUCIONES BASADAS EN LAS SERIES DE FOURIER. Las series de Fourier son una herramienta indispensable para obtener una solución analítica de muchos problemas en el campo de la mecánica aplicada, tales como la

Placas Rectangulares 3

solución de las ecuaciones en derivadas parciales que originan la teoría de la elasticidad, las vibraciones, el flujo de calor, las ondas electromagneticas, etc. Los teoremas de Fourier establecen que una función arbitraria f(x) puede expresarse mediante una serie infinita de senos y cosenos es decir, la función se reemplaza por la superposición de infinitas ondas de senos y cosenos.

Tx2nsenBT

x2nA +A2

1 =f(x) n1

n1

0 + ππ ∑∑∞∞

cos 5

donde An y Bn son los coeficientes de Fourier del desarrollo que vienen dados por:

dxT

x2nf(x)senT2=B dx

Tx2nf(x)

T2=A f(x)dx

T2=A

T

0n

T

00

T

00

ππ∫∫∫ cos

siendo T el periodo de la función f(x). En 1820 Navier presentó en la Academia de Ciencias Francesa la solución de placas simplemente apoyadas en los cuatro bordes usando series de Fourier dobles. Este tipo de soluciones se denominan forzadas ya que implican automáticamente unas determinadas condiciones de borde para la Placa pero tienen la ventaja de que transforman la ecuación diferencial que rige su comportamiento en otra algebraica de fácil solución. 1.2.1. Aplicación de las series de Fourier a Flexión de Vigas. La mecánica de trabajo que incorpora el uso de los desarrollos en serie de Fourier se introduce en este capítulo con su aplicación a la flexión de vigas. Para ello se considera una viga de longitud l y rigidez EI simplemente apoyada en sus extremos y sometida a una carga variable q(x). Como es bien conocido la flecha w(x) de la viga debe satisfacer la ecuación diferencial siguiente:

EIq(x) =

xdw(x)d

4

4

Desarrollando en serie de Fourier la función w(x) :

lxm senw = w(x) m

1=m

π∑∞

8

función que satisface automáticamente las condiciones de borde simplemente


0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

apoyado ya que:

0 = xdwd EI- = M(x)0 = w(x)l=x 0=x 2

2

9 Si se desarrollan en serie las cargas exteriores usando las mismas funciones armónicas:

lxm senq = q(x) m

1=m

π∑∞

la condición de que w(x) satisfaga la ecuación diferencial nos proporciona los si-guientes valores de las amplitudes wm:

con π

π44

4m

mm

m4

44

m EIl q

= w EIq

= w l

m

dx l

xm senq(x) = ql

0m

π∫

Sí la carga q(x)=q es uniforme: )m -1 ( m2q = qm π

πcos

Representación del desarrollo de una carga uniforme


lxm sen

m2

msen 2Pl =

xdwd -EI= M(x) 2

=1m22

2 ππ

π∑

∞

lxm sen

mm -1 l2q =

xdwd EI- = M(x) 3

1=m3

2

2

2 ππ

π

cos∑∞

En el centro de la viga x = l/2 se tienen los siguientes valores de w y M para los distintos términos no nulos del desarrollo armónico usado: m w . ql4/EI M . ql2 1 0.0130711 0.1290060 3 -0.000054 -0.0047780 5 0.0000042 0.0010321 7 -0.0000008 -0.0003761 Σ 0.0130207 0.1249 Exacta 0.0130208 0.125

Variación de la flecha y del momento con el número de términos del desarrollo

Si la carga es puntual q(l/2)=P :

lxm sen

m2

msen

EIl2P = w(x)

2m sen

l2P = q 4

1=m4

3

mπ

π

π

π ∑∞

0,013

0,0130208

0,0130416

0,0130624

0,0130832

1 3 5 7 9 11 13 150,12

0,1225

0,125

0,1275

0,13

1 3 5 7 9 11 13 15

lxm sen

mm -1

EIl2q = w(x) 5

1=m5

4 ππ

π

cos∑∞


En el centro de la viga x = l/2 se tienen los siguientes valores de w y M para los distintos términos no nulos del desarrollo armónico usado: m w . ql4/EI M . ql2 1 0.02053196 0.2026434 3 0.00025348 0.0225158 5 0.00003285 0.0081057 7 0.00000855 0.0041356

Σ 0.020827 0.2374 Exacta 0.02083 0.25

2.2. Placas rectangulares simplemente apoyada en los 4 bordes. Solución de

Navier. En una placa rectangular simplemente apoyada en los 4 bordes de longitudes a y b respectivamente, la flecha w(x,y) se puede representar con la serie doble siguiente:

byn sen

axm senw =y)w(x, mn

1=n1=m

ππ∑∑∞∞

que satisface automáticamente las condiciones de los 4 bordes simplemente apoyados:

0 =M 0 =M 0 =)yw(x, ] b=y0,=y [y ] a=x0,=x [ x] b=y0,=ya,=x0,=x [

ya que son nulas tanto la función flecha w(x, y) como sus segundas derivadas en los bordes x=0 x=a, y=0 e y=b al estar afectadas por los desarrollos de senos correspondientes. La carga q(x ,y) se desarrolla en la misma forma que w(x, y):

byn sen

axm senq =y)q(x, mn

1=n1=m

ππ∑∑∞∞

17 con :

y)dxdyq(x, ab4 =q

b

0

a

0mn ∫∫


la condición de que la función w(x, y) satisfaga la ecuación diferencial de la placa para cada término del desarrollo armónico nos proporciona la siguiente relación:

b

yn

a

xmmnq

Db

yn

a

xm

b

n

ba

nm

a

mmnw

πππππππcossen

1cossen4

44

22

42224

44=++

de donde se obtiene: 2

2

2

2

24

+

=

bn

amD

qw mnmn

π

y por tanto la flecha w(x,y) puede escribirse:

bym

axm

bn

am

qD

yxw mn

nm

ππ

πsensen1),(

2

2

2

2

2114

+

= ∑∑∞

=

∞

=

Conocida la flecha es fácil determinar los esfuerzos que derivan de ella para cada término del desarrollo armónico en función de la amplitud de la carga qmn. MOMENTOS

byn

axm

bn

am

bn

am

qMn

mnm

xππ

ν

πsensen1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

112

+

+= ∑∑

∞

=

∞

=

byn

axm

bn

am

bn

am

qMn

mnm

yππ

ν

πsensen1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

112

+

+= ∑∑

∞

=

∞

=

byn

axm

bn

am

bn

am

qMn

mnm

xyππ

π

ν coscos12

2

2

2

2112

+

−= ∑∑

∞

=

∞

=


CORTANTES

byn sen

axm

bn+

am

m q a

=Q

2

2

2

2mn1=n1=m

xππ

πcos1 ∑∑

∞∞

byn

axm sen

bn+

am

n q b

=Q

2

2

2

2mn1=n1=m

yππ

πcos1 ∑∑

∞∞

CORTANTES EQUIVALENTES

( )b

ynsena

xm

bn

am

bn

am

qa

Vn

mnm

xππν

πcos

212

2

2

2

2

2

2

2

2

11

+

−+= ∑∑

∞

=

∞

=

( )b

yna

xmsen

bn

am

bn

am

qb

Vn

mnm

yππν

πcos

212

2

2

2

2

2

2

2

2

11

+

+−= ∑∑

∞

=

∞

=

Debe hacerse notar que en general mientras la flecha crece inversamente proporcional a potencias de m y n altas lo que provoca una convergencia rápida de la serie usada para su representación, los esfuerzos lo hacen más lentamente. Esta velocidad de convergencia depende del tipo de carga q(x, y) y para cada una de ellas se deben determinar los coeficientes qmn del desarrollo de Fourier correspondiente. 2.2.1. Amplitudes de una Carga Uniforme. Si sobre la placa actúa una carga uniforme de valor qo se obtienen las siguientes amplitudes para su desarrollo armónico:

)n-(1)m-(1mn

q4=dxdy

byn sen

axm senq

ab4 =q 2

00

ba

mn πππ

ππ coscos00∫∫


mnq16

=q

0 =q

20

mn

mn

π:impares enteros númerosson n y m sí

:pares enteros númerosson n y m sí

2.2.2. Amplitudes de una Carga Uniforme Parcial y Puntual. La amplitud del desarrollo armónico asociado a una carga puntual se determina como limite de la de una carga uniforme parcial que actua sobre un elemento superficial (u,v) cuando u y v tienden a cero.

uvP = q

La amplitud para una carga uniforme q0 parcial en (u,v) viene dada por:

ydxd b

ynsen a

xmsen q ba

4 =q 0

vpb

vpb

upa

upa

mnππ

∫∫+

−

+

−

2

2

2

2

que trás realizar la integración correspondiente nos proporciona:

2bvn sen

2aum sen

bbn

senaam

senmnuv

16P =q pp2mn

ππππ

π

La amplitud asociada a una carga puntual se obtiene en el límite cuando u y v tienden a 0. En este caso el seno coincide con el ángulo y se obtiene:


bbn

senaam

senab

4P =q pp4mn

ππ

π

2.3. Placas rectangulares simplemente apoyadas en los 4 bordes. Solución de Levy. Para Placas rectangulares con dos bordes opuestos simplemente apoyados Levy propuso tomar como solución para la ecuación homogenea la serie simple:

axm sen(y)Y = )yw(x, m

1=mH

π∑∞

dónde se supone que los bordes x=0 y x=a están de forma forzada simplemente apoyados ya que cada término de la serie adoptada satisface automáticamente dichas condiciones de borde.

( )[ ] ( )[ ] 0),(),(0,,2

2

02

2

0 =

∂

∂=

∂

∂==

====

axxaxx x

yxwx

yxwyxwyxw

En este caso la amplitud del desarrollo depende de y y se determina de modo que satisfaga las condiciones de borde en y=± b/2 y la ecuación diferencial de la placa. La solución w(x, y) se puede obtener ahora como suma de la correspondiente de la ecuación diferencial homogénea wH más una solución particular wP:

)y w(x,+ )y w(x,= y)w(x, PH


Como solución particular se elige la flecha de una franja (viga con rigidez EI= D) paralela al eje x de longitud a con la carga que actúa sobre la placa. Si la carga es uniforme q(x, y)=qo

x)a+ax2-x( 24Dq

=)yw(x, 3340P

sólo función de x que satisface la ecuación diferencial de la placa y las condiciones de borde en x=0 y x=a. Esta solución particular puede desarrollarse en serie de senos para uniformizarla con la solución homogénea elegida.

axmsen

m1

Daq4

=x)a+ax2-x( 24Dq

=)yw(x, 51=m

5

403340

Pπ

π∑∞

La solución w(x, y)H debe satisfacer la ecuación diferencial homogénea, q(x,y)=0, y para ello las amplitudes Ym(y) deben cumplir:

01

=

′′∑

∞

axmsenY

am + Y

am2 -Y m4

44

m2

22IVm

πππ

Para que se cumpla para todos los valores de x:

0 = Ya

m + Y a

m2 -Y m4

44

m2

22IVm

ππ ′′

La solución general de esta ecuación diferencial para una carga uniforme q0 es de la forma:

+

+

+

=

aymCh

aymD

aymShC

aymSh

aymB

aymChA

DaqyY mmmmm

ππππππ40)(

Si se considera la simetría de la solución respecto al eje X no quedan más que los términos impares del desarrollo de w(x,y)P y los términos Cm y Dm de w(x,y)H deben ser nulos. En este caso la flecha total w(x,y) viene dada por:

+

+= ∑

∞

=a

xma

ymSha

ymBa

ymChAmD

aqyxw mmm

ππππ

πsen4),( 55

1

40

que satisface la ecuación diferencial completa ∆∆w(x,y)=q/D y las condiciones de contorno en los bordes x=0 y x=a. Las condiciones de contorno en los bordes paralelos al eje x nos permiten determinar las constantes de integración Am y Bm.


Si dichos bordes también están simplemente apoyados deben satisfacerse las dos condiciones siguientes:

( )[ ] 0),(0,

2

2

2

2=

∂

∂=

±=±= by

by yyxwyxw

De estas dos condiciones se obtienen las dos ecuaciones siguientes en Am y Bm:

0222

455 =

+

+

abmSh

abmB

abmChA

mmm

πππ

π

( ) 0222

2 =

+

+

abmSh

abmB

abmChBA mmm

πππ 31

de donde:

=

+

−=

abmChm

B

abmChm

abmTh

abm

A mm

2

2

2

222

2

5555 ππ

ππ

ππ

Obtenidas estas expresiones la flecha de la placa queda ahora representada por una serie de Fourier simple en la dirección x y por unas funciones hiperbólicas en la dirección y en la forma:

( )

+

+

−= ∑∞

=a

xma

ymSh

abmCha

yma

ymCh

abmCh

abmTh

abm

mDaqyxw

m

πππ

πππ

ππ

πsen

22

22

222

114, 51

5

40

Una vez determinada la flecha de la placa w(x,y) es fácil obtener las expresiones para los esfuerzos, momentos y cortantes, que actúan sobre el plano medio de la misma. En los apartados anteriores se presenta la solución de la misma placa, rectangular simplemente apoyada en sus cuatro bordes, usando dos técnicas similares pero diferentes en cuanto a su desarrollo. La solución de Levy abre más expectativas pues permite representar otras condiciones de contorno en los bordes paralelos al eje x. Así por ejemplo sí particularizamos la solución en algún punto típico de una placa cuadrada de lado a y coeficiente de Poisson ν=0.3 , es fácil comprobar que ambas soluciones coinciden. FLECHA EN EL PUNTO MEDIO.


Daq 0.00406 =,0)

2aw( =)

2b,

2aw(

4

LevyNavier

MOMENTOS EN EL PUNTO MEDIO

aq 0.0479 =,0)2a(M =)

2b,

2a(M

aq 0.0479 =,0)2a(M =)

2b,

2a(M

2y

Levyy

Navier

2x

Levyx

Navier

33 CORTANTES MAXIMOS EN EL CENTRO DE LOS BORDES

qa 0.338 =(0,0)Q =)2b(0,Q

qa 0.338 =)2b,

2a(Q =,0)

2a(Q

y Levyy Navier

x Levyx Navier±±

3. Placas rectangulares con bordes empotrados. La respuesta tenso deformacional de una placa rectangular con los 4 bordes simplemente apoyados para cualquier tipo de carga puede obtenerse como se ha visto en apartados anteriores, con facilidad usando desarrollos en serie de senos que satisfacen automáticamente dichas condiciones de borde.

5

Si alguno de los bordes está empotrado se debe proceder siguiendo un esquema de compatibilidad similar al utilizado en vigas. Es decir se considera la placa apoyada en sus cuatro bordes y se supone que sobre el borde que está empotrado actúa un momento de empotramiento que da lugar a un giro nulo a lo largo del borde.


( ) ( ) 0,,

=

+

ntoempotramieMApoyadaeSimplement ydyxwd

ydyxwd

Para poder superponer soluciones sería necesario conocer la flecha w(x,y) de una placa rectangular cuando sobre un borde actúa un momento variable con la coordenada que describe el mismo. 3.1. Placa rectangular con un momento distribuido en dos bordes. Sea la placa rectangular, de dimensiones a y b, de la figura de la página anterior, simplemente apoyada en sus cuatro bordes sometida a dos momentos f1 (x) y f2 (x) variables con x actuando a lo largo de los bordes y=0 e y=b (o y=± b/2 si consideramos que el eje x está situado en el centro de la placa). Con q(x,y)=0 la flecha w(x,y) debe satisfacer la ecuación diferencial homogé nea:

0 = yw+

y x

w 2 + xw

4

4

22

4

4

4

∂∂

∂∂∂

∂∂

y las condiciones de borde siguientes:

(x)f =yw D- 0=w

2b-=y (x)f =

yw D- 0=w

2b=y

0 = xw 0=w a=x 0 =

xw 0=w 0=x

22

212

2

2

2

2

2

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂∂

__

__

Las condiciones en X se satisfacen automáticamente considerando desarrollos en seno. Las condiciones respecto a Y deben estudiarse más específicamente.Se supone que la solución viene representada por la serie simple:


axm sen(y)Y = y)w(x, m

=1m

π∑∞

Para que la flecha w(x,y) satisfaga la ecuación diferencial, la función amplitud Ym(y) debe satisfacer la ecuación diferencial ordinaria:

0 = Ya

m + Y a

m2 -Y m4

44m2

22IVm

ππ ′′

La solución de esta ecuación diferencial es de la forma:

aymCh

aym

D+a

ym Sha

ymC+

aymCh B+

aym ShA=(y)Y mmmmm

ππππππ

Si los momentos, f1 (x) = - f2 (x) , son simétricos respecto al eje X:

Am = Dm = 0 Si los momentos, f1 (x) = f2 (x), son antimétricos respecto al eje X:

Bm = Cm = 0 En el primer caso la condición de flecha nula en el borde y=b/2 nos proporciona:

2abmTh

2abm C- = B 0 =

2abm Sh

2abm C +

2abmCh B mmmm

πππππ

En el segundo:

2abmTh

2abm

1 A- = D 0 = 2a

bmCh 2a

bm D + 2a

bm ShA mmmmπ

ππππ

Si desarrollamos las funciones f1(x) y f2(x) en serie de senos se tiene:

axmsen E = (x)f = (x)f m

1=m21

π∑∞

±

La condición de contorno en el caso simétrico viene dada por:

axm senE =

axm sen

2abmCh C

am D 2- m

1=mm2

22

1=m

ππππ ∑∑∞∞

de donde se obtiene:

2abmChm D 2

Ea - = C22

m2

m ππ


( )

−

= ∑

∞

=a

xma

ymCha

yma

ymShabmCth

abm

abmShm

E

Dayxw m

m

ππππππππ

sen22

22

,21

2

2

( )

−

= ∑

∞

=a

xma

ymSha

yma

ymChabmTh

abm

abmChm

E

Dayxw m

m

ππππππππ

sen22

22

,21

2

2

y por tanto la flecha w(x,y) se puede expresar como: en función de Em amplitud del momento f1 (x). La condición de contorno en el caso antimétrico viene dada por:

axm senE =

axm sen

2abmTh

2abm ShA

2abm

m a

D 2m

1=mm

2

1=m2

2 πππππ

π ∑∑∞∞

de donde se obtiene:

2abmTh

2abmSh

2abm

. D m 2

Ea = A 22m

2m ππ

π

π

y por tanto la flecha w(x,y) se puede expresar como:

La superposición del caso simétrico y antimétrico permite obtener la solución cuando actua un momento 2 f (x), con amplitud de desarrollo en serie Em, sobre un borde. Conocida la función f1 (x) está perfectamente determinado Em y por tanto la flecha w(x, y). Si por el contrario f1 (x) fuese un momento hiperestático, su amplitud Em se determina igualando los giros en el borde considerado. Ecuación que permite determinar Em y por lo tanto el desarrollo armónico del momento reacción. Conocido este momento queda perfectamente definida la flecha w(x, y) de una placa rectangular con un borde empotrado bajo una carga q(x, y). 4. Placa Rectangular empotrada en 3 bordes y con un borde libre. Las placas rectangulares con este tipo de condiciones de borde presentan un interés especial en ingeniería ya que permiten simular el comportamiento de las paredes de depósitos rectangulares o los muros de contención. Por ello se presentan a continuación las bases necesarias para encontrar la solución a este tipo de placa cuando actua una carga exterior uniforme o hidrostática.


En ambos casos de carga la solución para la flecha w(x,y) puede expresarse de la forma siguiente:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] HP yxwyxwyxwyxw ,,,, 21 ++= Las funciones w(x,y)P y (w(x,y)1 )H tratan con condiciones de bordes simplemente apoyados en x=± a/2 y la función (w(x,y)2 )H con las coacciones adicionales que el empotramiento introduce en los mismos.

4.1. Carga Uniforme. Para una carga q(x,y)=q0 uniforme, la solución particular:

( ) ( )

( )

−

=

=

=+−=

−∞

=

∞

=

∑

∑

axm

mD

q

axm

mD

qxaxax

Dqyxw

m

m

a

m

aP

π

π

π

π

cos14

sen142

24,

52

1

15

40

51

5

403340

correspondiente al desarrollo de la flecha en una franja de ancho unidad (viga de rigidez D) de longitud a simplemente apoyada en sus extremos.

( )[ ] ( ) ( )

−=

−∞

=∑ a

xmyYyxwm

mm

Hπcos1, 2

1

,..5,3,11

donde:


( )

+

+

+

=

aymSh

aymD

aymShC

aymSh

aymB

aymChA

DaqyY mmmmm

ππππππ40

En ambos casos, wP y w1H , cuando x=± a/2 , el coseno de un múltiplo de /2 es cero y por lo tanto se anulan automáticamente la flecha y el momento de ella derivado ya que el coseno permanece en una segunda derivación, en estos bordes.

( )[ ]

+

+

+

+

−

=

∑

∑∞

=

∞

=

axm

aymSh

aymI

aymCh

aymH

aymShG

Daq

byn

bxnSh

bxnF

bxnCh

banTh

banF

Daqyxw

mmmm

nnn

H

ππππππ

ππππππ

cos

2sen

22244,

,..5,3,1

40

,..5,3,1

40

2

desarrollo que satisface automáticamente la condición de borde:

(w(x y)2 )H=0 en y=0 y x= ± a/2 Esta función debe también satisfacer: BORDE LIBRE y=b. GIROS NULOS EN x=± a/2.

( ) ( ) ( ) 0,,0 2

2

2

2=

∂

∂+

∂

∂⇒=

==

bybyx

yyxw

xyxwM ν

( ) ( ) ( ) ( ) 0,2,0 2

3

3

3=

∂∂

∂−+

∂

∂⇒=

==

bybyy

yxyxw

yyxwV ν

( ) 00

2

21

0

2 =

∂

++∂=

∂

∂

±==ax

HHP

y

Hx

wwwy

w

con estas condiciones de borde se pueden determinar las constantes de integración Fn , Gm , Hm e Im. 4.2. Carga hidróstatica. Se trata de la misma forma que una carga uniforme pero considerando que la carga es ahora función de la coordenada y.


bym sen

m1

q2 = q(y)

1=m

0 ππ ∑

∞

Desarrollando en serie de senos la función carga hidrostática q(y) se obtiene:

Sustituyendo q en las expresiones de wP , w1H y w2H del apartado anterior por la expresión algebraica q(y) o por su desarrollo armónico, se puede obtener siguiendo los pasos allí descritos la solución w(x, y) usando las mismas condiciones de borde. Estas aplicaciones ponen de manifiesto las dificultades que aparecen al resolver la ecuación diferencial de incluso placas de geometría y condiciones de carga senci-llas. De ahí que los métodos numéricos, diferencias y elementos finitos hallan alcanzado un desarrollo importante y constituyan en la actualidad la herramienta más adecuada para el análisis de Placas.


EJEMPLO Nº 1

Obtener la flecha, esfuerzos y reacciones en una placa cuadrada de lado a simplemente apoyada en los cuatro lados sometida a una carga uniforme q0

SOLUCION

Si la flecha w(x, y) se desarrolla en serie doble de senos:

= ∑∑

∞=

=

∞=

=a

yna

xmnmwyxw

n

n

m

m

ππ sensen),(11

los desarrollos satisfacen de forma automática unas condiciones de contorno:

( ) 0sen0sen),(11

0 =

= ∑∑

∞=

=

∞=

== a

ynwyxw nm

n

n

m

mx

π

( ) 0sensen),(11

=

= ∑∑

∞=

=

∞=

== a

ynmwyxw nm

n

n

m

max

ππ

( ) 00sensen),(11

0 =

= ∑∑

∞=

=

∞=

== a

xmwyxw nm

n

n

m

my

π

( ) 0sensen),(11

=

= ∑∑

∞=

=

∞=

== π

π na

xmwyxw nm

n

n

m

may

x

q0

a

a q0

y


( ) ( ) 0sen0sen22

112

2

0 =

+−= ∑∑

∞=

=

∞=

== a

ynnmwa

DM nm

n

n

m

mxx

πν

π

( ) ( ) 0sensen22

112

2=

+−= ∑∑

∞=

=

∞=

== a

ynmnmwa

DM nm

n

n

m

maxx

ππν

π

( ) ( ) 00sensen22

112

2

0 =

+−= ∑∑

∞=

=

∞=

== a

xmnmwa

DM nm

n

n

m

myy

πν

π

( ) ( ) 0sensen22

112

2=

+−= ∑∑

∞=

=

∞=

== π

πν

π na

xmnmwa

DM nm

n

n

m

mayy

La selección de un determinado desarrollo armónico para representar la flecha w(x, y) implica que se satisfacen automáticamente unas condiciones de contorno específicas. Por ello en esta situación las condiciones se denominan forzadas ya que vienen incluidas en la solución y por tanto no se pueden alterar. En este caso las condiciones de flecha y momentos nulos en los cuatro bordes corresponden a la situación de lados simplemente apoyados. En la técnica de desarrollos en serie la carga exterior se desarrolla en la misma forma que la flecha:

= ∑∑

∞=

=

∞=

=a

yna

xmnmqyxq

n

n

m

m

ππ sensen),(11

pero ahora como la función q(x, y)=q0 es conocida las amplitudes del desarrollo se pueden determinar sin más que:

dxa

yna

xmqaa

qay

y

ax

xnm

= ∫∫

=

=

=

=

ππ sensen220

00

( )[ ] ( )[ ]πππ

ππ

ππnm

nm

qa

a

yna

a

xm

n

a

m

a

a

qnmq cos1cos1

1204

0cos

0cos2

04−−=−−=

cuando m y/o n sean pares el cos (par x π)=1 de forma que:

( )[ ] ( )[ ] 0cos1/0cos1 =−=− ππ noym

sin embargo cuando m y n sean impares el cos (impar x π)=-1 de forma que:

( )[ ] ( )[ ] 2cos1/2cos1 =−=− ππ noym

por lo tanto:

=

=

L

L

,7,5,3,1116,8,6,4,20

20 nympara

nmq

nomparaq nm

π


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

La variación de la carga a lo largo del eje x con y=0,5 a viene dada en las siguientes figuras.

Fig 1. q(x,y) considerando 1 término del desarrollo Fig 2. q(x,y) considerando 3 términos

Fig 3 q(x,y) considerando 5 términos Fig. 4 q(x,y) considerando 7 términos

Fig. 5 q(x,y) considerando 9 términos La flecha w(x, y) tiene que satisfacer la ecuación diferencial de equilibrio de la placa:

ayn

axmq

D

ayn

axm

an

an

am

amw

nm

n

n

m

m

nm

n

n

m

m

ππ

ππππππ

sensen1

sensen2

11

4

44

2

22

2

22

4

44

11

∑∑

∑∑∞=

=

∞=

=

∞=

=

∞=

=

=

=

++

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

1,5

1,75

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,50

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5


que proporciona para cada término del desarrollo:

Dq

an

an

am

amw nm

nm ==

++ 4

44

2

22

2

22

4

442 ππππ

( )2224

4

2

2

2

2

2 nmD

aq

a

n

a

mD

qw nmnm

nm+

=

+

=π

La flecha viene dada por tanto por:

( )

+= ∑∑

∞=

=

∞=

=a

yna

xm

nm

q

D

ayxw nmn

n

m

m

ππ

πsensen),( 222

114

4

y para la carga uniforme:

( )

+= ∑∑

∞=

=

∞=

=a

yna

xm

nmnmD

aqyxwn

n

m

m

ππ

πsensen116),( 222

116

40

w(0,5 a, 0,5 a) x (q0 a4 / D)

n=1 SUMA n=3 SUMA n=5

m=1 0,0041606 -5,548 10-5 4,92 10-6

0,0041606 m=3 -5,548 10-5 5,707 10-6 -9,598 10-7

0,0040554

m=5 4,92 10-6 -9,598 10-7 2,66 10-7

SUMA 0,0040636

Tabla 1. Flecha en el centro de la placa para 1 3 y 5 términos del desarrollo

La solución converge rápidamente ya que en el denominador de la flecha aparecen las quintas potencias de m y n.(Fig 6)

La solución exacta vale w(0,5 a, 0,5 a)= 0,0040624 q0 a4 /D

Para tener un orden de magnitud si se considera una placa de 5 m. sometida a 2 T/m2 y con un D= 1.500 T m la flecha máxima vale 3,4 mm.


0,004042

0,004062

0,004082

0,004102

0,004122

0,004142

0,004162

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

Fig. 6. Convergencia de la flecha en el centro de la placa con el número de armónicos Conocida la flecha, se pueden calcular los esfuerzos que dependen de ella:

+

+∞=

=

∞=

=

=

∂

∂+

∂

∂= ∑∑ a

yna

xm

nmnm

nmn

n

m

m

aq

y

yxw

x

yxwDxM ππν

πν sensen222

22

114

2016

2),(2

2),(2

( )

+

+=

∂

∂+

∂

∂= ∑∑

∞=

=

∞=

=a

yna

xm

nmnm

nmaq

y

yxw

x

yxwDMn

n

m

my

ππν

πν sensen16),(),(

222

22

114

20

2

2

2

2

Los momentos Mx y My son nulos en los bordes y toman su valor máximo en el centro, senos máximos, de la placa y son por simetría iguales.

Mx(0,5 a, 0,5 a)

x (q0 a2) n=1 SUMA n=3 SUMA n=5

m=1 0,0533831 -0,0020258 0,0004131

0,053383 m=3 -0,0050919 0,0006591 -0,0001563

0,0469244

m=5 0,0012295 -0,0002624 8,541 10-5

SUMA 0,0482337

Tabla 2. Mx en el centro de la placa para 1 3 y 5 términos del desarrollo

La solución ya no converge tan rápidamente como la flecha ya que las potencias de m y n son ahora de orden 4 (Fig 7).

La solución exacta vale Mx=0,0479 q0 a2

Para tener un orden de magnitud si se considera una placa de 5 m. sometida a 2 T/m2 el momento máximo vale 2,4 m T/ m.

A las mismas conclusiones se llega para My que es simétrico con Mx.


0,0285

0,0295

0,0305

0,0315

0,0325

0,0335

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

0,0469

0,0479

0,0489

0,0499

0,0509

0,0519

0,0529

0,0539

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

Fig. 7 Convergencia del Mx en el centro de la placa con el número de armónicos El momento torsor MXy viene dado por:

( ) ( ) ( )( )

( )( ) a

yna

xm

nm

aq

ayn

axm

nmnm

an

am

aqyxyxwDM

m

m

m

m

m

m

m

mxy

ππ

π

ν

ππππ

π

νν

coscos1116

coscos116,1

222114

20

222116

40

2

+

−=

=+

−=

∂∂∂

−=

∑∑

∑∑∞=

=

∞=

=

∞=

=

∞=

=

Mxy(0, 0) x (q0 a2)


m=1 0,0287448 0,0011498 0,0001701

0,0287448

m=3 0,0011498 0,0003549 9,946 10-5

0,0313992

m=5 0,0001701 9,946 10-5 4,599 10-5

SUMA 0,0319843

Tabla 3. Mxy en las esquinas de la placa para 1 3 y 5 términos del desarrollo

El momento torsor es nulo en el centro de la placa y máximo en las esquinas, cosenos máximos. La solución ya no converge tan rápidamente como la flecha ya que las potencias de m y n son ahora de orden 4.

Fig. 8 Convergencia del Mxy en las esquinas de la placa con el número de armónicos


La solución exacta vale Mxy=0,0325 q0 a2 Este momento torsor activa una reacción vertical puntual en cada esquina

R= 2 Mxy=0,065 q0 a2

Para tener un orden de magnitud del momento y de la reacción, en una placa cuadrada de 5 m de lado sometida a una carga uniforme de 2 T/m2 Mxy= 1,625 m T/ m y R= 3,25 T. Si no se toman precauciones pueden aparecer problemas de anclaje de la placa al apoyo.

Los cortantes Qx y Qy vienen dados por

( ) ( )

( )

( )

+=

=

+

+=

∂∂

∂+

∂

∂=

∑∑

∑∑∞=

=

∞=

=

∞=

=

∞=

=

aym

axm

nmn

aq

aym

axm

nmnm

a

na

m

a

maq

yx

yxw

x

yxwDQ

n

n

m

m

n

n

m

mx

ππ

π

πππππ

π

sencos116

sencos16,,

2211

30

222

2

22

3

33

116

40

2

3

3

3

( ) ( )( )

( )

+=

=

+

+=

∂

∂+

∂∂

∂=

∑∑

∑∑∞=

=

∞=

=

∞=

=

∞=

=

aym

axm

nmm

aq

aym

axm

nmnm

a

n

a

ma

naq

y

yxw

xy

yxwDQ

n

n

m

m

n

n

m

my

ππ

π

πππππ

π

cossen116

cossen16,,

2211

30

222

3

33

2

22

116

40

3

3

2

3

El cortante Qx es nulo cuando x = 0,5 a e y=0 o y=a. El cortante Qy es nulo cuando x = 0 y x= a e y=0,5 a. El cortante Qx es máximo cuando x=0 o x=a e y=0,5 a. El cortante Qy es máximo cuando x=0,5 a e y=0 o y=a. Por simetría los cortantes máximos son iguales.

La solución ya no converge tan rápidamente como la flecha y los momentos ya que las potencias de m y n son ahora de orden 3.

La solución exacta vale Qx=0,338 q0 a

3,25 T


Qx(0, 0,5 a) x (q0 a)


m=1 0,2580123 -0,0172008 0,0039694

0,258012 m=3 0,0516025 -0,009556 0,0030354

0,2828579

m=5 0,0198471 -0,0050591 0,0020641

SUMA 0,3067149

Tabla 4. Qx en las esquinas de la placa para 1 3 y 5 términos del desarrollo

Para tener un orden de magnitud si se considera una placa de 5 m. sometida a 2 T/m2 el momento máximo vale 3,38 T/ m.

Fig. 9 Convergencia del Qx en centro de lado de la placa con el número de armónicos Debe hacerse notar que con 31 términos del desarrollo todavía no ha convergido el Qx.

El cortante equivalente viene dado por:

xM

QVy

MQV xy

yyxy

xx ∂

∂+±=

∂

∂+±=

Como de las expresiones anteriores se conoce el cortante, sólo es necesario calcular las derivadas del momento torsor respecto a x e y.

( )( )

( )( ) a

yna

xm

nm

maq

ayn

axm

nm

am

aqx

M

m

m

m

m

m

m

m

m

xy

ππ

π

ν

πππ

π

ν

cossen116

cossen116

222113

0

222114

20

+

−−=

=+

−−=

∂

∂

∑∑

∑∑∞=

=

∞=

=

∞=

=

∞=

=

0,238

0,263

0,288

0,313

0,338

0,363

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31


yM xy∂

∂

Qx

0,5 a, 0 o a

0,078

0,08

0,082

0,084

0,086

0,088

0,09

0,092

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

( )( )

( )( ) a

yna

xm

nm

naq

ayn

axm

nm

an

aqy

M

m

m

m

m

m

m

m

m

xy

ππ

π

ν

πππ

π

ν

sencos116

sencos116

222113

0

222114

20

+

−−=

=+

−−=

∂

∂

∑∑

∑∑∞=

=

∞=

=

∞=

=

∞=

=

Estas derivadas se anulan para y=0,5 a y x=0,5 a respectivamente y son máximas en los puntos medios de los lados x=0,5 a y=0 e y=a y y=0,5 a, x=0 y x=a respectivamente. Por la simetría los valores máximos son los mismos para las dos derivadas. La solución ya no converge tan rápidamente como la flecha y los momentos ya que las potencias de m y n son ahora de orden 3.

δMxy/δy

(0, 0,5 a)x (q0 a)

n=1

SUMA

n=3

SUMA

n=5 m=1 0,0903043 -0,0108365 0,0026717

0,0903043 m=3 0,0012041 -0,0011149 0,0005208

0,079557

m=5 0,0001069 -0,0001875 0,0001445

SUMA 0,0828134

Tabla 5. δMxy/δy en los puntos medios de los lados para 1 3 y 5 términos del desarrollo

La solución exacta vale dMxy/dy=0,082 q0 a

Fig. 9 Convergencia del dMxy/dy en centro de lado de la placa con el número de armónicos

Para tener un orden de magnitud si se considera una placa de 5 m. sometida a 2 T/m2 el momento máximo vale 0,82 T/ m.

El cortante equivalente en el centro de lado vale: Vxmáxima=(0,338 + 0,082) q0 a = 0,42 q0 a


EJEMPLO Nº 2

Calcular la flecha, los esfuerzos y reacciones en un placa rectangular de lados a y 2a simplemente apoyada en sus bordes sometida a una carga uniforme q0 usando la solución de Levy

SOLUCION

La solución de Levy usa, cuando los bordes x=0 e x=a están simplemente apoyados, los desarrollos:

( )a

xmyYyxw mm

πsen),(1

∑∞

=

=

que satisface de forma forzada las condiciones de borde en x=0 y x=a.

La solución de la ecuación diferencial homogénea, q(x,y)=0, implica que Ym(y) debe satisfacer

( ) ( ) ( )02 4

4

2

2

2

22

4

44=

+−

yd

yYd

yd

yYd

a

myYa

m mmm

ππ

cuya solución general, teniendo en cuenta la simetría, es de la forma:

( )

+=

aymSh

aymB

aymChA

DaqyY mmm

πππ40

Como solución particular se toma la flecha de una franja de placa en la dirección x de forma que para una carga uniforme q0:

( ) ( ) 51

5

403340

sen42

24),

ma

xm

D

aqxaxaxD

qyxwm

P

π

π∑∞

=

=+−=

2a

a

x

y


( )a

xma

ymSha

ymBa

ymChAmD

aqyxw mmm

ππππ

πsen4, 55

1

40

++= ∑

∞

=

Am y Bm se determinan en base a las condiciones de contorno en y. Como los bordes y = ± a están también simplemente apoyados:

( ) 0),(0),(),(0, 2

2

2

2

2

2=

∂

∂→=

∂

∂+

∂

∂==

===

axaxyay

y

yxw

y

yxw

y

yxwMyxw ν

Como w(x,y) debe satisfacer estas dos condiciones:

( ) 020455 =++=++ ππππππ

πmShmBmChBAmShmmChA

mmmmm

dos ecuaciones que determinan:

( ))(

2

)(

2)(25555 ππππ

ππ

mChmB

mChm

mThmA mm =+

−=

( )a

xma

ymSha

ymmCha

ymChmCh

mThm

mD

aqyxwm

ππππ

ππ

ππ

πsen

)(21

)(22)(114, 5

15

40

+

+−= ∑

∞

=

La flecha máxima se produce en el centro de la placa y=0, x=a/2

( )2

sen)(2

2)(114, 51

5

40 π

πππ

π

mmCh

mThm

mD

aqyxwm

+−= ∑

∞

=

w(0,5 a, 0) x

4q0/D

m=1

0,0101788

0,0101788

m=3

-5,3741 10-5

0,0101251

m=5

4,1827 10-6

0,0101293

m=7

-7,7771 10-7

0,0101285

Tabla 1. Evolución de la flecha en el centro con el número de armónicos

La flecha converge rápidamente a la solución exacta wexacta=0,0101286 q0 a4/D


Figura 1. Convergencia de la flecha en el centro

Figura 2. Flecha en la sección (y=0, x=0, y=0 x=a/2)

Figura 3. Flecha en sección x=a/2 y=0 x=a/2 y=a

Los momentos Mx y My vienen dados por:

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂= 2

2

2

2

2

2

2

2 ),(),(),(),(

y

yxw

x

yxwDMy

yxw

x

yxwDM yx νν

Si la flecha se representa como:

0,0101086

0,0101286

0,0101486

0,0101686

0,0101886

1 3 5 7 9 11 13 15

- 0 ,0 1 0 1 3

- 0 ,0 0 8 1 0 4

- 0 ,0 0 6 0 7 8

- 0 ,0 0 4 0 5 2

- 0 ,0 0 2 0 2 6

00 0 ,1 0 ,2 0 ,3 0 ,4 0 ,5 0 ,6 0 ,7 0 ,8 0 ,9 1

-0,01013

-0,0075975

-0,005065

-0,0025325

00 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5


( ) ( )[ ] ( )xyShyByChAmD

aqyxw mmmmmmm

ααααπ

sen114),( 51

5

40 +−= ∑

∞

=

con ( )( ) ( ) a

mmCh

BmCh

mThmA mmmπ

αππ

ππ==

+=

21

22

( ) ( )[ ] ( )xyShyByChAmD

aq

x

yxwmmmmmm

m

mαααα

α

πsen14),(

5

2

15

40

2

2+−−=

∂

∂ ∑∞

=

( ) ( )[ ] ( )xyShyByChBAmD

aq

y

yxwmmmmmmm

m

mαααα

α

πsen)2(4),(

5

2

15

40

2

2++−=

∂

∂ ∑∞

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )xyShyByChByChAm

aqM mmmmmmmmm

x ααανανανπ

sen1211143

13

20 −+−−−= ∑

∞

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )xyShyByChByChAm

aqM mmmmmmmmm

y ααανααννπ

sen121143

13

20 −−−−+= ∑

∞

=

Ahora el Mx y el My ya no son iguales en el centro:

ν=0,3

Mx(0,5 a, 0) x q0a2

m=1

0,10568591

0,10568591

m=3

-0,00477469

0,10091122

m=5

0,001032047

0,10194327

m=7

-0,000376111

0,10156716

Tabla 2. Evolución del Mx en el centro con el número de armónicos

La solución converge al valor exacto Mx=0,1017 q0 a2


Figura 4. Convergencia de MX en el centro con el número de armónicos.

ν=0,3

Mx(0,5 a, 0) x q0a2

m=1

0,04755445

0,04755445

m=3

-0,001435714

0,04611873

m=5

0,000309616

0,04642835

m=7

-0,000112833

0,04631552

Tabla 3. Evolución del My en el centro con el número de armónicos

Figura 5. Convergencia de MY en el centro con el número de armónicos La solución converge al valor exacto My=0,04635 q0 a2 El momento torsor MXY viene dado por:

0,04535

0,04585

0,04635

0,04685

0,04735

0,04785

0,04835

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

0,0997

0,1007

0,1017

0,1027

0,1037

0,1047

0,1057

0,1067

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21


( ) ( ) ( )[ ] ( )xyChyByShBAaqyxyxwDM mmmmmmmxy αααα

π

νν cos)1(4),()1( 3

20

2++−

−=

∂∂∂

−=

ν=0,3

Mxy(0ª, a) x

q0a2

m=1

0,043928186

0,043928186

m=3

0,001672301

0,04560049

m=5

0,000361217

0,0459617

m=7

0,0000131639

0,04609334

Tabla 4. Evolución del Mxy en las esquinas con el número de armónicos

El valor máximo se alcanza en las esquinas de la placa y vale Mxy=0,04626 q0 a2

Figura 6. Convergencia de Mxy en las esquinas con el número de armónicos. La reacción en las esquinas vale R= 2 Mxy = 0,0925 q0 a2 Los cortantes vienen dados por:

( ) ( ) ( )[ ] ( )xyChBm

aq

yx

yxw

x

yxwDQ mmmm

x ααπ

cos2114,,2

120

2

3

3

3−=

∂∂

∂+

∂

∂= ∑

∞

=

( ) ( ) ( )[ ] ( )xyChBm

aq

y

yxw

xy

yxwDQ mmmm

y ααπ

sen2114,,2

120

3

3

2

3−=

∂

∂+

∂∂

∂= ∑

∞

=

0,043263

0,043763

0,044263

0,044763

0,045263

0,045763

0,046263

0,046763

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53


ν=0,3

Qx (0, 0) x q0a

m=1

0,37032214

0,37032214

m=3

0,045024369

0,41534651

m=5

0,016211384

0,4315579

m=7

0,008271117

0,43982901

Tabla 5. Evolución del Qx en centro de lado con el número de armónicos

Qx converge con mayor dificultad y su valor máximo vale: Qx=0,464 q0 a

Figura 7. Convergencia de Qy en centro de lado con el número de armónicos

ν=0,3

Qy (0,5a, a) x q0a

m=1

0,403773864

0,403773864

m=3

-0,045031637

0,35874223

m=5

0,016211389

0,37495362

m=7

-0,008271117

0,3666825

Tabla 6. Evolución del QY en centro de lado con el número de armónicos

QY converge con dificultad y su valor máximo vale: QY=0,3698 q0 a

0,3590,3740,3890,4040,4190,4340,4490,4640,479

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53


Figura 8. Convergencia de QY en centro de lado con el número de armónicos Para determinar VX y VY calculamos las derivadas del momento torsor MXY

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )yyChyByShBAm

q

x

Mmmmmmmm

m

axyααααν

πsen

11

42

120

++−−=∂

∂∑∞

=

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )yyShyByChBAm

q

yM

mmmmmmmm

axy αααανπ

cos2114

21

20

++−−=∂

∂∑∞

=

ν=0,3

dMxy /dx (0,5a, a) x

q0a

m=1

0,138004468

0,138004468

m=3

-0,015761069

0,1222434

m=5

0,005673986

0,12791738

m=7

-0,002894891

0,12502249

Tabla 7. Evolución de la variación de Mxy con x en centro de lado con el número de armónicos

El valor máximo de la derivada de Mxy respecto a x es: 0,126 q0 a Por tanto el valor máximo de VY= QY+ dMXY/dx (0,370 + 0,126) q0 a=0,496 q0 a

0,3498

0,3598

0,3698

0,3798

0,3898

0,3998

0,4098

0,4198

0,4298

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53


Figura 9. Convergencia de dMXY/dx con el número de armónicos.

ν=0,3

dMxy /dy (0, 0) x q0a

m=1

0,038300064

0,038300064

m=3

2,3975 10-5

0,03832404

m=5

2,68631 10-8

0,03832407

m=7

3,58324 10-11

0,03832407

Tabla 8. Evolución de variación de MXY respecto a y en centro de lado con número de armónicos

Figura 10. Convergencia de la dMXY/dy en centro de lado con el número de armónicos Por tanto el valor máximo de Vx= Qx+ dMXY/dy (0,465 + 0,038) q0 a= 0,503 q0 a

0,03829

0,0383

0,03831

0,03832

0,03833

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53

0,116

0,121

0,126

0,131

0,136

0,141

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53


EJEMPLO Nº 3

Determinar la flecha, esfuerzos y reacciones en una placa cuadrada de lado a simplemente apoyada en dos bordes y empotrada en los opuestos sometida a una presión hidrostática pmáxima = γa.

SOLUCION ESTADO 1. Placa simplemente apoyada en los cuatro lados con carga hidrostática ESTADO 2. Placa simplemente apoyada con un M(x) en los bordes y= ± 0,5 a SOLUCION ESTADO 1 SOLUCION ESTADO 2

LEVY ( ) ( )xyYyxw mmm

αsen)(,,..3,2,1

∑∞

=

=

x

γ a

y

a

γ x

x

y

+

x

M(x) M(x)

x

y

x


ESTADO 1 ( ) ( ) ( )xwyxwyxw PH += ,, wH (x,y)

( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0sen2 24

1=+′′−∑

∞

=

xyYyYyY mIV

mmmmmm

ααα

( ) ( ) ( ) 02 24 =+′′− yYyYyY IVmmmmm αα

( ) ( ) ( )yShyByChAyY mmmmmm ααα +=

( ) ( ) ( )[ ] ( )xyShyByChAyxw mmmmmmm

H αααα sen,1

+= ∑∞

=

wP (x,y)

( )

( ) ( )xmD

a

xaxaax

Daxw

mm

m

P

απ

γ

γ

sen12

7103360

5

1

15

5

335

+∞

=

−=

=

+−=

∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xyShyByChAmD

ayxw mmmmmmm

mαααα

π

γ sen12, 55

1

1

5

++

−=

+∞

=∑

Esta flecha debe satisfacer las condiciones de contorno de simplemente apoyado en y= ± 0,5 a

( ) ( ) ( ) ( ) 05,05,05,0120, 55

1

5,0 =++−

=+

= aShaBaChAm

yxw mmmmmm

ay αααπ

( ) [ ] ( ) ( ) 05,05,05,020,

5,02

2=++=

=

aShaBaChBAyd

yxwdmmmmmm

ay

ααα

ahora mmma

ama δ

ππα ===

25,05,0

Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se obtiene:

x

y

xx


( )[ ] ( )( )

( )( )m

mm

m

mmm

mChm

BChm

ThAδπδπ

δδ55

1

55

1 112 ++ −=

−+−=

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )xyShyDyChCmD

ayxw mmmmmmm

mαααα

π

γ sen21, 55

1

1

5++

−=

+∞

=∑

( )

( ) ( )mm

m

mmm Ch

DCh

ThCδδ

δδ 12=

+−=

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )[ ] ( )xChShThChmD

ay

yxwmmmmmm

m

m

may

αδδδδδπ

γ sen11,55

1

1

5

2

+∂+−−

=

∂

∂ +∞

==∑

ESTADO 2 ( ) ( )yxwyxw H ,, = wH (x,y)

( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0sen2 24

1=+′′−∑

∞

=

xyYyYyY mIV

mmmmmm

ααα

( ) ( ) ( ) 02 24 =+′′− yYyYyY IVmmmmm αα

( ) ( ) ( )yShyByChAyY mmmmmm ααα +=


H αααα sen,1

+= ∑∞

=


αααα sen,1

+= ∑∞

=

Esta flecha debe satisfacer las condiciones de contorno de simplemente apoyado con un momento M(x) en y= ± 0,5 a

( ) ( ) ( ) 00, 5,0 =+== mmmmmay ShBChAyxw δδδ

( ) ( ) [ ] ( ) ( ){ } mmmmmmmmmmma

y

MShBChBADxsenMxMyd

yxwdD =++→==

∑

∞

==

δδδαα 2)(, 2

12

2

2

Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se obtiene:

y

M(x) M(x) xx


( )

( ) ( )mm

mm

mm

mmmm

ChM

DB

ChThM

DA

δαδα

δδ22 2

121

=−=

( )( )

( ) ( ) ( )[ ] ( )xyShyyChThChM

Dyxw mmmmmm

mm

m

mααααδδ

δαsen

21, 2

1+−= ∑

∞

=

( )( )

( )( ) ( ) ( )[ ] ( )xChShThCh

MDy

yxwmmmmmm

mm

m

may

αδδδδδδα

sen121,

212

+−=

∂

∂ ∑∞

==

que igualado con el giro anterior permite obtener Mm

( )( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] 011

121

33

13=++−

−+

++−

+

mmmmmm

mmmmmm

ChShThm

a

ChShThM

δδδδδπ

γ

δδδδδ

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )mmmmm

mmmmmm

m ChShThChShTh

maM

δδδδδδδδδδ

π

γ+−−+−

=+

1112

33

13

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) mmmm

mmmmm

m ThThThTh

maM

δδδδδδδδ

π

γ+−−+−

=+

1112

33

13

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

+−−+−

=+∞

=∑ a

xmThThThTh

maxM

mmmm

mmmmm

m

πδδδδδδδδ

π

γ sen1112)( 33

13

1

Figura 1. Convergencia del momento de empotramiento en el centro del lado con el número de

armónicos

0,0339

0,0344

0,0349

0,0354

0,0359

0,0364

0,0369

0,0374

0,0379

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19


m MY (0,5 a, 0,5 a) Σ MY (0,5 a, 0,5 a) x γ a3

1 0,03691453 0,03691453 3 -0,002381746 0,03453279 5 0,00051602 0,03504881 7 -0,000188056 0,03486075 9 8,84816 10-5 0,03494923 11 -4,84621 10-5 0,03490077

Figura 2. Convergencia del momento con el número de armónicos

0

0,00818566

0,01612742

0,02352768

0,02998028

0,034914740,037543410,03681898

0,03141364

0,01973079

00

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

PLACAS CIRCULARES

1.- INTRODUCCION. Sí la Placa es circular es conveniente expresar las ecuaciones básicas deducidas anteriormente en un sistema coordenado polar. La ecuación de equilibrio de una Placa circular puede obtenerse bien realizando una transformación de coordenadas del sistema cartesiano al polar de la ecuación obtenida en el apartado correspon-diente del capítulo anterior o establecer el equilibrio directamente sobre un ele-mento diferencial referido al sistema polar.

El primer método precisa de un desarrollo matemático de transformación del sistema de referencia (X,Y,Z) a (r, ϕ, z) determinando las relaciones entre las derivadas de la función w(x,y) respecto a x e y con las de w(r, ϕ) respecto a r y ϕ . El segundo necesita de las expresiones de los esfuerzos, momentos y cortantes referidos al sistema polar (r, ϕ, z) y de las relaciones de equilibrio adecuadas de forma análoga al proceso realizado en el sistema cartesiano. De cualquier manera la obtención de una solución exacta para placas circulares bajo carga y condiciones de borde cualquiera, y por tanto no simétricas, es, igual que en las placas rectangulares, tedioso, complejo y muy a menudo imposible. 2.- ECUACION DIFERENCIAL DE PLACAS CIRCULARES. Puesto que x es función de r y ϕ, la derivada de w(r, ϕ) respecto a x se transforma en derivadas respecto a r y ϕ :


x w +

xr

rw =

x)w(r,

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ ϕ

ϕϕ

y

w + yr

rw =

y)w(r,

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ ϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕ senr1- =

x =

xr

∂∂

∂∂

cos

con lo que:

ϕϕϕ

ϕ∂∂

∂∂

∂∂ w sen

r1 -

rw =

x)w(r,

cos ϕ

ϕϕϕ

∂∂

∂∂

∂∂ w

r1 +

rw sen=

y)w(r, cos

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

=

∂∂

∂∂

=∂

∂ϕ

ϕϕϕ

ϕϕw

rrw

rrxw

xxw sen1cossen1cos2

2

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

=

∂∂

∂∂

=∂

∂ϕ

ϕϕϕ

ϕϕw

rrw

rryw

yyw cos1sencos1sen2

2

∂∂

−∂∂

∂∂

+∂∂

=

∂∂

∂∂

=∂∂

∂ϕ

ϕϕϕ

ϕϕw

rrw

rrxw

yyxw sen1coscos1sen

2

Por lo tanto se obtienen las siguientes expresiones:

w sen2r21 +

rw2

sen2r1 -

rw sen2

r1 + 2

w2 sen2

r21 +

r2w2

2 = x2w2

ϕ

ϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕ∂∂

∂∂∂

∂∂

∂

∂∂∂

∂∂ cos

Placas Circulares 3

w sen2r1 -

rw sen2

r1 +

rw

r1 + w

r1 +

rw sen =

yw

2

22

2

22

22

22

2

2

ϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕϕ

∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ coscos

r

w 2r1 +

rw sen2

2r1 - w 2

r1 - w sen2

r21 -

rw sen2

21 =

yxw 2

22

2

22

22

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕ

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂ coscos

El operador de Laplace se transforma en términos de coordenadas polares en:

r

r1 +

r1 +

r = 2

2

22

2

∂∂

∂∂

∂∂∆

ϕ

y la ecuación diferencial de la placa queda:

( )Drqrw

rrrrrrrrrw ),(),(1111,

2

2

22

2

2

2

22

2 ϕϕ

ϕϕϕ =

∂∂

+∂

∂+

∂

∂

∂∂

+∂

∂+

∂

∂=∆∆

Los esfuerzos internos, momentos y cortantes, tienen en el sistema coordenado polar las siguientes expresiones:

∂∂

+∂

∂+

∂

∂−=

rw

rw

rrwDM r

112

2

22

2

ϕν

∂∂

+∂

∂+

∂

∂−=

rw

rw

rrwDM 11

2

2

22

2

ϕνϕ

( )

∂∂

−∂∂

∂−−=

ϕϕνϕ

wrr

wr

DM r 2

2 111

w D- = Q w r

D- = Qr ∆∂∂

∆∂∂

ϕϕ

∂∂

−∂∂

∂∂∂−

+∆∂∂

−=ϕϕϕ

ν wrr

wrr

wr

DVr 2

2 111

( )

∂∂

−∂∂

∂∂∂

−+∆∂∂

−=ϕϕ

νϕϕ

wrr

wrr

wr

DV2

2 1111

2.1. Equilibrio de un elemento diferencial. En la figura se muestran los esfuerzos que actúan sobre las caras de una rebanada diferencial de placa circular. El equilibrio de fuerzas y de momentos permite llegar


a la ecuación diferencial de equilibrio de la placa que evidentemente coincide con la obtenida por la transformación del sistema coordenado de referencia.

3. PLACAS CIRCULARES CON CARGA DE REVOLUCION. Sí la placa circular considerada tiene carga y condiciones de borde con simetría de revolución, la flecha es sólo función de r. Todas las secciones rz son de simetría y por lo tanto la respuesta estructural es la misma para todas ellas. En estas situaciones las ecuaciones en derivadas parciales definidas en el apartado anterior se transforman en otras en derivadas totales y las derivadas respecto a ϕ se anulan. El operador Laplaciano toma ahora la forma:

drd

r1 +

rdd = 2

2∆

y la ecuación diferencial de la Placa queda en la forma:

D

q(r) = drdw

r1 +

rdwd

r1 -

rdwd

r2 +

rdwd = w(r) 32

2

23

3

4

4∆∆

Placas Circulares 5

Los esfuerzos que actúan en el plano medio vienen dados por:

012

2

2

2=

+−=

+−= ϕϕ ν

νrr M

rdwd

rrdwdDM

rdwd

rrdwdDM

01122

2

3

3==

−+−== ϕϕ VQ

rdwd

rrdwd

rrdwdDVQ rr

El esfuerzo cortante puede también expresarse en forma más compacta como:

rr Vrdwd

rrd

drrd

dDQ =

−=

1

4. PLACA CIRCULAR UNIFORMEMENTE CARGADA. Si una placa circular de radio a soporta una carga uniforme sobre toda sus superficie de intensidad q , el esfuerzo cortante Q a una distancia r genérica del centro de la placa viene dado por:

2 π r Q = π r2 q Q= q r / 2 y por tanto:

−=

rdwd

rrd

drrd

dDrq 1

2

Una primera integración de esta ecuación proporciona:

1

2

41 C

Drq

rdwd

rrd

dr

+=


donde C1 es una constante de integración que se determina posteriormente en función de las condiciones de contorno de la placa. Multiplicando los dos miembros por r e integrando de nuevo se obtiene:

r

C + 2

rC + 16D

rq = drdw 21

3

una nueva integración conduce a:

C + ar C +

4rC +

D64rq = w(r) 32

14

Ln2

Las constantes de integración C1 , C2 y C3 se determinan para cada condición de borde. 4.1. Borde Empotrado. Si el borde está empotrado la flecha y el giro en el mismo, r=a, deben ser nulos. Por simetría también el giro en el centro de la placa, r=0 , debe ser nulo. Tres condiciones que debe satisfacer la función w(r) y sus derivadas que nos permiten determinar las tres constantes de integración.

GIRO en r=a ( ) ( )arar r

CrCD

rqrdwd

==

++==

22

13

2160

GIRO en r=0 ( ) ( )0

22

13

0 2160

==

++==

rr rCrC

Drq

rdwd

de estas dos ecuaciones se obtiene:

8Daq - = C 0 = C

2

12

Por tanto la flecha w(r) queda como:

C + 32D

raq - 64D

rq = w(r) 3

224

y como en r=a la flecha debe ser nula:

Placas Circulares 7

64Daq = C 0=a)=w(r

4

3

luego la flecha de la placa vale:

( ) 222 ra 64D

q = w(r) −

La flecha máxima se produce en el centro de la placa r=0 y vale

w max = q a4 / 64 D Los momentos flectores Mr y Mϕ vienen dados para cada posición r por:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]νννν ϕ 31116

3116

2222 +−+=+−+= raqMraqM r En el contorno r=a se tiene:

( )( ) ( )( ) 88

22 aqMaqMararr

νϕ −=−=

==

y en el centro r=0

( )( ) ( ) ( )( )0

2

0 116 == =+−=

rrr MaqM ϕν

4.2. Borde Simplemente Apoyado. Si el borde está simplemente apoyado la flecha y el momento en el mismo, r=a, deben ser nulos. Por simetría el giro en el centro de la placa, r=0 , debe ser nulo. Tres condiciones que debe satisfacer la función w(r) y sus derivadas que nos permiten determinar las tres constantes de integración.

GIRO en r=0 ( ) ( )0

22

13

0 2160

==

++==

rr rCrC

Drq

rdwd

MOMENTO en r=a ( )( )( )ar

arr rdwd

rrdwdDM

==

+−==

ν2

20


Estas dos ecuaciones proporcionan los siguientes valores de las constantes de integración:

νν

+1+3

8Daq - = C 0 = C

2

12

Por tanto la flecha w(r) queda como:

C + r +1+3

32Daq -

64Drq = w(r) 3

224

νν

y como en r=a la flecha debe ser nula

νν

+1+5

64Daq = C

4

3

la flecha w(r) toma la forma:

( )

−

++−

= 2222

15

64)( ra

Draqrw

νν

La flecha máxima se produce en el centro de la placa y vale:

νν

+1+5

64Daq = w

4

max

Los momentos flectores Mr y Mϕ vienen ahora dados por:

( )( ) ( ) ( )[ ]ννν 31316

316

2222 +−+=−+= raqMraqM rr

El momento máximo se produce en el centro de la placa, r=0 y vale:

a q 16

)+(3 = M = M 2r

νϕ

Placas Circulares 9

5. PLACA CIRCULAR CON AGUJERO CIRCULAR EN EL CENTRO. 5.1. Momentos exteriores actuando sobre los bordes. Sea una placa circular de radio a con un agujero en el centro también circular de radio b sometida a dos momentos uniformemente repartidos M1 y M2 a lo largo de los contornos interior y exterior respectivamente.

El cortante en una sección a > r > b se anula al no existir fuerzas verticales actuando sobre la placa , Q (r) = 0 . Esta circunstancia nos proporciona la ecuación diferencial siguiente:

=

rdwd

rrd

drrd

d 10

Integrando dos veces esta ecuación se obtiene: r

C - 2

rC - = drdw 21

y una tercera integración da la flecha w(r):

C + ar C - 4

rC - = w(r) 32

21 Ln

en función de tres constantes de integración que hay que determinar considerando las condiciones de contorno.


Sí la placa está simplemente apoyada en su borde exterior, se imponen las siguientes condiciones:

M = (r)M M = (r)M 0 = )w(r 1r b=r 2r a=r a=r

las condiciones de momento se traducen en:

( ) ( ) ( ) ( ) 2221

1221 11

211

2M

aCC

DMbCC

D =

−−+=

−−+ νννν

de donde: ( )

( ) ( )( )

( ) ( )2212

22

2221

22

2

111

2baD

MMbaC

baDMbMa

C−−

−=

−+

−=

νν

La condición de w(r) = 0 para r = a nos proporciona:

( )( ) ( )22

12

222

312 baD

MbMaaC

−+

−=

ν

Por tanto la flecha w(r) de la placa viene dada por:

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) a

rLnbaD

MMbabaD

MbMararw

2212

22

221

22

222

112)(

−−

−−

−+

−−=

νν

El giro en cualquier punto de la placa viene dado por:

( )( ) ( )

( )( ) ( )22

1222

221

22

2

11

1 baDMMba

rbaDMbMa

rrdwd

−−

−−

−+

−−=

νν

Sí el giro está impedido en r=a el momento M2 que se obtiene anulando la relación anterior, coincide con el de empotramiento cuando actua un momento M1 en el borde interior. Si el giro está impedido en r=b el momento M1 obtenido anulando la relación de giro coincide con el de empotramiento cuando el borde interior tiene unas condiciones de apoyo equivalentes a una deslizadera vertical estando el borde exterior, simplemente apoyado y bajo la acción de un momento M2. Si M2 es igual a cero las relaciones anteriores se simplifican obteniendo:

( )( ) ( ) ( ) ( ) a

rLnbaD

MbabaD

Mbrarw

221

22

221

222

112)(

−−+

−+−−=

νν

Placas Circulares 11

( ) ( ) ( ) ( )221

22

221

2

11

1 baDMba

rbaDMb

rrdwd

−−+

−+=

νν

5.2. Carga vertical uniforme sobre el borde interior. Sea la placa de la figura sometida a una fuerza vertical descendente uniformemente repartida a lo largo del contorno interior (equivalente a un esfuerzo cortante inducido)

El cortante en un circulo de radio r comprendido entre a y b viene dado por:

2 Q0 π b = 2 Q π r , Q = Q0 b / r

=

rdwdr

rdd

rrdd

rbQ 10

integrando:

rCrLnrD

bQrdwdr

rdd

10 +=

rC +

2rC + 1)-

ar (2

4DbrQ

= drdw 210 Ln

C +ar C +

4rC + 1)-

ar (

4DrbQ

= w 32

21

20 LnLn

Para calcular las constantes de integración Ci es necesario imponer a w(r) las condiciones de contorno. Sí la placa considerada esta simplemente apoyada en su contorno exterior r = a entonces:


( ) 00)(2

2=

+−=

==

arar rd

wdrrd

wdDrw ν

y libre en su contorno interior r = b:

00

2

2=

+−

=rrdwd

rrdwdD ν

Tres condiciones que debe satisfacer w(r) y que permiten determinar las constantes de integración.

abLn

baba

D

bQC

abLn

bab

D

bQC 22

22

11

20

211

22

2220

1 −−+

=

+−

−−

=νν

νν

−−

+−

+=abLn

bab

D

baQC 22

2

11

211

4

20

3 νν

Sustituyendo estas constantes en la expresión anterior, se obtiene la función que representa la flecha w(r) de la placa.

−−

+−

+−−

++

+−

−−

abLn

bab

DbaQ

+ar

abLn

baba

DbQ

+abLn

bab

DrbQ

+ 1)- ar (

4DrbQ

= w2

0

22

220

22

220

22

220

11

211

4Ln

11

2

112

8Ln

νν

νν

νν

El giro en el borde r=b viene dado por:

−+

+−

++

−=

= νν

ν 111

21

224 2

2

22

220

ba

abLn

bab

abLn

DbQ

rdwd

br

Para b muy pequeño en el límite, b2 Ln b/a tiende a cero y la flecha w(r) puede escribirse como:

( ) ( )

+−

++

=arLnrra

DbQ

rw 2220

123

4)(

νν


valor que coincide con la flecha de una placa circular de radio a simplemente apoyada en su borde exterior bajo una carga puntual Q0 en el centro. Es decir un agujero muy pequeño en el centro de una placa circular no modifica su respuesta estructural. Un caso práctico especialmente interesante surge de combinar los dos casos anteriormente presentados. La situación de la figura se puede simular mediante una placa circular que compatibiliza el movimiento vertical, por medio de una reacción Q , con un elemento vertical que es infinitamente rígido al giro.

0=

+

== brQbrM rdwd

rdwd

( )( )0

111

21

224

111

1

2

2

22

22

222

22

=

−+

+−

++

−

+

+−

+−−

νν

ν

νν

ν

ba

abLn

bab

abLn

DbQ

ab

bbaDMba

de donde se obtiene la relación entre M y Q siguiente:

( )( ) ( )

++

−−

−++

=baLn

ba

ba

baQbM

2

2

2

2

2

21211

112νν

νν


conocidos Q y M(Q) se obtiene la flecha w(r) de la placa en las condiciones expuestas sumando las expresiones de wM y wQ. 5.3. Placa anular bajo carga uniforme. Siguiendo una técnica de superposición similar a la del apartado anterior y para unas condiciones de contorno de borde exterior simplemente apoyado, podemos determinar la flecha cuando sobre una placa anular, rext=a y rint=b, actua una carga uniforme q.

En una placa circular de radio r=a simplemente apoyada en su borde exterior el momento y cortante en una sección r=b vienen dados para una carga uniforme

por: ( ) ( ) ( ) ( )223162

baqMbqQ brrbr −+== == ν

La superposición de la solución de la placa circular completa con la anular cargada con -M y -Q en el rango a >r> b, satisface en r=b las condiciones de borde libre M=0 y Q=0. Por lo tanto la solución de la flecha para una placa anular a>r> b se obtiene sumando las soluciones siguientes:

(r)w + (r)w + )(rw = w(r) QMb)r(ao ≥≥


EJEMPLO Nº 1 En la placa circular de radio 5 m. de la figura sometida a una carga puntual de 10 T. en el centro E=2 . 106 T/m2 t=0,3 m. = 0 SE PIDE: Determinar la flecha w(r) : a) Cuando el perimetro exterior de la placa está simplemente apoyado. b) Cuando el perimetro exterior de la placa está empotrado. SOLUCION El cortante en una sección r viene dado por:

Q(r) = P/2 π r

=

rdwdr

rdd

rrddD

rP 1

2π

Integrando 3 veces esta ecuación diferencial ordinaria se obtiene una solución del tipo:

+++= 32

21

2

41

2)( CrLnCrCrLnr

DPrwπ

determinando las tres constantes de integración imponiendo las condiciones de borde.

BORDE EXTERIOR

a) SIMPLEMENTE APOYADO

0=C+LaC+aC+4La a 0 =)w(r 32

21

2

a=r

00242

0 22

100

==

+++=

→

=

Cr

CrCrrLnrlim

rdwd

rr

( ) 0242

243

20 11 =

+++++== aCaaLna

aC

aLnM arr

ν

)+(1 8)+(3a=C

)+(1 8+3-

4a L-=C

2

31 νν

νν


( ) ( )

+

+−+=

νν

π 123

8)( 222 ra

arLnr

DPrw

( )

−+= 22 2533,1

5000085,0)( rrLnrrw

La flecha máxima se produce en el centro y vale 0,0028 m. b) EMPOTRADO

0=C+LaC+aC+4La a 0 =)w(r 32

21

2

a=r

00242

0 22

100

==

+++=

→

=

Cr

CrCrrLnrlim

rdwd

rr

00242

0 21 ==

++=

=

CaCaaLnardwd

ar

8a=C

81-

4La-=C

2

31

−+=

28)(

222 ra

arLnr

DPrw

π

( )

−+= 22 255,0

5000085,0)( rrLnrrw

La flecha máxima se produce en el centro de la placa y vale:

w max = 0,0011 m.


EJEMPLO Nº 2 En la placa circular de la figura SE PIDE determinar

1. la flecha 2. los esfuerzos 3. las reacciones.

SOLUCION

)(00 ardrdrqrdFdMdrdrqdF −=== ϕϕ

[ ]4

52

85

2

20

20

20

5,120

2

00

5,1aqaqrqddrrqF

a

a

ar

ar

ππϕϕ π

π

==

== ∫∫

=

=

Esta fuerza está repartida en toda la circunferencia de radio a por lo que la fuerza por unidad de longitud viene dada por:

aqa

Ff 085

2==

π

a

1,5 a

q0

a 1,5 a

q0

a 1,5 a

M

q0

a

F

r dϕ

r

dr

q0


( ) [ ]3

224

423

30

30

20

5,1230

2

00

5,1aqaqarrqddrarrqM

a

a

ar

ar

ππϕϕ π

π

==

−=−= ∫∫

=

=

Este momento está repartido en toda la circunferencia de radio a por lo que el momento por unidad de longitud viene dado por:

206

12

aqa

Mm ==π

En estas condiciones:

202 02

0rqQrQrq rr −==+ ππ

( )

=−

drrdwr

drd

rdrd

Drq 1

20

( ) ( )

=+−

=+−

drrdwr

drdrC

Drq

drrdwr

drd

rC

Drq

13

01

20

41

4

( ) ( )

drrdw

rCrC

Drq

drrdwrCrC

Drq

=++−=++−1

216216 213

02

21

40

( ) ( ) 322

14

032

21

40

64464CrLCrC

DrqrwrwCrLCrC

Drq

++′+−==+++−

Las constantes C’1, C2 y C3 se determinan en función de las condiciones de contorno:

( ) 00 20

=→=

=C

drrdw

r

Qr

q0

a

q0 a2 /6

q0 5 q0 a /8


( )[ ] 32

14

064

00 CaCDaqrw ar ++−=→==

( )[ ] ( )6

216

3)0(6

20

12

02

220 aqCDaq

drrwdDsiaqrM

ararr −=′+−=

=→−=

== ν

Daqa

Daq

DaqC

DaqC

192966496

402

20

40

32

01 =−==

( ) [ ]422404

022

04

0 231921929664

ararD

qD

aqrDaq

Drqrw −−−=++−=

( ) [ ]42240 23192

ararD

qrw −−−=

( )D

aqrw192

04

0==

( ) [ ]

−==

==−−=

Daq

ar

rar

Drq

drrdw

a 24

003

483

0

0220

ϕ

ϕ

( ) [ ] ( )

−==

===−−=

6

480

0948 2

0

20

2202

2

aqMar

aqMrsiar

Dq

drrwd

r

rν

( ) [ ] ( )

−==

===−−=

24

480

0348

12

0

20

220aqMar

aqMrsiar

Dq

drrdw

rϕ

ϕν

−==

==−=

2

00

2 00 aqQar

QrrqQr

rr

492

89

285 2

0000 aqarRaqaqaqQfr rπ

π ===+=−=

que coincide con: 2

0 23

= aqR π


000-0,0361

-0,1296-0,2601-0,4096-0,5625-0,7056-0,8281-0,9216-0,9801-1 -0,7961

-1,5696

-2,3001-2,9696

-3,5625-4,0656

-4,4681-4,7616-4,9401-5

0,21720,35040,41990,44370,43750,41440,38520,35840,3399

0,3333

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Figura 1. Flecha x q0/64 D:Simplemente Apoyada, Empotrada yCon voladizo

Teoría Clásica de Placas

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