Teoria das Probabilidades - Jorge Teófilo · 06/04/2014 08:24 ESTATÍSTICA APLICADA I -Teoria das...

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06/04/2014 08:24 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

Estatística Aplicada I

Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes

Universidade Federal do Pará

Instituto de Tecnologia

Campus de BelémCurso de Engenharia Mecânica


Capítulo II

Universidade Federal do Pará

Instituto de Tecnologia

Teoria das Probabilidades

Campus de BelémCurso de Engenharia Mecânica

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� Introdução

� Aleatoriedade

� Experimento aleatório

� Espaço amostral

� Evento

� Eventos mutuamente exclusivos

� Probabilidade

Teoria das Probabilidades - Sumário


� Teoremas fundamentais

� Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos

� Espaços amostrais finitos equiprováveis

� Probabilidade condicional

� Teorema do produto

� Independência estatística

� Teorema de Bayes


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� Introdução

� Aleatoriedade



� Evento


� Probabilidade



2.1 Introdução

A estatística tem por objetivo obter, organizar e analisar dadosestatísticos, a fim de descrevê-los e explicá-los, além dedeterminar possíveis correlações e nexos causais.

A estatística se utiliza das teorias probabilísticas para explicar afrequência da ocorrência de eventos, tanto em estudosobservacionais quanto experimentais.

Em outras palavras, a estatística procura modelar a aleatoriedade

e a incerteza de forma a estimar ou possibilitar a previsão defenômenos futuros, conforme o caso.

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2.1 Introdução

� Estudo dos fenômenos de observação: deve-se distinguiro próprio fenômeno e o modelo matemático que melhor oexplique, se determinístico ou probabilístico.

� Modelo determinístico:

• Adotado para explicar fenômenos submissos às leissistemáticas.

• Baseia-se, portanto, num encadeamento em que arelação causa-efeito pressupõe nexos definidos emforma unívoca e imutável.


2.1 Introdução

� Modelo probabilístico:

• Adotado para explicar os fenômenos aleatórios, quesão aqueles cujos resultados, mesmo em condiçõesnormais de experimentação, variam de umaobservação para outra, dificultando dessa maneira aprevisão de um resultado futuro.

• Portanto, esses fenômenos são insubmissos às leissistemáticas, pois são regidos ou influenciados peloacaso.

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2.1 Introdução

� A estatística estuda os fenômenos aleatórios e o modelomatemático será o cálculo das probabilidades.

� Diante de um acontecimento aleatório é possível, àsvezes, atribuir-lhe uma lei ou distribuição de

probabilidade.


� Introdução

� Aleatoriedade



� Evento


� Probabilidade


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2.2 Aleatoriedade

� Aleatoriedade ou acontecimento aleatório pode ser explicadoconsiderando-se as seguintes afirmações:

a- Se x + 8 = 3x – 4, então x = 6;b- A próxima carta retirada de um baralho será um ás.

• A afirmação a pode ser confirmada ou negada de formaconclusiva, utilizando-se elementos da matemática; éuma afirmação categórica (verdadeira ou falsa).

• Na afirmativa b, entretanto, somente pode ser afirmadoque o fato é possível, mas que é possível, também, asaída de qualquer uma das 52 cartas do baralho.


2.2 Aleatoriedade

� No segundo caso somente a realização do experimentopermitirá estabelecer se a afirmação é falsa ou verdadeira;trata-se de um acontecimento aleatório

� Em geral, os acontecimentos aleatórios se caracterizam poradmitirem dois ou mais resultados possíveis, e não se temelementos de juízo suficientes para predizer qual delesocorrerá em um determinado experimento.

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� Introdução

� Aleatoriedade


� Espaços amostral

� Evento


� Probabilidade



2.3 Experimento Aleatório

� Características:

Para que um experimento seja considerado aleatório énecessário que apresente as seguintes características:

1. Cada experimento poderá ser repetido indefinidamentesob as mesmas condições;

2. Não se conhece, a priori, um particular valor doexperimento; entretanto, pode-se descrever todos ospossíveis resultados (as possibilidades);

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� Características:

3. Quando o experimento for repetido um grande númerode vezes, surgirá uma regularidade na apresentação dosresultados, ou seja, ocorrerá uma estabilização dafração freqüência relativa:

n

rf =

onde: n é o número de repetições, er é o número de sucessos de um particular

resultado estabelecido antes da realização doexperimento.



� Exemplos:

• Jogar um dado e observar o número mostrado na face superior.

• Jogar uma moeda um certo número de vezes e observar o número de coroas obtidas.

• Contar o número de peças defeituosas da produção diária da máquina “A”.

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� Introdução

� Aleatoriedade



� Evento


� Probabilidade



2.4 Espaço Amostral

� Definição:

• Para cada experimento aleatório E, define-se espaçoamostral S como o conjunto de todos os possíveisresultados desse experimento (Fonseca e Martins, 1996).

- Exemplos:

a) E: jogar um dado e observar o número na face superior.S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

b) E: lançar duas moedas e observar o resultado.S = {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)}, onde c- cara e k- coroa.

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- Exemplos:

c) E: Fabricar um lâmpada, colocá-la em um suporte,acendê-la e registrar o tempo de funcionamento atéfundir o filamento:S = {t : t ≥ 0}

d) E: Registrar a temperatura continuamente durante umperíodo de 24 horas em uma determinada localidade;as temperaturas mínima e máxima são registradas:S = {(x, y) : x ≤ y}, onde x é a temperatura mínima e y a

máxima



- Exemplos:

e) E: Admitir que a temperatura mínima nessa localidade não poderá ser menor que um certo valor (m) e a temperatura máxima não poderá ser superior a um certo valor (M).S = {(x, y) : m ≤ x ≤ y ≤M}

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� Introdução

� Aleatoriedade



� Evento


� Probabilidade



2.5 Evento

� Definição:

• É um conjunto de resultados do experimento.

• Em analogia com os conjuntos, é um subconjunto de S.

Observação: - Em particular, o espaço amostral, S, e o conjunto vazio,

, são eventos.- S é dito o evento certo e o evento impossível.

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2.5 Evento

- Exemplo 1:

E: lançar o dado e observar o número da face superior.S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Eventos:A: ocorrer número par: A = {2, 4, 6}

B: ocorrer número impar: B = {1, 3, 5}

C: ocorrer número múltiplo de 2 e 3: C = {6}.


2.5 Evento

- Exemplo 2:

E: jogar três moedas e observar o resultado.S = {(c, c, c), (c, c, k), (k, c, c), (c, k, c),

(k, k, k), (k, k, c), (c, k, k), (k, c, k)}

Eventos:A: ocorrer pelo menos duas caras:

A = {(c, c, k), (k, c, c), (c, k, c), (c, c, c)}

B: ocorrer somente coroa: B = {(k, k, k)}.

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2.5 Evento

• Observações:

- Sendo S um espaço amostral finito com n elementos, pode-se verificar que o número total de eventos extraídos de S é dado por 2n;

- No exemplo 1 (lançamento do dado), o número total de eventos é 26 = 64.


2.5 Evento

• Observações:

- A partir do uso das operações com conjuntos, novos eventos podem ser formados:

a) é o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem;

b) é o evento que ocorre se A e B ocorrem simultaneamente;

c) é o evento que ocorre se A não ocorre.

BA ∩∩∩∩

BA ∪∪∪∪

A

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2.5 Evento

- Exemplo:

E: lançar um dado e observar o resultado.

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = ocorrer número múltiplo de 2: A = {2, 4, 6}

B = ocorrer número múltiplo de 3: B = {3, 6}

= {2, 3, 4, 6}

= {6}

= {1, 3, 5}

= {1, 2, 3, 4, 5}

BA ∪∪∪∪

BA ∩∩∩∩

A

BA ∩∩∩∩


� Introdução

� Aleatoriedade



� Evento


� Probabilidade


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2.6 Eventos Mutuamente exclusivos

� Dois eventos A e B são denominados mutuamenteexclusivos se os mesmos não puderem ocorrersimultaneamente, ou seja, φφφφ====∩∩∩∩ BA

• Exemplo: E: lançar um dado e observar o resultado.S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = ocorre número par – A = {2, 4, 6}

B = ocorrer número ímpar – B = {1, 3, 5}

;logo, A e B são mutuamente exclusivos, pois aocorrência de um número que seja par e ímpar nãopode ser verificada como decorrência do mesmo evento.

φφφφ====∩∩∩∩ BA


� Introdução

� Aleatoriedade



� Evento


� Probabilidade


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2.7 Probabilidade

� Definição:

- Dado um experimento aleatório E, sendo S o seu espaço amostral, a probabilidade de um evento A ocorrer, P(A), é uma função definida em S que associa a cada evento um número real, satisfazendo os seguintes axiomas:

(i) 0 ≤ P(A) ≤ 1;

(ii) P(S) = 1;

(iii) Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos , então )B(P)A(P)BA(P ++++====∪∪∪∪φφφφ====∩∩∩∩ BA










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2.8 Teoremas Fundamentais

• T1: Se é o conjunto vazio, então .

• Demonstração:

- Seja A um evento qualquer, A e são disjuntos, pois ;

- De (iii), temos que ;

- Como , então ou

- Logo .

φφφφφφφφ ====∩∩∩∩A

)(P)A(P)A(P φφφφφφφφ ++++====∩∩∩∩

AA ====∪∪∪∪φφφφ )(P)A(P)A(P φφφφ++++====

0)(P ====φφφφ

0)(P ====φφφφ

φφφφ

φφφφ

)A(P)A(P)(P −−−−====φφφφ



• T2: Se Ā é o complemento do evento A, então P(Ā) = 1 – P(A).

• Demonstração:

- Do diagrama, pode-se escrever .

- Como (são mutuamente exclusivos),

;

- De (ii) 1 = P(A) + P(Ā),

- Logo P(Ā) = 1 – P(A).

AAS ∪∪∪∪====

)A(P)A(P)AA(P ++++====∪∪∪∪

)A(P)A(P)S(P ++++====

AĀ

S

φφφφ====∩∩∩∩ AA

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• T3: Se , então P(A) ≤ P(B).

• Demonstração:

- Do diagrama, pode-se escrever que .

- Como (são mutuamente exclusivos),,

e

P(B) – P(A) ≥ 0, (de i), tem-se que

P(A) ≤ P(B).

)BA(AB ∩∩∩∩∪∪∪∪====

)BA(P)A(P)B(P ∩∩∩∩++++====

)A(P)B(P)BA(P −−−−====∩∩∩∩

S

AB

φφφφ====∩∩∩∩∩∩∩∩ )BA(A

BA ⊂⊂⊂⊂


• T4: (Teorema da soma) Se A e B são dois eventos quaisquer, então .

• Demonstração: a) Se A e B são mutuamente exclusivos , recai-se no axioma (iii);


)BA( φφφφ====∩∩∩∩

)BA(P)B(P)A(P)BA(P ∩∩∩∩−−−−++++====∪∪∪∪

AB

BA ∩∩∩∩

S

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• Demonstração:

b) Se A e B não são mutuamente exclusivos , tem-se:

- Os eventos A e são mutuamente exclusivos; logo, pelo axioma (iii)

- Mas , B é a união dos eventos mutuamente exclusivose ;

- Logo,


)BA( φφφφ≠≠≠≠∩∩∩∩

)BA( ∩∩∩∩

)BA(P)A(P)BA(P)]BA(A[P ∩∩∩∩++++====∪∪∪∪====∩∩∩∩∪∪∪∪

)AB( ∩∩∩∩ )AB( ∩∩∩∩

).BA(P)BA(P)B(P ∩∩∩∩++++∩∩∩∩====A

BBA ∩∩∩∩

S


• Demonstração:

- Substituindo o valor de na expressão anterior, tem-se:

- Analogamente, para três eventos tem-se:


)BA(P)B(P)A(P)BA(P ∩∩∩∩−−−−++++====∪∪∪∪

)BA(P)B(P)BA(P ∩∩∩∩−−−−====∩∩∩∩

)CBA(P

)CB(P)CA(P)BA(P

)C(P)B(P)A(P)CBA(P

∩∩∩∩∩∩∩∩++++

++++∩∩∩∩−−−−∩∩∩∩−−−−∩∩∩∩−−−−

−−−−++++++++====∪∪∪∪∪∪∪∪

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� Teoremas Fundamentais









• Seja S um espaço amostral finito S = {a1, a2, ..., an}.

• Considere-se o evento formado por um resultado simples A = {ai}.

• A cada evento simples {ai} associa-se um número pi

denominado probabilidade de {ai}, que satisfaz as condições: a) pi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n

b) p1 + p2 + ...+ pn = 1

• A probabilidade de cada evento composto (mais de um elemento) é definida, então, pela soma das probabilidades dos pontos de A.

2.9 Probabilidades Finitas dos S Finitos

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• Exemplo: Três cavalos A, B e C estão em uma corrida. Se Atem duas vezes mais probabilidades de ganhar de B, e B tem duas vezes mais probabilidade de ganhar de C, quais são as probabilidades de cada um dos cavalos ganhar? Qual seria a probabilidade de B ou C ganhar?

• Solução:P(C) = p ; P(B) = 2.P(C) = 2p ; P(A) = 2.P(B) = 4p

Como P(A) + P(B) + P(C) = 1, então4p + 2p + p = 1, de onde se obtém p = 1/7.

Logo: P(A) = 4/7; P(B) = 2/7 e P(C) = 1/7.



• Solução (continuação):

- Qual a probabilidade de B ou C ganhar?

Do axioma (iii):

= 2/7 + 1/7 = 3/7.)C(P)B(P)CB(P ++++====∪∪∪∪


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• O espaço amostral chama-se equiprovável quando à cada ponto amostral desse espaço está associada a mesma probabilidade.

• Portanto, se S contém n pontos, então a probabilidade de cada ponto será igual a 1/n.

• Se um evento A contém r pontos, então:

2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis

====

n

1.r)A(P

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• Frequentemente, este método de avaliar a probabilidade é enunciado da seguinte forma:

)casosdetotalºn(NTC

)favoráveiscasosdeºn(NCF)A(P

ou

ocorreSamostralespaçooqueemvezesdeºn

ocorrerpodeAeventooqueemvezesdeºn)A(P

====

====



• Exemplo 1: Numa escolha aleatória de uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de sair um rei? e uma carta de copas?

• Solução: Seja A = {a carta é um rei} e B = {A carta é de copas}

4

1

52

13

cartasdetotalºn

copasdecartasdeºn)B(P

13

1

52

4

cartasdetotalºn

reisdeºn)A(P

============

============


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• Na maioria dos casos, utiliza-se os conhecimentos de análise combinatória (Teoria de Contagem) para se obter o número de casos favoráveis e o número total de casos.

• Exemplo 2: De um lote de doze peças onde quatro são defeituosas, retira-se duas peças. Calcular a probabilidade:a) de ambas serem defeituosas;b) de ambas não serem defeituosas;c) de pelo menos uma ser defeituosa.



• Soluções:

a) A = {ambas são defeituosas}

11

1

66

6

NTC

NCF)A(P,Logo

vezes66!10.1.2

!10.11.12

)!212(!2

!12CocorrerpodeS

vezes6!2.1.2

!2.3.4

)!24(!2

!4CocorrerpodeA

2,12

2,4

===

==−

=

==−

=


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• Soluções:

b) B = {ambas não são defeituosas}

33

14

66

28

NTC

NCF)B(P,Logo

vezes66!10.1.2

!10.11.12

)!212(!2

!12CocorrerpodeS

vezes28!6.1.2

!6.7.8

)!28(!2

!8CocorrerpodeB

2,12

2,8

===

==−

=

==−

=



• Soluções:

c) C = {pelo menos uma é defeituosa}

33

19

33

141)B(P1)C(P

BCouBdeocomplementoéC

=−=−=

=


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• Considere o experimento aleatório E: lançar um dado e observar o resultado, e o evento A = {sair o nº 3}. EntãoP(A) = 1/6.

• Considere agora o evento B = {sair um nº ímpar} = {1, 3,5}, então P(B) = 1/2.

• A probabilidade de ocorrer o evento A condicionada à ocorrência do evento B, representada por P(A/B), será P(A/B) = 1/3.

2.11 Probabilidade Condicional

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• Com a informação da ocorrência do novo evento, reduz-se o espaço amostral. No exemplo dado, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} foi reduzido para S* = {1, 3, 5}, e é neste espaço reduzido que a probabilidade do novo evento é avaliada.

• Definição: Se A e B são dois eventos, a probabilidade do evento A ocorrer quando o evento B tiver ocorrido é denominada probabilidade condicionada, P(A/B), dada por:

.ocorreujápois,0)B(P,)B(P

)BA(P)B/A(P ≠≠≠≠

∩∩∩∩====



• Para o exemplo apresentado, tem-se:

3

1

21

61

)B(P

)BA(P)B/A(P ========

∩∩∩∩====

• No caso de aplicações mais complexas, é mais prático se utilizar a seguinte fórmula:

)B(NCF

)BA(NCF

NTC)B(NCF

NTC)BA(NCF

)B(P

)BA(P)B/A(P

∩∩∩∩====

∩∩∩∩

====∩∩∩∩

====


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• Exemplo: No experimento do lançamento de dois dados, considere os eventos: A = {(x1,x2)|(x1 + x2) = 10} e B = {(x1,x2)| x1 > x2}, onde x1 é o resultado do dado 1 e x2 o resultado do dado 2. Avalie P(A), P(B) e P(B/A).

• Soluções:S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), A = {(6,4), (5,5), (4,6)}

(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), B = {(2,1), (3,1), (4,1), (5,1),

(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (6,1), (3,2), (4,2), (5,2),

(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,2), (4,3), (5,3), (6,3),

(5,1), (5,2), (5,3). (5,4), (5,5), (5,6), (5,4), (6,4), (6,5)}

(6,1). (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} A ∩ B = {(6,4)}



• Soluções:

.3

1

)A(NCF

)BA(NCF)A/B(P

;15

1

)B(NCF

)BA(NCF)B/A(P

;12

5

36

15

NTC

)B(NCF)B(P

;12

1

36

3

NTC

)A(NCF)A(P

====∩∩∩∩

====

====∩∩∩∩

====

============

============


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• O Teorema do Produto pode ser enunciado a partir da definição de probabilidade condicional, como:

“A probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos, A e B, do mesmo espaço amostral, é igual ao produto da probabilidade de um deles ocorrer pela probabilidade condicional do outro em relação ao primeiro”.

• Assim:

2.12 Teorema do Produto

)A/B(P).A(P)BA(P)A(P

)BA(P)A/B(P

)B/A(P).B(P)BA(P)B(P

)BA(P)B/A(P

====∩∩∩∩⇒⇒⇒⇒∩∩∩∩

====

====∩∩∩∩⇒⇒⇒⇒∩∩∩∩

====

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• Exemplo: Em um lote de peças contendo doze unidades onde quatro são defeituosas, duas são retiradas, uma após a outra, sem reposição. Qual a probabilidade de que ambas não sejam defeituosas?

• Solução: A = { a primeira peça retirada é boa}

B = {a segunda peça retirada é boa}

33

14

11

7

12

8)B/A(P).B(P)BA(P ====⋅⋅⋅⋅========∩∩∩∩

2.12 Teorema do Produto










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• Definição: Um evento A é considerado independente de um outro evento, B, se a probabilidade de A é igual a probabilidade de A condicionada a B, ou

2.13 Independência Estatística

)B/A(P)A(P ====

)A/B(P)B(P ====

Se A é independente de B, então B é independente de A; logo:

- Do teorema do produto, pode-se afirmar que, se A e B são independentes, então:

)B(P).A(P)BA(P ====∩∩∩∩


- Dados n eventos A1, A2, ..., An, diz-se que eles são independentes se o forem 2 a 2; 3 a 3, ..., n a n, isto é:

)A(P).A(P...).A(P).A(P).A(P)A...AA(P

)A(P).A(P).A(P)AAA(P

...;);A(P).A(P).A(P)AAA(P

)A(P).A(P)AA(P...;);A(P).A(P)AA(P

n1n321n21

n1n2nn1n2n

321321

n1nn1n2121

−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−

====∩∩∩∩∩∩∩∩

====∩∩∩∩∩∩∩∩

====∩∩∩∩∩∩∩∩

====∩∩∩∩====∩∩∩∩


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• Exemplo 1: Uma caixa contém doze peças, sendo quatro defeituosas; retira-se duas peças, uma após a outra, com reposição. Calcular a probabilidade de ambas não possuírem defeitos?

• Solução: A = {a primeira peça não possui defeito}

B = {a segunda peça não possui defeito}

- Como a primeira peça foi reposta, B não é condicionado por A, ou seja, A e B são independentes; logo:

9

4

12

8

12

8)B(P).A(P)BA(P ====⋅⋅⋅⋅========∩∩∩∩



• Exemplo 2: Sendo S = {1, 2, 3, 4} um espaço amostral equiprovável, e A = {1, 2}, B = {1, 3} e C = {1, 4} eventos de S, verificar se estes eventos são independentes.

• Solução: S = {1, 2, 3, 4};

A = {1, 2}; B = {1, 3}; C = {1, 4};

}1{CBA

};1{CB};1{CA};1{BA

====∩∩∩∩∩∩∩∩

====∩∩∩∩====∩∩∩∩====∩∩∩∩


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4

1)C(P).A(P)CA(P

:olog;4

1)CA(P;

2

1

4

2)C(P;

2

1)A(P:CeAPara

4

1)B(P).A(P)BA(P

:olog;4

1)BA(P;

2

1

4

2)B(P;

2

1

4

2)A(P:BeAPara

========∩∩∩∩

====∩∩∩∩============

========∩∩∩∩

====∩∩∩∩================




8

1)C(P).B(P).A(P

4

1)CBA(P

:olog

;4

1)CBA(P;

2

1)C(P;

2

1)B(P;

2

1)A(P:CeB,APara

4

1)C(P).B(P)CB(P

:olog;4

1)CB(P;

2

1)C(P;

2

1)B(P:CeBPara

====≠≠≠≠====∩∩∩∩∩∩∩∩

====∩∩∩∩∩∩∩∩============

========∩∩∩∩

====∩∩∩∩========

- Portanto, os eventos A, B e C não são independentes.


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• Sejam A1, A2, A3, ..., An, n eventos mutuamente exclusivos, tais que .Sejam (Ai) as probabilidades conhecidas dos vários eventos, e B um evento qualquer de S, tal que são conhecidas todas as probabilidades condicionais P(B/Ai).

Então, para cada i, tem-se:

que é o Teorema de Bayes.

SA...AAA n321 ====∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪

)A/B(P).A(P...)A/B(P).A(P)A/B(P).A(P

)A/B(P).A(P)B/A(P

nn2211

iii

++++++++++++====

2.14 Teorema de Bayes

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• Exemplo: Tem-se três urnas (u1, u2, u3), cada uma contendo bolas pretas, brancas e vermelhas, nas quantidades mostradas no quadro abaixo. De uma urna escolhida ao acaso retira-se uma bola também ao acaso, verificando-se que a mesma é branca. Qual a probabilidade da bola escolhida ter vindo da urna 2? e da urna 3?

Cores / Urnas u1 u2 u3

P (preta)

B (branca)

V (vermelha)

3

1

5

4

3

2

2

3

3



Solução:

;8

3)u/B(P;

3

1

9

3)u/B(P;

9

1)u/B(P

;3

1)u(P;

3

1)u(P;

3

1)u(P

321

321

================

============

Cores / Urnas u1 u2 u3

P (preta)

B (branca)

V (vermelha)

3

1

5

4

3

2

2

3

3


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36



59

8)B/u(P1)B/u(P)B/u(P)B/u(P

59

27)B/u(P

59

24

8

3

3

1

3

1

3

1

9

1

3

13

1

3

1

)u/B(P).u(P)u/B(P).u(P)u/B(P).u(P

)u/B(P).u(P)B/u(P

1321

3

332211

222

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⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

====

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Teoria das Probabilidades

FIM

Teoria das Probabilidades - Jorge Teófilo · 06/04/2014 08:24 ESTATÍSTICA APLICADA I -Teoria das...

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