UNIVERSIDAD TCNICA DEL NORTE FACULTAD DE EDUCACIN CIENCIA Y TECNOLOGANombre: Jos Miguel Carapaz Franklin Guancha Manuel Imbaquingo Ricardo TituaaNivel: 8vo FIMA Fecha: 2 013 07 09

ALGEBRA ABSTRACTATema: ANILLOSLa moderna teora de anillos tiene sus comienzos a partir de los aos 1920 con los trabajos de Noether, Artin y Krull, entre otros. Aunque le debemos la primera definicin formal de anillo a Dedekind, el centro su estudio en anillos de enteros algebraicos. Definicin:Un anillo es un conjunto no vaco dotado de dos operaciones bsicas: suma (+) y producto (x). La notacin de un anillo es (A, +, .).Todo conjunto para ser anillo debe cumplir las siguientes propiedades. Sea A un anillo con elementos (a , b , c) R, se verifica:Adicina, b, A, a+b A1. Propiedad asociativa: a, b, c A, a + ( b + c ) = ( a + b ) + c2. Propiedad conmutativa: a, b A, a + b = b + a3. Neutro aditivo (cero): a A, 0 A tal que 0 + a = a + 0 = a4. Simtrico Aditivo (opuesto): a A a A tal que a + (a) = a + a = 0NOTA: Si A cumple con las cuatro propiedades se considera, A es grupo abeliano respecto a +.

Productoa, b A, a b A1. Propiedad Asociativa: a, b, c A, a ( b c ) = ( a b ) c2. Propiedad Distributivaa, b, c A, a ( b + c ) = ab + aca, b, c A, ( a + b ) c = ac + bcEjemplos:1. Se considera clasificacin de los nmeros

Entonces se puede concluir que Z, Q, R, C son conjuntos que se consideran a la vez anillos.2. Sea R el conjunto de las funciones continuas definidas sobre [0,1] y evaluadas en los reales. Verifique si R es un anillo.Respuesta: se define el producto y la suma de dos funciones cualesquiera, a saber: f y g.(f + g)(t) = f(t) + f(g)(f . g)(t) = f(t) . g(t)

3. Sean A y B anillos. Demuestre que el producto cartesiano A x B es un anillo con suma y producto coordenada a coordenada, es decir:(a, b) + (c, d) = (a + c; b + d) y (a, b) x (c, d) = (ac; bd)A este anillo se le llama el producto directo externo de A y B.

PropiedadesSea (A, +, .) un anillo, y para cada a, b, c A se cumple que:1. a + b = a + centonces,b = c2. a + a = a entonces, a = 03. ( a ) = a4. 0 . a = a . 0 = 05. ( a ) . b = a . ( b)6. ( a ) . ( b) = a . b7. (a + b) = a b8. a . (b c) = a . b a . c9. (n . a) . b = a . (n . b) = n . (a . b); n Z

SubanilloEn lo particular se puede ver que existen anillos que contienen como subconjunto otros anillos, por ejemplo, el anillo de los nmeros reales contiene el anillo de los enteros, el anillo de los complejos contiene el anillo de los enteros gaussianos, entre otros.Definicin:Un subconjunto S de un anillo (A,+, .) es un Subanillo de A si:I. 1 SII. a, b S entoncesa b S (es decir; a + (-b) S)III. a, b S entonces a . b S NOTA: Todo anillo (A,+, .) tiene por lo menos dos subanillos, que son: {0} y A. Estos subanillos son llamados impropios (o triviales). Cualquier otro subanillo de A se llama subanillo propio.