TEORÍA DE CIRCUITOS II -...

Ing. Oscar Galvez Página 1

TEORÍA DE CIRCUITOS II

4 Año – Ingeniería Electrónica – F.R.T. U.T.N.

Filtros Eléctricos

(colaboración del alumno Esteban Aredez)

Concepto: Un filtro de onda eléctrica es un cuadripolo selectivo que transmite

libremente ondas eléctricas que cuentan con frecuencias dentro de una o más bandas

y que atenúan ondas eléctricas que poseen otras frecuencias.

Filtro ideal: Es aquel filtro que transmitirá libremente en la banda de transmisión libre y

que atenuará en forma abrupta las frecuencias que se encuentran en la banda de

atenuación. Un filtro ideal esta compuesto internamente por un elemento reactivo,

inductores y capacitores únicamente, debido a que si tiene una R el filtro disipara

indudablemente algo de energía que se desea para la carga. El filtro ideal por lo tanto

no disipa energía.

Distintos Tipos:

Pasa Bajo

Pasa Alto


Pasa Banda

Supresor de Banda

Gráficos de los diferentes tipos de filtros


Diseño por perdida por inserción

Una manera de diseñar un filtro es el de convenir una perdida apropiada por inserción

Si V2 es el voltaje en las terminales de la carga con el filtro, y Vo es el voltaje entre las

terminales de la carga antes de insertar el filtro, con E ctte:

Razón de V de inserción

Para aproximarse a un filtro ideal V2/V0 debería ser 1 en bandas de transmisión libre y

tan pequeña como sea posible en banda de transmisión.

Para diseñar este filtro V2/V0 debe ser consideradas una función de transferencia de

variable compleja S

E

V2

Rl Filtro

rg


En las graficas pueden verse intuitivamente que los polos de este arreglo en el plano S,

soportaran la superficie de manera que V2/V0 será aproximadamente constante, dentro

de la banda discada de Tx o sea de 0 a ωc (frecuencia de corte) y que los ---- sobre el

eje jω empujaran la función hacia abajo como se desea para altas frecuencias.

Diseño por Atenuación de Impedancia

Si se tiene un filtro que termina en impedancia característica Z0 , las perdidas de voltaje

por inserción son iguales a la atenuación α del filtro

En la figura se traza IV2/V1I para un filtro de pasa bajo su magnitud es constante, un 1

alo largo de la banda de transmisión donde V2 debería ser igual a V1 y en la banda de

atenuación V2 disminuye hasta cero.

Como sabemos los circuitos físicos reales, están compuestos por R, L, C y el

comportamiento de los circuitos pueden ser descriptos por funciones racionales. La

característica del filtro ideal puede aproximarse pero no obtenerse por arreglos de

polos y ceros. Sin embargo, encontramos que la figura anterior puede obtenerse

exactamente, si suponemos que el filtro termina en una impedancia de imagen Z0 que

varia con la frecuencia. Esta suposición no es físicamente posible. Esta podría

obtenerse únicamente si las frecuencias fueran aplicadas una a la vez, cambiando la

impedancia terminal para que correspondiese.

Los filtros no operan de esta manera haciendo esta suposición de terminación en

impedancia imagen, veremos que realmente nos aproximamos a la situación deseada.


a a

a

b

c

Parámetros Tx

Las características deseadas para el filtro pasa bajo puede obtenerse tanto de un

cuadripolo T o un cuadripolo π, estipulando que la impedancia terminal es igual a la

impedancia imagen de dicha red. Para demostrar esto debemos tener en cuenta las

características de transmisión de dichos cuadripolos los cuales deben ser pasivos

simétricos y bilaterales.

Si a dibujado una red de dos puertos simétrica, la cual está caracterizada por las

funciones A, B, C, D, como es simétrica D=A. Los parámetros de este cuadripolo son:

Todas son funciones de “s”

El valor de Z0 puede encontrarse en función de A, B, C que caracterizan la red

dividiendo miembro a miembro las ecuaciones anteriores tenemos que:

Dividiendo numerador y denominador por I’2

Como Ze=Zc(Z de carga)=Zo (Z caract.)

+ V1 -

+ V1 -

+ V2 -

+ V2 -

I1

I1

I`2

I`2

c d

b


Impedancia caract. De un cuadripolo positivo, bilateral y simétrico

Esta es la impedancia imagen expresada en función de B y C pero usualmente se la

escribe en función de Zicc y Zica (imp. De entrada en circuito abierto y en corto circuito),

que son parámetros calculables desde las terminales de estrada.

Como D=A

Sustituyendo esta ultima en la expresión para la impedancia caract. Zo nos queda:

La impedancia caract. En un filtro eléctrico tiene como finalidad permitir la máxima

transferencia de energía.


Trabajando con el recíproco de V2/V1 o sea V1/V2 que es la función de transferencias

inversa, ya que es común cuando se conectan cuadripolos de transmisión en cascada

(filtro).

Y como Z2=Zo tenemos que I2=V2/Zo reemplazando

Como el determinante de los parámetros de transmisión del cuadripolo positivo bilateral

es:

Despejando y considerando A=D

reemplazando


Introduciendo una nueva contante arbitraria γ que la definimos como:

este nuevo parámetro γ es complejo y hace que la relación V1/V2 sea muy simple. γ

recibe el nombre de constante de propagación

+j

Podemos relacionar las funciones de propagación con las impedancias de entrada en

corto circuito y circuito abierto para ver como se combina con la impedancia imagen

para darnos el comportamiento de estos parámetros en la banda de trasmisión libre,

como en la de atenuación.

Esta fórmula nos sirve para estudiar la propagación de la señal en función de sus

impedancias Zecc y Zeca

Podemos hacer un estudio más detallado:


Ahora teniendo en cuenta los cuatro casos posibles que pueden presentar los circuitos

puramente reactivos podemos construir una tabla y ver cómo influyen sobre la

impedancia imagen y la función de propagación determinar las frecuencias de

transmisión libre y atenuación

C

Casos

Z

Zeca

Z

Zecc

1

1

j

Xa

-

jXb

2

2

-

jXa

j

Xb

2

3

j

Xa

j

Xb

3

4

-

jXa

-

jXb

Donde Xa y Xb son números reales positivos

Analisis de los casos 1, 2 (distinto signo)(la impedancia caract. Es una resistencia pura)

Demuestra que senhα.coshα=0 puesto que es porque con α=0 la atenuación será nula

si Zo es una resistencia pura.


Analisis del caso 3, 4 (igual signo)

la impedancia Zo es una impedancia pura

alRetanh

senβcosβ=0 por lo tanto senhα.conhα debe ser mayor que cero y tiene que haber

atenuación, esto sucede cuando Zo es una reactancia pura.

Del análisis cualitativo anterior podemos concluir que la impedancia imagen de

cualquier cuadripolo reactivo es real para la frecuencia de la banda de transmisión, e

imaginario para frecuencias de la banda de atenuación.

Esto puede deducirse debido a que la función de propagación es imaginaria para

reactancias de distinto signo lo cual me indica que α=0 (no hay atenuación) pero si

desfasaje entre la señal de entrada y salida. Pero cuando la función de propagación es

real, existen una gran atenuación de la señal y la contante de fase β=0, esta se da para

reactancias de igual signo-

Esto es válido para cuadripolos de cualquier forma. Si las redes son puramente

reactivas las Zeca y Zecc deben ser puramente imaginarias. Ambas pueden ser tanto

imaginarias positivas o negativas, dependiendo de la frecuencia.

Con este criterio desarrollado nos disponemos a esbozar en forma aproximada las

curvas de reactancia de Zecc y Zeca para filtros escaleras LC.


Para tal propósito hacemos variar la frecuencia y observamos cómo cambian las

reactancias de capacidades o inductivas según aumente la frecuencia.

Al variar la frecuencia puede variar el valor y carácter de Zeca y Zecc. Dentro de una

gama de frecuencias Zo puede ser una resistencia pura, mientras que dentro de otra

gama ella puede ser una reactancia pura.


Como vemos las zonas donde las impedancias de entrada de circuito abierto y

cortocircuito son del mismo signo, la que implica una impedancia imagen imaginaria

forman la banda de frecuencia de atenuación.

De igual modo las reactancias de distinto signo, la que implica una impedancia imagen

real, forman la banda de transmisión libre.

Se define frecuencia crítica, a la frecuencia donde la curva de reactancia cambia de

signo.

Frecuencia de corte: es la frecuencia que limita una banda de otra.

Como trabajan los filtros: (colaboración del alumno Aparicio Armando Lorenzo) en la

banda de atenuación los filtros no absorben potencia, actúan reteniendo la potencia, se

buscan admitir potencia en sus terminales de entrada.

Si consideramos que una fuente está conectada a través de un filtro a una carga de

impedancia imagen a la frecuencia de la banda de transmisión libre, la potencia entra al

filtro y pasa a través de él a la carga, la fuente, alimentando a las terminales de entrada

del filtro, de resistencia pura (o casi pura).

En la banda de atenuación, la potencia no puede entrar al filtro, la fuente de reactancia

pura (o casi pura)

Aunque puede haber, tanto corriente como voltaje, existe potencia (o muy poca) que

entre al filtro por que la corriente y el voltaje están fuera de fase.

Si Zo es una resistencia pura, el filtro absorbe potencia de un generador, dado que los

elementos del filtro no pueden absorber potencia alguna, toda la potencia de entrada

debe ser transferida a la carga.

Si Zo de un filtro es una reactancia pura, ella no absorbe potencia alguna del generador

y la tensión y la corriente guardan una diferencia de fase de 90°.


Filtros de red inversa: (secciones K constante)

Vamos a tener presente que tanto en la red T como en la II la reactancia total en serie

como en línea se llamara Xa. Y la reactancia en paralelo de la línea a línea se llamara

Xb (los elementos en paralelo de la II se combinan en paralelo para hacerlos igual a

Xb).

½ Xa ½ Xa

Xb

Xa

2Xb 2Xb

Si calculamos la impedancia imagen para el filtro T.

Zecc=1/2 Xa+1/2 XaXb=1/4 Xa+1/2 XaXb+1/2 XaXb=1/4 Xa+XaXb

1/2Xa+Xb ½ Xa+Xb ½ Xa+Xb

2 2

Zecc=1/4 Za+ZaZb

1/2Za+Zby

Zeca=1/2+Za+Zb

La impedancia imagen de la red T es:

2

Zecc*Zca=1/4Za + ZaZb

2

ZoT= 1/4 Za + ZaZb =

2

ZoT= -(XaXb +1/4 Xa)

La impedancia imagen de la red II podemos calcularla a partir de la impedancia imagen

para la red T, debido a la siguiente relación reciproca.

ZoT*ZoII = Z =-XaXb => ZoII = -XaXb

Y ZoT


Pasa bajo

Las figuras muestran una sección T y otra II para las cuales

C

1/2 L 1/2 L

2

Xa=wL

Xb= - 1

wcK=Za*Zb

1/2 C

L

1/2 C

Xa,Xb varían de una manera inversa con la frecuencia. Estos filtros reciben el nombre

de K constante si se define


- 4 X b = 4 / w c

X a = W L

X

fP a s o f ea t e n u a c i o n

Podemos calcular K para las secciones T y II y encontrar que k es constante o sea

independiente de la frecuencia.

2

K=ZaZb= - XaXb = wL 1/wc = Lc

El valor de la frecuencia de corte es:

Xa = -4Xb

WcL= 4 1/wcC => Wc=4/LC2

Wc=2II fc

2IIfc = 2 => fc = 1

II Lc Lc

Las impedancias imagen de la red T es:

ZoT = wL 1 -1/4 w L 2 2

wc= L - w L

c 4

2 2

Es interesante demostrar que la inversa para ZaaT es circular, elevando al cuadrado la

ecuación anterior.

ZoT = L - 1 w L .. K= L , Wo= 4 => 1 = Lc 4 c

W o c 4


Dividiendo ambos miembros para K y reacomodando nos queda

ZoT= k - w L => ZoT = k - w K

Wc C W c

2 2 2 2 2

2

22

2

ecuación de circunferencia

IIpasa alto

IIpasa bajo

Tp a s a b a jo

Tpasa alto

Wo W

Zo

L /C

La impedancia imagen de la red II se encuentra:

Esta se ha trazado como la curva en la parte superior izquierda. Puesto que K es

constante ZoII crece cuando ZoT decrece.

Si reemplazamos esta última ecuación en la ecuación de la circunferencia para la

impedancia imagen de la red T obtenemos:

w Wc

K

Zo II +

22

= 1

Pasa alto

Intercambiando las inductancias y capacitancias en los filtros anteriores obtenemos

también filtros de red inversa que pero paso alto


Donde:

2 C

L

2 C

C

2 L 2 L

atenuacion t ra n s m is io n

X a = - 1 /w c

- 4 X b = - 4 w L

f

x

Para comprobar si son de red inversa tenemos:

K = Za Zb = - Xa Xb = 1 wL = Lwc c

2


La frecuencia de corte es:

Xa = - 4Xb

- 1 = - 4wcL => W0 = 1

W0c 4Lc

W0 = 1 => fc= 1

Lc2 LCII 4

. ..

Wc=2 fcII

Las impedancias de imagen de las secciones de pasa alto, se encuentran de la

siguiente manera.

Para la sección T

ZoT= wL 1 - 1

wc 4w c 22=

L 1

4 w c c 2 2

Para la sección II

ZoII = K / Zot2

Resolviendo para hallar la ecuación del circulo nos queda para la red T y II

Wcw

ZoTk

+=1 Wc

w+

K

Zo=1

22 2 2

Como podemos observar en las ecuaciones para la impedancia imagen tanto de una

red T como una II esta cambia de real a imaginaria según varia la frecuencia, dándonos

las bandas de atenuación y de frecuencia de transmisión libre

Desventajas de los filtros de Red inversa

Comparando un filtro de red inversa con uno ideal observamos que:

1) Un filtro ideal no tiene atenuación en la banda de transmisión libre, en este

aspecto un filtro de red teóricamente ideal.


2) Un filtro ideal tiene atenuación infinita en la banda de atenuación.

El filtro de red inversa no la tiene, más bien tiene baja atenuación cerca de la

frecuencia de corte.

3) Un filtro ideal tiene la misma impedancia imagen para todas las frecuencias

dentro de la banda de transmisión libre. La impedancia imagen de un filtro de red

inversa no es constante pero cae a cero o va al infinito en el corte.

4) Un filtro ideal tiene un desplazamiento de fase en la banda de transmisión libre

proporcional a la frecuencia. El filtro de red inversa no la tiene.

Las desventajas más seria es la baja atenuación cerca del corte y la variación de la

impedancia imagen.

Secciones derivadas m

La sección de red inversa no tiene suficiente atenuación a frecuencias cercanas al

corte. Esto puede mejorarse conectando algunas secciones en cascadas, si y solo si

tienen idénticas funciones de impedancia imagen.

Con las impedancias imagen adecuadamente, dos secciones de K constante tienen el

doble de atenuación que una. Entonces puede multiplicarse por dos, tres, o mas

conectando secciones adicionales en cascada.

Pero si una vez de conectarse un número determinado de secciones de K constante en

cascada, pudiera conectase en cascada en alguna otra sección que tuviera mejores

características de atenuación, para esto el requerimiento necesario para que esta

sección pueda conectarse en cascada en una sección K constante es que tenga la

misma impedancia imagen.

Si una sección T de K constante tiene elementos Xak y Xbk, su impedancia imagen es:

ZoT = - ( Xak Xbk) +1/4 Xak )

2


Alguna otra sección T aunque no sea K constante, tendrá la misma impedancia imagen

si tiene los elementos Xa y Xb, que satisfagan la relación:

Xa Xb + 1/4 Xa = Xak Xbk + 1/4 Xak 22

Donde Xa no necesariamente es igual a Xak, digamos que están relacionados por

factor m, o sea:

Xa=mXak

Para encontrar el valor de Xb, reemplazamos Xa=mXak en la ecuación (1) y

resolvemos:

mXak Xb + 1/4 m Xak = Xak Xbk + 1/4 Xak22

mXak Xb = Xak Xbk + 1/4 Xak - 1/4 m Xax 2 22

mXak Xb = Xak Xbk +1/4 Xak ( 1-m )22

Xb = Xbk + Xak ( 1 - m )

m 4m

2

Estas secciones que tienen la misma impedancia imagen que la red K constante para

todas las frecuencias se llaman:

“Secciones derivadas m”, y la sección K constante desde la cual se inicio la derivación

se llama “Prototipo”.

Todas las secciones derivadas m con el mismo prototipo tienen la misma impedancia

imagen y pueden conectarse en cascada con la sección prototipo o con cualquier otra

de ellas.

Para que sea físicamente realizable m, debe ser un número real positivo entre 0 y 1.


Secciones T prototipos y derivada m

½ Xak ½ Xak

Xak

½ mXak ½ m Xak

Xbk

m

Xbk=(1-m)2

4m

Xb

Derivada m

Ejemplo para una sección pasa bajo

CK

1 / 2 LK 1 / 2 LK

CK

1 / 2 LA=1 / 2 M LK 1 / 2 LA= 1 / 2 MLK

LB=((1-M*) / 4M) LK


Una sección II derivada m, es también físicamente realizable con la misma restricción.

Para una sección II, la impedancia imagen es:

Zo = K

Z o T

II 2

Por lo tanto la impedancia imagen de la sección derivada m y la impedancia imagen del

prototipo K constante se acoplan a todas las frecuencias si se cumple que:

Xa Xb =Xak Xbk

XaXb+1/4 Xa Xak Xbk+1/4 Xak

2 22 2

22

Hacemos arbitrariamente Xb=Xbk/m

Después de sustituir y resolviendo para Xa =

1=

1 + 1 ( 1-m )

Xa mXa Xbk 4m

2

Sección II prototipo y derivada m

Xak

2Xbk 2Xbk

4m Xbk

1-m2

m Xak

2Xbk 2Xbk

m m


Ejemplo para una sección pasa bajo

1 / 2 CK

LX

1 / 2 CK

1 / 2 CK

LA= M LK

1 / 2 CK

CA= (1-M* / 4M) CK

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