TEORÍA

DE C

ÓDIGOS

MA

TE

MÁ

TI C

A D

I SC

RE

T A

Jennyffer Fernández Ventura11-0983

1

LA TEORÍA DE CÓDIGOS

Es una especialidad matemática que trata de las leyes de la codificación de la información. A grandes rasgos, codificar es transformar una información en una señal convenida para su comunicación. Decodificar sería el proceso inverso y complementario del anterior por el cual la señal comunicada es transformada en la información original. El auge de las comunicaciones a partir de la segunda mitad del siglo XX motivó un fuerte desarrollo de la teoría de códigos.

2

Un canal de comunicación está sujeto a una diversidad de perturbaciones que resultan en una distorsión del mensaje que se está trasmitiendo. Cualquier alteración de estas se llama ruido. La forma en la cual el ruido puede aparecer depende del canal.

3

4

Por ejemplo, en una conversación entre dos personas,

el canal puede estar sujeto a ruidos, tales como el viento, un carro que pasa, otras voces. En

cualquier caso, se trata de minimizar las pérdidas debidas al ruido y recuperar de una manera

óptima el mensaje original cuando se ha contaminado por la

presencia del ruido.

Un dispositivo que se puede usar para mejorar la eficiencia del canal de comunicación es un codificador que transforma el mensaje que llega de tal manera que se puede detectar la presencia del ruido en el mensaje transformado.

El uso de un codificador requiere que se use un decodificador para transformar el mensaje codificado a su forma original que el receptor pueda entender.

5

6

Cuando los mensajes originalmente expresados en un lenguaje, se transforman en un mensaje en otros lenguajes, de una manera que sea comprensible para ambos, el transmisor y el receptor, de modo que estos mensajes se puedan transformar sin ambigüedades al regreso, entonces se puede decir que estos mensajes están codificados.

• Codificación El proceso de codificación es un procedimiento para asociar palabras de un lenguaje, con ciertas palabras de otro lenguaje de una manera uno a uno.

• DecodificaciónDe igual manera el proceso de decodificación es la operación inversa, o alguna otra transformación uno a uno.

7

8

Un código se dice que es un código de detección de errores si tiene la propiedad de que ciertos tipos de errores pueden transformar palabras del código en palabras que no son del código. Suponiendo que se utilizan sólo palabras del código para la transmisión de datos, cualquier error introducido durante la transmisión se pondrá de manifiesto inmediatamente puesto que cambiará palabras del código en palabras que no son del código. Es decir, si la cadena recibida es una palabra del código, los datos son correctos; si no es una palabra del código, los datos deben ser erróneos .

DISTANCIA DE HAMMING

En Teoría de la Información se denomina distancia de Hamming a la efectividad de los códigos de bloque y depende de la diferencia entre una palabra de código válida y otra. Cuanto mayor sea esta diferencia, menor es la posibilidad de que un código válido se transforme en otro código válido por una serie de errores.

9

A esta diferencia se le llama distancia de Hamming, y se define como el número de bits  que tienen que cambiarse para transformar una palabra de código válida en otra palabra de código válida.Si dos palabras de código difieren en una distancia d, se necesitan d errores para convertir una en la otra.Por ejemplo:La distancia Hamming entre 1011101 y 1001001 es 2.La distancia Hamming entre 2143896 y 2233796 es 3.La distancia Hamming entre "tener" y "reses" es 3.

10

HISTORIA Y APLICACIONES La distancia de Hamming se

denomina así gracias a su inventor Richard Hamming, profesor de la Universidad de Nebraska, que fue el que introdujo el término para establecer una métrica capaz de establecer un código para la detección y auto-corrección de códigos.

La distancia de Hamming tiene las siguientes propiedades:

• d(a,b)= d(b,a)

• d(a,b)= 0 si y sólo si a=b

• d(a,b) + d(b,c) ≥ d(a,c)

Ejemplo: Si queremos detectar 3 errores entonces la distancia mínima de Hamming debe ser de (3)+1 = 4. Si queremos corregir 3 errores entonces la distancia mínima de Hamming debe ser de 2*(3)+1 = 7.

11

12