TEORÍA DE COLAS

1

Delimiro Visbal Cadavid

Introducción

• La teoría de colas, o teoría de líneas deespera, es el estudio de los procesos en unafila de espera. Virtualmente todos losresultados en la teoría de colas se supone quelos procesos de llegada y de servicio sonaleatorios.aleatorios.

Población de Clientes

Mecanismo de Servicio

Flujo deLlegada

2

• Los problemas de colas son comunes en laadministración de operaciones. En el contexto demanufactura, el ambiente del taller se puedeconcebir como una red compleja e interrelacionadade colas. A medida que se terminan las labores enun centro de trabajo, forman una cola para suprocesamiento en el siguiente centro de trabajo.

• Los problemas de teoría de colas se presentan con• Los problemas de teoría de colas se presentan conmás frecuencia en los sistemas de servicio. Hacemoscolas en bancos, supermercados, peluquerías,casetas de peaje y restaurantes. La programación delos aterrizajes de los aviones en determinada pista esun problema de colas; imagine que los aviones en elaire son clientes que esperan ser servidos y que lapista es el servidor.

3

Aspectos estructurales de modelos de colas

• Proceso de llegada. Describe las llegadas de losclientes en el sistema. El proceso de llegada secaracteriza por la distribución de los tiempos entrellegadas. El caso más sencillo es cuando lasllegadas son una por una, totalmente al azar.llegadas son una por una, totalmente al azar.

• Proceso de Servicio. Se caracteriza por ladistribución del tiempo necesario para servir a uncliente. De nuevo el caso más sencillo de analizares cuando la distribución de tiempos de servicio esexponencial

4

• Disciplina de Servicio. Regla para servir a los clientes en lacola. La mayoría de los problemas de cola que se dan enlos sistemas de servicio son FIFO (primero en llegar,primero en servirse). Esta es la regla que por lo general seconcibe como “justa”.

• Capacidad de la Cola. En algunos casos podría ser que eltamaño de la cola se limitara. Por ejemplo, en losrestaurantes y cines solo puede entrar una cantidadlimitada de clientes. Desde el punto de vista matemático,limitada de clientes. Desde el punto de vista matemático,el supuesto más sencillo es que el tamaño de la cola esilimitado. Aun cuando hay una capacidad finita, esrazonable pasar por alto la restricción de capacidad si espoco probable que se llene la cola.

• Cantidad de Servidores. Las colas pueden tener uno ovarios servidores.

5

• Estructura de la Red. Resulta una red de colas

cuando la salida de una forma la entrada a otra.

La mayoría de los procesos de manufactura son

una forma de red de colas. La estructura de las

colas en red son, con mucha frecuencia,

demasiado complicados para poder ser

analizados en forma matemáticaanalizados en forma matemática

6

Notación• N(t) = Cantidad de clientes en el sistema en el momento t

• Pn(t) = P{N(t) = n | N(0) = 0}

• Pn = Probabilidad de estado estable de que haya n clientes en el sistema

• λn = Tasa de llegada cuando hay n clientes en el sistema

• μn = Tasa de servicio cuando hay n clientes en el sistema

• c = Cantidad de servidores

• ρ = Tasa de utilización• ρ = Tasa de utilización

• L = Cantidad esperada de clientes cuando el sistema está en estado estable

• Lq = Cantidad esperada de clientes en la cola, en estado estable

• W = Tiempo esperado en el sistema de un cliente, en estado estable

• Wq = Tiempo esperado en la cola, en estado estable

• K = Cantidad máxima en el sistema de capacidad finita

7

• Sea c la cantidad de servidores. El caso c > 1corresponde a servidores múltiples en paralelo.

• La tasa de llegadas, rapidez de llegadas o frecuencia

de llegadas, λn, es la tasa esperada o promedio de

clientes que llegan al sistema, expresada como

cantidad de llegadas por unidad de tiempo.

• Igualmente, μ es la media de la tasa de servicio• Igualmente, μn es la media de la tasa de servicio

cuando hay n clientes en el sistema.

• Cuando λ y μ son independientes de n, se define ρ,

la tasa de utilización del sistema, con la fórmula

µλρc

=8

• La tasa de utilización se interpreta como la

proporción del tiempo que está ocupado cada

servidor, o la cantidad esperada de clientes en

el servicio. La tasa de utilización debe ser

Tasa de Utilización

el servicio. La tasa de utilización debe ser

menor que 1 para asegurar que el tamaño de

la cola no crezca sin límite.

9

Fórmula de Little

• Relaciones útiles entre los valores esperados en estado estable de L, Lq, W y Wq.

µ1+= qWW

WL λ= WL λ=

qq WL λ=

10

Las distribuciones exponencial y de Poisson en las colas

• Las distribuciones exponencial y de Poisson desempeñanun papel importante en la teoría de colas. Cuando sehabla acerca de las llegadas puramente aleatorias en lascolas se quiere indicar que el proceso de llegadas es dePoisson. Un proceso puramente aleatorio de serviciosignifica que los tiempos de servicio tienen distribuciónexponencial.exponencial.

• Si las llegadas se apegan a un proceso de Poisson, estoindica que los tiempos entre llegadas tiene unadistribución exponencial. Debido a la propiedad deamnesia de la distribución exponencial, diremos que elproceso de Poisson es un proceso puramente aleatorio dellegadas.

• Si T es una variable aleatoria que representa el tiempoentre llegadas sucesivas, entonces

11

Además, la cantidad de llegadas en cualquiertiempo t, dígamos A(t), tiene la distribución dePoisson con parámetro λt. Esto es,

)()( tetTP λ−=>

[ ] , ..., , n n

tentAP

nt

210 para !

)( )(

)(

===− λλ

[ ]n!

12

Análisis de Nacimiento y Muerte para la cola M/M/1

• Una notación abreviada para los problemas de

colas tiene la forma

Indicador 1/Indicador 2/ Número

El proceso A(t), la cantidad de llegadas hasta el momento t,

es un proceso puro de nacimiento. Aumenta en uno en cadaes un proceso puro de nacimiento. Aumenta en uno en cada

llegada. El proceso N(t), la cantidad de clientes en el sistema

en el momento t, es un proceso de nacimiento y muerte

porque aumenta y disminuye a la vez. Aumenta en uno en

cada llegada y disminuye en uno en cada terminación de un

servicio. La siguiente figura muestra una realización de N(t).Observe que el estado del sistema aumenta o disminuye en

uno13

N(t) Vs T

14

La intensidad o tasa a la que aumenta la cantidad de clientes

en el sistema es λ, y la intensidad o tasa a la que disminuye

es μ. Esto indica que podemos representar la tasa a la que el

sistema cambia de estado mediante el diagrama siguiente.

Supongamos que el sistema ha evolucionado hasta lacondición de estado estable. Esto significa que el estadodel sistema es independiente del estado inicial. Comoestamos en el estado estable, sólo nos fijamos en lasprobabilidades estacionarias, Pn. La siguiente deducciónse basa en el Principio de Balance: 15

Principio de Balance

En el estado estable, la tasa de entrada a un estado

debe ser igual a la tasa de entrada fuera del sistema,

si existe una distribución de probabilidades de

estado estable.

• μP1 =λP0• μP1 =λP0

• μP2 + λP0 = (λ + μ)P1

• μPi+1 + λPi-1 = (λ + μ)Pi para 1 ≤ i ≤ α

• P2 =(λ/μ)2P0

De igual manera, encontramos en general que

• Pi =(λ/μ)iP016

• Sea ρ = λ/μ la tasa de utilización. Para que exista unasolución se debe cumplir que ρ < 1. En este caso,tenemos una serie geométrica cuya suma converge a

10

=∑=

α

iiP 1

00 =

∑

=

α

µλ

i

i

P

ρρ

α

−=∑ 1

1i

ρ−∑= 10i

10 ρ−=P

.321 para )1( , .., , iP ii =−= ρρ

17

Cálculo de las medidas esperadas del sistema para la cola M/M/1

λρρρ)1( −

) -(1)1( 1

000

−

===∑∑∑ =−== i

i

i

ii

i

iiPiL ρρρρρααα

20

i1

0 )1(

1

-1

1

ρρρρ

αα

−=

=

= ∑∑=

−

= dρ

d

dρ

di

i

i

i

λµλ

ρρ

ρρρ

-

) -(1)1(

)1(2

==−−=L

)(11

-L)1(

)1(

22

0

111

λµµλ

ρρρ

ρρρ

ααα

−=

−=−

−==−−=

−=−= ∑∑∑===

PLL

PPiPiL

q

iii

ii

iq

)(

)1(y

1

)1(

2

λµµλ

ρλρ

λµρλρ

−=

−=

−=

−= qWW

18

Un Ejemplo sobre Optimización de Colas.• Los mecánicos que trabajan en una planta troqueladora

deben solicitar su herramienta en un centro deherramientas. Un promedio de 10 mecánicos por horallegan pidiendo su equipo. Por el momento un empleadoatiende este centro, su salario es de 6 dólares por hora ytarda un promedio de 5 minutos en cumplir con cadapedido de herramienta solicitada. Como cada mecánicoproduce 10 dólares en valor de bienes por hora, cada horaproduce 10 dólares en valor de bienes por hora, cada horaque un mecánico tarda en el centro de herramienta cuesta ala compañía 10 dólares. La compañía está evaluando sivaldría la pena o no contratar (a 4 dólares la hora) unayudante para el empleado. Si se contrata al ayudante, elempleado tardará un promedio de sólo 4 minutos en reunirel equipo que solicita cada mecánico. Suponga que lostiempos de servicio y de llegadas son exponenciales. ¿Sedebe contratar al ayudante?

19

SOLUCIÓNEl objetivo de la compañía es minimizar la suma del costo deservicio por hora y el costo esperado por hora debido a lostiempos muertos de los mecánicos. El componente de costodebido a los clientes que esperan en la cola se denominacosto por demora. Por lo tanto la compañía debe minimizar

horahorahora

Demora de Esperado CostoServicio de CostoEsperado Costo +=horahorahora

El cálculo del costo de servicio por hora es, por lo regular,

simple. La manera más fácil de calcular el costo por la demora

por hora es observar que

=

horaclientehora

Esperados Clientes*

demorapor Esperado CostoDemora de Esperado Costo

−=

sistema elen pasa mecánico

el que promedio Horas10$demorapor Esperado Costo

mecánicohora

US

cliente20

( ) Wmecánicohora

US10W

10$

Cliente

demorapor Esperado Costo =

−=

( ) ( ) λλ WWhora

10*10Demora de Esperado Costo ==

Ya que podemos comparar el costo esperado por hora si no

se contrata al ayudante con el costo esperado por hora si se

contrata al ayudante. Si no se contrata al ayudante, λ=10contrata al ayudante. Si no se contrata al ayudante, λ=10

mecánicos/hora y μ=12 mecánicos/hora.

horaW2

1

1012

1 =

−=

Como el empleado gana 6 dólares la hora, tenemos que

horaUSHora

horaUSHora

/50$1010Demorapor Esperado Costo

y /6$Servicio Costo

21 ==

=

Por lo tanto, sin el ayudante, el costo esperado por hora es 6 + 50 =56dólares.

21

horaW51

10151

=−

==

horaUSHora

/20$1010Demorapor Esperado Costo

51 ==

Con el ayudante, µ=15 mecánicos/hora. Entonces,

Como el costo de servicio por hora es ahora 6 + 4=10 dólares porhora, el costo esperado por hora con el ayudante es 20 + 10 = 30dólares. Por lo tanto se debe contratar al ayudante porque con élse ahorran 50 – 20 = 30 dólares por hora en costos por demora,que es más que el salario de 4 dólares por hora del ayudante.

22

La distribución de los tiempos de esperaEn esta sección deduciremos la distribución de lostiempos de espera W para un cliente aleatorio que seune a la cola en estado estable. Por comodidad usaremosel símbolo W en esta sección, para indicar la variablealeatoria y no su esperanza. La interpretación correcta deW se establece de acuerdo al contexto.

kα λ{ } ttt

k

kt eee

k

tetWP )(

0 !)( λµλµ

αµ λ −−+−

=

− ===> ∑

{ } 0 todapara )( ≥=> −− tetWP tq

λµρ

Observe que la probabilidad de que el tiempo de espera en lacola sea cero es positivo, e igual a la probabilidad de que elsistema esté vacío, P0; esto es { } ρ−=== 10 0PWP q 23

Servidores Múltiples en paralelo: La Cola M/M/C

24

Servidores Múltiples en paralelo: La Cola M/M/C

CnPn

Pn

n ≤≤

= 0 para !

10µ

λ

para 1

cnPPn

>

= λ

25

para !

10 cnP

ccP

cnn >

= − µλ

1

11

00 )1(

!

)(

!

)(−

−−

=

−∗+= ∑ ρρρ cc

n

n

c

c

n

cP

Las medidas de desempeño

ρρ

ρ)1(! 02

1

=

+=−

=+

q

q

cc

q

LW

cLL

Pc

cL

26

µ

λ1+=

=

q

qq

WW

LW

0)1(!

)()( P

c

ccnP

c

ρρ−

=≥

µλ

ρρ

)1()(

+=

−≥=

LL

cnPL

q

q

27

µλµµ

λµλ

µ

1)(1

)(

+−≥=+=

−≥==

c

cnPWW

c

cnPLW

q

qq

ρ c = 2 c = 3 c = 4 c =5 c =6 c =70.10 0.02 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.20 0.07 0.02 0.00 0.00 0.00 0.000.30 0.14 0.07 0.04 0.02 0.01 0.000.40 0.23 0.14 0.09 0.06 0.04 0.030.50 0.33 0.24 0.17 0.13 0.10 0.080.55 0.39 0.29 0.23 0.18 0.14 0.110.60 0.45 0.35 0.29 0.24 0.20 0.17

el para

)( cnP ≥

28

0.60 0.45 0.35 0.29 0.24 0.20 0.170.65 0.51 0.42 0.35 0.30 0.26 0.210.70 0.57 0.51 0.43 0.38 0.34 0.300.75 0.64 0.57 0.51 0.46 0.42 0.390.80 0.71 0.65 0.60 0.55 0.52 0.490.85 0.78 0.73 0.69 0.65 0.62 0.600.90 0.85 0.83 0.79 0.76 0.74 0.720.95 0.92 0.91 0.89 0.88 0.87 0.85

M/M/C

cola de

sistema

el para

La distribución de los tiempos de espera

[ ]

[ ]tccnPtWPcc

cctcnPttWP

ρµρ

ρµµ

)1(exp)()(

*

1)1(exp)(1exp)( 1

)(

−−∗≥=>−−

−−−≥+=>

−∗−

29

[ ]( )tcnPttWPcc

tccnPtWPq

µµρρµ

)(1exp)(1

)1(exp)()(

)( entonces , Si * ≥+=>=−−−∗≥=>

∗−

EjerciciosUn banco tiene un cajero. Llegan al banco un promedio de 80 clientes por hora y esperanen una sola cola que los atiendan. El tiempo promedio que se necesita para atender a uncliente es de 0,5 minutos. Suponga que los tiempos entre llegadas y los de servicio sonexponenciales.

• Determine las medidas de desempeño del sistema

• Determine la fracción del tiempo que determinado cajero está desocupado

Un banco tiene tres (3) cajeros. Llegan al banco un promedio de 80 clientes por hora yesperan en una sola cola que los atiendan. El tiempo promedio que se necesita paraatender a un cliente es de 1.2 minutos. Suponga que los tiempos entre llegadas y los deservicio son exponenciales. Calcule

• Número esperado de clientes en el banco • Número esperado de clientes en el banco

• Tiempo esperado que pasa un cliente en el banco

• La fracción del tiempo que determinado cajero está desocupado

El gerente de un banco debe determinar cuantos cajeros deben trabajar los viernes. Porcada minuto que un cliente espera en la cola, el gerente supone que se incurre en uncosto de 5 centavos de dólar. Al banco llega un promedio de 2 clientes por minuto. Enpromedio, un cajero se tarda 2 minutos en tramitar la transacción de un cliente. Al bancole cuesta 9 dólares por hora la contratación de un cajero. Los tiempos entre llegadas y lostiempos de servicio son exponenciales. Para reducir al mínimo la suma de los costos deservicio y los de demora, ¿cuántos cajeros deben trabajar los viernes?

30

3. Llega un promedio de 100 clientes por hora albanco donde los estudiantes de la Universidaddel Magdalena pagan sus matriculas. El tiempopromedio de servicio para cada cliente es 1minuto. Los tiempos de servicio y entre llegadasson exponenciales. Los estudiantes deInvestigación de Operaciones del programa deIngeniería Industrial de la Universidad asesoraránal gerente del banco para que no haya más delal gerente del banco para que no haya más del1% de los clientes que tengan que esperar en lacola durante más de 5 minutos. Si el banco tienecomo política formar a todos los clientes en unacola única, ¿Usted como estudiante deInvestigación de Operaciones cuantos cajerosaconseja que se contraten?

31

4. El dueño de un restaurante selecto tiene dos mesas,pero un solo mesero. Si se ocupa la segunda mesa,el dueño sirve en esa mesa. Los tiempos de serviciotienen distribución exponencial con promedio deuna hora y los tiempos entre llegadas tambiéntienen distribución exponencial con promedio de 1.5horas. Cuando el restaurante se llena, las personasdeben hacer cola para esperar su turno.deben hacer cola para esperar su turno.

• ¿Qué porcentaje del tiempo está sirviendo el dueñoen una mesa?

• Si el dueño desea pasar el 10% de su tiempoatendiendo a clientes, ¿cuál es la frecuencia máximade llegadas que se puede tolerar?

32

La cola M/M/1 con capacidad finitaSupongamos que la cantidad máxima de clientes que permite elsistema es K. El diagrama de tasas de transición es el mismoque el de la cola M/M/1, con la excepción de que las transicionesno suceden más allá del estado K. Ya que el diagrama de tasasde transición es igual hasta el estado K, las ecuaciones debalance producirán la misma relación entre Pn y P0 para n=1,2,...K. Esto es KnPP n

n ,..2,1 para 0 == ρ

33

1 * 1

1

1

1110 ≠

−−=

−−= ++ ρρ

ρρ

ρρ n

KnKPP

2

1) cuando (sólo 0 para 1

1

KL

KnK

Pn

=

=≤≤+

= ρ

La Fórmula de Little se sigue aplicando pero utilizando un

valor modificado de la tasa de llegadas, porque no a todos

los clientes que llegan se les permite entrar al sistema.

( )Kef P−= 1λλ( )[ ]

( )( ) 1 ,11

111

1

≠−−++−= +

+

ρρρ

ρρρK

KK KKL

34

( )( ) 1 ,11 1

≠−−

= + ρρρ K

L

( )sq

ks

LLL

PPPPPPL

−=−=+•••++++= 03210 110

( ) ( )K

q

ef

qq

Kef P

LLW

P

LLW

−==

−==

1y

1 λλλλ

Ejercicios

5. Una instalación de servicio consiste de una personaque puede atender un promedio de 2 clientes/h. Lostiempos de servicio son exponenciales. Llega unpromedio de 3 clientes/h, y se supone que lostiempos entre llegadas son exponenciales. Lacapacidad del sistema es de 3 clientes La capacidaddel sistema es de 3 clientes.del sistema es de 3 clientes.

• Determine las medidas de desempeño

• En promedio, ¿cuántos clientes potenciales entran alsistema cada hora?

• ¿Cuál es la probabilidad de que quien atiende esteocupado?

35

6. Hay un promedio de 40 automóviles por hora,con tiempos exponenciales entre llegadas, quedesean se les atienda en la ventanilla de serviciode “Servicio en su Auto” del Hot Dog KingRestaurant. Si hay una cola de más de 4 coches,incluyendo el de la ventanilla, el coche que lleguese va. En promedio, toman cuatro minutos enservir a un automóvil.servir a un automóvil.

• ¿Cuál es el número promedio de automóvilesesperando en la cola, sin incluir el que está frentea la ventanilla?

• En promedio, ¿cuántos automóviles se atiendenen cada hora?

36

La cola M/G/1

Este es un sistema de colas con un servidor en el que

los tiempos de llegadas son exponenciales, pero en

el que la distribución del tiempo de servicio (S) no

necesita ser exponencial. Sea λ la frecuencia de

llegadas, que suponemos se mide en llegadas porllegadas, que suponemos se mide en llegadas por

hora. También, definimos a 1/μ= E(S) y a σ2=Var(S).

Para calcular Lq, L, Ls, W, y Wq utilizamos los

resultados de Pollaczek y Khinchin. Ellos

demostraron que para el sistema de colas M/G/1,

37

Donde ρ = λ/µ. Como Ws = 1/ µ, entonces

Ls = λ(1/ µ) = ρ. L = Lq + Ls = Lq + ρ

+= ρLL q

)1(2

222

ρρσλ

−+=qL

38

ρ−=

+=

=

+=

1

1

0P

µWW

λ

LW

ρLL

q

qq

q

Ejercicio

� Se tiene un sistema de colas M/G/1 en el cual hay

un promedio de 10 llegadas por hora. Supóngase

que el tiempo de trámite de cada cliente sigue una

distribución de uniforme U(4, 6) minutos

Determine la cantidad esperada de clientes en el servicio• Determine la cantidad esperada de clientes en el servicio

• Determine la cantidad esperada de clientes en la cola

39

La cola M/G/∞ y GI/G/∞Hay muchos ejemplos de sistemas en los cuales un

cliente nunca espera para que inicie su atención. En

un sistema de estos, se puede pensar que todo el

tiempo que pasa el cliente en el sistema es su

tiempo de servicio, o de trámite. Como un cliente

nunca tiene que esperar para que lo atiendan hay,nunca tiene que esperar para que lo atiendan hay,

en esencia, un servidor disponible para cada

llegada, y podemos pensar que este sistema es de

cantidad infinita de servidores, o sistema

autoservicio. En la siguiente tabla se presentan

algunos ejemplos de este tipo de sistema.40

CASO LLEGADA

TIEMPO EN EL SERVICIO

(TIEMPO EN EL SISTEMA)

ESTADO DEL SISTEMA

IndustriaLa empresa entra a la industria

Tiempo hasta que la empresa sale de la

industria

Número de empresas en la

industria

El estudiante Tiempo que el estudiante Número de Programa escolar

El estudiante entra al

programa

Tiempo que el estudiante permanece en el

programa

Número de estudiantes en el

programa

41

Un sistema de cola M/G/∞ es aquella en la que los

tiempos entre llegadas sigue una distribución

exponencial, los tiempos de servicio sigue una

distribución arbitraria y tiene infinito servidores. Una

cola GI/G/∞ es un sistema con servidores infinitos

en el que tanto los tiempos entre llegadas como los

tiempos de servicio sigue una distribución arbitrariatiempos de servicio sigue una distribución arbitraria

de probabilidad.

42

Estos sistemas trabajan como sigue:•

• Los tiempos entre llegadas son iid con distribución común

A. Se define E(A)= 1/λ. Así λ es la frecuencia o rapidez de

llegada.

• Cuando llega un cliente, inmediatamente pasa al servicio:

El tiempo de cada cliente en el sistema está gobernado

por la distribución S con E(S) = 1/µ.por la distribución S con E(S) = 1/µ.

43

Sea L el número esperado de clientes en el sistema en estado

estable, y W el tiempo esperado que un cliente pasa en el

sistema. Por definición W = 1/µ. Por lo tanto la Fórmula deLittle nos proporciona

µλ=L

• La ecuación anterior no requiere hipótesis de

exponencialidad. Si los tiempos entre llegadas

son exponenciales, se puede demostrar, aun

para una distribución arbitraria de tiempos de

servicio, que la probabilidad de estado

estable, Pn, de que haya n clientes en el

sistema sigue una distribución Poisson consistema sigue una distribución Poisson con

promedio λ/µ. Esto significa que

44

!n

e

P

n

n

−

=

µλ

µλ

Ejercicios• El programa de doctorado de la universidad del estado admite

un promedio de 25 estudiantes de doctorado cada año. Si un

estudiante de doctorado pasa un promedio de 4 años de

residencia en la universidad ¿cuántos estudiantes de

doctorado cabe esperar en ella?

• Cada semana, el Columbus Record Club atrae a 100 miembros

nuevos. Los miembros permanecen en el club un promedio de

1 año (52 semanas). En promedio, ¿cuántos miembros tiene el

club?

45

Modelo de Reparación de Máquinas

• Los modelos en los cuales las llegadas son

extraídas de una población pequeña se denominan

Modelos de Origen Finito. A continuación se

estudia un modelo de origen finito conocido como

modelo de reparación de máquinas.

• En el problema de la reparación de máquinas, el

sistema consiste en K máquinas y R personas que

reparan máquinas o reparadores.

46

• El tiempo en que una máquina está en buenas

condiciones sigue una distribución exponencial con

tasa λλλλ.... Siempre que una máquina se descompone, es

enviada a un centro de reparación que consiste de R

personas encargadas de reparar las máquinas.

• Por lo tanto, si n ≤ R máquinas están en malas

condiciones, entonces, una máquina que apenas se

descompuso será asignada de inmediato adescompuso será asignada de inmediato a

reparación; si n > R máquinas se descomponen, n – Rmáquinas estarán esperando en una sola cola a que

un trabajador de desocupe para que las repare. Se

supone que el tiempo que se requiere para reparar

una máquina es exponencial con una tasa μ (el

tiempo medio de reparación es 1/μ).47

• Tras reparar una máquina, ésta vuelve a estar en buenas

condiciones y nuevamente es susceptible de

descomponerse. Este modelo de reparación de máquinas

se podría modelar como un proceso de nacimiento y

muerte, donde el estado n en cualquier momento es la

cantidad de máquinas en malas condiciones.

• Mediante la notación de Kendall – Lee, el modelo descrito

se podría expresar como un modelo M/M/R/GD/K/K. Lase podría expresar como un modelo M/M/R/GD/K/K. La

primera K indica que podrían estar presentes, en

cualquier momento, no más de K clientes (o máquinas), y

la segunda K significa que las llegadas tienen un origen

finito de tamaño K.

48

En la siguiente tabla se muestra la interpretación de cada

estado para un modelo de reparación de máquinas que

tiene K = 5 y R = 2 (B = Máquina en buen estado;

M = Máquina en malas condiciones).

EstadoNo de

Máquinas Cola de

Reparación

No de Reparadores

49

BuenasReparación

Ocupados0 BBBBB 01 BBBB 12 BBB 23 BB M 24 B MM 25 MMM 2

λλλλn= λ+ λ+...+ λ= (Κλ+ λ+...+ λ= (Κλ+ λ+...+ λ= (Κλ+ λ+...+ λ= (Κ−−−− n)λλλλμn = n μ (n=0,1,…., R) μn = Rμ (n=R+1, R+2,…, K)

K λ

50)!(!

! Donde

21

!

10

0n

0

nKn

K

n

K

,...., K), RR (nR!R

Pnn

K

P

,...., R), (nPn

KPSi

n-Rn

nn

−=

++=

=

=

==

ρ

ρµλρ

• Empezamos por determinar P0 a partir de que

P0+P1+… + Pk =1

( ) n

K

Rnqn

K

n

PRnLPnL ∑∑==

−== 0

)()( LKPnKPK

nn

K

n −=−== ∑∑ λλλλ

51

00 nnn

nn ∑∑

==

λλq

q

LW

LW == y

Ejercicio• El departamento de policías de Gotham City tiene cinco

patrullas. Una patrulla se descompone, y requiere servicio

una vez cada 30 días. El departamento tiene dos

mecánicos, cada uno de los cuales requiere tres días para

reparar una patrulla. Los tiempos de descompostura y los

tiempos de reparación son exponenciales.

a) Determine el número promedio de patrullas en buenas

condiciones.

b) Encuentre el tiempo promedio de paralización para una

patrulla que necesita reparación

c) Estime la fracción de tiempo en que un mecánico en

particular está desocupado

52

00

3

3

00

2

2

001

015.02!2

!3

3

5

1.02

5

5.010

1

1

5

101

101

PPP

PPP

PPP

=

=

=

=

=

=

SOLUCIÓN:

K=5, R=2, λ=λ=λ=λ=1/30 patrullas por día y µ=1/3 de patrulla por día, entonces ρ =1/10

53

003

5

5

002

4

4

000075.0)2(!2

!5

5

5

0015.0)2(!2

!4

4

5

101

101

10

PPP

PPP

=

=

=

=

619.0 1)000075.00015.0015.01.05.01( 00 =⇒=+++++ PP

0 001.0 009.0 062.0 310.0 54321 ===== PPPPP

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]sCondicione Buenasen patrullas 535.4

05001.04009.03062.02310.01619.0050

=

+++++−=−∑=

n

K

n

PnK

λL

W =

[ ]01234530

1)5( 543210

5

+++++=−=∑ PPPPPPPn nλλ

•a) El número esperado de patrullas en buenas condiciones es K - L que se obtiene mediante

b) Determinamos

54P0 + 0.5P1 = 0.619 + 0.5(0.310) = 0.774

[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]díapor Patrullas 0.151 .

00001.01009.02062.03310.04619.0530

1 .

30 5432100

=

+++++=

∑=n

n

díapor Patrullas 151.0)535.4(301

)(bien O ==−= LKλλ

•c) La fracción de tiempo en que un mecánico está desocupado esComo L=0.465 patrullas, entonces W =0.465/0.151=3.08 días

55