teoria de conjuntos

ConjuntosConjuntos

011000101110011000101110

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DidácticaDidáctica

de las de las

MatemáticasMatemáticas

II

Conceptos y términos básicos

Conjunto

Definición. Un conjunto es una colección de objetos distintos, llamados elementos, que en general tienen ciertas propiedades comunes.

Pertenencia o membresía de un objeto a un conjunto

- Cualquier objeto que pertenece a un conjunto es llamado miembro o elemento de ese conjunto.

- Se dice que un conjunto está bien definido si es posible determinar por medio de ciertas reglas si un objeto dado pertenece o no a dicho conjunto.

pA: “el objeto p pertenece al conjunto A”

qA (q A): “q no está en A”


Notación

Especificación de un conjunto: elementos separados por comas entre llaves (especificación por enumeración o a granel)

Ej: S={1, 3, a}: “el conjunto S está formado por

los elementos 1, 3, y a”

1S, 3S, aS

Especificación por descripción de las propiedades que lo caracterizan

Ej: S1 = {x x es un entero par positivo}

S2 = {x x es un vertebrado} en general S = {x x posee cierta propiedad}


Otra forma: S3={1, 3, 5, ...}

S4={2, 4, 6, ..., 18}

S5={a, a2, a3, ...}

Conjunto vacío (nulo): conjunto sin elementos; se denota por {} o por “”.

Se pueden tener conjuntos dentro de otro conjunto

Ej: S= { a, b, {a, b, c}, d}


Ejemplos: A={rojo, negro}; rojoA; blancoAB={(x,y)|x2+y2=1}; (1,0)B; (2,2)B

Conjuntos de números:Números naturales: N={1,2,3,4,...}Números enteros: Z={-,...,-2,-1,0,1,2,..., }Números racionales Q={x| x=r/s, r,sZ}Números reales:

R={-,...,-2.0,1.9,...,-1,...,0,...1,..., }Números irracionales: I={x | xR y xQ}Números complejos: C={a+bi| a,bR e i2=-1}


Inclusión e igualdad Subconjuntos.

Definición. Sean P y Q dos conjuntos. Se dice que P es subconjunto* de Q ( P Q) si todo elemento de P es también elemento de Q. Se denota también Q P.

*alternativas “P está incluído en Q” o “Q incluye a P”

Ej: {1, 2} {1, 2, 3}; {a, c} {d, c, b, a}

Propiedades. Para 3 conjuntos cualesquiera A, B, C

i) A A (reflexiva)

ii) (AB) (BC) (AC) (transitiva)

x [(xA xB) (xB xC) (xA xC)]

Conceptos y términos básicos Igualdad

Definición. Se dice que dos conjuntos A y B son iguales ssi A B y B A, es decir. Ambos contienen la misma colección de elementos.

Ej: {1, 2, 4} = {1, 4, 2}; {{1, 2}, 4} {1, 2, 4}

{x x es un entero par no mayor que 10} =

{x x= y + z donde y{1, 2, 5}, z{1, 2, 5}}

{1, 3, 5, ...}={x x es un entero impar positivo}

Subconjunto propio

Definición. Se dice que A es un subconjunto propio de B si A B y A B. Se denota A B. (inclusión propia)


Conjunto Universal o universo

Definición. Un conjunto es llamado universal si incluye a todos y cada uno de los conjuntos en una discusión o contexto particular. Se denota por U o E. Cada conjunto A U.

U={x P(x) P(x)} P(x): cumple cierta propiedad

Conjunto potencia

Definición. El conjunto potencia (partes) de un conjunto A, denotado P(A) (también 2|A|), es el conjunto o familia de todos los subconjuntos de A.

Ej: P () = {}; P ({a})={, {a}}

P ({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}

P ({a, b, c})={, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c} {a,b,c}}

Operaciones con conjuntos El uso de estas operaciones construye nuevos conjuntos combinando, bajo ciertas reglas, elementos de otros conjuntos.

DefinicionesSean A, B y C conjuntos arbitrarios

Intersección

La intersección de A y B, escrita AB, es el conjunto de elementos que pertenece a A y a B simultáneamente.

AB = {x (xA)(xB)}

De la definición se sigue que

AB = BA (conmut.);

AA = A (idempot.) y

A =

Operaciones con conjuntos

Como es un AB conjunto

(AB)C = {x (xAB)(xC)}

(AB)C = ABC = A(BC) (asociativ.)

Para A= {A1, A2, ..., An} A1A2...,An = Ai

Conjuntos disjuntos

Dos conjuntos disjuntos no tienen elementos en común: AB=


Colección disjunta

Una colección de conjuntos es llamada colección disjunta (por pares) si para cada par de conjuntos en la colección éstos son disjuntos. Los elementos de la colección son mutuamente disjuntos.

Sea A ={Ai}iJ; A es una colección disjunta ssi

AiAj = i,jJ, ij


Unión

La unión de A y B, escrita AB es el conjunto de todos los elementos que son miembros de A o de B o de ambos.

AB = {x (xA) (xB)}

Propiedades: AB = BA; AA = A; A = A

(AB) C = ABC = A(BC)

Para A={Ai}iJ A1A2...,An = Ai

Ai = {x xA para al menos una iJ}


Diferencia (complemento relativo)

La diferencia de A y B (complemento relativo de B en A), denotada por A – B (también por A\B es el conjunto de todos los elementos de A que no están en B.

A - B = {x (xA) (xB)}

Ejemplo. A = {2, 5, 6}, B = {3, 4, 2}; A – B ={5, 6}

Complemento

El complemento relativo de A respecto a U (U - A) es llamado el complemento absoluto de A. Se denota ~A.

~A = U – A = {x (xU) (xA)}

Propiedades: ~(~A) = A, ~U= ~= U

A~A = U = {x (xA) (xA)}A~A = = {x (xA) (xA)}


Ejemplos: A = {2, 5, 6}, B = {3, 4, 2}, C = {1, 3, 4}

~A = {1, 3, 4}

A – B = {5, 6}

B – A = {3, 4}

A – C = {5, 6}

Ejercicio. Mostrar a) A – B = A~B

b) A B ~B ~Ac) A – (AB) = A – B


Diferencia Simétrica

La diferencia simétrica de A y B, denotada por AB es el conjunto definido por AB = (A - B) (B – A)

y AB

y { x [(xA) (xB)] [(xB) (xA)]}}

Propiedades: AB = BA; (AB)C = A(BC)

A = A; A A =

AB =(A~B) (B~A)


Partición de un conjunto

Sea A un conjunto y L una colección de subconjuntos no vacíos. L es una partición de A si L es disjunta por pares y L =A.

Ejemplo. A1={1, 2, 8}, A2 = {4, 6}, A3={3, 5, 7}L = {A1, A2, A3} es una partición de

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Lista ordenada. Una n-ada (n-tupla se designa por (a1, a2, ..., an). El producto cartesiano de los conjuntos A1, A2, ..., An se define como el conjunto de todas las n-adas (a1, a2, ..., an) donde aiAi para i=1, ..., n. (Ai).

- AA también se escribe A2, AAA = A3, ...

Ejemplo


• A (B C) = (A B) (A C)

• A (B C) = (A B) (A C)

• A (A B) = A

• A (A B) = A

• ~(A B) = ~A ~B

• ~(A B) = ~A ~B

Identidades

Diagramas de Venn

Se trata de una representación esquemática de conjuntos.

Descripción usual:

Los diagramas de Venn no constituyen pruebas (proofs) en general de la veracidad de relaciones y operaciones entre subconjuntos de U.

AU: rectángulo

Conj A: trazos cerrados

Diagramas de Venn

Resta Simétrica Contención

Unión Intersección

Resta

Complemento

Ejemplos

Diagramas de Venn

Ejemplo. AB= (A~B)(~AB)(AB) se obtiene de

(AB)

B

(~ AB)

AB

(A~B)

A

Ejemplo. Del siguiente diagrama se obtiene AB= (A~B)(~AB)que no es verdadera en general (solo para conjuntos disjuntos.

BA

Cardinalidad

CardinalidadLa cardinalidad de un conjunto A denotada por A es la cantidad de elementos que contiene A.

A= {a, b, c, d, e}, A=5

Resultados sobre la cardinalidad de conjuntos finitos

PQ P + Q PQ min(P, Q)

PQ P + Q - 2PQ P - Q P - Q PQ = P + Q - PQ PQR = P + Q + R - PQ- PR - QR

+PQR

Cardinalidad

Ejemplo. De 200 estudiantes, 50 toman el curso de Matemáticas, 140 el curso de Economía y 24 ambos cursos. Como ambos cursos programaron exámenes para el día siguiente, solo los estudiantes que no están en ninguno de los 2 cursos podrán ir a la fiesta de la noche anterior. ¿Cuántos irán a la fiesta?

A1: est de Matemáticas A2: est de Economía

A1A2 = 50 + 140 –24 =166

200-166=34 van a la fiesta

De los 200, 60 estudiantes son de los primeros años, de estos 20 toman Matemáticas, 45 toman Economía y 16 cursan ambas materias. ¿Cuantos estudiantes de los últimos años estarán en la fiesta?

Conjuntos finitos e infinitos Conjuntos finitosDefinición. Un conjunto finito contiene un número finito de elementos distinguibles, si no es un conjunto infinito.

Conjunto infinitos Contable o numerable;

No contable

Conjunto infinito contable (cardinalidad infinita contable). Un conjunto A es infinito contable ssi existe una corresponden-cia uno a uno entre los elementos de N = {1, 2, 3, ...} y A.

Ejemplos: {0, 2, 4, 6, ...}, {0, 7, 14, 21, ...}{...,-2, -1, 0, 1, 2, ...} = {0, 1, -1, 2, -2, ...}

Conjuntos finitos e infinitos

un conjunto es infinito contable si, comenzando con cierto elemento, podemos listar sucesivamente todos los elementos del conjunto para construir una correspondencia uno a uno entre los elementos del conjunto y los de N.

la unión de dos conjuntos infinitos contables es un conjunto infinito contable.

Conjunto infinito contable

No se pueden listar sus elementos.

Ejemplo: conjunto de los números reales entre 0 y 1

011000101110011000101110

011000101110011000101110

011000101110011000101110

011000101110011000101110

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011000101110

011000101110011000101110

011000101110011000101110

011000101110011000101110

Dinámica Dinámica

de lasde las

MatemáticasMatemáticas

II

Relaciones

Concepto de relación

Definición. Una relación binaria de un conjunto X a un conjunto Y (de X sobre Y) es un subconjunto de X Y.

- Si (x, y) R, denotado xRy, se dice que x está relacionado con y.

- Si X = Y se afirma que R es una relación binaria sobre X (de X en X).

Ejemplo. Sean A = {a , b, c, d} estudiantes y B = {CS121, CS221, CS257, CS264, CS273, CS281} cursos. R = { (a,CS121), (b, CS221), (b, CS264), (c, CS221),

(c, CS273), (c, CS257), (d, CS257), (d, CS251)}: carga de estudiantes aRCS121: “a toma el curso CS121”

El conjunto {x X (x, y) R para algún y Y} se llama dominio de R

El conjunto {y X (x, y) R para algún x X} se llama contradominio (codominio, imagen, ámbito) de R

DominioContradominio

RX Y

Ejemplo. Sea R la relación en X = {1, 2, 3, 4} definida por (x, y) R si x y x, y X

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4),

(3, 3), (3, 4), (4, 4)}



Ejemplo. sea A={EEUU, México, Guatemala}. Sea la relación de A en A ssi los países tienen frontera común.

R= {(ai,bj)|aiA,bjA y los países tienen frontera común}.

AA={(EEUU,EEUU), (EEUU,México), (EEUU,Guatemala), (México, EEUU), (México,México), (México,Guatemala), (Guatemala, EEUU), (Guatemala, México), (Guatemala, Guatemala)}.

R={(EEUU,EEUU), (EEUU,México), (México, EEUU), (México,México), (México,Guatemala), (Guatemala, México), (Guatemala, Guatemala)}.

Representación de relaciones

Ejemplo. Sean A = {a, b, c, d} y B = {1, 2, 3}. R= {(a, 1), (b, 3), (c, 1), (c, 3), (d, 2)}

Grafo dirigido (digrafo) Tabla Plano

a

b

c

d

1

2

3

a

b

c

d

1 2 3

1 -

2 -

3 -

a b c d

B

A

Representación de relaciones

1

4

2

3

Digrafo de R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4),

(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}),

1000

1100

1110

1111

m

o

D

R

mI

Propiedades de relaciones

Relación reflexiva

Definición. Una relación R sobre un conjunto X se llama reflexiva ssi x X, (x, x) R.

Ejemplo. X = {1, 2, 3, 4}, R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}

(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) están en R es reflexiva

el digrafo una relación reflexiva tiene un lazo en cada vértice


a

c

b

d

Relación Simétrica

Definición. Una relación R sobre un conjunto A se llama simétrica ssi (x, y) R se tiene que (y, x) R

Ejemplo. X = {a, b, c, d}, R = {(a, a), (b, c), (c, b), (d, d)} es simétrica.

Ejemplo. X = {1, 2, 3, 4}, R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}

no es simétrica: (1, 2) R pero (2, 1) R


Relación Antisimétrica

Definición. Una relación R sobre A se llama antisimétrica ssi (x, y) R con xy, se tiene que (y, x) R

Ejemplo. R: antisimétrica

Ejemplo. X = {a, b, c}; R = {(a, a), (b, b), (c, c)} es antisimétrica. También es reflexiva y simétrica

a

d

b

c


Relación Transitiva

Definición. Una relación R sobre un conjunto X se llama transitiva ssi (x, y), (y, z) R, se tiene que (x, z) R

Ejemplo.

Relación de Orden Parcial

Definición. Una relación R recibe el nombre de relación de orden parcial si R es reflexiva, antisimétrica y transitiva.

Ejemplo. Si No

a b c d

a b c a b c

Propiedades de relaciones ... Ejemplos

Ejemplo

R={(EEUU,EEUU), (EEUU,México), (México, EEUU), (México,México), (México,Guatemala), (Guatemala, México), (Guatemala, Guatemala)}.

- Es reflexiva

- Es simétrica

- No es transitiva

- No es antisimétrica


Ejemplo

A={1, 2, 3}; R={(a, b) | a, bA, a=b}

Entonces R={(1, 1), (2, 2), (3, 3)}

- Es reflexiva: a se relaciona con a

- Es simétrica: a se relaciona con b y b con a

- Es transitiva:

- Es antisimétrica!!!


Ejemplo

A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; R = {(a, b)| a,bA, ab (mod 3)}

Muestre R.

¿Es reflexiva?: Si, a siempre se relaciona con a, ya que tienen el mismo módulo

¿Es simétrica?: Si, si a y b tienen el mismo módulo a~b y b~a

¿Es transitiva?: Si, si a~b y b~c es porque tienen el mismo módulo y entonces a~c.


Ejemplo. A={1, 2, 3};

R={(a, b)| a, bA, a>b}

Muestre R

¿Es reflexiva?: No.

¿Es simétrica?: No.

¿Es transitiva?: Si.

¿Es antisimétrica?: Si.

Ejemplo. A={1, 2, 3}; R={(a, b)| a, bA, ab}

Muestre R

¿Es reflexiva?: No

¿Es simétrica?: Si.

¿Es transitiva?: Si.

¿Es antisimétrica?: No.

Operaciones entre relaciones

Unión e intersecciónmisma noción que en conjuntos

Ejemploa

d

b

cR2

a

d

b

cR1

a

d

b

c

R1R2

a

d

b

c

R1R2


Inversa

Definición. Sea R una relación de X a Y. La inversa de R, denotada por R-1, es la relación de Y a X definida por

R-1={(y, x) (x, y) R}

Ejemplo. X={2, 3, 4}, Y={3, 4, 5, 6, 7}, R de X a Y , (x, y) R si x divide a y con residuo cero.

R={(2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)}

R-1={(4, 2), (6, 2), (3, 3), (6, 3), (4, 4)}


Composición de relaciones

Definición. Sea R1 una relación de X a Y y R2 una relación de Y a Z. La composición de R1 y R2 de notada por R2R1 es la relación de X a Z definida por

R2R1={(x, z) (x, y)R1 (y, z)R2 para algún yY}

R1

X ZY

R2

R2R1

Relaciones de equivalencia

Ejemplo. Supongamos X = {10 objetos: rojo, azul, verde}, si se divide X según el color de los objetos se obtienen los conjuntos R, A, V X. L = {R, A, V} es una partición de X. Puede definirse xRy si x e y pertenecen a un conjunto de L. R define “x es del mismo color que y”.

TEOREMA. Sea L una partición del conjunto X. Defínase xRy si x, yS para algún S L. Entonces R es reflexiva, simétrica y transitiva.


Demo. Sea x X. Como X = L, x S para algún S L. Entonces xRx y R es reflexiva.-Sup. xRy. Entonces x e y pertenecen a un S L. Como y y x pertenecen a S, yRx R es simétrica.-Sup. xRy e yRx entonces x, y S L.

y, z T L.

Si S T yS zT pero L es disjunta por pares no es posible; entonces S = T x y z S xRz; R es transitiva.


Ejemplo. Sea L = {{1, 3, 5}, {2, 6}, {4}} de X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. La relación R sobre X contiene (1, 1), (1, 3), y (1,5) porque {1,3,5} está en L.R= {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5),

(2, 2), (2, 6), (6, 2), (6, 6), (4, 4)}

Definición. Una relación que es reflexiva, simétrica y transitiva en un conjunto X se conoce con el nombre de relación de equivalencia sobre X.


Ejemplo. R={(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (2, 2), (2, 6), (6, 2), (6, 6), (4, 4)} es una relación de equivalencia.

Ejercicio. Considere la relación R= {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (5, 3), (5, 5)}, compruebe si es una relación de equivalencia sobre X = {1, 2, 3, 4, 5}.

Dada una relación de equivalencia en X, se puede hacer una partición de X agrupando los elementos equivalentes de X.

1 3 2

65

4


TEOREMA. Sea R una relación de equivalencia sobre un conjunto X. Para cada a X, sea

[a] = {x XxRa} entonces L = {[a] a X} es una partición de X

Demo Para verificar que L es una partición de X

i) X = L

ii) L es una familia disjunta por pares

Demo ...

Sea a X; como aRa a [a]; entonces X = L

> Dem que si aRb [a] = [b]

- Sup aRb. Sea x [a], entonces xRa. Como aRb y R es transitiva xRb. x [b] y [a] [b].

- Sup bRa. Sea x [b], entonces xRb. Como bRa y R es transitiva, xRa. x [a] y [b] [a]

> Sup [a], [b] L con [a] [b]. Probar [a] [b] = .- Sup para algún x, x [a] [b], entonces xRa y xRb, entonces [x]=[a] y [x]=[b]; consecuentemente [a]= [b]: contradicción [a] [b] = y L es disjunta por pares.


Definición. Sea R una relación de equivalencia en un conjunto X. Los conjuntos [a] definidos por el teorema anterior se denominan clases de equivalencia de X inducidas por la relación R.

Ejemplo. Consideremos R del ejemplo cuya partición es L = {[1, 3, 5}, {2, 6}, {4}}.[1] = {1, 3, 5}= [3] = [5][2] = [6]= {2, 6} [4] = {4}


Ejemplo. Sea X = {1, 2, ... , 10}. Definir xRy donde R significa “3 divide exactamente a (x-y)”.

R= {(1, 1), (1, 4), (1, 7), (1, 10), (4, 1), (7, 1), (10, 1), (2, 2), (2, 5), (2, 8), (5, 2), (8, 2), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (6, 3), (9, 3), (4, 4), (4, 7), (4, 10), (7, 4), (10, 4), (5, 5), (5, 8), (8, 5), (6, 6), (6, 9), (9, 6), (7, 7), (7, 10), (10, 7)}

R es reflexiva, simétrica y transitiva.

Clases de equivalencia:[1] = {x X xR1 (3 divide a x-1)}

= {1, 4, 7, 10}[2] = {2, 5, 8}[3] = {3, 6, 9}


Extensión y cerradura transitiva

Extensión transitivaDefinición. Sea una relación binaria sobre X. La extensión transitiva de R, denotada por R1, es una relación binaria sobre X tq. Si (a,b), (b,c) R entonces (a, c) R1.

Ejemplo.

a

d

b

cR

a

d

b

cR1


Cerradura transitivaSi R2 denota la extensión transitiva de R1, y en general Ri+1

denota la extensión transitiva de Ri, se define la cerradura transitiva de R, denotada por R+, como la unión de R, R1, R2, R3, ... R+ es transitiva.

Ejemplo. EjemploR2=; R+ = R R1

a

d

b

cR*

R R*

Suma de particiones (1+2)

1+2 es la partición correspondiente a la relación de equivalencia (R1 R2)*

Ejemplo. Sea A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k} y sean

dos particiones de A. Tenemos


},,,{1 kjhifgeabcd },,,{2 gefjkdiabch

},,,,,,{21 jkihgefdabc},{21 efgjkabcdhi


Propiedades de particiones

Refinamiento de una particiónSean 1 y 2 dos particiones de A y sean R1 y R2 sus relaciones de equivalencia respectivas. Se dice que 1 es un refinamiento de 2 (denotado por 1 2) si R1 R2.x,y, x,y S1 x,yS2

Producto de 2 particionesEl producto de dos particiones 1 y 2 (denotado 12) es la partición correspondiente a R1 R2.

12 es una partición de A a,b S 12 12 1 y 12 2

Funciones

Concepto de función

Función: una clase especial de relación - R de X a Y es un subconjunto de XY

Relación - Dom de R={x X (x, y) R para algún y Y}

Definición. Una función f de X a Y, denotada por f:XY, es una relación de X a Y que posee las siguientes propiedades:

1) Dom de f = X2) Si (x, y), (x, y’) f y = y’

Concepto de función

Ejemplo. f= {(1, a), (2, b), (3, a)} de X={1, 2, 3} a Y={a, b, c} es una función de X a Y. Dom(f)= X, contradom de f ={a, b}.

Notación: f(1) = a, f(2) = b, f(3) = a

X Y

2

3

a

b

c

1

Ejemplo. f = {(1, a), (2, a), (3, b)} de X={1, 2, 3, 4} a Y={a, b, c} no es una función de X a Y. No se cumple 1).

Ejemplo. f= {(1, a), (2, b), (3, c), (1, b)} de X={1, 2, 3} a Y={a, b, c} no es una función de X a Y. No se cumple 2).

X Y

2

3

a

b

c

1

4

X Y

23

a

bc

1

Tipos de funciones Funciones inyectivas

Definición. Se dice que una función f de X a Y es inyectiva (o uno a uno) si para cada y Y a lo más un x X con f(x) = y. Es decir si x, x’ X y f(x) = f(x’) x = x’.

X Y

2

3

a

b

c

1

d

Ejemplo. La función f ={(1, b), (3, a), (2, c)} de X={1, 2, 3} a Y={a, b, c, d} es inyectiva.

Ejemplo. La función f ={(1, b), (2, b), (3, a)} de X={1, 2, 3} a Y={a, b, c} no es inyectiva.

X Y

2

3

a

b

c

1

Tipos de funciones Funciones sobre (onto) o suprayectivas

Definición. Si f es una función de X a Y y el contradominio de f es Y, se dice que f es sobre Y o una función suprayectiva respecto a Y.

Ejemplo. La función f = {(1, a), (2, c), (3, b), (4, b)} de X={1, 2, 3, 4} a Y={a, b, c} es suprayectiva respecto a Y.

X Y

2

3

a

b

c

1

4

Tipos de funciones

Funciones biyectivas

Definición. Una función que es simultáneamente inyectiva y suprayectiva se denomina biyectiva o biyección.

Ejemplo. La función f = {(1, a), (2, c), (3, b)} de X={1, 2, 3} a Y={a, b, c} es una biyección.

X Y

2

3

a

b

c

1

Operaciones de funciones Función inversa

Definición. Supongamos f:XY inyectiva y suprayectiva la relación inversa {(y, x) (x, y) f } es una función de Y a X, llamada inversa de f. Se denota f -1.

Ejemplo. La función f = {(1, a), (2, c), (3, b)} de X={1, 2, 3} a Y={a, b, c} es inyectiva y sobre. f -1={(a, 1), (b, 3), (c, 2)}

X Y

2

3

a

b

c

1

Operaciones de funciones Composición de funcionesDefinición. Supongamos g:X Y y f: Y Z. Dado un x X puede aplicarse g para obtener y=g(x) Y. Después se puede aplicar f para obtener z = f(y) = f(g(x)) Z. La función de X a Z resultante se llama composición de f con g y se denota fg.

Ejemplo. Dados X={1, 2, 3}, Y={a, b, c}, Z={, , }g = {(1, a), (2, a), (3, c)} f = {(a, ), (b, ), (c, )}h: X Y es la función fg = {(1, ), (2, ), (3, )}

X Y

2

3

a

bc

1Z

Operaciones de funciones

Propiedades Supongamos A <, B < f: AB

-f puede ser sobre si A B -f puede ser inyectiva si A B -f puede ser biyectiva si A = B

-si f sobre A B A < B f no es sobre-si f inyectiva A B A > B f no es inyectiva-si f inyectiva A = B

Operaciones de funciones Principio del palomar “Si se tiene un conjunto de palomas y un palomar de manera que el número de palomas es más grande que el número de cajones en el palomar, entonces en algún cajón hay a menos 2 palomas”

f: AB; A: palomas, B: cajones; si A > B f no es inyectiva

Ejemplo. De 13 personas al menos 2 de ellas nacieron en el mismo mes.

Ejemplo. De 11 zapatos seleccionados entre 10 pares hay al menos un par.

Funciones especiales Sucesión

Definición. Una sucesión de elementos de X es una función de N a X.

Ejemplo. Si se define f(n)=-2n, se obtiene la sucesiónf(1)=-2, f(2)=-4, ... de enteros negativos-

Notación alternativa: -2 -4, -6, ... f1, f2, f3,...{fn} fn: definición de f(n)

Ejemplo. Una cadena (o arreglo) sobre X (sucesión finita de elementos de X) es una función de {1, 2, ..., n} a X; n>0: long de la cadena.

Funciones especiales

Operadores binarios

Definición. Una función de XX a X se llama operador binario sobre X.

Ejemplo. Sea X={1, 2, 3, ...}. Si f(x, y) = x+y, entonces f es un operador binario sobre X.

Ejemplo. Sea X={a, b, c}. Si definimos f(s, t)= st donde s y t son arreglos sobre X y st es la concatenación de s y t, entonces f es un operador binario sobre X*.

Funciones especiales

Operadores unariosDefinición. Una función de X en X se conoce como operador unario sobre X.

Ejemplo. f(x) = - x. f es un operador unario sobre X= {...-2,-1, 1, 2, ...}

Ejemplo. Sea U un conjunto universal. Si f(x)= x’ con xU, entonces f es un operador unario sobre P(U).

Función constanteDefinición. Sea f: A B, si f(x)= b0 xA entonces f es una función constante.

f es sobre si B={b0}. f es inyectiva si A ={x}

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