TEORIA DE CONJUNTOS

5/11/2018 TEORIA DE CONJUNTOS - slidepdf.com

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PRACTICAS DESARROLLADAS

TEORIA DECONJUNTOS

NIVEL 1



TEORIA DE CONJUNTOS

Bryan Lee Medgar – Lionel Aldair – George Howard Montero Orellana 2

TEORIA DE CONJUNTOS

DEFINICIÓN

La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos,por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otrasocasiones en palabras como hato, rebaño, piara, parcelas, campesinado,familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementosclaramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya seannúmeros, personas, figuras, ideas y conceptos.

En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se dauna definición de este, sino que se trabaja con la notación de colección yagrupamiento de objetos, lo mismo puede decirse que se consideren primitivas

las ideas de elemento y pertenencia.La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decirque dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto.Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellasobras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentespersonas puedan incluir distintas obras en el conjunto.

Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos. Por ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c,..., x, y, z. que se

puede escribir así:{a, b, c, ..., x, y, z}

Como se muestra el conjunto se escribe entre llaves ({}), o separados porcomas (,).

DETERMINACION DE CONJUNTOS

Existen dos maneras de especificar o determinar.

POR COMPRENSION POR EXTENSION

M={x/xN; 3<x≤8} M={4,5,6,7,8}

P={xN; x2+3=12} P={3}

S={2x-1/xN; 1≤x≤9} S={1,3,5,7,9,13,15,17}

A={x/xN; x<5} A={0, 1, 2, 3, 4, }

R={x/x es una parte del cuerpo humano} R={pies, manos, tronco…} P={x/x es una de las tres últimas letras

del alfabeto}

P={x, y, z}

S={x/xN/ 16<x<24; x es par} S={18, 20, 22}



TEORIA DE CONJUNTOS


A={x/xN/ 9<x<10} A={ }

B={xN/ 6<x<8} B={7}

H={xN/ 5<x; x es impar} H={7, 9, 11, 13 ….}

C={x/x es animal carnívoro} C={tigre, león, jaguar, zorro….} I={x/x son números cubos perfectos} I={23 , 33 , 43 , 53 ……}

S={(x+1)N/ 1<x<5} S={2, 3, 4}

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, por ejemplo:

El conjunto { a, b, c } también puede escribirse:

{ a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, { c, a, b }, { c, b, a }

En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por ejemplo:

El conjunto { b, b, b, d, d } simplemente será { b, d }.

MEMBRESIA

Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas: A, B, C,... por ejemplo:A={ a, c, b }B={ primavera, verano, otoño, invierno }El símbolo indicará que un elemento pertenece o es miembro de un conjunto.

Por el contrario para indicar que un elemento no pertenece al conjunto dereferencia, bastará cancelarlo con una raya inclinada / quedando el símbolocomo .

Ejemplo:Sea B={ a, e, i, o, u }, a B y c B

SUBCONJUNTO

Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 }En este caso decimos que B está contenido en A, o que B

es subconjunto de A. En general si A y B son dos conjuntoscualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A sitodo elemento de B lo es de A también.

Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B A.Si B no es subconjunto de A se indicará con una diagonal.

Note que se utiliza solo para elementos de un conjunto y solo paraconjuntos.

“No hay un gran genio sin mezcla de locura”

B subconjunto de U

U

B

A Intersección B Subconjunto de U

U

A B



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UNIVERSO O CONJUNTO UNIVERSAL

El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referenciarecibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problemaque se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio

muestral).Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales elconjunto queda:

U={ 1, 2, 3, 4, 5 }Forma alternativa para indicar conjuntos de gran importancia: Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero) representados

por la letra N dondeN={ 1, 2, 3, .... }

Conjunto de números enteros positivos y negativos representados por laletra Z donde

Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

Conjunto de números racionales (números que se representan como elcociente de dos números enteros {fracciones}). Estos números serepresentan por una Q.

Conjunto de números irracionales (números que no puedan representarsecomo el cociente de dos números enteros) representados por la letra I.

Conjunto de los números reales que son los números racionales eirracionales es decir todos, representados por R .

OPERACIONES CON CONJUNTOS

UNION

La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos porA B y es el conjunto formado por los elementosque pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos.Lo que se denota por:

A B = {x/x A ó x B }

Ejemplo: Sean los conjuntos

A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 } y B={ 6, 7, 10, 11, 12}

A B ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12 }

“Donde la ignorancia es una bendición, el destino es sabiduría ”

A U B

U

BA

UA B

.1.2

.3.4 .5

.6

.7.9

.10

.11

.12



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INTERSECCION

Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }

Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2,

4, 8 }. A este conjunto se le llama intersección de A yB; y se denota por A B, algebraicamente se escribeasí:

A B = { x/x A y x B }

Y se lee el conjunto de elementos x que están en A yestán en B.

Ejemplo:

Sean:

Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y

P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }

Q P={ a, b, o, r, s, y }

CONJUNTO VACIO Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulolo que denotamos por el símbolo .

Por ejemplo:

Sean A={ 2, 4, 6 } y B={ 1, 3, 5, 7 } encontrar A B.

A B= { }

El resultado de A B= { } muestraque no hay elementos entre las llaves,si este es el caso se le llamaráconjunto vacío ó nulo y se puederepresentar como:

A B=

“Quien no duda de sí mismo es indigno, porque confía

ciegamente en su capacidad y peca de orgullo ”

A intersección B

U

BA

A intersección B

U

BA

Q P.a

.n .p

.y.q.s.r

.o.b

.k

.l .u

v.z

.

A B

.2

.4 .6

.1

.3

.5 .7



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CONJUNTOS AJENOS O DISJUNTOS

Sí la intersección de dos conjuntos es igual alconjunto vacío, entonces a estos conjuntosles llamaremos conjuntos ajenos, es decir:

Si A B = entonces A y B son ajenos.

Sean A={ m, n, p } y B={ x, y, z } encontrar A B.

A B= { }

COMPLEMENTO

El complemento de un conjuntorespecto al universo U es elconjunto de elementos de U queno pertenecen a A y se denotacomo A' y que se representa porcompresión como:

A'={ x U/x y x A }

Ejemplo:

Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

A= {1, 3, 5, 7, 9} donde A U

El complemento de A estará dado por:

A'= {2, 4, 6, 8}

“Es preciso creer en la posibilidad de la dicha, para ser feliz ”

Conjuntos ajenos

U

BA

Complemento de A

A

A

Complemento de (A B)

(A B)

A B

A B

.m

.n .p

.x.y

.z

U

.8

A

.1

.2

.3

.4

.5

.6

.7 .9



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DIFERENCIA

Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y Bse denota por A-B y es el conjunto de loselementos de A que no están en B y se

representa por comprensión como:

A - B={x/x A ; X B}

Ejemplo:

Sea:

A= {a, b, c, d} y

B= {a, b, c, g, h, i}

A - B= {d}

En el ejemplo anterior se observa que solointeresan los elementos del conjunto A queno estén en B. Si la operación fuera B - A elresultado es

B – A = { g, h, i }

E indica los elementos que están en B y noen A.

DIAGRAMAS DE VENN Los diagramas de Venn se deben al filósofo inglés John Venn(1834-1883) sirven para encontrar relaciones entre conjuntosde manera gráfica mediante dibujos ó diagramas.

La manera de representar el conjunto Universal es unrectángulo, ó bien la hoja de papel con que se trabaje.

Un ejemplo de la representación del conjunto universal se muestra como:

Los conjuntos se representan por medio de dibujos dentro del rectángulo, losaspectos de interés se resaltan sombreando las áreas respectivas.

U

Representación del Conjunto Universo

(A - B)

U

A B

(B - A)

U

A B

A B

.a

.b.c.d

.g

.h

.i

AB

.a

.b.c.d

.g

.h

.i



TEORIA DE CONJUNTOS


EJERCICIOS DESARROLLADOS

1. Se hizo una encuesta a 100 personas sobre la preferencia de trucha y polloy se sabe que 80 consumen trucha y 90 consumen pollo y 10 no consumenestos productos ¿Cuántos consumen los dos productos?

Desarrollo:80-x+x+90-x+10=100

180-x=100

180-100 = x

x= 80

Respuesta:Consumen los dos productos

80 personas

2. En un aula del primer grado de 50 alumnos, 30 alumnos practican futbol y25 basquet; si 15 alumnos no practican ninguno de los dos deportes¿cuántos practican ambos deportes?

Desarrollo:30-x+x+25-x+15=5070-x=5070-50 = xx= 20

Respuesta:

Practican ambos deportes 20 alumnos

3. En Escuela Primaria del Santa Isabel encontramos que de 800 alumnos,450 juegan ajedrez y 400 juegan ludo, si 200 alumnos no juegan ningunade los juegos ¿cuántos practican ambos juegos?

Desarrollo:450-X+X+400-X+200=8001050-X=8001050-800 = x

x= 250

Respuesta:Practican ambos Juegos 250 alumnos

4. De un grupo de 60 alumnos, 30 prefieren lenguaje, 40 prefierenmatemática, 5 prefieren otros. ¿cuántos prefieren matemática y lenguaje?Desarrollo:40-x+x+30-x+5=6575-x=6575-65 = x

x= 10

Respuesta:Prefieren ambos cursos 10 alumnos

30-x

x 25-x

15

F= 30 B= 25 50U

450-x 400-x

200

A=450 L = 4 0 0

800U

x

40-x 30-x

L=40 M=3065U

5

x

T=80

10

P=90

80-X X 90-X

100U



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5. De los 31 días del mes de julio, José salió con María 18 días y con rosa salió20 días. ¿cuántos días José salió con las dos?

Desarrollo:18-x+x+20-x=31

38-x=3138-31 = xx= 7

Respuesta:Salió con las dos

7 días

6. En una tribu de 10 nativos, 38 comen carne cruda, 48 comen carne cocida.Si 21 son vegetarianos. ¿cuántos comen carne cruda y cocida a la vez?

Desarrollo:

38-x+x+48-x+21=100107-x=100107-100 = xx= 7

Respuesta:Comen carne cruda y carne cocida

7nativos

7. En un salón de 40 alumnos, se observó que 25 aprobaron matemática, 15

aprobaron lenguaje y 10 no aprobaron ninguno de los dos cursos. ¿cuántosaprobaron los dos cursos?

Desarrollo:25-x+x+15-x+10=4050-x=4050-40 = xx= 10

Respuesta:Aprobaron los dos cursos 10 alumnos

8. De los 60 alumnos de un aula, 50 tiene libro de matemática y 15 dematemática y física. ¿cuántos tienen un sólo libro?

Desarrollo:35+15+X-15= 60X= 60-35

x= 25

Respuesta:Tienen un sólo libro 35+10=45 alumnos.

18-x 20-x

M=18 R=2031U

x

38-x 48-x

21

CRUDA=38 COCIDA=48100U

x

25-x 15-x

10

M=25 L=4840U

x

M=50 F=X60U

1550-15 X-15

35 10



TEORIA DE CONJUNTOS


9. En una encuesta realizada a un grupo de 100 alumnos, se obtuvieron lossiguientes datos:

U=100Aritmética= 28

Aritmética y Algebra= 8Algebra= 30Aritmética y Geometría= 10Geometría= 42Algebra y Geometría= 5Aritmética, Algebra y Geometría = 3

¿Cuántos no dominan ninguno de los trescursos?

Desarrollo:

13+20+30+5+7+2+3+X= 10080+X= 100X=100-80X=20

Respuesta:

No dominan ninguno de los tres cursos

20 alumnos.

10. Una encuesta realizada entre 82 madres de familia arroja el siguienteresultado, 43 saben costura, 47 repostería, 58 tejido, 19 costura yrepostería, 28 costura y tejido, 30 repostería y tejido y 11 las tres

ocupaciones; indicar:

a. ¿Cuántos saben solo costura?Solo costura: 7 madres

b. ¿Cuántos saben solo dos especialidades?Saben solo dos especialidades: 8+17+19= 44madres

c. ¿Cuántos no saben tejido?No saben tejido 7+8+9= 24 madres

d. ¿Cuántos saben solo una de las tres especialidades?Saben solo una de las tres especialidades: 7+9+11= 27 madres.

e. ¿Cuántos saben costura o tejido, pero no repostería?Saben costura y tejido pero no repostería: 7+17+11= 35 madres.

“El tiempo perdido no se recupera nunca y cuando decimos que

tenemos tiempo de sobra descubrimos siempre que nos falta tiempo ”

AR=28 AL=30

G=42

100U

37

X

2

513

30

20

C=43 R=47

T=58

82U

1117 19

87

11

9



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11. En un instituto de investigación científica laboran 67 personas. De estas, 35hablan alemán, 47 hablan inglés y 23 ambos idiomas. ¿cuántos científicosno hablan el alemán ni el inglés?

Planteo:

Alemán= 35Inglés = 47Alemán e Inglés = 23

Desarrollo:12+23+24+X=6759+X=67X=67-59x=8

Respuesta:

No hablan Alemán ni Inglés 8 científicos.

12. En un aula de 75 alumnos a 5 no les gusta ni algebra ni geometría y a 45les gusta sólo geometría. ¿A cuántos les gusta sólo algebra si a 15 les gustaambos?

Desarrollo:X+15+45+5=75X+65=75X= 75-65

x= 10

Respuesta:

Les gusta sólo algebra

10 alumnos

13. En un aula de clases de 45 alumnos, 21 alumnos hablan sólo quechua y 15alumnos sólo castellano. ¿Cuántos hablan dos idiomas?Desarrollo:21+X+15=4536+X=45X=45-36x= 9

Respuesta:

Hablan los dos idiomas

9 alumnos

14. Cincuenta niñas van de paseo y llevan de refrigerio lomo saltado y tallarín.Si 18 llevan sólo lomo saltado y 20 llevan lomo saltado y tallarín, y 32tallarín. ¿Cuántas niñas llevan un sólo potaje?

Desarrollo:=18+12= 30

Respuesta:Llevan un sólo potaje

30 niñas.

A G 75

15X 45

5

U

LS T=32

18 20 12

32-20

U

Q C

21 X 15

45U

A=35 I=47

1235-23 47-23

23 24

X

U67



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15. Rocío tiene 39 yases, Lourdes tiene 27 yases. Si 6 son de ambos. ¿Cuántasyases tienen en total?

Desarrollo:=33+6+21= 60

Respuesta:Tienen en total 60 yases.

16. David tiene 6 canicas, Iván tiene 7 canicas. ¿Cuántas canicas tienen si 3son de ambos?

Desarrollo:=3+3+4

= 10

Respuesta:

Tienen en total 10 canicas.17. A 40 personas se les consultó sobre sus preferencias en alimentos y resultó

que 25 prefieren carnes y 15 prefieren carnes y verduras. ¿Cuántosprefieren sólo verduras?

Desarrollo:10+15+X=4025+X=40X=40-25

X=15

Respuesta:Prefieren sólo verduras 15 personas.

18. En un grupo de 50 señoritas: 28 usan el perfume Mercy, 25 el perfumeFiory y 7 ninguno de los dos perfumes. ¿Cuántos usan los dos perfumes?

Desarrollo:28-X+X+25-X+7=5060-X=5060-50=X

X=10

Respuesta:Usan los dos perfumes 10 señoritas.

19. En un aula de 60 alumnos, 40 estudian Matemática, 25 Matemática yQuímica. ¿Cuántos estudian un sólo curso?

Desarrollo:15+25+X=6040+X=60X=60-40

X=20

Respuesta:

Estudian sólo un curso 15+20=35 alumnos.

R=39 L=27

39-6

6 2133

27-6

U

D=6 I=7

6-3

343

7-3

U

C=25 V=

25-1515

10 X

U 40

M=28 F=25

7

28-X 25-XX

U 50

M=40 L=

40-25

X2515

U 60



TEORIA DE CONJUNTOS


20. Se realiza una encuesta y en ésta se determina que 78 prefieren lasmanzanas y 62 prefieren las naranjas, si los encuestados son 100 y todostienen preferencias por alguna de las frutas mencionadas ¿Cuántaspersonas prefieren una sola fruta?

Desarrollo:78-X+X+62-X=100140-100=XX=40

Reemplazando:M=78-XM=78-40

M=38

N=62-XN=62-40N=22

Respuesta:Prefieren sólo una fruta 38+22=

60 personas.

21. Un conjunto “X” tiene 25 elementos y otro conjunto “Y” tiene 20 elementos,

suponiendo que hay 15 elementos en XY. ¿Cuántos elementos hay en

XY?

Planteo:

X=25Y=20

XY=15Desarrollo:10+15+5=MM=30

Respuesta:

En XY hay

30 elementos.

22. En un conjunto de 20 alumnos, 8 beben té y no beben café y a 13 les gustael té. ¿Cuántos beben café pero no beben té?

Desarrollo:8+5+x-5=20X=20-8X=12

Respuesta:Beben café pero no beben té

7 personas.

“Nada resulta más atractivo en un hombre que su cortesía, su paciencia y su tolerancia ”

M=78

X

100

62-X78-X

N=62

T=13

8 5 X-5

20C=X U

X=25 Y=20U M

25-15 20-15

10

15

5



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23. En una batalla de 30 soldados: 17 fueron heridos en la cabeza, 10 enambas piernas y 5 en las dos partes. Si 7 resultaron ilesos. ¿CuántosSoldados murieron?Desarrollo:=30-12-5-5-7

=30-29=1

Respuesta:Murió 1 soldado.

24. En un grupo de estudiantes: 47 hablaninglés, 35 Francés y 23 ambos idiomas. ¿Cuántos no hablan ninguno de losdos idiomas si el grupo consta de 67 personas?

Desarrollo:24+23+12+X=6759+X=67X=67-59X= 8Respuesta:No hablan ninguno de los Idiomas 8 estudiantes.

25. De un total de 54 postulantes a la universidad. 18 postulan a la carrera deMedicina, 20 estudiarán Ingeniería y 23 no han decido aún que carreraestudiar. ¿Cuántos alumnos están pensando estudiar ambas carreras?

Desarrollo:

18-X+X+20-X+23=5461-X=5461-54= XX=7

Respuesta:Estan pensando estudiar 7 alumnos.

26. A 27 señoritas se les encuestó por la calidad de ropa que prefieren.Resultando que 17 prefieren ropa importada, 9 ropa nacional y 2 señoritaspiensan que ambos son buenas. ¿Cuántas señoritas no gustan de ningunade las dos preferencias anteriores?

Desarrollo:15+2+7+X=2724+X=27X=27-24

X=3

Respuesta:No gusta ninguna de las preferencias 3 señoritas.

“A veces no nos dan a escoger entre las lagrimas y la risa, sino sólo

entre las lagrimas, y entonces hay que saber decidir por las más

hermosas”

I=47 F=35

47-2335-23

23 12

X

24

U 67

M=18 I= 20

18-X 20-XX

23

U 54

RI=17 RN=9

17-2 9-2

2 715

X

U 27

X=17 Y=10U 30

17-5 10-5

12

5

5

7



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27. En un grupo de muchachos: 42 son fanáticos de la selección de futbol “Alianza Lima”, 32 del “Cristal”, si 3 de ellos no son fanáticos de ningunaagrupación. ¿Cuántos son simpatizantes de ambas selecciones si el total demuchachos es de 66?

Desarrollo:42-X+X+32-X+3=6677-X=6677-66=XX=11

Respuesta:

Simpatizantes de ambas selecciones es 11 muchachos.

28. De 23 niños: 6 de ellos juegan con canicas y trompo: 14 juegan sólo concanicas y 2 no juegan nada. ¿Cuántos niños juegan sólo con trompo?

Desarrollo:14+6+X+2=2322+X=23X=23-22X=1

Respuesta:Juega sólo con trompo 1 niño.

29. En una escuela de 600 alumnos, 100 no estudian francés ni ingles, 450estudian francés y 50 estudian francés e Inglés. ¿Cuántos estudian sóloinglés?

Desarrollo:400+50+(x-50)+100=600500+x=600X=600-500

X=100

Reemplazando:=X-50=100-50X=50

Respuesta:

Sólo estudian inglés 50 alumnos.

“El hombre que hace que todo lo que lleve a la felicidad depende

de él mismo, ya no de los demás. Ha adoptado el mejor plan

para vivir feliz ”

AL=42 C=32

42-X 32-XX

3

U66

C T

14 X6

2

U 23

F=450

50 X-50

100

400

I=X 600



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30. En un aula de 35 alumnos, 7 varones aprobaron aritmética, 6 varonesaprobaron literatura, 5 varones y 8 mujeres no aprobaron ningún curso, 5alumnos aprobaron los dos cursos y 11 aprobaron sólo aritmética. ¿Cuántosmujeres aprobaron sólo literatura si se sabe que hay 16 varones en total?

Desarrollo:

Hallando “y” :

7-y+y+6-y+5=1618-y=16

Y=2

Hallando “x” :

8+4+y+5-y+x=19

17+x=19X=2

Respuesta:Aprobó sólo Literatura 2 mujeres.

31. En un grupo de personas, 11 prefieren ver películas de acción, 8 prefierenel drama y 11 ciencia y ficción. Además uno gusta las de acción y dramapero no las de ciencia y ficción; 2 prefieren las de drama y ciencia y ficciónpero no las de acción; y 4 gustan los tres tipos de película. 2 mencionan nogustar de ningún tipo de película. Si el grupo encuestado consta de 18

personas. ¿Cuántos gustan ver las películas de acción y ciencia ficción perono las de drama?

Desarrollo:

6-X+1+1+4+2+X+5-X+2=1821-X=18X=3

Respuesta:Gusta ver películas de acción y ciencia ficción pero no drama 3 personas.

32. En una fiesta de carnavales asisten 1000 invitados de los cuales 322, sonvarones, 470 son casados, hay 42 varones de piel morena de los cuales 17son solteros, 147 personas de piel morena son casados, 86 varones soncasados. ¿Cuántas mujeres son casadas?

Desarrollo:

262+122+X+4=678X+Y= 678-384

X+Y=294

Respuesta:Hay 294 mujeres casadas.

ARITMETICA

LITERATURA

7-Y

Y

6-Y

5

4+Y

5-Y

X

8

VARONES ( 16 ) MUJERES ( 19 )35

A=11

6-X 1 14

2X

5-XCF=11

D=8

2

18

CASADOS

470

SOLTEROS

530

1000

PIEL MORENA

25

61

17

219

322

262122

X

Y

678

1000 VARONES(322) MUJERES(678



TEORIA DE CONJUNTOS


33. En un grupo de 40 personas hay algunos que estudian o trabajan y otrosque no estudian ni trabajan. Si se sabe que 15 personas no estudian nitrabajan, 10 que si estudian y 3 personas que estudian y trabajan.¿Cuántas trabajan? ¿Cuántas sólo trabajan?¿Cuántas solo estudian?

Desarrollo:

7+3+15+X+3=4022+X=40X=40-22X=18

Respuesta:

¿Cuántas trabajan? 3+X-3=

18 personas

¿Cuántas sólo trabajan? X-3= 18-3= 15 personas

¿Cuántas solo estudian? 3 personas

34. De un total de 86 estudiantes de un instituto tecnológico sobre laspreferencias de algunos derivados de la leche, se determinó que 6estudiantes no tenían preferencia por ningún producto, 7 de ellos preferían

solamente malteada, 8 sólo yogurt, 4 estudiantes sólo chocolatada. Losestudiantes que prefieren malteada y yogurt son 21 y 31 de ellos yogurt ychocolatada, y 18 malteada y chocolatada ¿Cuántos estudiantes prefierenlos tres productos?

Desarrollo:

7+18-X+4+20-X+X+31-X+8+6=86-2X=94=86-2X=86-94-2X=-8

X=8/2X=4

Respuesta:

Prefieren los tres productos

4 personas

“El pensamiento lógico puro no puede brindarnos ningún

conocimiento del mundo empírico; todo conocimiento de la

realidad empieza en la experiencia y termina en ella ”

E=10

E=10

E=10

3

3

3

X-3

X-3

X-3

15

15

15

7

7

7

T=X

T=X

T=X

40

40

40

M

7 18-X

20-X 31-XX

4

8

6

86

Y

CH



TEORIA DE CONJUNTOS


35. Las clases del primer semestre en una Universidad está compuesta por 100estudiantes de estos: 40 son mujeres, 73 estudian electrónica, 12 sonmujeres que no estudian electrónica. ¿Cuántos varones no estudianelectrónica?

Desarrollo:

C+D=40…………(I) B+C=73………….(II) D= 12…………..(III) A= ?

Reemplazando III en IC+D=40C=40-12C= 28

B+C=73C=73-28B=45

A+B+C+D=100A+B=100-40A+B=60

A+B+C+D=100A=100-45-28-12

A=15Respuesta:No estudian electrónica

15 varones

36. Las clases del primer semestre en una Universidad está compuesta por 100estudiantes de estos: 40 son mujeres, 73 estudian electrónica, 12 sonmujeres que no estudian electrónica. ¿Cuántos varones no estudianelectrónica?

Desarrollo:

45+28+12+X=10085+x=100X=100-85X=15

Respuesta:No estudian electrónica

15 varones

“ Lo pasado ha huido, lo que esperas está ausente, pero el

presente es tuyo ”

A B C D

100

VARONES MUJERES

Electronica

SEXOP R O F E S I O N

ESTUDIAN

ELECTRONICA

NO ESTUDIAN

ELECTRONICA

45 28

X 12

73

100 60 40

HOMBRES MUJERES



TEORIA DE CONJUNTOS


37. En un salón de clase de 100 alumnos, hay 40 hombres provincianos, 30mujeres limeñas y el número de mujeres provincianas excede en 10 alnúmero de hombre limeños. ¿Cuántos hombres hay en el aula?

Desarrollo:

40+x+x+10+30=10080+2x=1002x=100 – 802X=20X=20/2X=10

Hombres Limeños:=X+10=10+10

=20

Sumatoria de hombres:∑=HP+HL ∑=40+20 ∑=60

Respuesta:En el aula hay

60 hombres.

38. En un salón de clases: 3/5 de los alumnos usan reloj, 1/3 de los alumnos

sólo usa anteojos y los 2/5 usa anteojos y reloj. ¿Qué fracción de losalumnos no usan anteojos ni reloj?

Planteo:U= ?R= 3/5A= Sólo 1/3AR=2/5

Desarrollo:1/5+2/5+1/3=X

3+6+5=x15X=14/15

La fracción de alumnos que no usan anteojos ni reloj será:1-14=X

15X= 15-14

15X= 1/15

“ Lo malo de nuestro tiempo es que el futuro ya no es lo que era ”

100 ALUMNOSHOMBRES

PROVINCIANOS

40

30

HOMBRESLIMEÑOS

X+10

MUJERESPROVINCIANOS

X

MUJERESLIMEÑOS

R=3/5

2/51/5 1/3

Z=1

3/5-2/5

A=



TEORIA DE CONJUNTOS


39. De un grupo de comerciantes que venden los productos A, B, C y D se sabeque ningún vendedor de A vende también C, de los comerciantes 8 solovenden B, 10 venden solo A, 23 venden B o C pero no D, los comerciantesque vende D están prohibidos de vender B y también A. Además los 15comerciantes venden sólo D, 3 venden solo C y 40 no venden B. ¿Cuántos

comerciantes son en total, si 5 de ellos venden los productos A y B?

Desarrollo:10+3+X+15=4028+X=40X=40-28X=12

∑ = 10+5+8+7+3+12+15∑ = 60

Respuesta:

Total hay 60 comerciantes.

40. En una reunión juvenil hay 80 personas de modo que:

5 varones tienen 18 años16 varones no tienen 18 años14 varones no tienen 20 años10 mujeres no tienen 18 0 20 años

¿Cuántas mujeres tienen 18 o 20años?

Desarrollo:80=21+x+1080-31=x

X= 49

Respuesta:Hay 49 mujeres que tienen 18 o 20 años.

“Enseñar no es una función vital,

porque no tiene el fin en si misma, la

función vital es aprender ”

tiene 18 años

tiene 20 años

No tiene 18 o 20 años

U=80

5

79

21

10

x+10

VARONES MUJERES

x

A B C D

85 153 X710

U



TEORIA DE CONJUNTOS


Ejercicios

1. - Exprese en forma tabular: El conjunto de los edificios del Colegio de Postgraduados en Montecillo,

Edo. De México. El conjunto de los días de la semana. El conjunto de los números dígitos El conjunto de los mejores cantantes de Rock. El conjunto de las mejores películas mexicana de la era de oro.

2. - Indique en cada caso si los conjuntos que se dan a continuaciónson iguales:

a) { 2, 4, 6 } y { 6, 2, 4 }

b) { 3, 5, 6, 9 } y { 3, 5, 8}

c) {5 } y el conjunto de números enteros mayor que 4 ymenores que 6

3.- El conjunto de los números que aparecen en la cifra: 3, 132, 231 es:

4.- El conjunto de las letras del palíndroma "dabale arroz a la zorra elabad" es:

5.- El conjunto de las letras que aparecen en la frase "Alto, losvalientes no asesinan" es:

6.- Sea A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, indique la pertenencia,membrecía o no de los siguientes ejercicios:

“El amigo ha de ser como el dinero, que antes de necesitarle, se

sabe el valor que tiene ”

a) 2 A

b) 7 A

c) 3.5 A

d) 12 A

e) -4 A

f) 9 A



TEORIA DE CONJUNTOS


7.- Sea A = {1, 3, 5, 6, 7, 11}, identifique los conjuntos que sonsubconjuntos de este:

8.- Si A B y B A que se puede sacar como conclusión de los

conjuntos A y B?.

9.- Sean C = {a, b, c, d, f}; D = {a, b, c} y E = {b, c, k}

Indique cuales de los siguientes incisos son correctos

a) n Bb) k Ec) E Dd) c Ee) D cf) c D

10.- Indique la representación por compresión de los siguientesconjuntos:

a. { 1 , 2, 3, 4, 5 }b. { 2, 4, 6, 8, 10 }c. { 1, 2, 4, 5, 7, 9 }d. { A, B, C, D }

11.- Exprese los siguientes conjuntos:

a. { x/x N; x < 10 }b. { y/y Z; -3 < y < 2 }

12.- Si M = {2, 3, 4, 5}; S = {1, 3, 4} y N = {1, 3, 4, 5}

Exprese {x/x N; x M} y {x/x S ó X N}

“ La felicidad sólo puede ser hallada en el interior ”

a) B = { 3, 7, 8 }

b) C = { 0, 1, 2 }

c) E = { 11, 1, 3,

5 }

d) D = { 4 }



TEORIA DE CONJUNTOS


13.- Si:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} R = {3, 5, 6, 8}

Z = {1, 2, 3, 8}

Obtenga:

a. S Rb. S Zc. S R Zd. S Re. S Zf. R Zg. S R Z

h. ( S Z ) R

14.- Sean A = {3, 5, 9}; B = {2, 4, 6} y C = {2, 3, 4, 5, 9}

a. ¿Los conjuntos A y B son ajenos y porque?b. ¿A es subconjunto de C?c. ¿ es un subconjunto de C?d. ¿B es subconjunto de C?

15.- Complete la siguiente tabla:

Conjunto

A

Elementoen

A

Subconjunto de

A

Número deSubconjuntos

de A

0 1 = (20 = 1)

{ a } 1 , { a } 2 = (21 = 2)

{ a, b } 2 , { a }, {b}, { a , b } 4 = (22 = 4)

{ a, b, c }

{ a, b, c, d }



TEORIA DE CONJUNTOS


16.- Si

U = { 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 } A = {1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13}

B = {1, 2, 5, 7, 9, 13}

Encuentre:

a. B’ = b. A’ B’ = c. (A B)’ = d. (A’ B)’ =

17.- ¿Cuales de las siguientes igualdades son verdaderas?

a. ( A A’) = U

b. (A A’) =

c. (A’)’ = A

d. ’ = U

e. U’ =

f. (A B ) = A’ B’

18.- Si

A = { 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 } B = {1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13} C = {1, 2, 5, 7, 9, 13}

Encuentre:

a. A - B =b. B - A =c. B - C =d. C - A =

19.- Si

A = { 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 } B = {1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13} C = {1, 2, 5, 7, 9, 13}

Haga un diagrama de Venn resultante de los conjuntos A, B y C.

20.- Represente en diagrama de Venn:

a. A’

b. A Bc. A B C =



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d. (A B C)’ =

e. (A B) C =

21.- La dirección de la escuela Nacional preparatoria de la U.N.A.M.llevó al cabo una encueta entre 1000 estudiantes de los cuales 160

reprobaron física, 18 de ellos reprobaron historia y seis de estostambién reprobaron matemáticas; 58 reprobaron exactamente dosasignaturas de las tres, y 16 de estos reprobaron historia ymatemáticas, 120 reprobaron historia y 180 reprobaronmatemáticas.

a. ¿Cuántos alumnos reprobaron las tres materias?b. ¿Cuántos alumnos reprobaron historia como única materia?c. ¿Cuántos alumnos reprobaron historia y física pero no matemáticas?d. ¿Qué número de alumnos reprobaron física y matemáticas pero no

historia?

e. ¿Qué número de alumnos reprobaron únicamente una materia?f. ¿Qué número de alumnos reprobaron al menos una materia?g. ¿Qué número de alumnos no reprobaron ninguna materia?

Nota: Use diagramas de Venn para solucionar este problema.

22.- Encuentre 9 palabras ocultas en la siguiente sopa de letrasrelacionada con conjuntos.

R A I C N E N E T R E P

N F U A T U C I S I A NO O N M O S O S V O A O

N L I I N M M T A I I I

O D V N P R P U C O M C

T U E N U T L N I N A C

N A R N A S E I O N S E

U T S E L R M R A U V S

J N O V E A E M P A L RN E V F M N N O C C E E

O P I R L I T I A N O T

C D L A A Q O P N I V N

A F B C D A N O M I T I



TEORIA DE CONJUNTOS


23.- Llene el siguiente conjuntograma

3 5 2

1 Q Q Q Q Q S Q C C I O N

7 A J E N O S

6

4

1.- Operación que indica a los elementos comunes de dos o más conjuntos.2.- Agrupación de elementos de una misma especie.3.- Indica la totalidad de los elementos de uno o más conjuntos.4.- Nulo.5.- Pertenencia.

6.- Conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno deestos o a todos.

7.- Intersección de conjuntos que da como resultado conjunto vacío.

CONTESTE FALSO O VERDADERO A LAS SIGUIENTES EXPRESIONES

1.- La característica principal de un conjunto es estar bien definido

Falso Verdadero

2.- Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros.

Falso Verdadero

3.- La dispersión de objetos se llama conjunto.

Falso Verdadero



TEORIA DE CONJUNTOS


4.- El detallar todos los elementos de un conjunto entre llaves sedenomina forma tabular.

Falso Verdadero

5.- El conjunto de las vocales es: {a, b, c, d, e}

Falso Verdadero

6.- El conjunto de los colores primarios es {rojo, azul, verde}

Falso Verdadero

7.- El conjunto de los días de la semana es:

{lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}

Falso Verdadero

8.- El conjunto de los meses del año tiene 12 elementos.

Falso Verdadero

9.- Los conjuntos {2, 4, 6} y {6, 2, 4} son iguales

Falso Verdadero

10.- El conjunto de cada uno de los números que aparecen en las cifras5, 578 y 587 es {5, 7, 8}

Falso Verdadero

11.- El conjunto de cada una de las letras de la palabra casa es {a, c, s}

Falso Verdadero

12.- Sea B= {a, e, i, o, u}

a B

Falso Verdadero



TEORIA DE CONJUNTOS


13.- Sea B= {a, e, i, o, u}

c B

Falso Verdadero14.- Sea B= {a, e, i, o, u}

d B

Falso Verdadero

15.- Sean:

C= {a, b, c, d, f} D= {a, b, c} E= {b, c, k}

D C

Falso Verdadero

16.- Sean:

C= {a, b, c, d, f} D= {a, b, c}E= {b, c, k}

E C

Falso Verdadero

17.- Sean:

C= {a, b, c, d, f} D= {a, b, c}E= {b, c, k}

c E

Falso Verdadero



TEORIA DE CONJUNTOS


18.- Sean:

C= {a, b, c, d, f} D= {a, b, c}E= {b, c, k}

c C

Falso Verdadero

19.- Sean: C= {a, b, c, d, f} D= {a, b, c} E= {b, c, k}

c E

Falso Verdadero

20.- Sean: C= {a, b, c, d, f} D= {a, b, c} E= {b, c, k}

k C

Falso Verdadero

21.- Sean:

C= {a, e, f, g, h} D= {a, b, c, h}C D= {a, b, c, e, f, g, h}

Falso Verdadero

22.- Sean:

C= {a, e, f, g, h} D= {a, b, c, h}

CD= {a, c, h}

Falso Verdadero



TEORIA DE CONJUNTOS


23. - Sean:

C={c, f, g, h, i} D= {a, b, c, h} E= {a, b, c, f, g, h}

C D E= {c, h}

Falso Verdadero

24.- Sean:

C= {c, f, g, h, i} D= {a, b, c, h} E= {a, b, c, f, g, h}

(C E) D= {a, b, c, h, i}

Falso Verdadero

25.- Sean:

G= {a, b, c, f, g, h, i} T= {a, b, c, h, i, j}

G - T = {f, g}

Falso Verdadero

26.- Sean:

G= {x/x 1 <= X < 10} T= {1, 2, 5, 7, 8}

T - G = {1}

Falso Verdadero



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27.- Sean:

U= {x/x 0 < X < 10} P= {4, 5, 6, 7}

P'= {1, 2, 3, 8, 9}

Falso Verdadero

28.- Sean:

A= {1, 2, 3, 8, 9, 10} B= {4, 5, 6, 7}

AB = { }

Falso Verdadero

29.-El siguiente diagrama de Venn representa (A-B)':

Falso Verdadero

30.-El siguiente diagrama de Venn representa (A B)':

Falso Verdadero

U

.a

.b

.c.d

.e

.f.g

.h.i

A B

U

.a

b

.c.d

.e

.f.g

.h .i

A B



TEORIA DE CONJUNTOS


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