Los planes corresponden al hombre,las probabilidades a Dios.Proverbio chino

Nociones de Probabilidad

EventosTodo experimento debe ser susceptible de repeticiones conservando las mismas condiciones con las cuales se realiz su antecesor. Esto es, el investigador debe fijar esas condiciones, bajo las cuales se realizarn las sucesivas repeticiones del experimento y conservarlas en cada una de las rplicas, de tal manera que sus inferencias resulten lo ms fiables posible.

Sin embargo, aun as no siempre se obtienen los mismos resultados, pues a veces participan factores incontrolables que aparentemente no obedecen a ninguna causa natural, ni intervencin humana intencionada y que denominamos Azar o casualidad..

EventosTodo experimento debe ser susceptible de repeticiones conservando las mismas condiciones con las cuales se realiz su antecesor. Esto es, el investigador debe fijar esas condiciones, bajo las cuales se realizarn las sucesivas repeticiones del experimento y conservarlas en cada una de las rplicas, de tal manera que sus inferencias resulten lo ms fiables posible.

Sin embargo, aun as no siempre se obtienen los mismos resultados, pues a veces participan factores incontrolables que aparentemente no obedecen a ninguna causa natural, ni intervencin humana intencionada y que denominamos Azar o casualidad..

EventosExperimento determinstico es aquel en el cual, bajo las mismas condiciones experimentales, las repeticiones del experimento absolutamente todas, siempre producen el mismo resultado.

El experimento Aleatorio, conservando las mismas condiciones experimentales, los resultados no se pueden predecir, con exactitud, para ninguna repeticin.

EventosEjemplo lanzamos una moneda al aire para observar de cual lado cae, no podemos pronosticar con certeza, si se presenta sello o se presenta cara. Tenemos entonces presente el componente del azar y por consiguiente un experimento aleatorio.

No ocurrira igual si la moneda estuviese diseada igual por ambos lados y por consiguiente sera un experimento determinstico

EventosTodos los posibles resultados de un experimento aleatorio, conforman el espacio muestral que representaremos por S, a cualquier subconjunto del espacio muestral se le denomina suceso o evento aleatorio y lo denotaremos con E. . Cada uno de los elementos del espacio muestral se denomina evento elemental e:

Teora de Conjuntos

Conjunto es una coleccin de objetos o entidades distinguibles y bien definidas. Los objetos (nmeros, letras, puntos, etc.) que constituyen un conjunto se les llama miembros o elementos del conjunto

DEFINICION DE CONJUNTO

Teora de Conjuntos Normalmente se utilizan letras maysculas A, B, X, Y . Para denotar Conjuntos

Y para denotar a los elementos se utilizan letras minsculas a,b,c,, nmeros, smbolos o variables.

DEFINICIONES DE CONJUNTOEXPLICITAMENTE IMPLICITAMENTE Un Conjunto puede ser definido:

EXPLICITAMENTE escribiendo cada uno de los elementos que componen el conjunto dentro de llaves o separados por una coma

DEFINICION DE CONJUNTO EXPLCITAMENTE 1.- Sea A el conjunto de las vocalesA= { a, e, i, o, u } 2.- Sea B el conjunto de das de la semanaB= { lunes , martes, mircoles, jueves, viernes}

IMPLICITAMENTE escribiendo dentro de las llaves las caractersticas de los elementos que pertenecen al conjunto , como sigue

DEFINICION DE CONJUNTO IMPLICITA

Sea A es el conjunto de las vocalesSe escribe A= {x/x es una vocal}Y se lee El conjunto de todas las x tales que x es una vocal Sea D el conjunto de los nmeros paresSe escribe D= {x/x es un numero natural par }Y se leeEl conjunto de todas las x tales que x es un numero natural par

Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte de su lista de elementos.

RELACIN DE PERTENENCIA

Se representa de la siguiente manera

Elemento conjunto .. Se lee elemento pertenece a conjunto

Elemento conjunto . Se lee elemento NO pertenece a conjunto

Ejemplos: a A Se lee a Pertenece al conjunto A w A Se lee w No pertenece al conjunto A 3 D Se lee 3 No pertenece al conjunto D

Podemos decir que un conjunto esta bien definido si podemos afirmar de manera inequvoca si un elemento pertenece a l o no CONJUNTO BIEN DEFINIDO

Sea T el conjunto de las personas simpticas

Este conjunto no esta bien definido ya que la idea de ser simptico essubjetiva, No hay un criterio definido para decir que una persona es simptica o no

Un conjunto es FINITO cuando podemos listar todos sus elementos

Un conjunto es INFINITO si no podemos listar todos sus elementos

Ejemplo:S= {x/x N, x >= 10}Se lee x tal que x pertenece a los nmeros naturales y x es mayor o igual a 10

RELACIONES DE IGUALDAD DE CONJUNTO

Relaciones Entre Conjuntos

Igualdad de Conjuntos

Sub ConjuntosConjuntos EspecialesConjuntos de Pares

Conjunto Vacio

Conjunto Universal

Decimos que dos conjuntos A y B son iguales (A = B ) si todos los elementos de A pertenecen a BIGUALDAD DE CONJUNTOS

A= { x, y }B= { y, x }

Esto es:A=B, entonces x A, implica que x B y Que y B, implica que y A.

Ejemplo de Igualdad de ConjuntosIGUALDAD DE CONJUNTOS

Si M= { 1, 3, 5, 7, 9 } y L= {x/x es impar, 1 x 9 }

Esto significa que M=L

Si cada elemento de un conjunto A es tambin elemento de un conjunto B, entonces A se llama Subconjunto de BTambin decimos que A, esta contenido en B O que B, esta contenido en A

A no es un subconjunto de B, es decir si por lo menos un elemento de A no pertenece a B SUBCONJUNTO

Ejemplo:SUBCONJUNTO

Considere los siguientes conjuntos:A={ 1, 3, 4, 5, 8, 9 }B={ 1, 2, 3, 5, 7 }C={ 1, 5 }Podemos decir que:C A y C B, Ya que 1 y 5 los, elementos de C, tambin son elementos de A y BB A Ya que algunos de sus elementos como el 2 y 7 no pertenecen a Ao se que no todos lo elementos de B son elementos de A

Ejemplo:SUBCONJUNTO

Considere los siguientes conjuntos:B={ x/x es un ave}H={ y/y es una paloma}Podemos decir que:H B H es un subconjunto de B

Ejemplo:SUBCONJUNTO

Considere el siguiente conjunto:A={ x/x N es par}y B={ y/y N y es mltiplo de 2}Podemos decir queB = A A = B

CONJUNTO VACIO (Conjuntos Especiales)

Un conjunto VACIO es el que carece de elementos, se simboliza { } o por .

Ejemplo de conjunto Vacio:El conjunto cuyos miembros son los hombres que viven actualmente con mas 500 aos de edad.

CONJUNTO VACIO (Conjuntos Especiales)

Un conjunto VACIO es el que carece de elementos, se simboliza { } o por .

Ejemplo de conjunto Vacio:El conjunto cuyos miembros son los hombres que viven actualmente con mas 500 aos de edad.

CONJUNTO UNIVERSAL (Conjuntos Especiales)

Cuando se habla o se piensa acerca de los conjuntos es conveniente saber que los miembros de un conjunto dado pertenece a alguna poblacin determinada.

CONJUNTO UNIVERSAL (Conjuntos Especiales)

Ejemplo Si se habla de un conjunto de nmeros es til establecer una poblacin general de nmeros denominado CONJUNTO UNIVERSO o CONJUNTO REFERENCIA

Cuyos elementos son los posibles candidatos para formar los conjuntos que intervienen en una discusin determinada.

El conjunto Universal se denomina : U

CONJUNTO UNIVERSAL (Conjuntos Especiales)

Ejemplo

Si U=N, el conjunto de los nmeros naturales

A = { 1, 2, 3, 4, 5 }B={ x/x es un numero primo }C = { x/x es un numero natural par } A, B y C son subconjuntos propios de ULos nmeros primos menores que cien son los siguientes:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89y97

CONJUNTO PARTES (Conjuntos Especiales)

Dado un conjunto A, el conjunto de partes de A, denominado por P(A),

Es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A

En la lista de subconjuntos de A hay que tener en cuenta dos subconjuntos especiales el mismo A, ya que A A, y el conjunto vacio

CONJUNTO PARTES (Conjuntos Especiales)

EjemploSi A = { a, b, c } entonces

P(A)={ {a}, {b}, {c}, { a, b }, { a, c }, { b, c }, { a, b, c, }, {} }

Los elementos del Conjunto P(A) son a su vez conjuntoUn conjunto cuyos miembros son conjuntos se llama Familia de ConjuntosP(A) es un ejemplo de una familia de conjuntos

NOTA:Si un conjunto M tienes n elementos P(M) constara de 2n elementos

2n = 23 = 2 x 2 x 2 = 8

DIAGRAMA DE VENN (Euler)

Los Diagramas de Venn e Euler son una manera esquemtica de representar los conjuntos y los conceptos de la teora de conjuntos.

Constituyen un auxiliar didctico valioso para visualizar las relaciones de: Pertenencia, Inclusin y las Operaciones con conjuntos.El Rectngulo representa conjunto Universal

Los crculos se han utilizado para representar a cada uno de los conjuntos.

DIAGRAMA DE VENN (Euler)

Si A={ 1, 2, 3,} B= { 1 } C={ 8,9 } D={ 8}

OPERACIONES CON CONJUNTOS

UNION DE CONJUNTOS

La unin de dos conjuntos A y B, denominada por A U B que se lee A unin B, es el nuevo Conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B o a ambos conjuntosA U B ={ x/x A V x B}En el diagrama de Venn, la regin sombreada corresponde al conjunto A U B

UNION DE CONJUNTOS

EjemploA U B ={ a, b, c, d, e, f}Si A={ a, b, c, d } B= { c, d, e, f }Entonces:

INTERSECCION DE CONJUNTOS

A B ={ X/X A x B }La interseccin de dos conjuntos A y B, denotada A B, que se lee A interseccin B.

Es el nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B, es decir, por los elementos comunes a ambos conjuntos

En este diagrama de Venn la regin sombreada corresponde al conjunto A B

INTERSECCION DE CONJUNTOS

A U B Tambin se llama suma lgica de los conjuntos A y BA B Se denomina tambin el producto lgico de los conjuntos Ay BSi A={ a, b, c, d } B= { c, d, e, f }Dos conjuntos que no tienen nada en comn se llaman DISYUNTOSObserve que los elementos c y d pertenecen simultneamente a los conjuntos A y BA B = { c, d }

INTERSECCION DE CONJUNTOS

Si A={ a, b, c, d } B= { c, d }A B = { c, d }Si A={ a, b, c, d } B= { m, p, q }A B = A B = , A y B son disyuntos

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

A - B ={ X/X A x B }La Diferencia de dos conjuntos A y B, denotada A B, que se lee A menos B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a BSimblicamente:

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

Simblicamente:

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

Ejemplo 1:Si A={ a, b, c } B= { c, d} A-B={ a, b }Ejemplo 2:Si A={ 3, 4, 5, 6 } B= { 4, 5 } A-B={ 3, 6}Ejemplo 3:Si A={ 1, 2, 3 } B= { 6, 7 } A-B={1, 2, 3 }

DIFERENCIA SIMTRICA DE CONJUNTOS

Simblicamente:

DIFERENCIA SIMTRICA DE CONJUNTOS

Simblicamente: A diferencia simtrica de B es igual ax Tal que x pertenece a A o x pertenece a B, y x pertenece a A interseccin B

DIFERENCIA SIMETRICA DE CONJUNTOS

Simblicamente:Observe que las regiones a la izquierda y a la derecha corresponden a los conjuntos A-B y B-APor eso tambin A={ 1, 2, 3, 4 } B= { 4, 5 } A B = { 1, 2, 3, 5 }

COMPLEMENTEOS DE UN CONJUNTOS

El complemento de un conjunto A con respecto al conjunto U, denota A, es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a ASimblicamente:A={ X/X A U x A }A= U A Ejemplo:A = { X/X es un numero natural par}Sea U = N (el conjunto de los nmeros naturales)A = { X/X es un numero natural impar}=U -A

CONJUNTOS NUMERICOS

Es la coleccin de Objetos matemticos representados por los smbolos 1, 2, 3, 4, ., etc. Llamados nmeros para contar. = {1, 2, 3, 4, .}Los nmeros enteros abarca los nmeros negativos incluyendo en cero y los nmeros positivos. Y se representa = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, .}

CONJUNTOS NUMERICOS

Es el conjunto de los nmeros de la forma donde p y q son enteros, con q 0, se representa mediante el smbolo.Es el conjunto de los nmeros que no pueden ser expresados como el cociente de dos nmeros enteros Entre los mas conocidos esta el

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CONJUNTOS NUMERICOS

Es el conjunto formado por todos los nmeros racionales e irracionalesEs la coleccin de nmeros de la forma a + bi, donde a y b son nmeros reales, e i es la unidad imaginaria que cumple con la propiedad. i2=-1

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IGUALSIMBOLOGIA

ELEMENTO PERTENECEES SUBCONJUNTONO ES SUBCONJUNTOELEMENTO NO PERTENECE=CONJUNTO VACIO{ } o CONJUNTO UNIVERSALUCONJUNTO DE PARTESP{A }UNIONINTERSECCIONDIFERENCIA SIMETRICACOMPLEMENTO DE UN CONJUNTODIFERENCIAUCONJUNTOS NUMERICOSNATURALES___ENTEROSRACIONALESIRRACIONALESREALESCOMPLEJOS

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