TEORÍA DE CONJUNTOS

La teoría de conjuntos es la rama de las matemáticas a la que el matemático alemán George

Cantor dio su primer tratamiento formal en el siglo XIX surgió de la necesidad de darle

rigurosidad lógica a las discusiones matemáticas con el fin de eliminar la ambigüedad del

lenguaje cotidiano. El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en

matemáticas, debido a que se puede encontrar implícita o explícitamente, en todas las

ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y

terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas bien

claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el infinito. El término conjunto

juega un papel fundamental en el desarrollo de las Matemáticas modernas.

CONJUNTO.- Es un agregado o colección de objetos de cualquier naturaleza con

características bien definidas de manera que se puedan distinguir todos sus elementos. A los

objetos que lo componen se les llama, elementos del conjunto.

CONJUNTO.- Es una agrupación, clase o colección de objetos denominados elementos

del conjunto: utilizando símbolos como a S representa que el elemento a pertenece o está

contenido en el conjunto S, o lo que es lo mismo, el conjunto S contiene al elemento a.

NOTACIÓN: A los conjuntos se les denota con letras mayúsculas y a sus elementos con

letras minúsculas. Para especificar un conjunto se recurre usualmente a uno de los

siguientes métodos:

1. Listar todos sus elementos, separarlos mediante comas y encerrarlos entre llaves { }

(llamado método de enumeración, de tabulación, o "por extensión"), en donde las

llaves engloba los elementos del conjunto (S) ya sea de forma explícita, escribiendo

todos y cada uno de los elementos, o dando una fórmula, regla o proposición que los

describa. El método "por extensión" es sumamente sencillo y no da lugar a

ambigüedades.

2. Encerrar entre llaves una propiedad definitoria que exprese específicamente cuáles

son los requisitos que debe satisfacer un elemento para pertenecer al conjunto

(llamado método "descriptivo" o "por comprensión"). El método "por comprensión"

proporciona un criterio práctico, para determinar si un elemento arbitrario pertenece

a un conjunto determinado: los objetos que poseen la propiedad, y sólo ellos,

pertenecen al conjunto.

EJEMPLO.- El conjunto cuyos elementos son los números 0, 7 y 14, está formado por tres

elementos. Si se designa este conjunto con la letra G, queda especificado convenientemente

mediante el método por "extensión", así: G = { 0 , 7 , 14 }.

Si se escribe V = { a , e , i , o , u } se ha especificado el conjunto de vocales del abecedario,

enumerando sus cinco elementos. Para especificar el conjunto mediante una propiedad

definitoria, se escribe: V = { x|x es una vocal del abecedario} y se lee así: V es el conjunto

de todos los elementos x, tales que x es una vocal del abecedario. La barra vertical | se lee

tal que. La x es un símbolo genérico, es decir un indicador de elementos. Cualquier otro

símbolo cumpliría la misma función; por ejemplo z, y, un asterisco, o cualquier otro

símbolo genérico.(Método Descriptivo).

SUBCONJUNTOS Y SUPERCONJUNTOS

OPERACIÓN DE CONJUNTOS

Las operaciones son formas específicas de combinar conjuntos para formar otros conjuntos.

Constituyen un sistema lógico de construcción de nuevos conjuntos en base a conjuntos

dados. Estas operaciones y sus propiedades nos llevan a la Teoría de Conjuntos como un

álgebra, o sea como un sistema matemático. En particular, se tratan las operaciones de

complementación, intersección, unión y diferencia.

UNIÓN.- Sean P y Q dos subconjuntos cualesquiera del conjunto universal U. La unión de

los conjuntos P y Q es el conjunto de los elementos de U que pertenecen por lo menos a

uno de los conjuntos P ó Q.

En símbolos:

Esta expresión se lee así: "P unión Q es el conjunto de elementos x que pertenecen a P, a Q,

o a ambos (P y Q)".

PROPIEDADES DE LA UNIÓN

i. De la definición de unión se deduce directamente que A U B = B U A La operación

de unión de conjuntos es conmutativa.

ii. Sea A un subconjunto cualquiera del conjunto universal U. La unión de A y Ø es

igual al conjunto A. En símbolos A U Ø = A. Por definición de unión

iii. Sea A un subconjunto cualquiera del conjunto universal S. La unión de A y el

conjunto universal es igual al conjunto universal.

En símbolos: A U S = S. Por definición de unión

iv. Para cualquier conjunto A se cumple que A U A = A. Por definición de unión

.

v. La unión de un conjunto A y de su complemento A´es el conjunto universal .

En símbolos: A U A´= U.

Por definición de unión de conjuntos .

vi. Si la unión de dos conjuntos es vacía, ambos conjuntos deben serlo. En símbolos: si

A U B = Ø entonces A = Ø y B = Ø.

vii. La unión se ha definido como una operación binaria. No hay inconveniente en

extender su ámbito de aplicación y definir la unión de cualquier número (finito o

infinito) de conjuntos, como el conjunto formado por los elementos que pertenecen

al menos a uno de ellos.

Por ejemplo, para el caso de tres conjuntos A, B y C, se tiene:

para k conjuntos

cualesquiera .

viii. La operación de unión es asociativa:

A U ( B U C ) = ( A U B ) U C = A U B U C.

INTERSECCIÓN.- Sean A y B dos conjuntos cualesquiera del conjunto universal . La

intersección de los conjuntos A y B , es el conjunto de los elementos de que son

miembros tanto de A como de B. Se simboliza por A B, y se especifica por

comprensión como sigue:

Esta expresión se lee así: "A intersección B, es el conjunto de elementos de que

pertenecen a A y a B."

PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN

i. De la definición de intersección se deduce directamente que:

La operación de intersección es conmutativa.

ii. la intersección de dos conjuntos da lugar a dos posibilidades distintas:

1. El conjunto de interseccón no es vacío; al menos, hay un elemento común a

ambos conjuntos A y B.

En símbolos

2. Los conjuntos A y B no tienen elementos en común; son disjuntos o

mutuamente excluyentes.

En símbolos .

iii. Para cualquier subconjunto A del conjunto universal se cumple que

. Por definición de intersección de conjuntos

.

iv. Para cualquier subconjunto A del conjunto universal se cumple que

Por definición de intersección de conjuntos

v. Para cualquier conjunto A se cumple que

Por definición de intersección

vi. Para cualquier conjunto A se cumple que

Por definición de intersección

vii. Se ha definido a la intersección como una operación binaria. No hay inconveniente

en extender su ámbito de aplicación y definir la intersección de cualquier número

(finito o infinito) de conjuntos, como el conjunto formado por los elementos

comunes a todos ellos. Por ejemplo, para el caso de tres conjuntos A, B y c, se

define Para los conjuntos cualesquiera

viii. La operación de intersección es asociativa:

DIFERENCIA.- Sean A y B dos subconjuntos cualesquiera del conjunto universal U. La

diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto de elementos que pertenecen a A pero no a

B.

El conjunto diferencia se denota por A -B y se especifica por comprensión mediante la

expresión

PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA

i. La operación de diferencia de conjuntos no es conmutativa.

En símbolos:

En efecto A-B se ha definido como el conjunto de los elementos de A que no

pertenecen a B, o sea ; mientras que B - A es el

conjunto de los elementos de B que no pertenecen a A, o sea:

.

ii. De la definición de diferencia se deduce directamente que:

.

iii. Si A es un subconjunto de B, no hay elementos de A que no estén en B, por lo que

el conjunto A - B carece de elementos.

En símbolos:

iv. Los conjuntos (A - B), (B - A) y son mutuamente excluyentes; la

intersección de dos cualesquiera de estos conjuntos es vacía.

En símbolos:

Nótese además que . Se dice que estos

conjuntos son totalmente exhaustivos.

COMPLEMENTO.- Sea B un subconjunto cualquiera del conjunto universal . El

complemento de B con respecto a U se define como el conjunto de elementos de que no

pertenecen a B. Se simboliza al complemento de B por B´, y se lo especifica por

comprensión mediante la expresión simbólica:

Esta expresión se lee así: "complemento de B es el conjunto de los elementos x que

pertenecen a U pero no pertenecen a B".

PROPIEDADES DE LA COMPLEMENTACIÓN

i. El complemento del conjunto universal U es el conjunto vacío Ø. Recíprocamente,

el complemento del conjunto vacío es el conjunto universal.

En símbolos:

ii. ¿ Cuál es el complemento del complemento de un conjunto?

El complemento de A está formado por todos los elementos de U que no están en A´ (o sea

por todos los que no quedan fuera de A) y éstos son exactamente los elementos del

conjunto A.

En símbolos:

o sea (A´)´ = A.

LA INTERSECCIÓN Y LA INCLUSIÓN

i. Sean P, Q y T subconjuntos cualesquiera del conjunto universal U. si T está

contenido tanto en P como en Q, también está contenido en la intersección

.

En símbolos: si entonces . A su vez, si un

conjunto T está incluido en la intersección de dos conjuntos P y Q, entonces está

incluido también en cada uno de ellos.

En símbolos: si entonces .

Resumiendo ambas propiedades se llega a que:

ii. Sean A y B dos subconjuntos cualesquiera del conjunto universal . El conjunto

intersección está incluido tanto en A como en B. En símbolos:

iii. Sean R y S dos subconjuntos cualesquiera del conjunto universal U. Si R es un

subconjunto de S, el conjunto intersección es igual al conjunto R. En

símbolos: A su vez, si el conjunto R es igual a la

intersección , esto implica que . En símbolos:

Resumiendo ambas propiedades, se concluye

que

LA UNIÓN Y LA INCLUSIÓN

i. Sean R, S y Q subconjuntos cualesquiera del conjunto universal U. Si el conjunto

unión R U S es subconjunto del conjunto Q, tanto R como S están contenidos en Q.

En símbolos:

A su vez si dos conjuntos R y S están contenidos en un tercero Q, su unión R U S,

es también un subconjunto de Q:

Resumiendo ambas propiedades, se llega a que

ii. Sean A y B dos subconjuntos cualesquiera de U. Los conjuntos A y B son

subconjuntos de la unión A U B.

En símbolos:

Dados dos conjuntos no vacíos A y B, si A está incluido en B, el conjunto unión es

igual al conjunto B.

A su vez, si la unión de dos conjuntos no vacíos es igual a uno de ellos, entonces el

otro es subconjunto del primero. En símbolos: si A U B = B entonces .

Resumiendo ambas propiedades se llega a que

para .

Producto Cartesiano:

Para poder definir al producto cartesiano de dos conjuntos cualesquiera A y B

primero definiremos lo que es par ordenado:

Par Ordenado: Un par ordenado es un conjunto de dos elementos donde nos interesa el

orden en que estos aparezcan. Se representan con paréntesis y a los elementos se les

denominará componentes: (a, b) representa el par ordenado cuya primera componente es a

y su segunda componente es b. Para que dos pares ordenados sean iguales sus componentes

deben serlo: (a, b) = (c, d) si y solo si a = c y b = d.

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los pares

ordenados cuya primera componente pertenece a A y cuya segunda componente pertenece a

B. Simbólicamente: A x B Aaba /),( y b B

ÁLGEBRA DE CONJUNTOS O ÁLGEBRA DE BOOLE

Las siguientes propiedades utilizando las definiciones del apartado anterior se

cumplen si A, B y C... son subconjuntos de un conjunto I:

1. A B , B A

2. A B = B A

3. A B C = A B C

4. BA CBAC

5. AA

6. A

7. IIA

8. AIA

9. CABACBA

10. CABACBA

11. IAA ' 12. 'AA

13. ''' BABA

14. ''' BABA

15. AAAAA

16. AA ''

17. 'BABA

18. CBACBA

19. Si entoncesBA , ABBA

20. CABACBA

DIAGRAMA DE VENN

Al trabajar con conjuntos, con las relaciones y operaciones entre ellos, es útil disponer de

un sistema de representación gráfica que permita visualizar lo que ocurre e interpretar con

diagramas las deducciones lógicas correspondientes.

El procedimiento usual consiste en dibujar rectángulos, círculos u otras figuras

geométricas, según un procedimiento que se conoce como "diagramas de Venn-Euler".

En un diagrama de Venn, el conjunto de puntos interiores de un rectángulo se toma como el

conjunto universal. Los subconjuntos del conjuntos universal se representan por los puntos

interiores de círculos (u otras regiones cerradas) trazados dentro del rectángulo.

Ilustraremos la utilidad de los diagramas de Venn, considerando diversos ejemplos de

representación gráfica.

i.Para un subconjunto A del conjunto universal , el diagrama de Venn es el siguiente:

.

en el que los puntos interiores a la circunferencia representan al conjunto A, y los puntos de

rectángulo exteriores al circulo representan al conjunto A, y los puntos de rectángulo

exteriores al círculo representan al conjunto complementario A´.

ii.Para dos subconjuntos A y B del conjunto universal , se tienen los siguientes diagramas:

En el primero se tienen dos conjuntos disjuntos, en el segundo se representan el caso de

inclusión , en el tercero se observa el caso de inclusión , y en el último dos

conjuntos con algunos elementos comunes.

Para representar las operaciones entre conjuntos, se tienen los siguientes diagramas:

.

En el primero, la zona rayada representa la intersección ; en el segundo, se

tiene la unión A U B; en el tercero, la diferencia A - B, y en el último la diferencia B - A.

También es necesario observar y comprobar algunas de las propiedades de esas

operaciones.

Por ejemplo, las propiedades

.

se aprecian en la figura BLa; las propiedades

.

se aprecian en la figura BLb; las propiedades

.

se aprecian en la figura BIb; las propiedades

.

se aprecian en la figura BH; las propiedades

.

se observan en los diagramas siguientes:

Finalmente, para representar gráficamente el caso de 3 subconjuntos del conjunto

universal, son usuales los siguientes diagramas:

PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS

Ya hemos aprendido cómo obtener nuevos conjuntos a partir de subconjuntos dados del

conjunto universal U, aplicando ciertas operaciones y sus propiedades. Ahora resumiremos

en un cuadro único las propiedades más importantes a las que obedecen las operaciones

entre conjuntos.

Sean A, B y C subconjuntos cualesquiera no vacíos de un conjunto universal U. Entonces,

independientemente de cuáles sean las especificaciones de U, A, B y C, se verifican las

siguientes leyes de los conjuntos:

I. de identidad

.

II. de idempotentes

.

III. de complementación

.

IV. de conmutatividad

V. de asociatividad

CBACBA

CBACBA

CBACBA

VI. de distributividad

.

VII. de "De Morgan"

VIII. Neutros

AA

AEA

IX. Propiedad de Negación

'

'

AA

EAA

X. Absorbentes

A

EEA

XI. Doble Negación

AA ''

XII. Simplificativas

ABAA

ABAA

LÓGICA PROPOSICIONAL

Introducción.- La lógica proposicional trabaja con sentencias u oraciones a las

cuales se les puede asociar un valor de verdad (cierto o falso), estas sentencias se conocen

como sentencias declarativas o simplemente proposiciones.

PROPOSICIÓN.- Es una idea, juicio, pensamiento, oración, sentencia. Para que sea una

proposición debemos asignarle un “valor” de verdadero falso y debe ser en forma

declarativa.

Ejemplo.- El día está soleado

Las proposiciones pueden ser simples o compuestas.

Proposición Simple o Atómica.- Son aquellas que no tienen los conectivos y /o o una

negación.

Proposición Molecular o Compuesta.- Tienen los conectivos y/ o , la negación,

“si...entonces”, “....si y solo si.....”

Otro aspecto importante es el de determinar si una proposición esta construida (o

puede ser deducida) a partir de un conjunto de proposiciones, es decir, si es una

consecuencia lógica de dicho conjunto.

La lógica proposicional (o cálculo proposicional) tiene el propósito de simbolizar

cualquier tipo de razonamiento para su análisis y tratamiento. Específicamente, para

simbolizar razonamiento, al lógica proposicional usa sentencias declarativas a las que se

puede asociar un valor de verdad; es decir usa proposiciones.

No existe una notación generalmente utilizada para representar proposiciones, pero

en este curso se identifica a cada una de ellas con un letra mayúscula (o una cadena de

letras mayúsculas).

Conectivas Lógicas.- La construcción de fórmulas compuestas requiere del uso de

elementos que permitan establecer una relación entre los átomos que la forman; estos

elementos se conocen como conectivas lógicas.

Las conectivas lógicas usadas en la lógica proposicional son cinco y son

representadas simbólicamente de varias formas, como se muestra a continuación:

Conectivo Conjunción “Y”.- Se puede encontrar expresada como: además, también, pero,

aún, aunque, sin embargo, no obstante, a pesar de que, igualmente, tanto, como, e, lo

mismo que, incluye, aún así, coma (,). Símbolos más asociados: ,&,* .

Su tabla de verdad es la siguiente:

P Q PQ

V V V

V F F

F V F

F F F

Conectivo Disyunción “O”.- La disyunción tiene dos significados: el exclusivo (uno, el

otro pero no ambos), el inclusivo (uno, el otro u ambos positivos). Los podemos encontrar

expresados como: al menos P o Q, como mínimo P o Q, en otro caso, de otra manera, ya

sea que, elija entre. Símbolos más asociados: |,, .

Su tabla de verdad es:

“O” Exclusivo “O” Inclusivo

Conectivo Negación (No).- La negación cambia el valor de verdad. Símbolos asociados:

,,

Tabla de verdad:

P P

V F

F V

Conectivo Condicional (Si ... entonces).- P Q, Q siempre que P, P es condición

suficiente para que Q, Q es condición necesaria para que P, Q si P, P solamente si Q, Q con

tal de que P, dado que P entonces se asigna que Q. Su símbolo es. .

Tabal de verdad:

P Q PQ

V V V

V F F

F V V

F F V

Conectivo Bicondicional (Si y solo si).- P si Q, solo si Q. Sus símbolos son: , .

Tabla de verdad:

P Q PQ

V V V

V F F

F V F

F F V

P Q PQ

V V F

V F V

F V V

F F F

P Q PQ

V V V

V F V

F V V

F F F

Jerarquía de Conectivas.- La jerarquía de conectivas no es más que el orden con el que se

utilizaran las conectivas ya que unas tienen mayor valor jerárquico que otras y su jerarquía

es la siguiente: negación es el operador con mayor jerarquía en la secuencia, después

teniendo el mismo nivel de potencia siguen la disyunción y conjunción, después la

condicional y por último el bicondicional.

Al tener una fórmula con la presencia de dos o más conectivas iguales, el orden de

asociatividad siempre será de izquierda a derecha.

Interpretación de fórmulas.- Es una asignación de valores de verdad a un conjunto de

átomos: para una fórmula con dos átomos se tienen dos posibles interpretaciones, para una

con tres se tienen ocho interpretaciones, y en general para una fórmula con n átomos se

tienen 2n interpretaciones.

Tautología o fórmula válida.- Una fórmula es tautología si es verdadera para todas sus

posibles interpretaciones.

Cuando una proposición molecular es siempre cierta para cualquier valor que se le

asigne a las proposiciones atómicas que la constituye.

Contradicción, Fórmula inconsistente, fórmula insatisfactible o Absurdo.- Cuando una

proposición molecular es siempre falsa para cualquier asignación de valores de certeza de

las proposiciones atómicas que la constituyen.

Contingencia.- Cuando una proposición molecular contiene los dos valores de cierto y

falso.

Proposiciones Equivalentes.- Si ellos tienen el mismo valor de certeza para las mismas

condiciones de valores de certeza de las proposiciones atómicas que la constituyen.

Fórmula Consistente o Satisfactible.- Una fórmula que al menos tiene una interpretación

verdadera.

Como consecuencia de las definiciones anteriores, se tiene que:

Una fórmula es válida si y solo si su negación es inconsistente.

Una fórmula es inconsistente si y solo si su negación es válida.

Una fórmula es inválida si y solo si existe por lo menos una interpretación sobre la cual

la fórmula es falsa.

Una fórmula es consistente si y solo si existe por lo menos una interpretación sobre la

cual la fórmula es verdadera.

Si una fórmula es válida, entonces es consistente, pero no viceversa.

Si una fórmula es inconsistente, entonces es inválida, pero no viceversa.

Fórmulas Equivalentes.- Existen varias equivalencias entre fórmulas de la lógica

proposicional, las cuales se conocen como leyes de equivalencia. La siguiente tabla muestra

las leyes. Se utiliza el símbolo Tautología para indicar una tautología y el símbolo

Contradicción para indicar una contradicción.

Ley de Equivalencia Fórmula

Doble Implicación )()( HGGFGF

Implicación GFGF

Distribución

)()()(

)()()(

HFGFHGF

HFGFHGF

Asociación

)()(

)()(

HGFHGF

HGFHGF

Complementación

FF

íaTautoFF

iónContradiccFF

log

Conmutación

FGGF

FGGF

Cero

iónContradicciónContradiccF

íaTautoíaTautoF

loglog

Identidad

FíaTautoF

FiónContradiccF

log

Idempotencia

FFF

FFF

Absorción

QFQFF

FQFF

FQFF

)(

Leyes de Morgan

HQFHQF

HQFHQF

)(

)(

Formas Normales.- En lógica proposicional son las formas para presentar fórmulas que

son importantes debido a que permiten definir métodos genéricos de evaluación y análisis y

de forma particular reciben el nombre de forma normal conjuntiva y forma normal

disyuntiva.

Forma Normal Conjuntiva.- Una fórmula está en su forma normal conjuntiva (FNC) si

es una conjunción de disyunciones, es decir, si tiene la forma: nFFF ...21 en la cual Fn

es una fórmula construida por una agrupación de átomos unidos por disyunciones, esto es

Fn es mPPP ...21 . En ambos casos n y m pueden ser mayores o iguales a 1.

Forma Normal Disyuntiva.- Una fórmula está en su forma normal disyuntiva (FND) si es

una disyunción de conjunciones, es decir, tiene la forma: nFFF ...21 , en la cual Fn es

una fórmula construida por una agrupación de átomos unidos por conjunciones; esto es Fn

es mPPP ...21 .

Para poder transformar cualquier fórmula a su forma normal (conjuntiva o

disyuntiva), es necesario aplicar la siguiente secuencia de operaciones de equivalencia

sobre la fórmula original:

1. Sustituir todas las ocurrencias de conectivas y en la fórmula usando las

correspondientes leyes de equivalencia.

2. Asegurarse que las negaciones afecten solo a átomos, usando las leyes de Morgan y la

eliminación de dobles negaciones.

3. Aplicar las otras leyes para encontrar la forma normal (las principales leyes que se

aplican son las distributivas).

Consecuencias lógicas.- Uno de los aspectos a analizar en la lógica proposicional es el de

determinar la validez de argumentos representados por fórmulas bien formadas.

ARGUMENTO.- Esta formado por las premisas, axiomas o postulados y por una

conclusión, objetivo o consecuencia lógica.

PREMISAS.- Son proposiciones que son base para la deducción de una conclusión o

consecuencia.

En términos de lógica proposicional, una consecuencia lógica es aquella fórmula

(G) que es derivada de un grupo de fórmulas (F) cumpliendo la restricción de ser verdadera

para todas las interpretaciones verdaderas del grupo de fórmulas (F). Esto es G es una

consecuencia lógica de las premisas F, si y solo si, al ser verdaderas las premisas G siempre

es verdadera.

Para comprobar si una fórmula es una consecuencia lógica de un grupo de fórmulas

se tienen dos métodos, que se producen a partir de los conceptos de validez e

inconsistencia. Estos métodos se conocen en forma de Teoremas:

Teorema 1.- Teniendo un grupo de fórmulas F1, F2 ,.....Fn y otra llamada G. G es una

consecuencia lógica de F1,F2..Fn si y solo si la fórmula GFFF n )...( 21 es válida.

Teorema 2.- Teniendo un grupo de fórmulas F1, F2,....Fn y otra llamada G. G es ua

consecuencia lógica de F1, F2...Fn si y solo si la fórmula GFFF n ...21 es

inconsistente.

Circuitos Lógicos.- Debido a que una proposición puede ser evaluad y resultar solo

verdadera o falsa, se puede deducir alguna equivalencia con el álgebra boolenana, que

maneja solamente dos valores (0 y 1). Las propiedades del cálculo proposicional son

equivalentes a la del álgebra booleana desarrollada por Boole.

En el álgebra booleana, una proposición es equivalente a una variable y las

conectivas lógicas se utilizan como compuertas lógicas. Lo esquemas que resultan de

aplicar las compuertas lógicas se conocen como circuitos lógicos.

PRONTUARIO DE LÓGICA MATEMÁTICA

IDEMPOTENCIA: pqp

pqp

LEY DE DOBLE NEGACIÓN: pp )''(

LEYES DE CONMUTACIÓN:

pqqp

pqqp

pqqp

LEYES DE ASOCIACIÓN:

rqprqp

rqprqp

rqprqp

)()(

)()(

)()(

LEYES DE DISTRIBUCIÓN:

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

prpqprq

rpqprqp

prpqprq

rpqprqp

LEYES DE ABSORCIÓN: pqpp

pqpp

)(

)(

LEYES DE DUALIDAD (LEYES DE DE MORGAN): '')'(

'')'(

qpqp

qpqp

LEYES DE IDENTIDAD:

FFp

pFp

pVp

VVp

LEYES DE COMPLEMENTO:

VF

FV

Fpp

Vpp

'

'

'

'

TAUTOLOGÍAS:

qqpp

qqpp

pqp

qpp

pp

rqpprrqqp

rqprqrp

rqprpqp

rqprqrp

rqprpqp

rpqrqp

rqprqp

pqqp

pqqp

qpqp

qpqp

qpqp

qpqp

qpqpqp

pqqpqp

qpqpqp

qpqpqp

qpqqp

qpqqp

qpqqp

qppqp

pqqp

qppq

qpqp

pqqp

pqqp

qpqqp

qppqp

pp

)()34

)()33

)32

)31

)30

)()())(29

)()())(28

)()())(27

)()())(26

)()())(25

)()()24

)())(23

''))(22

))(21

')')(20

')')(19

'')18

'')17

)''()()16

)()()15

)'()'()14

)''()()13

)'('))(12

)'('))(11

))(10

))(9

')'()8

')')(7

')')(6

')5

'')4

)()3

)()2

)1

rprqqp

rqrpqp

qrprqp

rqrpqp

rqrpqp

rqrpqp

pqqp

qpqp

qpsrsqrp

srqpsqrp

rqprqrp

rprqqp

qrprqp

rprqqp

pqqp

qpqp

qqp

pqp

qpqp

qpqp

qpqp

qpqp

pqqp

qpqp

qpqp

pqp

qpp

qpqp

qqpp

qpp

)())(64

)()()63

)()()62

)()()61

)()()60

)()()59

)58

)57

'')''()())(56

)()())(55

)()())(54

)())(53

)()()52

)()()51

''))(50

))(49

')')(48

)')(47

)'())(46

)'())(45

'))(44

)43

)42

)41

)40

)39

')38

')(')37

)(')36

')35

EQUIVALENCIAS CON LOS CONECTIVOS NEGACIÓN Y CONJUNCIÓN:

'')70

)'()69

)'()'''()68

)''()''()67

)''()66

)'''()65

qpqp

qpqp

qpqpqp

qpqpqp

qpqp

qpqp

EQUIVALENCIAS CON LOS CONECTIVOS NEGACIÓN Y DISYUNCIÓN:

)'()76

'')75

)''()''()74

)'()'''()73

')72

)'''()71

qpqp

qpqp

qpqpqp

qpqpqp

qpqp

qpqp

EQUIVALENCIAS CON EL CONECTIVO NAND:

))()(())()(()83

))(())(()82

))()(()()81

)()80

)()()79

)()()78

')77

qqppqqppqp

ppqqqpqp

qqppqpqp

qqpqp

qqppqp

qpqpqp

ppp

EQUIVALENCIAS CON EL CONECTIVO NOR:

))()(())()(()90

))()(()()89

))(())(()88

))(())(()87

)()()86

)()()85

')84

qqppqqppqp

qqppqpqp

ppqqqpqp

qppqppqp

qpqpqp

qqppqp

ppp

HISTORIA DE LOS LENGUAJES DE PROGRAMACIÓN

AÑO LENGUAJE INVENTOR DESCRIPCION

1900s BINARIO Bool primer lenguaje

1946 Plankalkul Konrad Zuse creado para jugar al ajedrez

1949 Short Code lenguaje traducido a mano

1950 ASM (ensamblador) lenguaje ensamblador

1951 A-0 Grace Hopper fue el primer compilador

1952 AUTOCODE Alick E. Glennie compilador muy rudimentario

1956 FORTRAN IBM sistema de TRAducción de FORmulas matemáticas

1956 COBOL Compilador

1958 ALGOL 58

1960 LISP

Interprete orientado a la Inteligencia Artificial

1961 FORTRAN IV IBM sistema de TRAducción de FORmulas matemáticas

1961 COBOL 61 Extendido

1960 ALGOL 60 Revisado

1964 PASCAL Niklaus Wirth programación estructurada

1964 BASIC Universidad de Dartmouth (California)

Beginners All Purpose Symbolic Instruction Code

1965 SNOBOL

1965 APL solo anotación

1965 COBOL 65

1966 PL/I

1966 FORTRAN 66 IBM sistema de TRAducción de FORmulas matemáticas

1967 SIMULA 67

1968 ALGOL 68

1968 SNOBOL4

1970s GW-BASIC antiguo y clásico BASIC

1970 APL/360

1972 SMALLTALK Centro de Investigación de Xerox en Palo Alto

pequeño y rápido

1972 C Laboratorios Bell lenguaje con tipos

1974 COBOL 74

1975 PL /I Lenguaje sencillo

1977 FORTRAN 77 IBM sistema de TRAducción de FORmulas matemáticas

1980s SMALLTALK/V Digitalk pequeño y rápido

1980 C con clases Laboratorios Bell lenguaje con clases

1981 PROLOG

Ministerio Japonés de Comercio Internacional e Industria (MITI)

Lenguaje estándar para la Inteligencia Artificial

1982 ADA Ministerio de Defensa de los EE.UU.

lenguaje muy seguro

1984 C++ AT&T Bell Laboratories (Bjarne Stroustrup)

compilador

1985 CLIPPER compilador para bases de datos

1985 QuickBASIC 1.0 Microsoft® Compilador de BASIC

1986 QuickBASIC 2.0 Microsoft® soporte de tarjeta gráfica EGA

1987 QuickBASIC 3.0 Microsoft® 43 líneas con la tarjeta EGA

1987 QuickBASIC 4.0 Microsoft® tarjetas Hercules, VGA

1987 CLIPPER SUMMER '87 compilador para bases de datos

1988 QuickBASIC 4.5 Microsoft® tarjeta SVGA

1989 QuickBASIC 7.1 Microsoft® ultima versión de QuickBASIC

1989 BASIC v5.0 interprete tipo QBASIC shareware

1990s VISUAL C++

1990s VISUAL BASIC Script Microsoft® lenguaje de script

1990 HTML Tim Berners-Lee para internet

1993 XML C. M. Sperberg-

McQueen para internet

1993 SGML Charles F. Goldfarb para internet

1990s WML para internet

1990s ASP Microsoft® para internet

1990s PHP para internet

1995 JAVA Sun Microsystems para internet y propósito general

1995 CLIPPER 5.01 compilador para bases de datos

1995 GNAT ADA95 Ministerio de Defensa de los EE.UU.

lenguaje muy seguro

1995 FORTRAN 95 IBM sistema de TRAducción de FORmulas matemáticas

1991 VISUAL BASIC 1.0 Microsoft®

1992 VISUAL BASIC 2.0 Microsoft®

1993 VISUAL BASIC 3.0 Microsoft®

1994 VISUAL BASIC 4.0 Microsoft®

1995 VISUAL BASIC 5.0 Microsoft®

1998 VISUAL BASIC 6.0 Microsoft®

1990s C#

2001 VISUAL BASIC .NET Microsoft® La evolución de Visual Basic