Teoria de Conjuntos y Proposiciones

TEORIA DE CONJUNTOSEsp.. Gloria Alejandra Rubio Vanegas

CONJUNTO conjunto se puede entender como una

coleccin o agrupacin bien definida de objetos de cualquier clase. Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos del conjunto

NOTACION Se representa con las letras del alfabeto

en Mayscula y los elementos entre llaves {} y en minscula

Ejemplo:

L={a,b,c.,z}

EXPRESIN DE CONJUNTOS

EXTENSION Cuando se nombran todos sus elementos

Ejemplo:

A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

COMPRENSIN Cuando se nombra una propiedad o regla

o caractersticas de los elementos del conjunto

Ejemplo:

A: { x N / x >0 y x

DEFINICION DE CONJUNTOS

CONJUNTOSINFINITOS

A={x R / 0 x < 9}

B={ x N / x es par}

CONJUNTOSFINITOS

A= { x / x es una letra del alfabeto}

B= { x / x son impares hasta el 20}

GRAFICO DE CONJUNTOSDIAGRAMA DE VENN

Nmeros Naturales ( N ) N={1;2;3;4;5;....}

Nmeros Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....}

Nmeros Racionales (Q)

Q={...;-2;-1; ;0; ; ; 1; ;2;....}

Nmeros Irracionales ( I ) I={...; ;....}2; 3;

Nmeros Reales ( R )

R={...;-2;-1;0;1; ;2;3;....}2; 3

1

2

1

5

1

2

4

3

Nmeros Complejos ( C )

C={...;-2; ;0;1; ;2+3i;3;....}2; 31

2

CONJUNTOS NUMRICOS

CONJUNTOS ESPECIALES

CONJUNTOUNIVERSAL

Es un conjunto referencial que contiene a todos los elementos de una situacin particular, generalmente se le representa por la letra U

U


CONJUNTOVACIO

Es un conjunto que no tiene elementos, tambin se le llama conjunto nulo. Generalmente se le representa por los smbolos: o { }

A = o A = { } se lee: A es el conjunto vaco o A es el conjunto nulo

U

A


CONJUNTOUNITARIO

Es el conjunto que tiene un solo elemento

Ejemplo: F = { x / 2x + 6 = 0 } G = { x / x es un nmero primo}

U

A

-3

RELACION ENTRE CONJUNTOS

INCLUSIN

Un conjunto A esta incluido en otro conjunto B ,s y slo s, todo elemento de A es tambin elemento de B, NOTACIN :

Se lee : A esta incluido en B, A es subconjunto de B, A esta contenido en B , A es parte de B.

A B

B

A

EJEMPLO DE INCLUSION DE CONJUNTOS

RELACION ENTRE CONJUNTOS

DIFERENTES

Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes.

OPERACIN ENTRE CONJUNTOS

UNION Si A y B son dos conjuntos no vacos, se define la unin entre A y

B como el conjunto de todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B. Simblicamente la unin se define as:

AUB = {x / xA, v , x B}, donde el smbolo v se lee o.

U

A B

EJEMPLO UNION DE CONJUNTOS


INTERSECCION Se define la interseccin entre dos conjuntos A y B como el

conjunto formado por todos los elementos que pertenecen simultneamente al conjunto A y al conjunto B. Simblicamente la interseccin se expresa as:

A B = {x / x A, ^ , x B} el smbolo se lee interseccin y el smbolo ^ se lee i.

U

A B

EJEMPLO INTERSECCION DE CONJUNTOS


DIFERENCIA Si A y B son dos conjuntos no vacos, entonces se

define la diferencia entre A y B as

Es decir son los elementos que posee el primer conjuntos que no pertenecen al segundo conjunto

U

A B

EJEMPLO DIFERENCIA DE CONJUNTOS


DIFERENCIASIMETRICA

Se define la diferencia simtrica entre dos conjuntos no vacos A y B, como el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B, pero no pertenecen simultneamente a ambos conjuntos.

U

A B

EJEMPLO DIFERENCIA SIMETRICA DE CONJUNTOS


COMPLEMENTO

Si A es un conjunto no vaco, el complemento de A, simbolizado por A, est formado por todos los elementos que no pertenecen al conjunto A, es decir,

U

A B

EJEMPLO COMPLEMENTO DE CONJUNTOS

PROPOSICIONES Una proposicin lgica es un enunciado lingstico que

debe cumplir con la condicin de ser susceptible de poder ser verdadero o falso. Ejemplo:

Hoy es mircoles 21 de marzo

Puede ser verdadero o falso

V F

Las proposiciones se representa en letras minsculas como p,q,r,s,q Ejemplo:

p= Hoy es mircoles

q= Es de Noche

Ms. Carmen Emilia Rubio V.

p : Hoy es Jueves q : es de Noche

p ^ q

p v q

p

q

p q

p q

Esp. Alejandra Rubio V.

PROPOSICIONES

Proposicin Atmica o Simple

Proposicin Compuesta

Es cuando no posee

conectores lgicos

Es una o mas proposiciones

atmicas unidad con trminos de

enlace o conectores lgicos

EJERCICIOS RESUELTOS DE PROPOSICIONES

7415 es un numero par

RTA: SI es una proposicin puesto que el 7415 no es un numero par, por lo tanto tiene una valor de verdad FALSO

Que hora es?

RTA: NO es una proposicin puesto que a una oracin interrogativa no se le puede determinar un valor de verdad.

!Pare por favor!

RTA: No es una proposicin, puesto que una oracin admirativa, no se le puede determinar un valor de verdad.

El atardecer en la playa es romntico

RTA: No es una proposicin, puesto que es un enunciado Ambiguo por lo cual no se puede determinar un valor de verdad.

La edad de Diana es 17 aos

RTA: SI es una proposicin, puesto que el enunciado tiene un solo valor de verdad, o es verdadero o es falso para Diana

EJERCICIOS RESUELTOS DE PROPOSICIONES

45+18

RTA: NO es una proposicin es un enunciado incompleto

El amanecer es bello

RTA: NO es una proposicin puesto que es un enunciado Impreciso

+ + =

RTA: NO es una proposicin, puesto que es una oracin en la cual no se precisa el valor de x, por lo cual no se precisa el valor de verdad

El sabor del color es dulce

RTA: NO es una proposicin, puesto que es una oracin ambigua.

Disparen al ladrn

RTA: Es una oracin que indica una orden, la cual no tiene un valor de verdad por lo tanto NO es una proposicin

Mi banca es Gris

RTA: SI es una proposicin, puesto que es una oracin Afirmativa.


VALOR DE VERDAD Es la cualidad de veracidad que describe

apropiadamente a una proposicin , esta puede ser verdadera o falsa.


TABLA DE VERDAD Es una representacin de los posibles

valores de Verdad que podra tomar una proposicin

CONECTIVOS


CONJUNCIN ^


p ^ qp :Las peras son rojasq: las peras son frutas

Las peras son rojas Y son frutasF ^ V = F

p q p ^ qV V V

V F F

F V F

F F F

DISYUNCIN v


p v qp : Las peras son rojas q: las peras sonfrutas

Las peras son rojas o son frutasF v V = V

p q p v qV V V

V F V

F V V

F F F

NEGACIN


pp : Las peras son rojas

Las peras no son rojasV = F

p pV F

F V

CONDICIONAL


p qp : Las peras son rojas q: las peras sonfrutas

Si las peras son rojas entonces las peras son frutas

F V = Vp q p qV V V

V F F

F V V

F F V

BICONDICIONAL


p qp : Las peras son rojasq: las peras son frutas

Las peras son rojas si y solo si las peras son frutas

F V = F

p q p qV V V

V F F

F V F

F F V

TABLAS DE VERDAD


Se construyen de acuerdo al nmero deproposiciones que tiene el ejercicio.Es decir 2n, donde n es el nmero deproposicionesEJEMPLO:p

p p

V F

F V

TABLAS DE VERDAD


EJEMPLO:pvq

p q p pvq

V V F V

V F F v

F V V V

F F V V

TABLAS DE VERDAD


EJEMPLO:p^ q

p q q p^q

V V F F

V F V v

F V F F

F F V F

TABLAS DE VERDAD


EJEMPLO:

pqp q p pq

V V F V

V F F V

F V V V

F F V F

TABLAS DE VERDAD


EJEMPLO:p q

p q q p q

V V F F

V F V V

F V F V

F F V F

TAUTOLOGIAS Son las llamadas proposiciones compuestas

EJEMPLO: [(p v q) p]


p q q (p v q) p [(p v q) p]

V V

V F

F V

F F

TAUTOLOGIASProposiciones Equivalentes

Dos proposiciones compuestas se consideran lgicamente equivalentes, si tienen los mismos valores de verdad para cada caso en su tabla de verdad. Ejemplo Demostrar que las proposiciones p q y la proposicin p v q son lgicamente equivalentes:


TAUTOLOGIASDoble Negacin


TAUTOLOGIASDoble Negacin

Consideremos la proposicin simple:

p: Hoy es Jueves

p: Hoy no es Jueves

(p): Hoy es Jueves


TAUTOLOGIASImplicacin Directa, Contraria, Recproca y Contrarecproca


TAUTOLOGIASImplicacin Directa, Contraria, Recproca y Contrarecproca

EJEMPLO: Dadas las proposiciones p: Las Ballenas son mamferos q: Viven en el marImplicacin Directa : Implicacin Contraria:Implicacin Recproca: Implicacin Contrarecproca:

Si las ballenas son mamferos viven en el marSi las ballenas no son mamferos no viven en el mar

Si vive en el mar entonces es ballenano vive en el mar entonces no es ballena

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