TEORÍA DE FRACTALES

                   Entre el segmento (A) de dimensión 1 y el cuadrado (C) de dimensión 2, se encuentra la curva de Koch (B), con dimensión aproximada 1,26.

Definición

La palabra 'fractal' provienen del latín 'fractus' cuyo correspondiente voz verbal

es 'frangere', esto es, 'romper', crear fragmentos irregulares, de modo que 'fractus' sería

algo así como irregular o fragmentado. Benoit Mandelbrot, acuñó el término 'fractal'

para dar nombre a estos nuevos objetos matemáticos.

La palabra fractal es, fundamentalmente, un adjetivo, una característica que, en

mayor o menor medida, tienen todos los elementos que poseen forma. Es un concepto

matemático acuñado hace bien poco, durante el siglo XX. La razón por la cual un

término matemático como éste, ha traspasado las fronteras de los libros de álgebra o

geometría, es claramente visual. Algunos algoritmos matemáticos generan imágenes

espectaculares. Estas imágenes se conocen también como fractales.

Los fractales son formas geométricas que se caracterizan por mantener su

aspecto cualquiera que sea la escala a la que se observen. Pueden darse de forma natural

debido a que hay objetos en la Naturaleza que tienen esta propiedad de ser parecidos a sí

mismo cualquiera que sea la escala a la que sean observados, pero también pueden ser

creados por ordenador. Como ejemplos de fractales naturales tenemos las nubes, los

rayos, las líneas costeras, la estructura alveolar de los pulmones o incluso algunas

superficies de ciertas proteínas (se las llama superficies fractales).

Construcción de un fractal: copo de nieveEl copo de nieve de Koch se obtiene al añadir repetidamente triángulos a un simple triángulo equilátero. Las nuevas adiciones se hacen dividiendo los lados en tres partes iguales y colocando un nuevo triángulo en el tercio central. De esta manera, cada nueva figura es más compleja, pero todos los triángulos que la forman son exactamente iguales al original. Esta igualdad entre la figura original y cualquiera de sus más minúsculos detalles es característica de los fractales.

Aunque la existencia de los fractales se conoce desde fines del siglo XIX

(cuando eran considerados, simplemente, como curiosidades matemáticas), su verdadera

identidad no fue plenamente expresada hasta las décadas de 1960 y 1970, gracias a los

importantes estudios de Benoît Mandelbrot y otros científicos.

Tipos de Fractales

1. Mandelbrot

Se genera mediante un algoritmo de escape. Para cada punto se calculan una serie de valores mediante la repetición de una formula hasta que se cumple una condición, momento en el cual se asigna al punto un color relacionado con el número de repeticiones. Los fractales de este tipo precisan de millones de operaciones, por lo cual sólo pueden dibujarse con la inestimable ayuda del ordenador.

Dimensiones

2. Helecho de Barnsley

Se basa en el principio de autosemejanza. En un fractal con sistema de funciones iteradas siempre se puede encontrar una parte de la figura que guarda una relación de semejanza con la figura completa. Esa relación es a menudo muy difícil de apreciar, pero en el caso del helecho es bastante clara.

3. Triángulo de Sierpinski

La idea es sencilla y antigua. Un triángulo en el que se aloja otro, uniendo los puntos medios de cada uno de sus lados. Esto se repite con todos y cada uno de los triángulos formados que tengan la misma orientación que el original, y así sucesivamente.

4. Atractor de Lorenz

Es una representación bidimensional y coloreada de la figura. Básicamente está formada por un hilo infinitamente largo que va describiendo una trayectoria tridimensional acercándose y alejándose de dos puntos de atracción. Este tipo de modelo nació con un estudio sobre órbitas caóticas desarrollado por E. Lorenz en 1963.

 5. Difusión

Ciertas categorías de fractal que no encajan del todo dentro de las características ya descritas. Estructuras como el plasma o las imágenes de difusión que dependen en cierta medida del azar, por lo cual son únicas e irrepetibles.

6. Celular

Los autómatas celulares están en el otro extremo. Funcionan con sencillas reglas que colorean zonas a partir del color de las adyacentes. Pese a que en principio pueda parecer que las imágenes conseguidas con este método vayan a ser sencillas y simétricas, no tiene por qué ser así, como se demuestra en el ejemplo.

Se refiere al grado de libertad de movimiento en el espacio. Entenderemos esta

libertad como el número de direcciones ortogonales diferentes que podamos tomar. En

el espacio que conocemos contamos con tres direcciones: izquierda-derecha, atrás-

delante y arriba-abajo. Por ello, decimos que es tridimensional. Podemos definir otros

espacios: un tren se mueve en un espacio unidimensional (a no ser que descarrile), un

barco en un espacio bidimensional (salvo que naufrague) y un avión en un espacio

tridimensional (siempre que haya despegado del aeropuerto).

Una característica curiosa acerca de los fractales es que pueden tener dimensión

fraccionaria también llamada 'dimensión de Hausdorff-Besicovitch': si una línea tiene

dimensión 1 y un cuadrado dimensión 2, etc...los fractales pueden tener dimensión 1.26,

1,5; 2,8...y también dimensiones enteras como 3, etc... Por ejemplo, que un fractal tenga

dimensión 1,26 podría interpretarse como que ese fractal cubre mejor el plano que una

línea recta (dimensión 1) pero no lo hace tan bien como lo haría un cuadrado

(dimensión 2).

La dimensión fraccionaria fractal mide el grado de escabrosidad y/o

discontinuidad de un objeto presentando un grado de irregularidad constante a

diferentes escalas. Al final resulta una irregularidad regular.

El grado de irregularidad de un objeto no es otra cosa que su eficacia para

ocupar espacio y resulta que hay líneas que son más eficaces que otras al ocupar

espacio, como la curva de Koch que tiene dimensión 1'2618, ya que es un objeto a

caballo entre la línea y la superficie. En cierta medida llega a doblegar la dimensión y

obtener más de ella, como lo hace la curva espacio-tiempo en la Teoría de la

Relatividad.

Un fractal es la forma idónea de ver lo infinito con el ojo de la mente, ya que

ésta no puede visualizar la infinita autoinclusión de la complejidad que reina en él.

Hay multitud de ejemplos de fractales: el copo de nieve de Koch, el triángulo de

Sierpinski, la curva de Cesaro, la curva del Dragón, la de Hilbert, ... y todos ellos se nos

antojan criaturas extrañas y ... bellas, muestran una complejidad regular y una

autosemejanza interminable.

Iteración del Triangulo de Sierpinski

Desde la izquierda: segunda, tercera y cuarta iteración de

un cuadrado, o alfombra, de Sierpinski.

Iteración de la Curva de Hilbert

La curva de Hilbert en 3D

¿Para qué sirve todo esto?

Los fractales son utilizados como un lenguaje matemático, al igual que lo es la

geometría de Euclides con la cual podemos entender y tratar la mayoría de problemas

geométricos. En este caso, sin embargo, los fractales son la geometría que se utiliza en

la Teoría del Caos, o , lo que es lo mismo, al igual que la Geometría de Euclides

caracteriza la geometría en un plano, los fractales caracterizan la geometría de los

comportamientos inestables y a-periódicos en sistemas dinámicos deterministas y no

lineales, esto es, la geometría del Caos.

La Geometría de Euclides describe líneas, círculos, cuadrados, etc... los fractales

sin embargo son descritos en algoritmos (conjunto de instrucciones matemáticas para

construir algo, en este caso un fractal); posteriormente los ordenadores ejecutan estas

instrucciones y obtienen las extraordinarias formas de los fractales.

Desde siempre se ha trabajado con modelos simplificados de la realidad: órbitas

elípticas, estamentos sociales, trayectorias parabólicas, tallas de pantalón. Todo lo que

no funcionaba utilizando estos mecanismos era el caos. Hoy se sabe que el caos no lo es

tanto como parece, y que por supuesto no es aleatorio. Los algoritmos fractales están

utilizándose en el estudio de procesos de este tipo: en meteorología, geología, medicina,

economía...

Imágenes fractales

En este item nos referiremos a las imágenes generadas a partir de fórmulas

fractales. Nos encontramos con más propiedades, al margen de la mencionada

dimensión fraccionaria, como pueden ser la complejidad constante, la bifurcación

infinita o la autosimilitud, características que quedan ilustradas, respectivamente, en las

siguientes imágenes.

Fractal de Julia.

Los fractales pueden ser espectaculares, pero no tiene por qué ser así. Además,

la utilización del color en los gráficos fractales, que no siempre se realiza con

algoritmos afines a la fórmula, "maquilla" su apariencia.. La aplicación más vanal de la

matemática fractal es el diseño gráfico, esta es la faceta más extendida del mundo

fractal, y algunos dedican gran parte de los recursos del ordenador a realizar

monstruosos cálculos que generan inescrutables imágenes.

Un poco de historia

Muchas personas han aportado su granito de arena en cuanto a la Teoría de Fractales, y

muchas (en cierto modo infinitas) las clases de fórmulas. El siguiente cuadro muestra

alguno de los "hitos" en la historia de las matemáticas no lineales.

Definió, por primera vez, una

curva continua no diferenciable.

K. Weierstrass (1815-1897)

G. Cantor (1845-1918)

Estableció una sucesión de segmentos conocida como "polvo de Cantor".

A. Lyapunov (1857-1918)

Abrió el camino para el estudio de sistemas dinámicos.

G. Peano (1858-1932)

Diseñó una curva que, al desarrollarse, pasa por todos los puntos del plano.

N. Koch

(1815-1897)

Su aportación más famosa se la conoce como "Copo de nieve".

* N. Koch

En 1904 Niels Helge Von Koch define la curva que lleva su nombre. Se forma

el copo de nieve de Koch partiendo de un segmento el cual es dividido en tres partes

iguales. La parte central se sustituye por dos segmentos del mismo tamaño que el

eliminado. Sucesivamente se repite el mismo proceso por cada segmento formado. La

longitud de esta curva evoluciona de acuerdo a la siguiente sucesión:

1, 4/3, 16/9, 64/27, 256/81...     , L=(4/3)^k .

Dado que la sucesión anteriormente indicada no converge hacia ningún valor,

estamos ante una curva de longitud infinita. Y no sólo eso, sino que cualquier intervalo

entre dos puntos también cumple esta propiedad. Otra característica de todos sus puntos

es que son no derivables, es decir, es imposible trazar una tangente en ninguno de sus

puntos.

W. Sierpinski

(1882-1969)

Su "triángulo" es, probablemente, el fractal

más conocido.

G. Julia (1893-1978)

Estudió por primera vez la iteración

de funciones racionales.

B. Mandelbrot (1924- )

Un gran impulsor de la matemática fractal, ayudado por las computadoras.

* Waclaw Sierpinski

El concibió su archiconocido fractal “triangular”. Partiendo de un triángulo (no tiene

por qué ser equilátero) dibujamos otro uniendo los puntos medios de sus lados. La

figura resultante contiene cuatro triángulos semejantes al anterior, pero sólo tres

comparten su orientación. Ese cuarto triángulo no pertenece a la curva, y este detalle

desencadena propiedades sorprendentes. En la siguiente iteración repetimos el mismo

esquema con los tres triángulos aludidos, y así sucesivamente. No es difícil observar

que el área definida va decreciendo con arreglo a la sucesión (en el caso de un triángulo

equilátero de área 1):

1, 3/4, 9/16, 27/64, 81/256...     , A=(3/4)^k .

Por tanto, el área total del triángulo de Sierpinski es nula (obviamente tras infinitas

iteraciones). Por otra parte, el perímetro de todos los triángulos generados sí es infinito.

Siendo 1 la longitud del lado del primer triángulo, el perímetro total crece así:

3, 9/2, 27/4, 81/8, 243/16...      , P = 3×(3^k)/(2^k) .