Teoria de Funciones

Difinicion, dominio y rango de una funcionGrafica de una funcion

Funcion inyectiva, sobreyectiva, biyectivaFunciones entre espacios vectoriales

Teorıa de Funciones

Por: SUAREZ AZPUR, Fredy R.

27 de abril de 2015

Por: SUAREZ AZPUR, Fredy R. Teorıa de Funciones



Definicion (funcion)

Sean A y B dos conjuntos no vacıos. Una funcion de A en B es laasociacion de cada elemento de A con un unico elemento de B.

Observaciones

? A una funcion de A en B lo denotaremos por

A −→ B , Af−→ B , f : A −→ B.

? Sea la funcion f : A −→ B. Si x ∈ A, entonces existe un unicoy ∈ B que le corresponde a x , al cual lo denotaremos por f (x) yes llamado la imagen de x vıa la funcion f .

? Sea la funcion f : A −→ B. Si u ∈ A, w ∈ A, u = w , entoncesf (u) = f (w).

? Sea la funcion f : A −→ B. Si u ∈ A, w ∈ A, f (u) = f (w), nosiempre tenemos u = w .




Graficamente

f

A B




Graficamente

f

A B

x




Graficamente

f

A B

x f x( )




f

A B

x f x( )

? A es el dominio de la funcion f y se denotara por Dom(f ).

? B es el contradominio de la funcion f .




f

A

M

f M( )

B

Definicion

? Sea M ⊂ A, el conjunto f (M) = {f (x)/x ∈ M} es la imagen deM vıa la funcion f : A −→ B.




f

A f A( ) B

Definicion

? El conjunto f (A) es el rango de la funcion f : A −→ B y sedenotara por Ran(f ).

? Ran(f ) ⊂ B, es posible que Ran(f ) = B.




Definicion (Grafica de una funcion)

La grafica de la funcion f : A −→ B es el conjunto

Graf (f ) ={(

x , f (x))∈ A× B

/x ∈ A

}

B

A

A B×Graf ( )f Observacion

Cualquier recta vertical intersecaa lo sumo en un punto a lagrafica de una funcion.




Definicion

Una funcion f : A −→ B es inyectiva si dados u ∈ A, w ∈ A,u 6= w , se tiene f (u) 6= f (w).

Una funcion f : A −→ B es inyectiva si dados u ∈ A, w ∈ A,f (u) = f (w), entonces u = w .

Definicion

Una funcion f : A −→ B es sobreyectiva si Ran(f ) = B.

Una funcion f : A −→ B es sobreyectiva si para cada y ∈ B existeun x ∈ A tal que y = f (x).

Definicion

Una funcion f : A −→ B es biyectiva si es inyectiva y sobreyectivaa la vez.




B

A

B

A

Observacion

Cualquier recta horizontalinterseca a lo sumo en un puntoa la grafica de una funcioninyectiva.

Observacion

Al proyectar horizontalmentecada punto de la graficasobreyecctiva se debe cubrir elcontradominio B.




Funciones reales de variable real

Definicion

Sea ∅ 6= A ⊂ R, entonces f : A −→ R es denominada funcion realde variable real.

Definicion

Sea ∅ 6= A ⊂ R, entonces f : A −→ Rn es denominada funcionvectorial de variable real.

Definicion

Sea ∅ 6= A ⊂ Rn, entonces f : A −→ R es denominada funcionreal de variable vectorial.

Definicion

Sea ∅ 6= A ⊂ Rn, entonces f : A −→ Rm es denominada funcionvectorial de variable vectorial.





Funciones reales de variable real con varias reglas

Sea ∅ 6= A ⊂ R, si f : A −→ R es una funcion definida por:

f (x) =

f1(x) , si x ∈ A1;

f2(x) , si x ∈ A2;...

...fk(x) , si x ∈ Ak .

entonces Dom(f ) = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ak .

Cada funcion fi : Ai −→ R esta definida de manera que susdominios son dos a dos ajenos, es decir, Ai ∩ Aj = ∅, ∀ i 6= j .

El rango de f es Ran(f ) = Ran(f1) ∪ Ran(f2) ∪ · · · ∪ Ran(fk).

El grafico de f es Graf (f ) = Graf (f1) ∪ Graf (f2) ∪ · · · ∪ Graf (fk).





EJEMPLO

Sea la funcion f : A −→ R, definida por:

f (x) =

x2 − 2 , si x ∈ [−3, 0〉;

x − |x − 2| , si x ∈ [0, 4〉;√9− (x − 8)2 , si x ∈ [5, 11].

1 Halle su dominio.

2 Redefinir f y luego halle su rango en forma analıtica.

3 Presente su grafico.

4 De ser posible calcule f (0), f (4) y f (12)


Teoria de Funciones

Documents

Transcript of Teoria de Funciones