TEORIA DE GRUPSTEORIA DE GRUPS

1. Introducció1. Introducció

Teoria de grups Simetria

Destacar la importància i/o absència de simetria a la Natura (cos humà, cristalls, quiralitat)

Simetria relacions espacials reflex en l’estructura electrònica de la materia

Molt rellevant per la Química Quàntica

La simetria és important, però no ho és tot.

Què és la simetria? Què és la simetria?

Una definició segons H.S.M Coxeter (geòmetra):“Quan diem que una figura és simètrica volem dir que existeix una transformació congruent que la deixa invariada com un tot, només permutant els elements que la composen”

a) CONCEPTE D’IGUALTAT SIMÈTRICAMobius: “Dues figures són iguals si les distancies entre uns punts qualsevol donats d’una figura, són les mateixes que les distàncies entre els punts corresponents a l’altra figura”

b) GRAU DE SIMETRIA “Un objecte és més simètric que un altre”Ex: vs

b) Existeix alguna eina que ens permeti dir inequívocament si hi ha simetria i en quin grau?

Si. La Teoria de Grups.

2.- SIMETRIA MOLECULAR I GRUPS DE SIMETRIA2.- SIMETRIA MOLECULAR I GRUPS DE SIMETRIA

2.1.- ELEMENTS I OPERACIONS DE SIMETRIA

OBJECTIUS:

– Presentar els elements de simetria: σ , Cn, i, Sn

– Diferenciar element i operació de simetria– Saber trobar els elements de simetria presents en una figura o

una molècula– Distinció entre configuració equivalent i configuració idèntica (ús

d’etiquetes).– Operacions consecutives i inverses.

2.1.1.- PLA DE SIMETRIA. REFLEXIÓ. SIMETRIA BILATERAL

1r exemple: Cossos dels animals. Simetria externa dreta/esquerra.(mig cos mirat en un mirall reprodueix el cos sencer).

2n exemple: Mitjans de transport: cotxe, moto , tren… SImoto amb sidecar NO

El mirall constitueix un PLA DE SIMETRIA, que anomenarem σ.

Un pla de simetria ha de travessar el cos, no pot estar a fora. Aquesta figurano té pla de simetria

Si posem un mirall, i considerem la figura i la seva imatge especularcom un tot, llavors el mirall és un plade simetria.

Condicions d’existència d’un σ

Traçar una línia perpendicular des de cada àtom al pla. Prolongar aquesta línia al costat oposat del pla, dins la mateixa distància i aquesta és la nova posició de l’àtom reflexat.

Si en aquesta operació per a tots els àtoms de la molècula s’obté una configuració equivalent a la primera, llavors existeix un pla de simetria.

TOTA MOLÈCULA PLANA TÉ COM A MÍNIM UN PLA (EL QUE CONTÉ TOTS ELS ÀTOMS)

σO

H2H1

O

H1H1

σO

H2H1

O

H2H2

σO

H2H1

O

H1H2

^

a

a b

b

dc

c d a b

dc

b a

cd

Configuració equivalent però no idèntica degut a les etiquetes.

a

b

dc

Configuració no equivalent

a b

c d

Configuració equivalent.σ

σ

Representació matricial de l’operació de reflexió (pla xy, p.ex)

σ: p(x, y, z) p’(x, y, -z)

zy x

zyx

10 00 1 00 0 1

p(x, y, z)

p’(x, y, -z)

x

y

z p = p’^

Molècules planes

BF3

1+6

1+3

1+4

HH CH

CC N

O OC

B

F

F

F

σ1

σ2

σ3

σ4

Molècules linials: Infinits plans que contenen tots els àtoms.

AB4

Tetraedre AB4

A

B1

B2

B3

B4

A

B1

B2B3

B4B1AB2

B1AB3

B1AB4

B2AB3

B3AB4

B2AB4

σσσσσσ

Exemples:

O

H H

σ1NH

HCl

NH

HH

σ1

3σ

Br

σ1

σ2

ClC C

H

HCl

σ1

σ2

• Àtoms únics han d’estar sobre del pla (per a que no es moguin al reflexar-los)

• D’àtoms que estan fora del pla n’hi ha d’haver un nombre parell.

σ2

Definicions:

ELEMENT DE SIMETRIA És una entitat geomètrica (p.ex. Un pla) Com veurem més endavant tindrem altres entitats (línia, punt) Un element de simetria GENERA...

OPERACIONS DE SIMETRIA Una operació de simetria és el resultat de l’aplicació d’un element de

simetria. Són moviments de les parts d’un cos (en relació a punts, línies o plans)

que porten a aquest cos a una configuració equivalent o indiscernible de l’original.

En una molècula, els àtoms que es poden intercanviar per qualsevol operació de simetria s’anomenen ÀTOMS EQUIVALENTS.

RESUM:

Un objecte presenta simetria: BILATERAL Té com a element de simetria: UN PLA Podem aplicar-hi una operació de simetria: UNA REFLEXIÓ

RESPECTE AL PLA Si apliquem un pla dues vegades , obtenim la configuració

inicial (ex. periscopi)

Imatge real

Imatge especularImatge real

2.1.2.- EIXOS PROPIS. ROTACIÓ PRÒPIA. SIMETRIA ROTACIONAL2.1.2.- EIXOS PROPIS. ROTACIÓ PRÒPIA. SIMETRIA ROTACIONAL

Presenta alguna simetria, però no bilateral. Presenta un pla (el pla de la figura)

Si la fem girar 180º, sobté

el mateix objecte, però en una configuració equivalent

“YING YANG” A

B

B

A

180ºSIMETRIAROTACIONAL

1 2

Al voltant d’una línia hipotètica, perpendicular al pla de la figurai que passa pel centre. Si la configuració 2 la tornem a girar 180º ,en el mateix sentit (Sentit Agulles Rellotge SAR), obtenim la configuració 1.

ELEMENT OPERACIÓ SÍMBOLEIX (PROPI) ROTACIÓ (PRÒPIA) Cn

Per ORDRE DE L’EIX s’entén el nombre de vegades que cal fer girar l’objecte en diferents configuracions equivalents fins a obtenir la configuració inicial en una gir complet de 360º.

n és el valor tal que una gir de radians produeix una configuració equivalent.

Pel YING-YANG, n=2 rotacions de 180ºL’eix és un C2 (eix binari)

n2

Exemple: Triangle equilater C3

a

c b

120º 120º 120ºc b

cb c ba a

a

Notació de l’operació mnC m= nombre de vegades que

apliquem l’eix

I II III I

3C 3n1203

360

I II III I13C 1

3C 13C

23C

33C

L’operació (o ) dóna la configuració inicial, és a dir, com si no haguessim fet res. Però és un fet significatiu que existeixi una operació IDENTITAT, Ê.

De manera que: = Ê

Recordem que: = Ê

33C n

nC

nnC Un eix de propi Cn genera n-1

operacions de simetria, ja que Ê= n

nC

2 Un pla genera una operació desimetria, ja que

Ê= 2

Exemples Moleculars:

C2 H2OC3 BF3, NH3

C4 [PtCl4]-

C5 C5H5-

C6 C6H6•Àtoms sobre l’eix no es desplacen.•Àtoms únics sobre l’eix.•Si un àtom no està sobre l’eix, cal que hi hagi n àtoms(com a mínim) d’aquest tipus.

RECERCA D’EIXOS

Exemple:

2.1.3.- DIFERÈNCIA ENTRE UN PLA I UN C2.1.3.- DIFERÈNCIA ENTRE UN PLA I UN C22

Cl

S S

ClS2Cl2 C2

NH2 F

NF

H

H

2C

2C

L’existència d’un σ que contingui un eix de rotació Cn, fa que necessàriament l’objecte presenti n plans de simetria.

– Els anomenarem σv (vertical)

H2O NH3Si C2//z Si C3//z

σxz σv σv’ σv’’

σyz

2.1.4.- COEXISTÈNCIA D’ELEMENTS DE SIMETRIA2.1.4.- COEXISTÈNCIA D’ELEMENTS DE SIMETRIA

Pla perpendicular a un eix de simetria no genera cap altre pla. Els anomenarem σh (horitzontal)

Eix perpendicular a un eixSi existeix un eix (normalment C2) perpendicular a un eix Cn (C3, C4,...), necessàriament es generen n eixos C2.

Exemple: BF3 C3; 3C2 Cn

2.1.4.- COEXISTÈNCIA D’ELEMENTS DE SIMETRIA2.1.4.- COEXISTÈNCIA D’ELEMENTS DE SIMETRIA

2.1.5.- CENTRE D’INVERSIÓ. SIMETRIA COMBINADA REFLEXIÓ/ROTACIÓ2.1.5.- CENTRE D’INVERSIÓ. SIMETRIA COMBINADA REFLEXIÓ/ROTACIÓ

ELEMENT OPERACIÓ SÍMBOLCentre d’inversió Inversió i

(és un punt)

Si posem el centre d’inversió en el punt (0,0,0)i: î (x, y, z) (-x, -y, -z)

Quan en un objecte(molècula) aquesta operació es pot aplicar a tots els punts donant lloc a una configuració equivalent, indistingible de la inicial, diem que existeix un centre d’inversió.

El centre d’inversió només genera una operació de simetria i 2=E

(x, y, z) (-x, -y, -z) (x, y, z)i i

E

Exemples:

N NF

FM

A

A

L

L

X

X

C CCl

Cl

F

FH

H

SI

SI

NO

NO

Exemples:

M

A

A

L

L

X

X

i = σh * C2 Producte d’operacións de simetria Conveni: S’aplica primer l’operació de la dreta.

Ex: C2 (z) ; σh (xy)

(x, y, z) (-x, -y, z) (-x, -y, -z)

IMPORTANT: L’existència d’un i no implica l’existència d’un σh i d’un C2. L’existència d’un σh i un C2 implica l’existència d’un i.

EX:

C2 (z) σh (xy)Tambéi=C2*σh

(x,y)

(-x,-y)C2 (z)

La rotació impròpia es pot interpretar com una operació en dues etapes:

1a. Etapa: UNA ROTACIÓ PRÒPIA, Cn.2a. Etapa: UNA REFLEXIÓ σh (σh és perpendicular

al Cn).

ELEMENT OPERACIÓ SÍMBOL Eix impropi rotació impròpia Sn

La rotació impròpia genera varies operacions, de la mateixa manera que un eix propi. Les denominaren Sn

m. Sn

m és un gir de m vegades seguit de m reflexions.

2.1.6.- EIX DE ROTACIÓ IMPROPI. ROTACIÓ IMPRÒPIA2.1.6.- EIX DE ROTACIÓ IMPROPI. ROTACIÓ IMPRÒPIA

n2

S1 = σh * C1 = σh

S2= σh * C2 = i

Podem concloure que l’existència d’un Sn no implica l’existència d’un Cn i un σh, igual que vam fer pel centre d’inversió amb C2 i σh.

Fins ara, o hem considerat una sola operació de simetria o la rotació/reflexió (per a i i Sn). Examinarem ara l’efecte de realitzar una sèrie succesiva d’operacions de simetria.

Si és una operació de simetria i també,llavors també ho és.

C C’ C’’

En general o, el conmutador

Amb l’operació identitat, totes les operacions hi conmuten

2.2.- OPERACIONS CONSECUTIVES2.2.- OPERACIONS CONSECUTIVES

1R 2R 123 R.RR

1R 2R

3R

1221 R.RR.R 0R,R 21

0R,EE,R 11 11 RE.R

Exemple:

NH1

H3N

H1H3

NH1H3H2

H2

H2

NH1

H3N

H1H3

N

H1

H3H2

H2H2

C31

C31

σv1

σv1

σv

σv

σv1 •^C31= σv2

C31 • σv1 = σv3

L’existència d’una operació de simetria A en un objecte implica l’existència d’una altre operació B, tal que:

A.B=E A és inversa de B, B=A-1

B.A=E B és inversa de A, A=B-1

El producte d’una operació per la seva inversa és sempre CONMUTATIU.

A.B=B.A=EPla de simetria σ2=E; σ. σ=E; σ=σ-1

Centre d’inversió i2=E; i.i=E; i=i-1

2.3.- OPERACIONS INVERSES2.3.- OPERACIONS INVERSES

Eix de rotació Cnn = E

Cn1. Cn

1.... Cn1=E Cn

1. Cnn-1 =E

Ex: C31 C3

-1=C32

Eix de rotació impropi n parell Sn

n=E Sn

1.Snn-1=E

n senar Sn2n=E

Sn1.Sn

2n-1=E

Cn-1=Cn

n-1

Sn-1=Sn

n-1

Sn-1=Sn

2n-1

n

n-1

GRUPGRUP

PROPIETATS BÀSIQUES D’UN GRUP

És una sèrie d’elements relacionats entre si mitjançant certes regles.El nombre d’elements del grup s’anomena ORDRE del grup (h), pot ser infinit o finit.

1.- El “producte” (o combinació) de dos elements qualsevols d’un grup ha de ser un altre element del grup.

Si A, B Є grupA.B = C ; C Є grup

2.- Ha d’existir un element que conmuti amb tots els altres i els deixi inalterats. A aquest element l’anomenarem IDENTITAT.

A.E = E.A = A per a tot A Є grup

3.- El producte o combinació de 3, o més elments del grup ha ser ASSOCIATIU.(A.B).C = A (B.C) = A.B.C

4.- Cada elemental d’un grup té un element INVERS, que també és element del grup. La combinació d’un element amb el seu invers és l’element identitat.

A.A-1 = A-1 .A = E

TEOREMA DEL PRODUCTE DE RECÍPROCS

L’invers d’un product de dos o més elements dels grup és igual al producte dels inversos en ordre invers.

sigui D=A.B.CD-1=(A.B.C)-1=C-1.B-1.A-1

3.2- GRUPS PUNTUALS DE SIMETRIAC1 : ECS : E, σCn : E, Cn

Ci : E, iSn : E, Sn (n=4, 6, 8)Dn : E, Cn+nC2 (Cn+nC2)Cnv : E, Cn+n σV (Cn+n σV)Cnh : E, Cn+σh Sn (Cn+σh)Dnd: E, Cn, nC2+ n σd S2n (Dn+n σd)Dnh: E, Cn, σh , Sn +nC2+ n σd S2n (Dn+n σd)

Grups infinits:Coov : E, Coo, σv

Dooh : E, Coo, i, Soo (σh), C2, σv (Coov+ σh)

Grups cúbics:T : E, 4 C3, 3 C2

Th : E, 4 C3, 3 C2, i, 4 S6, 3 σh

Td : E, 4 C3, 3 C2, 3 S4, 6 σd

O: E, 3 C4, (3 C2), 4 C3, 6 C2

Oh: E, 4C3, 6C2, 3C4, (3C2), i, 3S4, 4S6, 3σh,6 σd

I: E, 6C5, 10 C3, 15 C2

Ih: E, 6C5, 10C3, 15C2, i, 6S10, 10S6, 15 σ

Taules de multiplicació d’un grup

En un grup d’ordre h existeixen h2 productes de dos elements del grup. Si tots els productes possibles estan inclosos en aquesta llista el grup està definit de manera completa i única.

Taula de multiplicació:- Es composa de h files i h columnes.- Cada columna està encapçalada per un element del grup. Cada fila també.- El símbol de la taula situat en el punt de coincidència d’una columna i d’una fila és el producte dels elements que encapçalen la columna i la fila.- Com el producte no és necessàriament commutatiu, cal donar un sentit, arbitrari, a l’operació:

resultatij=columnaj x filai

X=B.A  C C’ C’’

E A B ...EA XB...

A B

Teorema de la redistribució

- Cada fila i cada columna de la taula de multiplicació d’un grup conté els elements del grup una vegada i només una.

- No hi poden haver 2 files i 2 columnes, iguals.

- En cada columna (o fila) apareixen TOTS els elements del grup, això sí, ordenats de manera diferent.

Ex: C3V (NH3)elements: E, C3, σv1, σv2, σv3

operacions: EC1

3, C23 h=6

σv1, σv2, σv3

Taula:

E C13 C2

3 σv1 σv2 σv3

E E C13 C2

3 σv1 σv2 σv3

C13 C1

3 C23 E σv2 σv3 σv1

C23 C2

3 E C13 σv3 σv1 σv2

σv1 σv1 σv3 σv2 E C23 C1

3

σv2 σv2 σv1 σv3 C13 E C2

3

σv3 σv3 σv2 σv1 C23 C1

3 E

C3

σv1

σv3

σv2

Podem observar en la taula del grup C3v que existeixen subgrups.

– E, C13, C2

3 C3

– E, σv1 Cs

– E, σv2 Cs

– E, σv3 Cs

– E C1

L’ordre de qualsevol subgrup, g, d’un grup d’ordre h, ha de ser divisor de h; h/g=k (núm. Sencer)

CLASSESAcabem de veure que d’un grup en podem fer grups més petits, subgrups. Hi ha una altra manera de dividir un grup en parts més petites: són les classes de simetria.

Abans, però, cal que introduïm una nova operació:

Transformació de semblançaSi A i X Є Grup

X-1.A.X Є Grup B= X-1.A.X

Direm que: B és la transformació de semblança de A per X.B és el conjugat de A

Una CLASSE és una sèrie completa d’elements conjugats entre si.

E sempre constitueix una classe per si sola.E-1.E.E=EA-1.E.A=EB-1.E.B=E

Com buscar/ trobar les classes d’un grup?

a) Triar un element. b) Trobar tots els conjugats (calcular totes les transformacions de semblança).c) Repetir b) però amb un altre element que no sigui conjugat del primer...i així fins que no surti cap element sense classificar per classes.

3.1 DEFINICIONS

Una representació d’un grup donat G es defineix generalment com un conjunt, , d’elements que satisfan dues condicions:

i) Cada element del grup G pot associar-se amb algun element del conjunt .ii) La taula de multiplicació dels elements del conjunt és equivalent a la taula del

grup G.

Això ho podem expresar com:GRUP G Representació A, B, F A (A) (F)= (B). (A)F=B.A B (B)

F (F)

I de fet, una representació d’un grup donat és a la vegada un grup matemàtic homomorf del grup considerat.

En el nostre cas, els elements del grup G són les operacions de simetria. Veiem que si escollim matrius podrem representar el grup G per conjunts de matrius que alhora tindran (cada conjunt) estructura de grup.

3.- REPRESENTACIONS D’UN GRUP3.- REPRESENTACIONS D’UN GRUP

Repàs d'àlgebra lineal

Suma de matriusAij=Bij+Cij

Producte de matrius A=B.C

Matrius diagonalitzades en bloc3 blocs 2x23x31x1

El producte de dues matrius diagonalitzades en bloc és una altra matriu diagonalitzada en bloc.

El producte de dues matrius diagonalitzades en bloc de la mateixa manera, és igual al producte de cada un dels blocs.

C1=A1.B1

C2=A2.B2

C3=A3.B3 Caràcter o traça d’una matriu quadrada

k

kjikij .CBA

100000098700076500043200000032000011

200033055

200011011

100021032

3

2

1

3

2

1

3

2

1

CC

C

BB

B

AA

AA.B

n

1iiiA Aχ

3.2.- REPRESENTACIÓ MATRICIAL DE LES OPERACIONS DE SIMETRIA DEFINICIÓ PRÈVIA: BASE D’UNA REPRESENTACIÓ

La base d’una representació és un conjunt format per un nombre de funcions linialment independents, {Фi}, de manera que l’acció d’un element del grup (una operació de simetria) sobre cada una d’aquestes funcions es pot escriure com una combinació linial d’aquestes funcions.Exemple:

Base (x,y,z) (x,y,z) (x’’,y’’.z’’)

Identitat: Ê (x,y,z) (x,y,z)

Reflexió: σ (x,y,z) (x,y,-z)

zyx

.ihgfedcba

z'y'x'

100010001

(E)

100010001

)(σxy

Ôp

Ê

σxy

Rotació: Cn (angle de rotació θ); Cn // eix z

(x,y,z) (x’,y’,z’)Cn

x

y

y

x(x,y,z)

α

θ

(x’,y’,z)

αl.sin yα l.cosx

cos(θ-α)=cosθ cos α + sinθ sin αsin(θ-α)=sinθ cos α – cosθ sin α

x’=l cos(θ-α)y’=-l sin(θ-α)

x’= l cosθ cosα + lsinθ sinα = x cosθ + y sinθy’=-l sinθ cosα+ lcosθ sinα = -x sinθ + ycosθz’= z

1000cosθsinθ0sinθcosθ

)(Cn

Rotació impròpia Sn (angle de rotació θ); Cn // eix z σ= σxy

(x,y,z) (x’,y’,-z)

Sn= σh.Cn

Com que podem construir qualsevol representació (és a dir, podem escollir qualsevol base de qualsevol dimensió) ens serà útil definir el:

CARÀCTER D’UNA REPRESENTACIÓ“El conjunt dels caràcters de les matrius d’una representació: χ()

Sn

1000cos0cos

1000cos0cos

100010001

)()()(

sinsin

sinsin

CS nnn

Grup C2h {E, C2, σh, i} h=4 Base: (x,y,z)

E C2 σh i χ(Γ) 3 -1 -1 -3

Per aquest grup es podria comprobar que la taula de multiplicació del grup, i la taula de multiplicació de la representació són iguals.

Exemples:Exemples:

100010001

)(;100

010001

)(;100010001

)(;100010001

)( 2 iCE h

Grup C2h

Base: àtoms de la molècula

E C2 σh i χ(Γ) 4 0 4 0

Observacions: Els caràcters de les dues representacions són diferents.El caràcter de E “sempre”és igual a la dimensió de la representació.

N N

H

H1

3 4

2

1000010000100001

(E)

0100100000010010

)(C2

1000010000100001

)( h

0100100000010010

(i)

Grup C3v {E, C31,C3

2,σ1, σ2, σ3) Base: {d1, d2, d3} dim=3

E C31 C3

2 σ1 σ2 σ3

χ(Γ) 3 0 0 1 1 1

Observacions: Els elements que pertanyen a la mateixa classe tenen el mateix caràcter. Per això:

E 2C3 3σ χ(Γ) 3 0 1

Les matrius NO estan diagonalitzades per blocs.

100010001

)(^

EE

001100010

)( 13

13 CC

010001100

)( 23

23 CC

100001010

)( 33

001010100

)( 22

010100001

)( 11

d1 d2

d3

C31.C3

2 1 classeσ1σ2σ3 1 classe

Les podem diagonalitzar per blocs?SI, si apliquem la transformació de semblança adecuada.

Per exemple:

Apliquem la transformació de semblança a un dels elements de cada classe.

XXts 1

21

61

31

21

61

31

06

23

1

X

21

210

61

61

62

31

31

31

1X

06

23

12

16

13

12

16

13

1

21

61

31

21

61

31

06

23

1

001100010

)( 1113

1 XXXCX

)(

21

230

23

210

001

06

23

12

16

13

12

16

13

1

21

210

61

61

62

31

31

31

13Cts

Observem que la transformació de semblança no modifica la traça:

Fem el mateix per l’altra classe:

))((0))(( 13

13 CC ts

100010001

)()( 111 tsXX

010100001

))((1))(( 11 ts

Llavors, fent la transformació de semblança hem aconseguit una altre representació (de la mateixa dimensió i diagonalitzada per blocs), però amb el mateix caràcter (ja que la transformació de semblança no altera la traça).

E 2C3 3σχ(Γ) 3 0 1χ(Γts) 3 0 1

Ara considerem cadascun dels blocs:χ(Γ1x1) 1 1 1χ(Γ2x2) 2 -1 0 χ(Γts) 3 0 1

És a dir, que la representació Γts és la “SUMA DIRECTE” () de les representacions (de dimensió més petita) obtingudes al diagonalitzar per blocs Γ.

Observació:Podem descomposar una representació de dimensió N en representacions més petites, tals que la suma de la dimensió de cada representació és igual a N, i això ho podem aconseguir aplicant una transformació de semblança tal que ens diagonalitzi les matrius de la representació de dimensió N en blocs.

)()()( 2211

2211

111 xxts

xxts

Grup C3v {E, 2C3,3σ} Si C3//z , σ1= σxz

Base: x,y,z

Aquesta representació ja ens ha sortit diagonalitzada en blocs

E 2C3 3σ Γ 3 0 1 Γ2x2 2 -1 0 Γ1x1 1 1 1

100010001

)E(

1000 21- 302321-

1000 cos120 sin1200 sin120cos120

)(C13 2

1 0 00 1- 00 0 1

)(σ1

1x12x2

Igual que abans!!!

El nombre de R.I d’un grup és igual al nombre de classes del grup. La suma de quadrats de les dimensions de totes les representacions irreduibles

d’un grup és igual a l’ordre del grup.

La suma dels quadrats dels caràcters de qualsevulla R.I és igual a l’ordre del grup.

Els caràcters de dos R.I, i i j, compleixen:

En qualsevol grup, existeix una R.I de dimensió 1 en la que tots el caràcters són iguals a 1. És la representació totalment simètrica.

En definitiva:

REPRESENTACIONS IRREDUIBLES (R.I)REPRESENTACIONS IRREDUIBLES (R.I)

i i

2^

i2

i h)]E([h)(dim

R

2^

i h)]R([

R

ji RRˆ

0)ˆ()ˆ(

R

)ˆ()ˆ( ijji hRR

Les R.I de dimensió UNITAT es designen por A o B.Si el caràcter d’una rotació (pròpia o impròpia) 2/n al voltant d’un

eix de simetria d’ordre màxim n és+1 A-1 B

Les R.I de dimensió DOS es designen per E Les R.I de dimensió TRES es designen per T Les R.I de dimensió QUATRE es desginen per G Les R.I de dimensió CINC es designen per H

Nomenclatura de les R.I’sNomenclatura de les R.I’s

I

Si la molècula té un centre d’inversió, î, utilitzar un subíndex g o u.

Si la molècula té un pla σh , però no té î, utilitzar un superíndex ‘ o ‘’ .

Si és necessari es posen subíndex numèrics per a distingir les R.I.

Nomenclatura de les R.I’sNomenclatura de les R.I’s

II

III

uîgî

0)(0)(

''0)ˆ('0)ˆ(

h

h