1

Teoría de Hamilton-Jacobi

Ecuación de Hamilton-Jacobi

La función acción calculada a lo largo de un extremal , que conecte los

puntos y , puede ser considerada, para fijado, una

función de las variables si los extremales que parten de no se

intersectan en ningún otro sitio:

0 0( , )q t ( , )q t 0 0( , )q t( , )q t 0 0( , )q t

0 0

( , )

( , )

( , ) ( , , ) ,

t q

t q

S q t L d 0 0 0

( ); 0,,

( ) , ( )

d L L

d

t q t arbitrario

d

d

0t

0q

t

q

,S S

S q tq t

Sea el extremal que va hasta

y el extremal que va hasta 1

2( , )t q

( , ).t t q q

t

q

2 1

S Ld Ld

0 0 1

( , ) ( , )

( , ) ( , )

q h t q q t t

t q q h t

Ld Ld Ld

0 0

( , )

( , )

t q q t tt

t q q tt

L d L Lhd h Ld

d

( )ph t L t

( )h t

( )p q q t L t ( , , ) ,p q H q p t t

, ( , , ),S S

p H q p tq t

( , , ) 0,

S SH q t

t q

, ( , , ),

1, ,

j

j

S Sp H q p t

q t

j n

1

1

( , , , , , , ) 0,n

n

S S SH q q t

t q q

12

Método de Hamilton-Jacobi para la integración de

las ec. canónicas de Hamilton con Hamiltoniana .

1

1

( , , , , , , ) 0,n

n

S S SH q q t

t q q

(E.H.J)

• Se busca una solución de la E.H.J llamada integral completa: una solución de la

ecuación que contenga tantas constantes independientes como variables

independientes existan, es decir n+1. Una de dichas constantes (al aparecer sólo

las derivadas de S) será siempre aditiva y la descartamos. La integral llamada

completa será una solución del tipo

1 1( , , , , , , ).n nS S t q q

H

, , , ( 1, , ),i i

i i

S S Sp Q H H i n

q P t

• En el sistema de ecuaciones canónicas con Hamiltoniana , efectuamos una

transformación canónica usando como función generatriz (tipo 2) la integral completa, y

las magnitudes como los nuevos momentos , :

( , , )H q p t

1 1( , , , , , , )n nS t q q P Pi iP

• Como S verifica la E.H.J, , y en las nuevas variables: 0H 0, 0,i i

i i

H HQ P

P Q

,

,

1, , ,

i i

i i

Q const

P const

i n

( , , ),

( , , ),

i

i

i

i

S t qp

q

S t q

( , , ),

( , , ),

i i

i i

q q t

p p t

0 0

0 0

( ) ( , , ),

( ) ( , , ),

i i

i i

q t q t

p t p t

1

1

( , , , , , ) 0,n

n

S S SH q q

t q q

(E.H.J)

( ) ( ),S W q T t

Caso particular en el que la Hamiltoniana es independiente del tiempo: . ( , )H q p

0 0

( , ) ( , )

, , 0, ( 1, , ),i i

q p Q Pi i i

S W S Sp Q H H E E i n

q q P t

,

,

1, , ,

i i

i i

Q const

P const

i n

0

( , ),

( , ),

i

i

i

i i

W qp

q

W q Et

( , , ),

( , , ),

i i

i i

q q t

p p t

Se ensaya una

solución del tipo: ( , ) ,

W dTH q

q dt

0 ,

dTconst E

dt

1 0

1

( , , , , , ) ,n

n

W WH q q E

q q

La solución, , contendrá n constantes no aditivas,

entre las cuales estará (H se conserva). 0EW

• En lugar de tomar como una de las constantes a veces es preferible tomarla

como una cierta función de las , , y expresar la solución como i0E

i 0 0 1( , , )nE E

1 1 0 1( , , , , , ) ( , , ) ,n n nS W q q E t

0 ,T E t

La función se denomina

acción reducida

W

• A partir de aquí el método de Jacobi se aplica igual que antes si tomamamos S

como función generatriz (tipo 2) y las como los nuevos momentos iPi

separación de variables

, ,i i

i i

W W Wp Q H H

q P t

0 1

( , ) ( , )

( , ), ( 1, , ),n

q p Q P

E P P i n

0

( , ),

( , ),

i

i

i i

i i

W qp

q

E W qQ t

( , , ),

( , , ),

i i

i i

q q t

p p t

• Una pequeña variante del método consiste en tomar la acción reducida W como

función generatriz de la transformación canónica (tipo 2) en lugar de la S,

y en la nueva Hamiltoniana H’, todas las coordenadas Q son cíclicas

'0,

',

1, , ,

i

i

i

i

HP

Q

HQ

P

i n

0

,

,

i i

i i

i

P const

EQ t

1

1 1

2 ,

( ) 2 ,

p

x t

Ejemplos (resolver aplicando el método de Jacobi)

1 1

1 1

,

,

P const

Q const

1) Partícula libre moviéndose sobre el eje X: 212

,L M x21

2, ( , )H p x p

2

12

0,S S

t x

0( ) ,S W x E t

2

02 ,dW

Edx

02 ,W x E 0 02 , ,S x E E t

• Tomando S como función generatriz, H’=0,

Solo hay una constante. Podemos tomar 0 1 1( ) ,E f

11

1 01

1 1 1

( , )2 ,

( , ),

2

W xp

x

W x E xt t

• Tomando W como función generatriz, 0 1 1 1( ) , ,H E f H P

1 1

1 1 1

1

,

'1, ,

P const

HQ Q t

P

1

1 1

1 1

2 ,

,2

Wp

x

W xQ t

1

1 1

2 ,

( ) 2 ,

p

x t

2) Partícula libre moviéndose sobre el plano XY: 2 212

( ),L M x y 2 21

2( ), ( , , , )x y x yH p p x y p p

22

1 12 2

0,S S S

t x y

0( ) ( ) ,x yS W x W y E t

22

1 102 2,

yxdWdW

Edx dy

2 2 ( ) ,x x x yS x y t

• Tomando S como función generatriz, H’=0,

2 ,

2 ,

,2

,2

x x

y y

x

x x

y

y y

Sp

x

Sp

y

S xt

S yt

2 , 2 ,

( ) 2 , ( ) 2 ,

x x y y

x x y y

p p

x t y t

separación de variables

2

12

2

10 02

, 2 ,

, , 2 ,

xx x x

y

x y x y y y

dWconst W x

dx

dWE E W y

dy

, , , ,x x y y x x y yP P Q Q

3) Partícula libre moviéndose sobre el plano XY en coordenadas polares :

2 2 212

( ),L M 2 2 2 21

2, , ( / ), ( , , , ),

L Lp p H p p p p

2 2

21 12 2

0,S S S

t

0( ) ( ) ,S W W E t

2 2

21 102 2,

dW dWE

d d

• Tomando S como función generatriz, H’=0,

separación de variables

2

2 , ,dW

Wd

( , )

2

2 21 102 2,

dWE

d

2 2

02 ,W E d

2 2

0 02 ,S E d E t

0 1 2( , ) ( , ),E P P

1 2, ,Q Q

1 2 0

1 2 0

, ,

, ,

P const P const E

Q const Q const

2 2

02 ,dWS

p Ed

,S dW

pd

02 2

0 0

,2

S dt

E E

2

2 2

0

,2

S d

E

0 0( , , ),E t

0( , , , ),E

02 2

0

,2

dt

E

2

2 2

0

,2

d

E

2 2 2

0 0

02 2 2

0 00 0

2 2( / )

2 22 ( / ) 2

/

E x Ed dxt

E x EE x E x

x

2

2 2 2 2

0 0 0

( / ) ( / )arctan ,

2 2 ( / ) 2 ( / )

d d

E E E

22

0 0

0

( ) ,2

E tE

2

0

( / )tan( ) ,

2 ( / )E

1

1

( , , , , , ) 0,n

n

S S SH q q

t q q

(E.H.J)

1 1 1 0 1

1

( , , , , , , ) ( , , , ) ( , , ) ,n

n n k k n n

k

S q q t W q E t

Sistemas separables: . ( , )H q p

La solución de la

EHJ es de la forma:

• Casos triviales de separación:

( , ) , ( , ),kk k k k k k k

k

dWH q W W q

dq

, , 0, ,kk k k k k

dHH H H H H const

dt

0 ,k

k

H const E

cada una de las es una

constante del movimiento: kH

1) Hamiltoniana separable: 1

( , ) ( , ),n

k k k

k

H q p H q p

1 1

( , ) ,n n

k k k k

k k

S W q t

2) Cualquier coordenada cíclica es separable:

2 1( , , , , , )n nH q q p p1 1

1

,W

p constq

1 1 2( , , , ),nW q W q q

2 1 0

2

( , , , , , , ) ,n

n

W WH q q E

q q

3) La coordenada, por ejemplo la , se dice que es separable si la variable y la

aparecen solo mediante una combinación de la forma :

2 2 1 1 1 1 0, , , / , , / , ( , / ), ,n nH q q W q W q f q W q E

1q1q

1/W q 1 1 1( , / )f q W q

si es separable buscamos una solución de la forma

0 2 1 1( , , ) ( ),nS E t W q q W q

para la EHJ, la cual se escribirá

(*) Una solución de esta ecuación es:

1 1 1 1 1 2 2 1 0( , / ) , , , , / , , / , , ,n nf q W q H q q W q W q E

Si las coordenadas restantes son también separables el sistema total es separable y

una solución completa de la EHJ se puede obtener.

Ejemplos de sistemas separables de esta manera son:

(*)Nota: Obsérvese que es una constante del movimiento 1 1 1( , )f q p

1 1 11

1 1 1 1

1 12 2 2 2 1

1 1 1 1

, ,

( , , , , , , ) , ( , , , , , , ) , , 0,n n n n

df f H f Hf H

dt q p p q

H f H fA q q p p A q q p p f H

p p q q

Partícula moviéndose sobre un plano (coordenadas polares) y sometida a un

potencial central

2 2 2 21 12 2

( ) ( ) ( ),L v U U

( )U

, ,L L

p p

2 2 212( / ) ( ),H p p U 0, . ,

Hp const

0 ( ),S E t W

2

2 2 2 210 02

/ ( ) , 2 / 2 ( ) ,dW

U E W E U dd

Partícula moviéndose en un triedro (coordenadas esféricas) y sometida a un

potencial central

2 2 2 2 2 2 21 12 2

( ) ( sin ) ( ),L v U r r r r U r

( )U r

, , ,r

L L Lp p p

r

2

2 212 2 2

1( ) ( ),

sinr

pH p p U r

r

0, . ,

Hp const

0 ( , ),S E t W

2 2

02 / 2 ,rW E r U dr

2 2 2

1 102 2 2 2

1( ) ,

sin

W WU r E

r r

( , ) ( ) ( ),rW r W r W

2 2

2

2,

sin

W

2 2

1 102 2 2

( ) ,rWU r E

r r

2

2

2,

sinW dr

¡Los sistemas hamiltonianos separables son integrables por

cuadraturas!

¡Las n constantes se corresponden con n constantes

del movimiento o integrales primeras !

¿Cuando es integrable un sistema Hamiltoniano?

• Teorema de Liouville de la integrabilidad:

Sea el sistema de n grados de libertad con Hamiltoniana .

Si se conocen n integrales del movimiento, ,

independientes y que estén en involución, es decir el corchete de Poisson de

cualquier pareja de integrales del movimiento es identicamente nulo, ,

entonces el sistema es integrable por cuadraturas (ver apuntes pag. 32).

1 1( , , , , , )n nH q q p p

1 2( , ) , ( , ), , ( , )nF q p H F q p F q p

, 0j kF F

Método de Jacobi en variables ángulo-acción: ( , )H q p

0( , ) ,H q p const E

• 1 grado de libertad:

0, ( , ) ,dW dW

p H q const Edq dq

0( , ),W q E

¡En lugar de la constante usamos otra constante, función de ! 0E0E

OSCILACIÓN

q

p 0( , )H q p E

q

p

0 0 0

1( , ) , ( ), ( ), ,

2 2

AI p q E dq I E E I I

ROTACIÓN

0( , )H q p E

q q

0 0

1, ( ), ( ),

2 2

q

q

AI pdq I E E I

2 0 2

2

1

0

1

2

2 0 2

2

1

0

1

2p

x

z

M g

R

rotación

oscilación

A

A

Tq

0,I const t

0( , ) ( , ), ( ),

q p I

W Wp H H E I

q I

• Usamos como función generatriz, y las nuevas variables

canónicas ( , ),W q I

( , ) ( , )Q P I0 ( ),

0,

d H dEI

dt I dI

dI H

dt

• Propiedades de la transformación canónica

1 1,

2 2 2

cicloWW

I pdq dqq

2 2

, (2 ) 2 ,ciclo

W W Wd dq dq pdq I

I q I q I q I I

Oscilación:

Rotación:

son funciones periódicas de con período . 2,p q

son funciones periódicas de con período . 2, ( / 2 )Tp q q

¡Funciones periódicas de t con período ! 2 /

La acción reducida, ,

se incrementa en ,

en m ciclos completos

W2 mI

Frecuencia de

oscilación/rotación

Ejemplo 1: Obtener la solución del movimiento de un oscilador armónico con

Hamiltoniana , utilizando las variables ángulo-acción. 2 2 21 102 2

H p q

p

q

2 2 21 10 02 2

p q E 0

0

2

2 2 00 0

00

1 14 2 ,

2 2 2

E

A EI pdq E q dq

0 0( )E I I

0 0 0 0, 0, ., , ,dI d H

H I I const tdt dt I

2

2 2 2 21 10 0 0 02 2

, 2 ,dW

q I W I q dqdq

2 2 00 0 0

2 2

0 0

( , ) ( , )2 , arcsin ,

22

W q I W q I dqp I q q

q I II q

0 0 0 0 0

0

2sin( ), 2 cos( ),

Iq t p I t

Ejemplo 2: Obtener la frecuencia de oscilación del oscilador no lineal con

Hamiltoniana , en función de la energía del oscilador. 21 12 2

, ( 0)n

H p q n

p

q

21 102 2

np q E

1/0(2 )

0

0

1 42

2 2 2

nE

nAI pdq E q dq

1/0

1 1 1 1(2 ) 12 2

0 0

1/ 1/

0 00 0

2(2 ) 2(2 )1 1 ,

(2 ) (2 )

n nEn n

n

n n

E q q Ed x dx

E E

1

0

1

3 12

((1 )

, ,) 1( )2

0n

n

n n nn x dx

2 3222

0

2,

nnn

nI E

2

0 202 3

2

2,

2 (2 )

n

nn

n

dE nE

dIn

2 0 2

2

1

0

1

2

2 0 2

2

1

0

1

2p

x

z

M g

R

rotación

oscilación

Ejemplo 3: Obtener la frecuencia de oscilación del péndulo simple.

2 210 02

cos , ,g

LR

2102

cos ,H p const E

2102

cos , ,L t t 0 1E

0 1E

0 0

0

1 4 2cos , cos ,

2 2

m

mI pdq E d E

• Oscilación: 01 1,E

0 0

0

1 2 2cos , 1,

2 2I pdq E d E

• Rotación: 0 1,E

1 1 1 010 0 0 02 1

0 02

( ) 4 2 1 cos ( ),2( 1) , ,2 ( 1)

dEI E E E E E

dI K E

1 000 0

0 0

0

12( ) 2 2( 1) , ,

1 22

1

EdEI E E E

E dIK

E

,E K ¡las correspondientes funciones elípticas ! 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0E

0/

Método de Jacobi en variables ángulo-acción: 1 1( , , , , , )n nH q q p p

• n grados de libertad (movimiento finito con respecto a todas las

coordenadas y:

1, ( , , ), ( 1, , )ii i i i n

i i

W Wp p p q i n

q q

1

1

( , , , ),n

k k n

k

W W q

ROTACIÓN (¡algún !) ipOSCILACIÓN

iq

ip 1 , n

iq

ip

1, ( 1, , )

2i i iI p dq i n

iqiq

0 1( , ) ( , )' ( , , ),nq p I

H H E I I

A

A

iTq

1 , n

Ciclo ( , )i iq p Ciclo ( , )i iq p

En lugar de las constantes usamos las variables acción:

1( , , ),i i nI I 1

1

( , , , ),n

k k n

k

W W q I I

1

, ,n

i ki i

ki i i

W W Wp

q I I

00

.,

, ,

i

i i i i i

i

I const

Et

I

1

, ,n

i ki i

ki i

W Wp

q I

T. canónica:

1 1

,n n

ki k k kI

k ki k i

Wd dq p dq

I q I

• Significado geométrico del ángulo

Integramos sobre la superficie n-dimensional

sobre una curva cerrada

volviendo al mismo punto inicial: ciclos

completos de cada pareja

1( , , ) ,nI I const

km( , ).k kq p

1 1

( 2 ) 2 ,n n

i k k k k iIk ki i

p dq m I mI I

En cada ciclo completo de la pareja , se incrementa en ( , )i iq p i 2

,i iq p son funciones del tiempo multi-periódicas a n frecuencias 1, , ,n

,i iq p son funciones multi-periódicas de de período 1 2, , , ,n 2

• En el movimiento para unas condiciones iniciales dadas:

,i iq p son funciones del tiempo multi-periódicas a n frecuencias 1, , ,n

• En el movimiento para unas condiciones iniciales dadas:

• Supongamos que n=2:

1 2

1 2

, 1 1 2 2, , exp ( ) ,i i k k

k k

q p A i k k t

El movimiento, en general, no será periódico (la trayectoria no se

cierra en el espacio de fases).

Para que la trayectoria se cierre en el espacio de fases es necesario

que las frecuencias cumplan una condición (de resonancia):

1 2 1 2 1 2/ / , ,m m m m

1 11 1 2 2 1 1 2 2

1 1

exp ( ) exp ( ) , 2 ,m

i k k t i k m k m t tm

periodo

Geometría de los sistemas Hamiltonianos integrables (con n

integrales primeras independientes en involución).

sin , cos , ( 1, , )j j j j j jQ I P I j n

Se demuestra que también se pueden introducir las variables ángulo-acción.

Una segunda transformación canónica conveniente a variables (Q,P) es:

La trayectoria está situada sobre una superficie toroidal n-dimensional :

2 2 2( , ) : 0, 1, ,n n

j j jT Q P Q P I j n

1

2

1 1 10 2 2 20, ,t t

Si un irracional, la

trayectoria rellena

densamente la superficie

del toro

1 2/

Ejercicio 1: Una partícula de peso mg se mueve en un plano vertical sometida

a la acción de dos muelles de constante elástica k y longitud natural

despreciable. Se pide:

a) Hamiltoniana (usar coordenadas generalizadas x, z).

b) Expresar la Hamiltoniana en función de las variables acción.

c) Obtener la solución, x(t), z(t), usando las variables ángulo-acción.

x

z 2 2 2 2 2 21 1 12 2 2

( ) ( ) (( ) )L m x z mgz k x z k x z

Dividimos por la Lagrangiana: 2m / , / ,x x z z

2 2 2 2 2 21 1 12 2 2( ) ( ) (( 1) )

g k kL x z z x z x z

m m

2

p 2

m2

m

Dividimos por la Lagrangiana: 2

m2 2, /m p mt t

2 2 2 21 12 2( ) ( ) ( ),L x z z z x x 2 2 2 21 1

2 2( ) ( ) ( ),x zH p p z z x x

( , ) ( , ),x x z zH H x p H z p

2 2 2 21 12 2( ) ( ) ( ),x zH p p z z x x ( , ) ( , ),x x z zH H x p H z p

2 21 12 2x x xH p x x const

2 212

,z z zH p z z const

x

xp

1(2 )x xI p dx

2( ) .x z x zH I I const

14x

14

2 x

z

zp

214 z

214

2 z

1 214

2(2 ) ( ),

2z z zI p dz

2, 2,x z

x z

H H

I I

0 0, ,x x x z z zt t ,x zW W W

2

2 21 1 1 12 2 4 2

( ) ( ) ( ) ,xx x

dWx x x

dx

212

2 2 ( )xx

dWI x

dx

14

2( ),

2x

0 0, ,x x x z z zt t ,x zW W W

2 21 12 2

2 2 ( ) , 2 2 ( )xx x x

dWI x W I x dx

dx

12

212

arcsin ,2 ( ) 2

xx

x xx x

xWW dx

I I I x I

12

2 sin ,x xx I

22 sin ,z zz I

……………………………………………………………………

Ejercicio 2: Sea el Hamiltoniano de 2 grados de libertad

Se pide:

a) Una solución completa de EHJ.

b) Reducir a cuadraturas el movimiento del sistema usando el método de HJ

2 2 2 21 1 1 12 2 1 12 2 2 2

( ).H p q p q

2 2

2 21 1 1 12 1 02 2 2 2

2 1

,W W

q q Eq q

1 1 2 2( ) ( ),W W q W q

2 2

2 2 2 21 21 1 1 11 1 2 1 02 2 2 2

1 2

, ,W W

q q Eq q

2 2 2 2

1 1 1 1 2 0 2 1 22 , 2 ,W q dq W E q dq

2 2 2 2

0 1 1 1 0 2 1 22 2 ,S E t q dq E q dq

22 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1 12 2 2 2

1 1 1 1 0 2 1

2 2 22 0 2 1 2 2

2 22 0 0 2 1

22 , ,

2 2

2 , ,2

q dqS Sp q Q dq

q q E q

dqS Sp E q Q t

q E E q

2 1 2 1 22

2 2 2 21 1 00 2 1 2 1

0

1 1arcsin ,

222 1

2

dq dq qt

EE q qE

E

2

1 2 1 21 1

2 2 2 2

1 1 0 2 1

2

2 2

q dqdq

q E q

2

01 2 1 2 1 2 11 12 22

0 0 011

2arcsin 1 arcsin

2 2 2 2

Eq q q q

E E E

22

2

1 11 arcsin

2 21

x dxx x x

x

01 1 11 2 1 1 2 1 1 22 22

11

2arcsin sin cos ( ) ,

2

Eqt t t

0 1 11 1 1 1 2 1 1 24 22

1

22 sin sin 2 2 ( ) ,

Eq t t

0

2 1 2 1

1

2sin ,

Eq t

c) Frecuencias del movimiento

2 2 2 2 2 21 1 1 11 1 1 2 2 1 02 2 2 2

, ,p q p q E

1

1 1 1 1(2 ) ,I p dq 1 0

2 2 2 0 1 2

1

(2 ) ,E

I p dq E I I

0 01 2 2 1

1 2

, ,E E

I II I

¡El movimiento, en general no es periódico, salvo que los valores de

verifiquen una condición de resonancia!: 1 2,I I

1 1 2 2 ,n I n I para enteros 1 2,n n

x

y

a

b

0v

Ejercicio 3: Una partícula se mueve libremente en el interior de una caja

rectangular, realizando choques elásticos con las paredes. Usando las

variables ángulo-acción, investigar el conjunto de condiciones iniciales

para las que la trayectoria en el interior de la caja es cerrada.

2 21 12 2

( ) ( ),x yL x U x y U y

0, (0, ),

, (0, ),x

x aU

x a

0, (0, ),

, (0, ),y

y bU

y b

2 21 12 2

( ) ( ) ,x x y y x yH p U x p U y H H

( , ) (0, ) (0, ) , ,x x y yx y a b p p

x

xp

a

x xp

x xp

,xx

aI

y

yp

b

y yp

y yp

,y

y

bI

x

y

a

b

0v

, ,x x y yI Ia b

22 22 21 1

0 2 2 2 2. ,

2

yxx y

IIH const E

a b

2 2

0 0

2 2, ,x x x y y y

x y

E EI I

I a a I b b

La trayectoria es cerrada (también en el espacio físico) si se da

la condición de resonancia:

, ,y y y

y x

x x x

nan n

b n

0 0cos , sin ,x yv v

tan , ,y

y x

x

nan n

b n

tan , ,y

y x

x

nan n

b n / 2a b

2, ,

4 1

y

x

n

n

1arctan( / ), ,

1

y

x

nb a

n

3,

2

y

x

n

n

1,

3

y

x

n

n

Ejercicio 4: Estudiar aplicando la misma técnica que en el ejercicio anterior,

las trayectorias cerradas de una partícula en un billar circular de radio

unidad. 2

212 2

0, 1,( ), ( )

, 1,r

rpH p U r U r

rr

221

02 2. ,rH const p E

r

0, ,H

p

2

0

1 1,

2 2I p d d

1

2r rI p dr

r

rp2

2

0 22 ,rp E

r

12

min

0

,2

rE

min min

1 12 20 min

0 2 2

0 2 minmin

0

212 1

2tan (tan ),

cos

m

r r

m m

E rE dr dr

r r

E I rr d r

2 2

min 0 2

0

cos ,2 2cos

tan ,

m

m

rm m

I Ir E

E

I

I

minr

1r

0022 2

,sin2 2sin

r

r m m

EE I

I t

0 2 1, ,

sin(2 ) 2

m m

m r r

E I n

I n

34

1

3r

n

n

1

4r

n

n

2

5r

n

n

1

5r

n

n

3

7r

n

n

3

8r

n

n

Ejercicio 5: Usando variables ángulo-acción resolver el movimiento de una

partícula de masa unidad sometida al peso, que está obligada a

permanecer sobre la superficie de un cilindro vertical de radio R, apoyado

sobre el suelo, realizando choques elásticos con éste.

Coordenadas polares cilíndricas: , , 0,R z

22 2 21 1 1

2 2 2 2( ) , , 0,z

pL z R gz H p gz z

R

0, . , ( ) ,z

Hp const W W z

2 2

1 102 2 2, 0,zdW

gz E zdz R

22 2 ,zz z

dWp gz

dz

z

zp

22 z2

maxzz

g

2

0

1 1,

2 2I p d d

max

max

0

3/22 2

0

2 2/3 2/312

1 12

2 2

1 12 2 2 ,

3

(3 ) ,

z

z z z

z

z z

z z

I p dz p dz

gzdzg

g I

22/3 2/31

0 2 2(3 )

2z

IE g I

R

2

212

, 0,zz

dWgz z

dz

22 1

0 2 2,zE

R

36

2/3 1/30 0 132

, (3 ) ,z z

z

E I Eg I

I R I

Variables ángulo-acción: ( , ), ( , )z zI I

0 ,W

tI

max

max max

max

2

0 2

0

2 2

20

0

2 2

2 20

12 2 2 , ( 0)

2 2

12 2 2 , ( 0)

2 2 2 2

z zz z z

z z z

z z

z z

z

z z z z

z z

zz z

W Wt

I I

dzgz z

ggz

dz dzgz z

ggz gz

2 2 2

0 2 ( ) 2 2 2 1 ( ) 1 / ,zz z z z z zt sign z gz sign z gz

g

¡Notar que se incrementa en ( es multivaluada) en cada ciclo completo! z 2 zW

22

01 1 , mod22

z zz z zz t

g

37

Ejercicio 6: La Hamiltoniana de una partícula de un grado de libertad es

, siendo (x,p) la coordenada y momento canónico

respectivamente. El potencial U es la siguiente función de x definida a

trozos:

212

( )H p U x

212

, 1 ;

( ) 1, 1 2;

, 2 .

x x

U x x

x

x

U

1/ 2

1

212 1

Se pide:

a) Un dibujo esquemático en el plano de fases (x,p) de los tres tipos de trayectorias

que tiene el sistema.

b) La acción I en función de la energía de la partícula

c) La frecuencia del movimiento en función de la energía de la partícula

d) Obtener x(t) usando variables ángulo acción, , para el caso particular

( ).I E

( ).E

( , )I 0 1/ 2.E

38

212

( ) .p U x const E

212

, 1 ;

( ) 1, 1 2;

, 2 .

x x

U x x

x

x

U

1/ 2

1

212 11, 2 , 0 1,E p E U x

1, 2 , 0 2,E p E U x

x

p

0 1/ 2E

1/ 2 1E

1E 1,

2I pdx

2

20 1/ 2 ,

2

EE I E

1

2

0

11

2 1 2 cot( 2 1),

/ 2 1 4 22

E I

E E arc

E

E

x dx

2 21 12 2

1

2

0

1 (1 ) 1, 2( 1),

1

2 1 2 cot

4( 1)4 2

2 2

2 2( ) ( )1 2 1,

E p U E p p E

pI

E E arc

E x dx

E E

p

39

Ejercicio 7: Se considera el sistema Hamiltoniano con función de Hamilton: 3 2

2 2 22 11 1 12

1

1 1 ( ) 1( 1 ) .

2 2 1 2

p qH p q q

q

Se pide:

a) Plantear explícitamente las ecuaciones canónicas de Hamilton.

b) Obtener 2 leyes de conservación.

c) Plantear explícitamente la ecuación de Hamilton-Jacobi para la acción

d) Obtener una integral completa

e) Reducir a cuadraturas el movimiento el sistema utilizando el método de

Hamilton-Jacobi y usando como función generatriz.

f) Obtener la función Lagrangiana correspondiente a la Hamiltoniana.

.S

1 2 1 2( , , , , ).S q q t

S

a) 3

2 2 11 1 2

1 2 1

1 , ,1

H H p qp q

p p q

2 3 3 22 1 2 1 1 2 1

1 1 1 1 2 2 2

1 1 1 2

1 6 ( ) 2 ( )2 ( 1 ) , 0,

2 1 (1 )

H q p q q p q Hq p q q

q q q q

2

1 1 1

1

2 3 3 22 1 2 1 1 2 1

1 1 1 1 1 2 2 2

1 1 1

1 ,

1 6 ( ) 2 ( )2 ( 1 ) ,

2 1 (1 )

Hq p q

p

H q p q q p qp q p q q

q q q

3

2 12 2

1

2

,1

0,

p qq

q

p

1 2 2, . ,H cte p const b)

c) 2

32 1

2 22

1 12

1 1

1 1 11 0.

2 2 1 2

Sq

qS Sq q

t q q

c) 1 2 2 1 1( ),S t q W q

22 3

2 12 211 1 12

1 1

1 1 11 0.

2 2 1 2

qdWq q

dq q

2 2

3 3

2 1 2 12 2 2 211 1 1 1 1 1 1 12 2

1 1 1

2 1 , 2 1 ,1 1

q qdWq q W q q dq

dq q q

d) 1 1 2 2 1 1 2 2( , , , ) ( , , , )q p q p Q Q Usamos S como función generatriz (tipo 2)

2

3

2 1 2 211 1 1 12

1 1 1

2 2

2

2 1 ,1

,

qS dWp q q

q dq q

Sp

q

41

1 11 1

231 1

2 1 2

1 12

1

3

1 2 1 12 2 2 2

232 2

2 12 2

1 1 12

1

,

21

( ),

(1 ) 21

S W dqQ t t

qq

q

S W q dqQ q q

qq q

q

e) 3

2 2 11 1 2 2 1 1 1 2 2

1 2 1

, 1 , ,1

H H p qL q p q p H q p q q

p p q

2 2 3

1 1 1 2 2 1 1

2 2 2 2

1 2 1 1

2 2 2 2 3 2

1 2 1 1 1 2 1 1

( 1 ) ( (1 ) )

1 1 1(1 )

2 2 2

1 1 1(1 ) (1 ) ,

2 2 2

L q q q q q q q

q q q q

q q q q q q q q

3 22 2 22 1

1 1 12

1

1 1 ( ) 1( 1 ) .

2 2 1 2

p qH p q q

q

42

Ejercicio 8: Una partícula de masa unidad (y peso despreciable) se mueve

en el interior de un cilindro de radio unidad y longitud h, realizando choques

elásticos con las paredes. Usando variables ángulo-acción estudiar las

condiciones para obtener trayectorias cerradas en el interior de cilindro.

Coordenadas polares cilíndricas: , , ,z

22 21

2 2

0, 1, 0, (0, ),( ) ( ), ( ) ( )

, 1, , (0, ),z z z

z hpH p p U U z U U z

z h

0, . ,H

p const

22 2 2 2

2. , , 0 , 1;z zp const p const z h

2 210 2

. ( ),zH const E

2

0

1 1,

2 2I p d d

0

1 1,

2

h

zz z z

hI p dz dz

min

1

p

22 2

2,p

12

min 2,

min

1 22

2

1 1

2

(tan ),m m

I p d d

I

2 22

0 2 2,

2cos 2z

m

IE I

h

43

tan ,m m

I

I

2 22

0 2 2,

2cos 2z

m

IE I

h

0 2,

sin2 m

E I

I

1,

2

m n

n

2

0

2,z z z

z

EI

I h h

0 2,

sin(2 )

m

m

E I

I

sin 2,

2

z mz zn

hI n