Instituto Universitario Politécnico

¨Santiago Mariño¨

Extensión Barinas

TEORÍA DE INTERPOLACIÓN

Por

TSU Leonel Quintero

C.I. 11164618

Introduccion a la Teoría de Interpolación

Un problema que se presenta con frecuencia en las ciencias experimentales y en ingeniería

es tratar de construir una función (denominada “función interpolante”) de la que se conoce

una serie de datos (denominados “datos de interpolación”). Estos datos pueden ser fruto de

las observaciones realizadas en un determinado experimento en el que se relacionan dos o

más variables e involucran valores de una función y/o de sus derivadas. El objetivo será

determinar una función que verifique estos datos y que además sea fácil de construir y

manipular. Por su sencillez y operatividad los polinomios se usan frecuentemente como

funciones interpolantes.

Un problema de interpolación en general puede enunciarse de la siguiente forma:

Dado un conjunto de datos, generalmente valores de una función y/o sus derivadas en

determinados puntos xi, i = 0, 1, · · · ,n, que llamaremos nodos, nuestro objetivo es

construir otra función que coincida con la función dada en los datos de interpolación.

Según el tipo de los datos de interpolación, podemos considerar los siguientes tipos de

interpolación:

Interpolación de Lagrange

Interpolación de Taylor

Interpolación De Hermite

Polinomios Interpolantes de Newton-Gregory y Gauss

Polinomio Interpolante de Newton-Gregory

Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se le puede

aproximar al polinomio se le parece. Una forma sencilla de escribir un polinomio que pasa

por un conjunto de puntos esquiespaciados, es la fórmula del polinomio interpolante de

Newton-Gregory (en avance y retroceso).

Fórmula de Avance

Fórmula de Retroceso

Polinomio Interpolante de Gauss

Hay una gran variedad de formulas de interpolación además del método de Newton-

Gregory, difieren de la forma de las trayectorias tomadas en la tabla de diferencias; por

ejemplo la fórmula del polinomio interpolante de Gauss( en avance y retroceso), donde la

trayectoria es en forma de Zig-Zag, es decir los valores desde el punto de partida Xo serán

seleccionados en forma de zig.zag.

En el caso de la formula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando

primero hacia hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo, y asi sucesivamente. En

formula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia

arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba, y asi sucesivamente.

Interpolación De Hermite

Disponemos de los valores de una función y de algunas de sus derivadas sucesivas en

determinados puntos. Por ejemplo, f (xi) y f′ (xi) en n + 1 puntos distintos, xi, i = 0, 1, · · ·,

n

En general, las funciones interpolantes forman un espacio vectorial de dimensión finita, es

decir son del tipo:

Ψ (x) = a0 ψ0 (x) + a1 ψ1 (x) + · · · + an ψn (x),

Donde ψ0(x), ψ1(x), · · ·, ψn(x) Son funciones dadas que forman base del espacio vectorial

correspondiente y ai, i = 0, 1, ·, n numeras reales a determinar.

Dependiendo del tipo de funciones que utilicemos como funciones interpolantes, la

interpolación se llamara polinómica, racional, trigonométrica, spline polinomial.

Entre las diferentes funciones interpolantes, por su sencillez y facilidad para operar, los

polinomios son los utilizados con mayor frecuencia en problemas de interpolación, en este

caso las funciones de base son ψi (x) = xi, i = 0, 1, · · ·, n.

Sin embargo, no siempre dan una respuesta satisfactoria, especialmente si la solución del

problema requiere el uso de polinomios de alto grado o, por ejemplo, si se observa un

comportamiento periódico en los datos de interpolación. Por simplicidad, nos centraremos

en este Tema en el estudio del caso particular de la interpolación polinómica de Langrange.

Interpolación Usando Splines

En el subcampo matemático del análisis numérico, un spline es una curva diferenciable

definida en porciones mediante polinomios.

En los problemas de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediante splines

porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo

grado, evitando así las oscilaciones, indeseables en la mayoría de las aplicaciones,

encontradas al interpolar mediante polinomios de grado elevado. Para el ajuste de curvas,

los splines se utilizan para aproximar formas complicadas. La simplicidad de la

representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen populares para la

representación de curvas en informática, particularmente en el terreno de los gráficos por

ordenador.

El término "spline" hace referencia a una amplia clase de funciones que son utilizadas en

aplicaciones que requieren la interpolación de datos, o un suavizado de curvas. Los splines

son utilizados para trabajar tanto en una como en varias dimensiones. Las funciones para la

interpolación por splines normalmente se determinan como minimizadores de la aspereza

sometidas a una serie de restricciones.

Este es el caso más sencillo. En él, vamos a interpolar una función f(x) de la que se nos dan

un número N de pares (x,f(x)) por los que tendrá que pasar nuestra función polinómica

P(x). Esta serie de funciones nuestras van a ser lineales, esto es, con grado 1: de la forma

P(x) = ax + b.

Definiremos una de estas funciones por cada par de puntos adyacentes, hasta un total de (N-

1) funciones, haciéndolas pasar obligatoriamente por los puntos que van a determinarlas, es

decir, la función P(x) será el conjunto de segmentos que unen nodos consecutivos; es por

ello que nuestra función será continua en dichos puntos, pero no derivable en general.

Ejemplo: Interpolar con splines f(x) = 1 / x, en los puntos en los que x vale 1, 2 y 4

F (1) = 1

F (2) = 0.5

F (4) = 0.25

El primer segmento P1(x) = ax + b deberá unir los primeros dos puntos de coordenadas

(1,1) y (2,0.5). Surge un sistema lineal de dos ecuaciones en dos incógnitas:

(1) 1=a+b

(2) 0.5=2a+b

De (1) se obtiene:

a=1-b (3)

Reemplazando (3) en (2) se obtiene:

0.5=2(1-b)+b

Luego

b=1.5

Reemplazando el valor de (b) en (1), se obtiene:

a = - 0.5

Por lo tanto, se concluye que: P1(x) = - 0.5x + 1.5 El segundo segmento P2(x) = ax + b

deberá unir el segundo punto (2,0.5) con el tercer punto (4,0.25). Análogamente a lo hecho

para P1(x), en el caso de P2(x) se obtiene:

(1) 0.5 = 2a + b

(2) 0.25 = 4a + b

a = - 0.125, b = 0.75

Luego P2(x) = - 0.125x + 0.75

Polinomio Interpolante De Lagrange

El problema de la interpolación polinómica de Lagrange consiste en lo siguiente:

Conocidos los valores de una función f en n + 1 puntos distintos xi, i = 0, 1, · · ·, n de un

intervalo [a, b], nos planteamos obtener un polinomio Pn de grado no superior a n, que

coincida con la función f en estos n + 1 puntos, es decir,

Pn (xi) = f (xi), Para i = 0, 1, · · ·, n.

El polinomio Pn buscado forma parte del conjunto de los polinomios de grado menor o

igual que n y, por tanto, Pn (x) será de la forma

Pn (x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0,

Y, para determinarla, habría que hallar los n + 1 coeficientes reales a0, a1, · · ·, an. En el

caso que an sea no nulo, diremos que Pn (x) tiene exactamente grado n.

La existencia y unicidad del polinomio de interpolación Pn (x) se prueba en el siguiente

resultado, adamas se determina una primera forma de construirlo.

Sean f: [a, b] → R y {x0, x1, · · ·, xn}, n+1 puntos distintos del intervalo [a, b]. Entonces,

existe un único polinomio Pn (x) de grado menor o igual que n, que verifica

Pn (xi) = f (xi), i = 0, 1, · · ·, n.

A este polinomio se le denomina polinomio de interpolación de f en los nodos {x0, x1, · · ·

, xn} y viene dado por

Pn (x) =Xni=0f (xi) Li (x), (1.1)

Donde, para cada i ∈ {0, 1, · · · , n}, Li (x) =Ynj=0j=6 ix – xj xi – xj

Tabla de Diferencias

Resulta conveniente arreglar los datos en una tabla con los valores x en orden ascendente.

Además de las columnas para x y f(x), se deberán tabular las diferencias de los valores

funcionales. La tabla que se muestra a continuación es llamada tabla de diferencias.

x f(x) 2f(x)

3f(x)

4f(x)

5f(x)

6f(x)

0,0 0,000 0,203 0,017 0,024 0,020 0,032 0,127

0,2 0,203 0,220 0,041 0,044 0,052 0,159

0,4 0,423 0,261 0,085 0,096 0,211

0,6 0,684 0,346 0,181 0,307

0,8 1,030 0,527 0,488

1,0 1,557 1,015

1,2 2,572 Los términos calculados en la tabla de diferencias, permiten determinar los coeficientes de

polinomios interpolantes. Es convencional que la letra h sea la diferencia uniforme de los

en de los valores x

y f(x)

Diferencias Divididas Y La fórmula General De Newton

La diferencia dividida de newton para la interpolación de polinomios está entre los modelos

más populares y útiles. Para un polinomio de grado n se requiere de n+1 puntos. Se usan

estos datos para determinar los coeficientes para las diferencias divididas. Partiendo de una

tabla de diferencias divididas. Para aplicar el polinomio de interpolación por diferencias

divididas por newton, no es necesario que los datos tabulados sean necesariamente

equiespaciados o que los valores deban estar ordenados en forma ascendente. El valor que

aporta el polinomio de newton está sujeto a un error.

Aplicación De Los Métodos Numéricos De Interpolación En La Resolución De

Problemas

Formulas como las de Newton-Gregory, Gauss, lagrange, Hermite, newton, etc, son

compatibles con computadoras y debido a las muchas funciones tabulares disponibles,

como subrutinas de librerías; dichas formulas tienen relevancia en la solución de

ecuaciones diferenciales ordinarias.

El polinomio de interpolación suele usarse para estimar valores de una función tabulada, en

las abscisas que no aparecen en la tabla.

El aumento de grado no siempre mejora la aproximación

El polinomio es muy sensible a los errores de los datos