Anexo

FUNDAMENTOS DE LA MATEMTICA:

ESTUDIO EPISTEMOLGICO DE LAS GEOMETRAS NO

EUCLIDIANAS

Agustn Snchez Pastor Catedrtico de la Unidad Acadmica de Ingeniera

de la Universidad Autnoma de Guerrero

ndice _______________________________________________________________________

ndice

Presentacin 3

I. Elementos tericos de la matemtica 6

I.1. Introduccin 6

I.2. Epistemologa de la matemtica 6

I.3. Objeto de estudio de la matemtica 6

I.4. Metodologa de la matemtica 7

I.5. El mtodo cientfico en las matemticas y en las dems ciencias 11

I.6. La demostracin en las ciencias 12

I.7. La demostracin matemtica 13

I.8. Geometras no euclidianas y epistemologa de las matemticas 13

II. Teora euclidiana de las paralelas 15

II.1. Introduccin 15

II.2. Teora euclidiana de las paralelas 18

II.3. Resumen 23

III. Investigaciones cientficas del V postulado de Euclides (Parte I) 25

III.1. Introduccin 25

III.2. Investigaciones utilizando el mtodo directo de demostracin 28

III.2.1. El postulado de las paralelas entre los griegos 35

III.2.2. El postulado de las paralelas entre los rabes 38

III.2.3. El postulado de las paralelas en el renacimiento y EL S. XVII. 42

III.3. Equivalencias del V postulado de Euclides y su demostracin 47

III.4. Resumen 52

IV. Investigaciones cientficas del V postulado de Euclides (Parte II) 55

IV.1. Introduccin 55

IV.2. Investigaciones utilizando el mtodo indirecto: Reduccin al Absurdo 56

IV.2.1. Gerolamo Saccheri 56

IV.2.2. Jhoann Henrich Lambert 67

IV.2.3. Adriano Mara Legendre 71

ndice _______________________________________________________________________

IV.3. Resumen 74

V. Replanteamiento de la teora de las paralelas. Nuevos sistemas geomtricos 78

V.1. Introduccin 78

V.2. Replanteamiento de la teora de las paralelas 80

V.2.1. Karl Friedrich Gauss 80

V.2.2. Nicolai Ivanovich Lobachevski 84

V.3. Una geometra sin paralelas 88

V.3.1. Bernhard Riemann 88

V.4. Desarrollo de la geometra proyectiva 96

V.5. Resumen 102

VI. Consistencia de las geometras de: Euclides, Lobachevski y Riemann 106

VI.1. Introduccin 106

VI.2. Mtodo axiomtico 107

VI.2.1. Axiomtica material griega 107

VI.2.2. Axiomtica formal moderna 110

VI.2.3. Problemas bsicos de la axiomtica 113

VI.3. Consistencia relativa de las geometras mediante modelos finitos. 115

VI.3.1. Consistencia de la geometra de Euclides (Parablica) 116

VI.3.2. Consistencia de la geometra de Lobachevski (Hiperblica) 129

VI.3.3. Consistencia de la geometra de Riemann (Elptica) 143

VI.4. Resumen 147

Apndice I. Elementos de Euclides Libro I. 148

Apndice II. Axiomas de la geometra plana elemental (propuesta de D. Hilbert) 153

Bibliografa 155

Presentacin 3

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PRESENTACIN

El presente trabajo de carcter epistemolgico aporta elementos para el anlisis de la

tercera revolucin cientfica de la matemtica relacionada con el surgimiento de las

geometras no euclidianas. Su concepcin se basa, por un lado, en las ideas de Snchez

C. (1987), quien seala la conveniencia de realizar el anlisis de los fundamentos de la

matemtica, poniendo nfasis en los perodos crticos del desarrollo de la misma. Ya que

en estos perodos de crisis se muestran claramente las influencias de las distintas

posiciones filosficas, que acuden al campo matemtico en apoyo o en contra de algunas

teoras. A su vez, los contenidos del campo matemtico, reflejan influencias en el campo

de la filosofa, pero acotando siempre con mejores aproximaciones el conocimiento

cientfico. Por otro lado, en la nocin de obstculo epistemolgico introducida en las

ciencias por Bachelard, G. (1938) y en la didctica de la matemtica por Brousseau, G.

(1986).

El presente trabajo ofrece, por un lado, elementos para el anlisis del desarrollo histrico

de los fundamentos de la matemtica en torno de la tercera revolucin cientfica de la

matemtica. Particularmente el desarrollo histrico de los fundamentos de la geometra

durante el perodo: Siglo III a.n.e. primera mitad del Siglo XIX d.n.e., en el que la matemtica se transforma en una ciencia abstracta en el sentido de que ya no slo

describe al mundo fsico y concreto, como se crea hasta principios del Siglo XIX, sino

que los objetos de la matemtica, ahora, considerados abstractos por la comunidad

matemtica, pueden representar a cualquier objeto de la realidad con el nico requisito

de que cumplan las condiciones establecidas en un conjunto de axiomas. En ese proceso

de transformacin y consolidacin, experimenta la tercera revolucin ocasionada por: la

aceptacin del papel de los teoremas de existencia y de la consideracin formal del

mtodo axiomtico a travs de la fundamentacin de los espacios no euclidianos y otras

estructuras abstractas en la primera mitad del siglo XIX. Por otro lado, describir los

obstculos epistemolgicos que desde nuestra perspectiva pueden ser identificados, en

los campos filosfico, lgico y metodolgico durante el proceso de desarrollo del saber

geometras no euclidianas.

Tambin, el presente trabajo de apoyo a la docencia pretende contribuir a resolver parte

de las necesidades1 del proceso de formacin de especialistas en matemtica educativa,

motivando el inters por conocer y analizar el desarrollo histrico de los fundamentos de

la matemtica. Se entiende que tal actividad, es una forma de profundizar en el

conocimiento de la ciencia matemtica, a su vez, brinda la posibilidad de rescatar ideas y

mtodos de trabajo para relacionarlos con la enseanza con el objeto de que el

profesional de la enseanza mejore su prctica docente. Por ello, este estudio

epistemolgico se recomienda a estudiantes de licenciatura y maestra en matemtica

educativa as como a profesores de matemticas de los distintos niveles educativos, no

1 La amplitud y profundidad del conocimiento matemtico y la metodologa de la enseanza de

la matemtica y la investigacin educativa, se convierten en necesidades bsicas que deber

cubrir cualquier plan curricular que tenga como objetivo, la formacin de profesionales de la

enseanza de la matemtica.

Presentacin 4

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necesariamente inscritos en alguno de los programas educativos de la Unidad

Acadmica de Matemticas de la Universidad Autnoma de Guerrero.

Organizacin del contenido

En principio se hacen algunas consideraciones tericas, que es necesario tener presentes

en el anlisis del desarrollo histrico de los fundamentos de la matemtica. El resto del

contenido se estructura en torno al surgimiento de la tercera revolucin de la matemtica

y de cmo sta es superada. As, se encuentran bloques de contenido que abordan

distintas problemticas, antes, durante y despus de la tercera etapa revolucionaria.

Antes de la revolucin

Se estudian muestras de trabajos matemticos en las que se analiza la manera de cmo

distintos matemticos de distintas pocas y culturas (griegos, rabes, del renacimiento y

hasta el Siglo XVIII), plantearon la demostracin del V postulado de Euclides. Sobre esta base, se analizan las causas que originaron el proceso de transformacin de la

matemtica que describe a la realidad (hasta principios del Siglo XIX), hasta convertirse

en una ciencia abstracta (Siglo XX). De este anlisis, surgen los elementos para

argumentar las respuestas de historiadores de la matemtica a cuestiones como Qu

motiv el nacimiento de las geometras no euclidianas?

La revolucin

Se analiza el surgimiento de la tercera revolucin interna de la matemtica, representada

por: la aceptacin del papel de los teoremas de existencia y de la consideracin formal

del mtodo axiomtico a travs de la fundamentacin de los espacios no euclidianos y

otras estructuras abstractas en la primera mitad del siglo XIX. Teniendo como

trasfondo ideolgico en el campo de la filosofa, las concepciones kantianas relativas a

la naturaleza de los objetos matemticos. Asimismo, se destaca la participacin, entre

otros, de Gauss, Lobachevski y Riemann, quienes haciendo uso de los estudios de

Saccheri por un lado y la equivalencia de Playfair del V postulado de Euclides por el

otro, para plantear la existencia de nuevos sistemas geomtricos, que aunque en ese

momento no se podan comprobar experimentalmente, exista en ellos, una deduccin

lgica coherente.

Superacin de la revolucin

Una vez que Gauss y Lobachevski han elaborado, cada uno por separado, sistemas

geomtricos lgicamente coherentes, se concluye que:

i. El V postulado de Euclides, no puede ser probado.

ii. Aadiendo a las proposiciones bsicas de la geometra el axioma opuesto se puede desarrollar una geometra extensa y lgicamente perfecta.

iii. La verdad de los resultados de cualquier geometra lgicamente concebible y en lo que atae a sus aplicaciones al espacio real, slo se

Presentacin 5

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puede verificar empricamente. Una geometra lgicamente concebible

debe ser desarrollada no slo como un esquema lgico arbitrario, sino

como una teora que abra nuevos caminos y mtodos para las teoras

fsicas.

La revolucin queda totalmente superada cuando utilizando modelos finitos (y adems

relativos), se demuestra que los sistemas geomtricos de Euclides, Lobachevski y

Riemann son consistentes. Esta consistencia es demostrada basndose en la propuesta

formalista de D. Hilbert, sobre la geometra plana de Euclides.

Despus de la revolucin

Si bien, aunque las geometras no euclidianas planteaban que la geometra de Euclides

ya no era la nica con la cual se poda describir el mundo fsico concreto, todava no se

poda comprobar empricamente que las nuevas geometras, siendo sistemas tericos

lgicamente consistentes, podan describir a dicho espacio. Kolmogorov, A. (1985), dice

al respecto:

Antes de Lobachevski y Gauss, a nadie se le ocurri pensar que la geometra de Euclides pudiera no ser enteramente exacta ni que las propiedades reales del espacio pudieran

diferir de aqulla. Lobachevski desarroll su geometra como una teora de las posibles

propiedades del espacio real. Ms tarde Riemann y otros cientficos plantearon tambin el

problema de las posibles propiedades del espacio, de las posibles leyes para medir

longitudes que se podran descubrir por procedimientos ms aproximados. En general,

cada geometra abstracta, en alguna de sus partes, se puede considerar como una teora de

posibles propiedades del espacio. Todo esto perteneci, no obstante, al campo de las

hiptesis hasta que en 1915 Einstein, en su teora general de la relatividad, corrobor las

ideas de Lobachevski y Riemann. Esta teora deja ver claramente que la geometra del

espacio real difiere de hecho un poco de la de Euclides, y esto se descubri precisamente

sobre la escala astronmica, cosa que Lobachevski haba ya anticipado.

Para finalizar, se hace una sugerencia para los lectores interesados en lo que afirma

Kolmogorov en el prrafo anterior: si se quiere tener una visin sin un enfoque

matemtico de las posibles propiedades del espacio real, se recomienda revisar el libro

Einstein, A. (1998); pero si se quiere abordar este tema desde una perspectiva

matemtica se recomienda el libro Dubrovski, V. (1987).

I.Elementos tericos sobre la matemtica 6

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I. Elementos tericos sobre la matemtica

I.1. Introduccin.

Responder a la pregunta Qu es la matemtica? No es tarea sencilla (Courant, R.

(2002)). Esta tarea, se constituye en un campo de las investigaciones cientficas que

actualmente reclama la conjuncin de los esfuerzos, no solo de filsofos y especialistas

de la matemtica, sino, tambin, de los profesionales de la enseanza2 de esta disciplina,

que de alguna u otra forma se encargan de ampliar, o al menos divulgar el contenido y la

metodologa de esta ciencia. Por ello, los estudiantes inscritos en cualquier programa de

formacin de especialistas de la enseanza de la matemtica, tienen como tarea

importante desarrollar en su ejercicio profesional el anlisis epistemolgico de los

fundamentos de la matemtica.

I.2. Epistemologa de la Matemtica

Al tratar la epistemologa de la matemtica, sta se entiende como la rama de la filosofa

que estudia los orgenes, desarrollo, estructura, los mtodos y la validez del

conocimiento cientfico, dice el Diccionario de filosofa de Runes; Snchez y

Kolmogrov al respecto, afirman que, al tratar los fundamentos de la matemtica se debe

fijar la atencin en los problemas de tipo filosfico, metodolgico y lgico, asumiendo

que no pueden existir aisladamente, por lo que su ms completa comprensin, se

adquiere en la consideracin de la matemtica en su desarrollo histrico, en contra de la

visin estrecha que considera los fundamentos de la matemtica, como solo los de

aspecto lgico formales (crtica del sistema de axiomas y de la totalidad de los mtodos

lgicos de demostracin) de carcter interno de la matemtica

No obstante, cuando se hace referencia a la epistemologa de la matemtica,

actualmente, necesariamente tiene que hablarse de los sistemas axiomticos que

soportan las diferentes teoras de la disciplina en cuestin. Pero, tambin, tiene que

hablarse de la metodologa que permite construir y validar el nuevo conocimiento. Otro

aspecto que debe mencionarse, es el que tiene que ver con la definicin del objeto de

estudio.

I.3 Objeto de Estudio de la Matemtica

Uno de los problemas filosficos de la matemtica, es la definicin de su objeto de

estudio. En este trabajo se comparten, tanto el punto de vista de Engels (Anti-Dhring

1978) como el de Kolmogorov cuando al respecto ambos dicen que el objeto de estudio

de la matemtica son las relaciones cuantitativas y las formas espaciales de la realidad.

2 Entre otros, esta conjuncin de filsofos, especialistas de la matemtica y los profesionales de

la enseanza trae como consecuencia la formacin de una nueva disciplina llamada Didctica de

la matemtica.

Para Tales la cuestin primaria no era qu sabemos, sino cmo lo sabemos.

Aristteles

I.Elementos tericos sobre la matemtica 7

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I.4. Metodologa de la Matemtica

Entendemos por metodologa de la matemtica, aquella rama de la ciencia matemtica

que tiene que ver con las formas y mtodos para construir y validar el conocimiento

matemtico: conceptos, proposiciones y teoras.

Inmediatamente se puede ver que comprende tres aspectos:

i) Mtodos generales para la construccin de conceptos matemticos. ii) Mtodos generales para validar proposiciones matemticas. iii) Mtodos generales para validar teoras matemticas.

1. Mtodos generales para la construccin de conceptos matemticos:

a) El proceso de abstraccin. Como la historia de la matemtica muestra, muchos de sus

conceptos no surgen como resultado de la abstraccin de las propiedades captadas

empricamente, sino como un proceso de sucesivas abstracciones (generalizaciones) de

ciertos aspectos de conceptos u objetos matemticos ya conocidos. Tal proceso puede

repetirse varias veces formando una especie de espiral de abstracciones, en la que los

conceptos primarios pueden estar ntimamente relacionados con la realidad emprica,

pero donde los conceptos superiores frecuentemente estn tan alejados de los primarios

que parecen producto de procesos completamente independientes del pensamiento. Si a

esta complicacin se suma el hecho de que muchas de las abstracciones del nivel

superior se forman histricamente mucho tiempo despus, entonces, el establecimiento

de su relacin con las abstracciones de ms bajo nivel es sumamente difcil. Por ello,

surge el problema filosfico sobre la existencia del objeto matemtico. Este es a su vez,

un aspecto del problema filosfico de la determinacin del objeto de la matemtica.

Sin embargo, creando conceptos cada vez ms abstractos y prescindiendo an ms de las

caractersticas cualitativas del mundo, la matemtica posibilita el estudio ms profundo

de las relaciones cuantitativas de la realidad objetiva. Esto permite aplicar ms amplia y

productivamente sus conocimientos en otras reas del saber.

En el proceso de abstraccin pueden distinguirse varias formas o tipos de abstraccin.

Segn Snchez, C. (1987) los ms usados en la matemtica (y la lgica), incluso desde

la antigedad clsica son:

La abstraccin de identificacin. Consiste en la formacin de un concepto por medio de

la unin, identificacin de los objetos relacionados por algn tipo de equivalencia, y

abstrayndose de toda otra caracterstica que pueda diferenciarla. V. g. nmero natural y

figura geomtrica.

La abstraccin de la realizacin potencial. Segn Markov, A. (1954), consiste en

prescindir de las fronteras reales de nuestras posibilidades constructivas, condicionadas

por los lmites de nuestra vida en el espacio y en el tiempo.

Es a travs de este tipo de abstraccin, que en la matemtica aparece el concepto de

infinito potencial. El cual permite considerar conjuntos infinitos de posibilidades

potencialmente realizables, de modo que cada una de estas posibilidades sea realizable

I.Elementos tericos sobre la matemtica 8

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por separado, as como un nmero finito de ellas, pero todas en su conjunto no sean

realizables. Por ejemplo, la construccin de puntos de una parbola con regla y comps.

Siempre es posible obtener un punto distinto y hasta un nmero finito de ellos, pero

nunca ser posible trazarlos todos con regla y comps.

La abstraccin del infinito actual. Este tipo de abstraccin propici la formacin del

concepto de conjunto infinito (el conjunto de los nmeros naturales, de los nmeros

reales, etc.) considerado como algo terminado, como algo dado, actual en toda su

extensin. Su esencia consiste en prescindir de lo inconcluso e inconcluible del proceso

de formacin del conjunto infinito, de la imposibilidad de dar tal conjunto por medio de

una completa enumeracin de sus elementos.

Este tipo de abstraccin, es el que permite considerar una lnea recta como un conjunto

infinito de puntos, cada uno de los cuales se puede individualizar y hasta poner en

correspondencia con elementos individualizables del conjunto de los nmeros reales,

originando el concepto de recta numrica. Semejante con esto, considerarse un intervalo

de tiempo como conjunto de momentos (instantes) de tiempo actualmente dado y en

correspondencia, el movimiento como un conjunto infinito de posiciones de un cuerpo

en movimiento.

La abstraccin del infinito actual, ofrece la posibilidad de detener el movimiento e individualizar cada elemento del conjunto infinito, que aparece en este caso como si su

construccin fuera completa y sus elementos de alguna forma representados al unsono.

Por eso, es ampliamente aplicada en las ramas de la matemtica (anlisis matemtico)

que estudian la continuidad.

b) El proceso de idealizacin. Es en s mismo un medio particular de formacin de

conceptos tales, que sus preimgenes reales solo pueden ser determinadas con cierto

grado de aproximacin. Ejemplo de este tipo de conceptos, existen en todas las ciencias:

cuerpo negro, gas ideal, autmata finito, lnea recta entre otros.

Los objetos idealizados de la matemtica no pueden existir como objetos de la realidad

objetiva, pero operando con ellos como objetos realmente existentes, se pueden

comprender ms profundamente aquellos aspectos de las propiedades y relaciones de la

realidad objetiva que reflejan.

Dado que la matemtica construye sus teoras por medio de la idealizacin de la

realidad, la historia de su desarrollo y la prctica de su aplicacin, atestiguan que en

distintos casos, es necesario apoyarse en los diferentes tipos de abstracciones en un

proceso de pensamiento nico, en el que se unen y se complementan.

Una teora construida en la base de la idealizacin y abstracciones sucesivas, tiene una

condicin para su validez. Tal condicin, es la exigencia de que esta teora tenga una

aplicacin en los objetos reales o en cualquier otra regin del saber, es decir, una

aplicacin directa o indirecta.

I.Elementos tericos sobre la matemtica 9

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2. Mtodos generales para validar proposiciones matemticas.

Los ms utilizados y controvertidos son:

Deduccin. Es la demostracin o inferencia de una conclusin, partiendo de una o de

otras varias premisas mediante el uso de leyes de inferencia lgicas, de implicacin o de

equivalencia.

Induccin. Es el paso de los hechos singulares a los principios generales.

Es conocida la controversia entre dos formas distintas de fundamentar la matemtica.

Por una parte, la corriente terica conjuntista apoyada por el pensamiento filosfico de

los neopositivistas y autoridades cientficas, como B. Russell, L. Broker, D. Hilbert y A.

A. Harkov, quienes consideraban a la matemtica como una ciencia esencialmente

deductiva, es decir, una ciencia en la que la deduccin y la demostracin lgica juegan

un papel fundamental en la obtencin y validacin de nuevos resultados. Por otra parte,

los embates empiristas que tratan de fundamentar la matemtica concediendo un carcter

absoluto a los mtodos inductivos, por analoga y dando a la intuicin un papel ms

importante en la obtencin de nuevos resultados.

Aunque se han hecho intentos por sealar claramente las fronteras entre la deduccin y

la induccin, en realidad se hayan indisolublemente relacionadas entre s, son momentos

del conocimiento dialctico del mundo real condicionados entre s. Engels (Dialctica de la naturaleza), ya haba sealado que la induccin y la deduccin no agotan todos los posibles mtodos generales de investigacin; entre dichos mtodos ocupa un lugar

importante la analoga.

La analoga matemtica. Se entiende como cierta semejanza entre objetos arbitrarios. La semejanza aparece en forma de isomorfismo parcial o de homomorfismo local en

dependencia de las particularidades de la correspondencia establecida. Es la

identificacin en sentido amplio de sistemas arbitrarios de propiedades de objetos

matemticos. Dependiendo del tipo de identificacin que se establezcan se clasifican en:

analoga por aplicacin, por generalizacin, por contacto, por lmite, por transformacin.

Es esta ltima analoga, la que encuentra la ms amplia aplicacin en la matemtica,

pues no slo relaciona diferentes objetos matemticos, sino, tambin organiza todos los

tipos de analoga en un sistema nico, lo cual permite hablar de la existencia del mtodo

de la analoga matemtica.

3. Mtodos generales para validar teoras matemticas (o mtodo axiomtico:

mtodo de construccin, organizacin, sistematizacin y validacin de teoras

matemticas).

El mtodo axiomtico sugerido en la matemtica, es considerado en la actualidad un

mtodo cientfico general. Tal consideracin se fortalece en la medida del progreso en la

matematizacin del saber.

Se distinguen tres etapas en la evolucin de su concepcin Daz, M. (1999):

Perodo de la axiomtica material o constructiva. Desde el establecimiento de la

matemtica como ciencia deductiva (Siglo V-IV a. n. e.) hasta el Siglo XIX. En todo

I.Elementos tericos sobre la matemtica 10

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este perodo se entenda como axioma, toda proposicin matemtica, perfectamente

evidente, intuitivamente clara para todos, por tanto, no necesaria de demostracin. El

ms brillante ejemplo de utilizacin del mtodo axiomtico de este perodo, lo

constituyen los Elementos de Euclides, donde se trat de sintetizar y fundamentar el conocimiento matemtico de la poca, a partir de 465 proposiciones, distribuidas en 13

libros. Aunque se sabe que ste no fue el primer intento por sistematizar el conocimiento

matemtico, no cabe duda que el sistema geomtrico euclidiano, fue durante varios

siglos, el prototipo de ciencia construida empleando el mtodo axiomtico.

Perodo de la axiomtica semiformal. Comprendido desde la formacin de las primeras

geometras no euclidianas3, a comienzos del Siglo XIX hasta que a finales del mismo

Siglo, D. Hilbert promueve las consideraciones ms rigurosas. En toda esta etapa, los

axiomas se entienden como todas aquellas proposiciones de la teora, que en una

construccin dada se toman como punto de partida, independientemente de que ellas

sean simples, evidentes, o intuitivamente claras para todos. De esta forma, los axiomas

no tienen ya su carcter de verdades absolutas, sino que su validez, est en dependencia

de la teora asumida y de la forma en que se realiza la construccin.

Perodo de la axiomtica formal. Relacionado con el programa formalista de

fundamentacin de la matemtica desarrollado por D. Hilbert y su escuela a partir de la

segunda mitad del Siglo XIX. En esta etapa se renen las ideas surgidas de la geometra

y los estudios conocidos con el nombre de lgica simblica o matemtica. El concepto

de axioma posee ahora un riguroso carcter formal. Los axiomas en los sistemas

formales se consideran como proposiciones puras sin referencia a un contenido concreto.

En calidad de axiomas se toman aquellas proposiciones primarias, cuya veracidad se

considera establecida fuera de los lmites del sistema formal dado. Las proposiciones

demostrables en el sistema se llaman teoremas.

Los sistemas formales axiomticos, son considerados como lenguajes artificiales cuyos

componentes estn rigurosamente definidos. En atencin a los aspectos sintctico y

semntico, las exigencias que deben satisfacer los sistemas axiomticos formales para su

validez, son:

i) Consistencia. Ausencia de contradiccin. Si en un sistema formal se puede demostrar la proposicin P, no se debe poder demostrar en el

mismo sistema la proposicin ~P.

ii) Completes. Ni ms ni menos axiomas que los necesarios. Va implcita la independencia (que ninguno de los axiomas pueda ser derivado del resto

de los axiomas del sistema) de los axiomas. La demostracin de la

independencia de los axiomas de un sistema formal, permite sustituir uno

de los axiomas por su negacin, y sobre esta base, construir otro sistema

axiomtico formal deductivo4.

3 Geometra de Lobachevski y proyectiva principalmente. 4 V. g. El V postulado de Euclides. Su negacin se puede formular en dos sentidos sobre la

existencia de rectas paralela que pasan por un punto exterior a una recta dada: i) Se puede decir

que no existen paralelas (geometra de Riemann) y ii) que existen paralelas. Aqu hay dos casos:

I.Elementos tericos sobre la matemtica 11

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iii) Decidibilidad. Cuando puede sealarse un proceso que permita decidir si cada proposicin del sistema es o no deducible y significativa.

Los xitos en la axiomatizacin de diferentes disciplinas, han originado la concepcin

del carcter ilimitado del mtodo axiomtico. En realidad, el proceso de axiomatizacin tiene sus lmites y fronteras dentro de la misma matemtica. Pues es

imposible demostrar la consistencia absoluta de la matemtica. Por ello, el mtodo

axiomtico constituye solo una de las formas de la elaboracin deductiva del

conocimiento. El problema de las posibilidades y las fronteras de la organizacin

deductiva del conocimiento cientfico escapa del examen lgico-formal y matemtico

para convertirse en un problema de la metodologa de la ciencia.

I.5. El mtodo cientfico en la matemtica y en las dems ciencias.

Por lo que se refiere al objeto de estudio, las diferencias entre las ciencias resultan

evidentes, pues cada una estudia un aspecto de la realidad. En lo que concierne al

mtodo de trabajo (mtodo cientfico) que permite aplicar los criterios de validacin de

nuevos conocimientos, no debe existir diferencia. Sin embargo, en lo que toca a la

matemtica y su forma de validacin de resultados, los puntos de vista del materialismo

y del idealismo no coinciden.

Para ejemplificar lo anterior, se consideran la fsica y la matemtica:

En la fsica, el mtodo cientfico para validar el conocimiento puede operar de dos

maneras:

INDUCCIN. Puede ser que una serie de observaciones sobre algn fenmeno en

particular sugiera el cumplimiento de una ley (o un modelo) que lo explique. En este

caso, para que la fsica pueda aceptar estos hechos debe establecerse un proceso de

racionalizacin (deduccin), en el que partiendo de las bases tericas (ya aceptadas y

probadas), tenga como conclusin el cumplimiento de lo observado en la realidad

prctica.

DEDUCCIN. Puede ser que mediante un proceso de racionalizacin (deduccin) a

partir de la base terica se obtenga como conclusin un hecho posible en la realidad. En

este caso la fsica debe ir a la prctica y comprobar dichos resultados para incorporarlos

al cuerpo terico (De Gortari, E. (1982)).

El punto de vista de los neopositivistas distingue a la matemtica de las dems ciencias,

precisamente porque no tiene el compromiso de verificar en la realidad, si se cumplen los resultados nuevos deducidos racionalmente a partir de su base terica. Sealando

que el nico y fundamental criterio de validacin, es el principio de no contradiccin de

las nuevas conclusiones con el cuerpo terico base. Pero reconocen que esta forma de

validar los conocimientos en la matemtica, por s misma, no permite descubrir ni

1) existe una nica paralela (geometra de Euclides) y 2) Al menos dos paralelas (geometra de

Lobachevski).

I.Elementos tericos sobre la matemtica 12

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inventar nuevo conocimiento, se hace necesaria la influencia de la realidad (heurstica)

como motor de avance para su desarrollo.

El punto de vista materialista, en el intento de establecer que la matemtica al igual que

las dems ciencias estudia un aspecto de la realidad, hace la siguiente afirmacin: aunque hay ejemplos donde la formacin de conceptos o teoras completas en el campo

de la matemtica(los nmeros complejos y las geometras no euclidianas), cuyo origen

en determinado momento aparentemente no est vinculado con la realidad; ni estos ni

muchos otros ejemplos pueden considerarse como un libre juego del intelecto. Pues

siguiendo retrospectivamente la serie de razonamientos que motivaron en ltima

instancia el concepto puro, tarde o temprano se encontrarn las interpretaciones prcticas

de su esencia.

La siguiente cita de Snchez, C. (1987) pretende clarificar este punto de vista:

podra la matemtica ser un instrumento del desarrollo tecnolgico y de otras ciencias, si sus conceptos y leyes no fueran reflejos de las propiedades y relaciones entre los objetos y procesos

del mundo real.

Asimismo, el materialismo reconoce que la matemtica contempornea ha alcanzado un

alto grado de abstraccin y no siempre se puede seguir su relacin inmediata con los

objetos reales. Esta situacin se torna an ms compleja, en la medida en que para el

anlisis de las construcciones lgicas de las teoras matemticas, no es necesario

referirse a los objetos reales. Por ello, el materialismo advierte: en cuanto aparece el

convencimiento de que las referencias a las fuentes del conocimiento matemtico no son

necesarias ni fundamentales, entonces se habr dado el primer paso al campo del

idealismo.

An prevalece la pregunta: cmo es que a las dems ciencias se les exige

racionalizacin y prctica para validar completamente el conocimiento. Y en cambio, a

la matemtica se le disculpa (al menos temporalmente) su compromiso con la realidad, en razn de las dificultades para establecer las interpretaciones prcticas de los

conceptos y teoras matemticas?

Parece ser que desde el punto de vista materialista esta disculpa temporal para que la matemtica pueda responder a la realidad, es absolutamente necesaria pues de otra

manera, estara aceptando que la matemtica no estudia un aspecto de la realidad, o por

lo menos, no sigue el mtodo (cientfico) general que siguen las dems ciencias para

validar el nuevo conocimiento.

I.6. La demostracin en las Ciencias

La demostracin, segn De Gortari, E. (1982), es el mtodo para validar nuevo

conocimiento en las ciencias. La demostracin tiene dos caminos: racionalizacin y

prctica (o confrontacin con la realidad), que necesariamente deben de transitar los

nuevos conocimientos antes de ser incorporados como parte de la teora de la disciplina

que se trate.

I.Elementos tericos sobre la matemtica 13

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En el caso de la matemtica, el creciente grado de abstraccin de sus teoras, dificulta el

establecimiento inmediato de la prueba en la prctica. Debido a ello, tradicionalmente

existe la idea, de que la nica prueba que debe cumplir el conocimiento nuevo es la

racionalizacin o consistencia. Es decir, la deduccin lgica (sin contradiccin) a partir

del cuerpo axiomtico. Este proceso es conocido en el ambiente matemtico como

demostracin matemtica.

I.7. La demostracin matemtica

Es un proceso en el que se encadena una serie de implicaciones lgicas, partiendo de

proposiciones (axiomas) que se asumen como verdaderas. As, la conclusin de esta

serie de implicaciones es a su vez verdadera. A la ltima de las implicaciones de esta

cadena se le conoce como teorema. Es decir, un teorema es una proposicin que se

deduce lgicamente del sistema de axiomas elegido. En un proceso de demostracin

matemtica, est permitido el uso de proposiciones ya demostradas para evitar la

presencia de cadenas demasiado extensas. Un proceso de este tipo es necesario para

validar las nuevas proposiciones. Debe reconocerse que la evidencia de las

proposiciones as demostradas (o deducidas), es incuestionable. Pero su validez es

esencialmente relativa al sistema de axiomas elegido. La validacin (demostracin)

puede darse en dos formas fundamentales: la va directa, que corresponde a la forma

sealada lneas ms arriba y la va indirecta, conocida como reduccin al absurdo.

I.8. Geometras no euclidianas y epistemologa de la matemtica

Se asume que las geometras no euclidianas fueron el resultado de la bsqueda de la

demostracin del V postulado de Euclides. Por lo que estudiar la epistemologa de las

geometras no euclidianas tendr como resultado dos aspectos importantes:

Por una parte, contribuir al anlisis epistemolgico de los fundamentos de la

matemtica. En general, al considerar los aspectos caractersticos durante el perodo 300

a. n. e. Siglo XIX d. n. e. al rededor de:

- El problema filosfico de la definicin del objeto de la matemtica.

- El conocimiento matemtico se transforma en el estudio de un objeto ms abstracto y formal de lo que tradicionalmente se haba supuesto; ms

abstracto, porque las afirmaciones matemticas pueden ser hechas en

principio sobre cualquier objeto, sin estar esencialmente circunscritas a un

determinado conjunto de objetos o de propiedades del objeto, y ms formal,

porque la validez de las demostraciones matemticas se asienta en la

estructura de las afirmaciones ms que en la naturaleza especial de su

contenido.

- La metodologa de la matemtica, reflejada en los distintos tipos de abstracciones e idealizaciones que permiten la construccin de conceptos. El

uso de la deduccin en sus distintas formas, como criterio fundamental de

validacin (demostracin) de las proposiciones. Finalmente, el intento por

reconsiderar crticamente la estructura lgica de esta teora geomtrica.

I.Elementos tericos sobre la matemtica 14

_______________________________________________________________________

Por otra parte, se muestra un ejemplo de lo que la lgica formal puede lograr (con el uso

de sus principios esenciales: consistencia, completes y decidibilidad) con la organizacin

del conocimiento matemtico en particular, y cientfico en general, en la medida en que

las dems ciencias, conforman su estructura, tomando el modelo axiomtico de la

geometra.

Para finalizar, debe reconocerse que el anlisis epistemolgico de los fundamentos de la

matemtica y en particular de las geometras no euclidianas, necesariamente implica el

anlisis del proceso de transformacin del conocimiento matemtico, como ya se dijo

antes, en el estudio de un objeto ms abstracto y formal de lo que tradicionalmente se

haba supuesto. Pasando por la etapa de la tercera revolucin cientfica y culminando

con la estructura lgica de los fundamentos tericos. As como el establecimiento de las

distintas formas de validar el nuevo conocimiento.

II.Teora euclidiana de las paralelas 15

_______________________________________________________________________

II. Teora Euclidiana de las Paralelas

II.1. Introduccin.

Los cambios econmicos y polticos de los ltimos siglos del segundo milenio a. n. e.

provocaron que el poder de Egipto y Babilonia decayera. Nuevas personas se pusieron al

frente y sucedi que el desarrollo posterior de la geometra pas a los griegos. El grado o la

extensin de la deuda de la geometra griega a la geometra oriental antigua es difcil de

estimar, y la trayectoria de transmisin de una a otra no ha sido descubierta hasta ahora,

satisfactoriamente. Que la deuda es considerablemente mayor que lo que se crey con

anterioridad, se ha hecho evidente con las investigaciones del siglo XX sobre los registros

babilnicos y egipcios. Los antiguos escritores griegos expresaron respeto a la sabidura del

Este, y esta sabidura estuvo disponible para cualquiera que viajara a Egipto y Babilonia.

Pero, cualquiera que sea la lnea de conexin histrica entre la geometra griega y la

oriental antigua, los griegos transformaron la materia en algo diferente al conjunto de

conclusiones empricas desarrolladas por sus predecesores. Los griegos insistieron en que

los hechos geomtricos deben establecerse no por procedimientos empricos, sino por

razonamiento deductivo; debe llegarse a conclusiones geomtricas por demostracin

lgica, ms bien que por experimentacin de tanteos. La verdad geomtrica debe obtenerse

en el cuarto de estudio ms bien que en el laboratorio. En breve, los griegos transformaron

la geometra emprica de los antiguos egipcios y babilonios en lo que ahora podra llamarse

geometra sistemtica.

Segn el sumario de Eudemo, la geometra griega parece haber principiado en una forma

esencial con el trabajo de Tales de Mileto (625 - 546 a. n. e.), en la primera mitad del siglo

VI a. n. e. Este genio de amplios conocimientos, declarado uno de los "siete hombres

sabios" de la antigedad, fue un fundador valioso de la geometra sistemtica, y el primer

individuo conocido a quien se le asocia la utilizacin de los mtodos deductivos en la

geometra. Tales, nos indica el sumario, vivi cierto tiempo en Egipto y con l volvi la

geometra a Grecia, donde empez a aplicar a esta materia los procedimientos deductivos

de la filosofa griega. Se le acreditan varios resultados geomtricos muy elementales, el

valor de los cuales no se mide por su contenido sino ms bien por la creencia de que los

apoy con cierta cantidad de razonamiento lgico en lugar de intuicin y experimento.

Adems, el hecho de que el primer pensamiento deductivo fue efectuado en el campo de la

geometra, inaugur una tradicin en matemticas que se mantuvo hasta el Siglo XIX

aproximadamente.

El siguiente matemtico griego sobresaliente mencionado en el Sumario de Eudemo es

Pitgoras de Samos (582 - 500 a. n. e.), a quien se le atribuye haber continuado con la

Las abejas, en virtud de una intuicin geomtrica, saben que el hexgono es mayor que el cuadrado y que el tringulo, y

podr contener ms miel con el mismo gasto de material.

Pappus de Alejandra

II.Teora euclidiana de las paralelas 16

_______________________________________________________________________

sistematizacin de la geometra que empez unos cincuenta aos antes por Tales (es

bastante posible que haya sido su alumno). Parece que Pitgoras visit entonces Egipto y

posiblemente viaj an en forma ms extensa por el oriente antiguo. Cuando, al volver a

casa, encontr a Jonia bajo el dominio persa, decidi emigrar al puerto griego de Crotona

en Italia del sur. All fund la celebrada escuela pitagrica, una fraternidad unida a ritos

secretos y cabalsticos y se dedic al estudio de la filosofa, matemtica y ciencia natural.

A pesar de la naturaleza mstica de la mayor parte del estudio Pitagrico, los miembros de

la sociedad contribuyeron, durante los doscientos aos que siguieron a la creacin de su

organizacin, con gran cantidad de resultados. Por tanto, en geometra dieron las

propiedades de las paralelas (reflexividad, simetra y transitividad) y las utilizaron para

demostrar que la suma de los ngulos internos de cualquier tringulo es igual a dos

ngulos rectos.

Empezaron a emerger cadenas de proposiciones en las que proposiciones sucesivas se

dedujeron de las anteriores de la cadena. A medida que las cadenas aumentaron, y algunas

se unieron a otras, se sugiri la idea global del desarrollo de toda la geometra en una sola

cadena larga. Se sostiene en el sumario de Eudemo que un pitagrico, Hipcrates de Chos,

fue el primero en intentar al menos con xito parcial, una presentacin lgica de la

geometra en la forma de una sola cadena de proposiciones basadas en unas cuantas

definiciones y suposiciones iniciales. Hicieron mejores intentos Len, Teudio y otros.

Luego, aproximadamente 300 a. n. e. Euclides produjo el esfuerzo de su poca: los

Elementos; una sola cadena deductiva de 465 proposiciones claras y elegantes que

comprenden 13 libros:

GEOMETRA PLANA

Libro I. Teoremas relativos a congruencia y rectas paralelas: 23 definiciones, 5

Postulados, 9 nociones comunes y 48 proposiciones.

Libro II. Aritmtica de la Escuela Pitagrica: 2 definiciones y 14 proposiciones.

Libro III. Crculos, cuerdas,..., 11 definiciones y 37 proposiciones.

Libro IV. Construcciones con regla y comps: 7 definiciones y 16 proposiciones.

Libro V. Teora de la proporcin: 18 definiciones y 25 proposiciones.

Libro VI. Estudio de figuras semejantes: 4 definiciones y 33 proposiciones.

TEORA ELEMENTAL DE NMEROS

Libro VII. Teora de nmeros: 22 definiciones y 39 proposiciones. (la Proposicin I

es el algoritmo de Euclides).

Libro VIII. Teora de nmeros: 27 proposiciones.

Libro IX. Teora de nmeros: 36 proposiciones (Proposicin XX: el conjunto de

nmeros primos es infinito).

TEORA DE EUDOXO DE LOS NMEROS IRRACIONALES

Libro X. Magnitudes: 16 definiciones y 115 proposiciones.

II.Teora euclidiana de las paralelas 17

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GEOMETRA DEL ESPACIO

Libro XI. Geometra de slidos y esfera: 39 proposiciones.

Libro XII. Geometra de slidos y esfera: 18 proposiciones.

Libro XIII. Geometra del espacio y slidos platnicos: 18 proposiciones.

Como se observa, los seis primeros libros tratan sobre la Geometra Plana; los libros VII,

VIII y IX tratan sobre la teora elemental de nmeros; el libro X trata de la teora de

Eudoxo de los nmeros irracionales (se establece el mtodo de exhaucin); los libros XI,

XII y XIII los dedica al estudio de la geometra del espacio.

En un primer acercamiento, se puede decir que los Elementos de Euclides son notables por la claridad con que las proposiciones son demostradas y presentadas.

A este respecto escribi Proclo (S. V d. n. e.):

Son singularmente admirables sus Elementos de Geometra (de Euclides) por el orden que reina en ellos, la seleccin de los teoremas y problemas tomados como

elementos y tambin la variedad de los razonamientos desarrollados de todas las maneras

y que conducen a la conviccin.

Ms adelante expresa:

Los Elementos son una gua segura y completa para la consideracin cientfica de los objetos geomtricos.

Desde su primera aparicin este trabajo tuvo el mximo respeto, y sobrepas tan

rpida y completamente todos los esfuerzos anteriores de modo que ahora no quedan trazas

de ellos; el efecto de los Elementos sobre el desarrollo posterior de la geometra ha sido

inmenso, como se ver ampliamente a lo largo de este trabajo.

II.Teora euclidiana de las paralelas 18

_______________________________________________________________________

II.2. Teora euclidiana de las paralelas.

Como ya se seal en la introduccin de este captulo, el Libro I5 de los Elementos6 de

Euclides se divide en cuatro secciones: 23 Definiciones, 5 Postulados, 9 Nociones comunes

o Axiomas y 48 Proposiciones. Las 48 proposiciones, a su vez, se dividen en tres grupos:

las primeras 26 tratan principalmente de las propiedades de tringulos incluyendo tres

teoremas de congruencia de los mismos. Las proposiciones 27 a 33 (estas proposiciones

son las que se muestran en el presente captulo) establecen la teora de las paralelas; las

proposiciones restantes del Libro I tratan de paralelogramos, tringulos y cuadrados, con

referencia especial a las relaciones de reas. La proposicin 47 es el Teorema de Pitgoras

y la proposicin final 48, es el recproco del Teorema de Pitgoras.

A pesar de que desde el punto de vista moderno hay ciertas inconsistencias en los

Elementos de Euclides, stas no se comentan en el presente captulo, dejando algunas de

ellas para ser comentadas ms adelante en este mismo trabajo. En seguida se presenta la

definicin de Rectas Paralelas, ya que en el siguiente captulo, esta definicin dada por

Euclides juega un papel muy importante en el anlisis del estudio de la teora de las

paralelas y en particular, el V postulado de Euclides como factor principal para el

descubrimiento de las nuevas teoras geomtricas7:

Euclides define: Rectas Paralelas. Son las que, estando en el mismo plano y prolongadas al

infinito, no se encuentran [Def. XXIII.I]8.

Posteriormente pasa a demostrar las dos siguientes proposiciones:

[P.XXVII.I]9. Si una recta, al incidir sobre otras dos, forma ngulos alternos iguales,

dichas rectas sern paralelas.

Si la recta EZ (fig. II.1), incidiendo sobre las AB y GD forma los ngulos alternos AEZ y

EZD iguales entre s, digo que AB y GD son paralelas, porque si no lo fuesen y se

prolongan se encontrarn hacia BD o hacia AG.

Prolnguense y encuntrense hacia BD en el punto H; y entonces el ngulo externo AEZ

ser igual al EZH interno y opuesto a l, lo cual es imposible10; luego, las rectas AB y GD,

5 Las 4 secciones del Libro I de los Elementos de Euclides se presentan con ms detalle en el

Apndice I. 6 Todo cuanto se refiere a los Elementos de Euclides est tomado del libro de Vera, F. (1970). 7 Las hoy llamadas geometras no-euclidianas a partir de la segunda mitad del Siglo XIX. 8 Siempre que en este trabajo aparezca una referencia de este tipo se debe interpretar de la siguiente

manera: Def significa definicin; XXIII el nmero de proposicin, en este caso 23; I, el Libro I de

los Elementos de Euclides. As, [Def.XXIII.I] se lee: definicin 23 del Libro I de los Elementos de

Euclides. 9 Como antes, siempre que en este trabajo aparezca una referencia de este tipo se debe interpretar de

la siguiente manera: La P significa proposicin; XXVII el nmero de proposicin, en este caso 27;

I, el Libro I de los Elementos de Euclides. As, [P.XXVII.I] se lee: proposicin 27 del Libro I de los

Elementos de Euclides. 10 [P.XVI.I]. Si se prolonga uno de los lados de un tringulo, el ngulo externo es mayor que cada

uno de los ngulos internos opuestos.

II.Teora euclidiana de las paralelas 19

_______________________________________________________________________

prolongadas hacia el lado BD, no se cortarn, y como del mismo modo se demostrara que

tampoco se cortan hacia AG, son paralelas.

[P.XXVIII.I]. Si una recta, al incidir sobre otras dos, forma un ngulo externo igual al

interno y opuesto del mismo lado, o si los dos internos del mismo lado son iguales a dos

rectos, dichas rectas sern paralelas.

Si la recta EZ (fig. II.2), incidiendo sobre las

rectas AB y GD, forma el ngulo externo EHB

igual al interno y opuesto HTD, o los ngulos

BHT y HTD internos del mismo lado son

iguales a dos rectos, digo que la recta AB es

paralela a la recta GD.

Por ser el ngulo EHB igual al HTD y al AHT sern

iguales los AHT y HTD y como son alternos iguales

[P.XXVII.I], la recta AB es paralela a la recta GD.

Puesto que los ngulos BHT y HTD, juntos,

son igual a dos rectos, y tambin son igual a dos

rectos los AHT y BHT, juntos, los AHT y BHT

sern iguales a los BHT y HTD, de modo que

restando el ngulo comn BHT, el ngulo restante

AHT ser igual al restante HTD, y como son

alternos [P.XXVII.I], la recta AB es paralela a la recta GD.

Para demostrar las proposiciones inversas de las dos anteriores, Euclides hace uso del

siguiente postulado (Llamado Postulado de las paralelas):

Postulado V. Si una recta al incidir sobre otras dos forma del mismo lado dos ngulos internos menores que dos rectos, las dos rectas,

prolongadas al infinito, se encontrarn del lado en que dichos

ngulos sea menor que dos rectos.

[P.XXIX.I]. Una recta que incide sobre dos

paralelas forma ngulos alternos iguales entre s y

el externo igual al interno y opuesto y los internos

del mismo lado iguales a dos rectos.

Sea EZ (fig. II.3) la recta que incide sobre las dos

paralelas AB y GD. Digo que forma los ngulos

alternos AHT y HTD iguales y el ngulo externo

EHB igual al interno y opuesto HTD y los internos

BHT y HTD del mismo lado igual a dos rectos.

Si el ngulo AHT no fuera igual al HTD, uno de los dos sera mayor. Sea AHT el mayor. Si

se aade el ngulo comn BHT, los ngulos AHT y BHT sern mayores que los BHT y

Figura II.1

Z D

H

BE

G

A

Figura II.2

D

Z

TG

BH

E

A

Figura II.3

D

Z

TG

BH

E

A

II.Teora euclidiana de las paralelas 20

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HTD, y como los AHT y BHT, juntos, son dos rectos, los BHT y HTD, juntos, sern

menores que dos rectos; pero si una recta al incidir sobre otras dos forma del mismo lado

dos ngulos internos menores que dos rectos, las dos rectas, prolongadas al infinito, se

encontrarn del lado en que dichos ngulos sea menor que dos rectos11; luego, AB y GD,

prolongadas al infinito se encontrarn, y como no se encuentran porque se supone que son

paralelas, el ngulo AHT no es desigual al HTD y, por tanto, es igual.

Adems, el ngulo AHT es igual al EHB, luego el EHB tambin es igual al HTD, y

aadiendo el ngulo comn BHT, sern entonces iguales los ngulos EHB y BHT a los

BHT y HTD; pero los EHB y BHT, juntos, son dos rectos; luego tambin sern dos rectos

los BHT y HTD, juntos.

La teora euclidiana de las paralelas se completa despus con las siguientes proposiciones:

[P.XXX.I]. Las rectas paralelas a una misma recta son paralelas entre s.

Sean AB y GD (fig. II.4) dos rectas paralelas a la

EZ. Digo que la AB es paralela a la GD porque

cortndolas por la HK el ngulo AHK ser igual al

HTZ, y puesto que HK incide sobre las rectas

paralelas EZ y GD, el ngulo HTZ ser igual al

HKD.

Pero qued demostrado que el ngulo AHK es igual

al HTZ, luego, tambin el ngulo AHK ser igual al

HKD, y como son alternos, la recta AB es paralela a

GD.

[P.XXXI.I]. Por un punto dado trazar una recta paralela a otra recta dada.

Sea A el punto dado y BG la recta dada (fig. II.5).

Tmese sobre BG un punto cualquiera D; trcese

la recta AD y sobre ella y en el punto A

constryase el ngulo DAE igual al ADG y

prolnguese la EA en AZ. Puesto que la recta AD,

al incidir sobre las BG y EZ, ha formado los

ngulos alternos EAD y ADG iguales entre s, la

recta EZ ser paralela a la BG.

[P.XXXII.I]. Si se prolonga uno de los lados de un

tringulo, el ngulo externo es igual a los dos

internos y opuestos, juntos, y los tres internos del

tringulo son iguales a dos rectos.

Sea ABG el tringulo (fig. II.6). Prolnguese uno de

sus lados, el BG, hasta el punto D, y trcese por el

G la recta GE paralela a la AB. Puesto que la AG

incide sobre las paralelas, los ngulos alternos BAG

y AGE son iguales entre s, y como tambin incide sobre ellas la BD, el ngulo externo

11 Esta es la primera vez que Euclides hace uso del V Postulado.

Figura II.4

K

T

H

ZE

A

G

B

D

Figura II.5

D

A

GB

ZE

Figuras II.6

E

DGB

A

II.Teora euclidiana de las paralelas 21

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AGD es igual a los dos internos y opuestos BAG y ABG. Pero se demostr que el ngulo

AGE es igual al BAG, luego el ngulo externo AGD es igual a los dos internos y opuestos

BAG y ABG. Si se aade ahora el ngulo comn AGB, los dos AGD y AGB, juntos, sern

igual a los tres ABG, BGA y GAB, juntos y como los AGD y AGB son dos rectos, los tres

del tringulo AGB, BGA y GAB tambin son dos rectos.

[P.XXXIII.I]. Los segmentos que unen por el mismo lado segmentos iguales y paralelos

son tambin iguales y paralelos.

Sean AB y GD los segmentos iguales y paralelos

(fig. II.7). Trcense los AG y BD, y puesto que

la recta AB es paralela a la GD y sobre ellas

incide la BG, los ngulos alternos ABG y BGD

sern iguales12, y como AB es igual a GD y BG

es comn, la base AG ser igual a la base BD y

el tringulo ABG es igual al BGD13 y los otros

ngulos del uno respectivamente iguales a los

otros del otro: a los que subtienden lados iguales; luego el ngulo AGB es igual al GBD. Y

como la recta BG al incidir sobre las AG y BD ha formado ngulos alternos iguales entre s,

la AG es igual a la BD, luego los segmentos que unen por el mismo lado segmentos iguales

y paralelos, son tambin iguales y paralelos.

De la ltima proposicin se deduce la equidistancia de las paralelas. Entre las

consecuencias ms notables de esta teora se encuentra el conocido teorema sobre la suma

de los ngulos de un tringulo [P.XXXII.I] y las propiedades de las figuras semejantes (en

particular las que tienen que ver con la igualdad de tringulos)

OBSERVACIONES

1. Las ideas euclidianas acerca del V postulado son filosficas en el sentido de que la comunidad matemtica aceptaba que era la nica que interpretaba a la

realidad.

2. Era un sistema de conocimientos verdaderos sustentados en un pequeo grupo de principios apoyados en la intuicin geomtrica euclidiana: 4 postulados.

3. El V postulado de Euclides es una proposicin de la cual no se sabe hasta el momento de plantearla si es un axioma (independiente de los otros cuatro

postulados) o un teorema (dependiente de los otros 4 postulados).

12 [P.XXIX.I] ya demostrada lneas ms arriba. 13 [P.IV.I]. Si dos tringulos tienen dos lados del uno iguales a dos lados del otro e iguales los

ngulos comprendidos por los lados iguales, tendrn iguales sus bases y los dos tringulos sern

iguales (LAL).

Figura II.7

GD

AB

II.Teora euclidiana de las paralelas 22

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4. Los matemticos posteriores a Euclides, al pretender demostrar el V postulado dentro del contexto euclidiano, se vean implicados en una hiptesis de profundo

valor epistemolgico: el espacio era euclidiano.

5. Los Elementos condens el desarrollo lgico de la matemtica de la poca y tuvieron que pasar ms de 2 000 aos para que se realizara una formulacin ms

completa.

6. Es interesante notar que Aristteles pensaba que los postulados aunque no tenan que saberse verdaderos, sin embargo, se deba probar su verdad

demostrndose que las proposiciones deducidas de ellos coincidan con la

realidad. Proclus pensaba algo un poco diferente: toda la matemtica era

hipottica, es decir sin importar si sus deducciones eran o no verdaderas.

Aunque se supone que Euclides acept el criterio de Aristteles, en su libro no

hizo diferencia entre ambos tipos de proposiciones. Lo decisivo para la historia

del pensamiento fue que los matemticos de las pocas posteriores asumieron

los postulados y los axiomas como verdades incuestionables. Y como los

teoremas y proposiciones de esa geometra eran derivados de los axiomas,

entonces, todo el edificio euclidiano no poda ser cuestionado. El espacio real se

consider descrito por la geometra euclidiana y por sus axiomas y postulados.

Es decir, la geometra euclidiana describa perfectamente el mundo que nos

rodea. Nada ni nadie deba dudar de estas verdades sobre nuestra realidad.

Durante ms de dos mil aos esto fue as. Sin embargo, aunque nadie dudaba de

su verdad, el quinto postulado no pareca ser tan autoevidente como los dems.

II.Teora euclidiana de las paralelas 23

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II.3. Resumen

La Teora de las Paralelas de Euclides comprende:

- La definicin de Paralelas: Son las que, estando en el mismo plano y prolongadas al infinito, no se encuentran [Def. XXIII.I].

- El V postulado de Euclides del Libro I de sus Elementos: Si una recta al incidir sobre otras dos forma del mismo lado dos

ngulos internos menores que dos rectos, las dos rectas, prolongadas

al infinito, se encontrarn del lado en que dichos ngulos es menor

que dos rectos.

- Las propiedades de las Paralelas: o Existencia. Por un punto dado trazar una recta paralela a otra

recta dada. [P.XXXI.I].

o Unicidad. Por cada punto exterior a una recta dada pasa una nica recta paralela a ella.

o Reflexividad. Toda recta es paralela a s misma.

o Simetra. Si a es paralela a b, b es paralela a a.

o Transitividad. Las rectas paralelas a una misma recta son paralelas entre s [P.XXX.I].

Euclides tena buenas razones para enunciar su V postulado en la forma sealada ms

arriba. Podra haber afirmado, en su lugar, que si la suma de los ngulos de un mismo lado

de la transversal es 2R, entonces las rectas jams se encontrarn, es decir, seran paralelas.

Pero Euclides tema aparentemente, suponer que pudiera haber rectas infinitas que nunca se

encuentran. Ciertamente, no garantiza el comportamiento de lneas rectas infinitas, en tanto

que se supona que los axiomas eran verdades evidentes por s mismas acerca del mundo

fsico. Sin embargo, Euclides prob (como ya se vio antes [P.XXIX.I]) la existencia de

rectas paralelas sobre la base de su axioma de las paralelas y los dems axiomas.

El postulado de las paralelas, en la forma en que fue propuesto por Euclides, era

considerado, en alguna medida, demasiado complicado. Carece de la sencillez de los otros

postulados y adems tiene la forma de una implicacin. Estas dos caractersticas muy

distintivas de dicho postulado, planteaban el problema de que quizs el V postulado es una

proposicin que pudiera deducirse de los otros 4 postulados. Aparentemente, incluso a

Euclides, no le satisfaca su propia versin del postulado de las paralelas, pues no recurri a

l sino hasta despus de haber probado todos los teoremas que pudo sin su ayuda.

Euclides tuvo buen cuidado de postular slo que una recta limitada (segmento14 de una recta infinita) se puede extender tanto como sea necesario, de manera que la recta limitada

extendida sigue siendo finita.

14 En los elementos de Euclides no existe el trmino segmento en su lugar, utiliza el de recta limitada. Vera, F. (1970).

II.Teora euclidiana de las paralelas 24

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Ya en tiempos de los griegos los matemticos haban comenzado a esforzarse en resolver el

problema planteado por el V postulado de Euclides (postulado de las paralelas). Se hicieron

dos tipos de intentos: el primero, consisti en tratar de deducirlo de los otros cuatro

postulados; el segundo consisti en sustituir el axioma de las paralelas por un enunciado

aparentemente ms evidente. Estos dos tipos de problemas se tratarn con ms detalle en

los captulos III y IV del presente trabajo.

Para terminar este captulo podemos decir que la teora de las paralelas y en particular, los

estudios del V postulado de Euclides como se sabe ahora, fueron los que determinaron a lo

largo de aproximadamente veintids siglos (desde 300 a. n. e. hasta mediados del siglo

XIX), el origen de las nuevas teoras geomtricas llamadas geometras no euclidianas.