Teoría de Porfolio

7/23/2019 Teora de Porfolio

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TEORA DE PORTFOLIO (o DE CARTERA)

Rentabilidades HistricasLas rentabilidades histricas de una accin i en el periodo 1, secalcula como:

1 0 1,1

0

i

P P dR

P

+=

Donde: P1= precio de la accin en el periodo 1.P0= precio de la accin en el periodo 0.d1= dividendos pagados por la accin en el perodo 1.

La rentabilidad histrica de una cartera p en el periodo 1, es elpromedio ponderado de las rentabilidades histricas de sus activoscomponentes, utilizando las proporciones invertidas ( iw ) en cadaactivo como factores de ponderacin.

1

N

p i i

i

R w R=

=

Rentabil idades esperadas

Si se trata de rentabilidades esperadas de una accin, ( )iE R , stase puede calcular como el valor esperado de una distribucin deprobabilidad del tipo de rentabilidad del activo. Adems, se necesitaalguna medida sobre el riesgo, es decir la probable divergencia entreel valor real y el previsto de ingresos. Tericamente, se escoge paraesta medida la desviacin estndar de la distribucin, i .


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Carlos A. Daz Contreras (Septiembre de 2012) 2

Al centrarse nicamente en la media y la desviacin estndar (ovarianza), necesariamente se est asumiendo que cualquier otraestadstica existente no es necesaria para describir la distribucin que

caracteriza a la riqueza al final del periodo. A menos que losinversionistas tengan un tipo de funcin de utilidad especial(cuadrtica por ejemplo), es necesario asumir que los retornos tienenuna distribucin normal, que puede ser descrita completamente atravs de los dos parmetros.

La rentabilidad esperada de una Cartera, ( )pE R , de acuerdo a lodefinido por Markovitz (1959), es igual al promedio ponderado de las

rentabilidades esperadas de sus activos constituyentes, utilizando lasproporciones invertidas en cada activo como coeficientes deponderacin:

( ) ( )1

n

p i i

i

E R w E R=

=

Donde la proporcin invertida en el activo i dentro del portafolio p sedesigna como iw . Dado que el todo totaliza la suma de sus partes, la

suma total de las n proporciones han de sumar 1. Si iw toma el valor0, significa que la cartera no incluye ningn activo i . Un valornegativo implica la venta corta de un activo, en vez de su posesin.Un valor mayor que 1, denota un conjunto de activos que requierems fondos de los que el inversionista ha proporcionado; estosolamente es factible si se puede obtener los fondos adicionales enbase a la emisin de uno o ms activos o a la venta corta.


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Clculo de la varianza para una cartera de dos activosSi se tiene una cartera con dos activos riesgosos que se encuentrannormalmente distribuidos, con una fraccin xw a= invertido en el

activo X y1

yw b a= =

en el activo Y, entonces, la varianza delretorno de la cartera es:

2 2 2 2 2

,2p x y x ya b abCov = + +

La importancia de la covarianza radica en que, por s sola, determinauna medida apropiada del efecto resultante de la combinacin deactivos sobre el riesgo total de la cartera, es decir, el resultado de la

diversificacin.

El efecto de la diversificacin es apreciable en mayor manera enactivos que presentan tendencias inversas en sus comportamientos,cuando se los relaciona el uno con el otro. La covarianza negativaque existe entre ellos, implica que los retornos de los activos tiendena moverse en direcciones opuestas. Si se invierten en ambos activosa la vez, el resultado es una cartera menos riesgosa en comparacin

a haber invertido en ambos pero de manera separada, dado quemientras se est perdiendo con un activo, se est ganandoparalelamente con el otro, lo cual implica que el inversionista veparcialmente cubierta su posicin, y por ende el riesgo tiende areducirse.

Dado que, , ,x y x y x yCov = , entonces:

2 2 2 2 2,2p x y x y x ya b ab = + + o 2 2 2 2 ,2p x y x y x ya b ab = + +


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Si , 1x y = + p x ya b = +

, es decir, slo si la correlacinentre ambos activos es +1, el riesgo de la cartera es un promedioponderado de los riesgos individuales, y en todos los otros casos esmenor.

Cartera de mnimo riesgo

Derivando el riesgo con respecto a a e igualando a cero,

2

0p

a

=

, se

obtiene:

,

2 2

,

( )2

y y x y x

x y x y

aCov

=

+

Si , 1x y = y

x y

a

=

+

Si , 0x y =

2

2 2

y

x y

a

=

+

Ejemplo

Si: ( ) 4%xE R = 2%x = ( ) 9%yE R = 6%y =


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Ries o

9

Rentabilidad10

6 8 9 102 3 4 5 70 1

1

0

3

2

5

4

7

6

8

Carteras posibles de formar con solo 3 activos:

Tabla N 2

Porcentaje Invertido

CARTERA Accin A Accin B Accin C

1 10,00% 10,00% 80,00%

2 10,00% 10,90% 79,10%

3 4,05% 12,67% 83,28%

4 36,30% 12,00% 51,70%


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Generalizando, la rentabilidad esperada de una Cartera Accionariacompuesta por n activos:

1

( ) ( )p

n

i i

i

E R w E R

=

=

Donde:( )

pE R = rentabilidad esperada de la Cartera Accionaria

iw = porcentaje de la cartera invertidos en la accin i n = nmero total de acciones que componen la cartera accionaria

Generalizando, el riesgo de una cartera accionaria es:

2

,

1 1

n n

p i j i j

i j

w w Cov= =

= o ,1 1

n n

p i j i j

i j

w w Cov= =

=

Si las acciones de la tabla N 2 tienen las siguientes rentabilidades

esperadas, riesgos y correlaciones:

Accin "A Accin B Accin C

Rentabilidad Esperada 6% 8% 9%

Desviacin Estndar 3% 4% 5%

, 0,8A B = , 0, 2A C = , 0,1B C = Tabla N 3

Cartera Accin A Accin B Accin C E(Rp) p1 10,00% 10,00% 80,00% 8,60% 4,06%

2 10,00% 10,90% 79,10% 8,59% 3,99%

3 4,05% 12,67% 83,28% 8,75% 4,16%

4 36,30% 12,00% 51,70% 7,79% 3,54%


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Diversificacin

Grfico N 1

A medida que el nmero de activos contenidos en la cartera seincrementa, la varianza de la cartera tender a decrecer,aproximndose en el lmite, al valor de la covarianza promedio.

Anteriormente, al realizar la prueba con dos activos, se determin queesta cartera tena 2 varianzas y 2 covarianzas. A su vez, una carteracon tres activos tendr 3 varianzas y 6 trminos de covarianza; unacartera de cuatro activos tendr 4 varianzas y 12 covarianzas, ..., unacartera de 100 activos tendr 100 varianzas y 9.900 covarianzas. Porlo tanto, en la medida que la cartera est ms diversificada, un mayor

porcentaje de su varianza queda explicada por las covarianzas y nopor los riesgos individuales (varianzas).


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Tabla N 4

Varianzas y covarianzas en una cartera de nactivos11 12 13 14 15 16 1

21 22 23 24 25 26 2

31 32 33 34 35 36 3

41 42 43 44 45 46 4

51 52 53 54 55 56 5

61 62 63 64 65 66 6

1 2 3 4 5 6

n

n

n

n

n

n

n n n n n n nn

K

K

K

K

K

K

K K K K K K K K

K

En general, el nmero de varianzas en una cartera es igual al nmero

de activos contenidos en una cartera n , mientras que el nmero decovarianzas es igual a 2( )n n o ( 1)n n . Grficamente, la tabla N 4ilustra todas las varianzas y covarianzas en una cartera de n activos.Los trminos de la diagonal representan las varianzas, es decir,

2

ii i = . Mientras que los trminos fuera de la diagonal contienen las

covarianzas, esto es, ,ij i jCov = .


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Grfico N 2

Infinitas carteras formadas con las acciones que se transan en las Bolsas de Valores

El grfico N 2 muestra el perfil riesgo-rentabilidad de las infinitascarteras que se pueden formar con todas las acciones que se transannormalmente en la Bolsas de Valores.

Carteras DominantesUna cartera domina a otra si se da cualquiera de las siguientessituaciones (grfico N 3):1) Si a igual rentabilidad esperada ofrece menor dispersin (Ejemplo:

la cartera adomina a la cartera c).2) Si a igual dispersin ofrece mayor rentabilidad esperada (Ejemplo:

la cartera c domina a la cartera d).

3) Si simultneamente tiene mayor rentabilidad esperada y menordispersin (Ejemplo: la cartera c domina a la cartera e).


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Grfico N 3

En el grfico N 3, todas las carteras ubicadas en la frontera del ladoizquierdo dominan a una o ms carteras internas o ubicadas en lafrontera del lado derecho. Por lo tanto, un inversionista slo elegiruna o ms de esas carteras frontera dominantes.

En el grfico N 4, todas las carteras que estn ubicadas en la partede la frontera con pendiente positiva, domina a una o ms carterasubicada en la misma frontera pero con pendiente negativa. Por lotanto, slo elegirn algunas de esas carteras dominantes.

Grfico N 4: Frontera

El grfico N 5 muestra todas las carteras que podran ser elegidaspor un inversionista, ya que dominan a otras pero no se dominanentre s. Ese conjunto de carteras constituyen la frontera eficiente.


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Grfico N 5: Frontera Eficiente

Pero, Cmo elige la cartera especfica un inversionista?: Dependede las preferencias entre riesgo/rentabilidad que tenga elinversionista.

En el grfico N 6, si un inversionista tiene el siguiente conjunto decurvas de indiferencias entre riesgo y rentabilidad (curvas 1, 2 y 3), ystas se combinan con la frontera eficiente, entonces, el inversionistaelegir la cartera g, ya que all estara maximizando su bienestar.

Grfico N 6


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EXTENSIN DE LA TEORA DE PORTFOLIO

Supuestos: Los mercados de activos son no friccionales: la tasa de colocacin

igual a la tasa de captacin. No hay imperfecciones de mercado tales como impuestos,

regulaciones o restricciones a ventas de corto plazo, ni costos detransaccin, o cualquier restriccin para operar.

Hay homogeneidad de expectativas por parte de los inversionistas

respecto de la distribucin esperada de los retornos ofrecidos portodos los activos.

Incorporacin de un Activo Libre de RiesgoLa incorporacin de un activo libre de riesgo permite formar nuevascarteras, compuestas por una proporcin invertida en el activo libre deriesgo y otra proporcin invertida en algunas de las carteras de la

frontera eficiente.

Por ejemplo, si combinamos el activo libre de riesgo y la cartera g, sepueden formar "nuevas carteras", con rentabilidad esperada:

( ) + ( )p fr f g g

E R w R w E R= , y desviacin estndar: p g gw = .

Donde( )p

E R = Rentabilidad esperada de la Cartera Accionaria

gw = Porcentaje del total de recursos invertidos en la Cartera

Accionaria g


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frw = Porcentaje del total de recursos invertidos en activo libre de

riesgo

p = Desviacin estndar de la Cartera Accionaria

El grfico N 7 muestra el perfil riesgo-rentabilidad de todas lascarteras formadas combinando el activo libre de riesgo y la carteraaccionaria g .

Grfico N 7Riesgo y Rentabilidad de todas las carteras formadas

combinando la cartera gy el activo libre de riesgo

En esta situacin, el inversionista se dara cuenta que puede elegirotra cartera cuya combinacin riesgo-rentabilidad le genera un mayorbienestar: la cartera h. En ellas, el inversionista estar invirtiendo unporcentaje de sus recursos en la cartera g, y el otro porcentaje en elactivo libre de riesgo.

Su nueva frontera eficiente sera la curva formada por: fR , g y la

parte superior de su antigua frontera eficiente.

Luego, el inversionista se dara cuenta que nada lo obliga a formarcarteras entre fR y la cartera g . As por ejemplo, si empezara a


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formar carteras entre fR y la cartera M , podra ubicarse en una curvade indiferencia superior a la anterior: cartera h.

En el grfico N 8 se muestran los perfiles de riesgo-rentabilidad detodas las carteras posibles de formar entre el activo libre de riesgo yla cartera M. Esta lnea constituira la nueva frontera eficiente.

Dado que todos los inversionistas, sin importar en qu carterainvertan inicialmente, harn este mismo tipo de combinaciones, estaser la frontera eficiente para todo ellos, y por lo tanto, se ledenomina Lnea de Mercado de Capitales (LMC).

Grfico N 8Combinaciones entre el activolibre de riesgo y la cartera M

Como todos los inversionistas slo invertirn en alguna combinacinentre el activo libre de riesgo y la cartera M . Esta cartera debecontener todos los activos riesgosos de la economa, con lo que se le

denomina cartera de mercado, ya que si un activo riesgoso noestuviese incluido en la cartera M , entonces nadie invertira en l. Invertir en cualquier cartera ubicada entre fR y M , implica

destinar un porcentaje de los recursos en el activo libre de riesgo yel resto de los recursos en la cartera M .


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El equil ibrio en el mercado

Si supones igualdad entre las tasas de prstamo y ahorro, la nofriccionalidad de los mercados de capital, y la homogeneidad deexpectativas por parte de los inversionistas respecto de la distribucinesperada de los retornos ofrecidos por todos los activos, entoncestodos los inversionistas percibirn el mismo set eficiente. De acuerdoa esto, todos intentarn mantener alguna combinacin del activo librede riesgo fR con la cartera M .

Para que el mercado se encuentre en equilibrio, se requiere unconjunto de precios que permitan clarificar el mercado. En otraspalabras, la existencia de un equilibrio requiere que todos los preciosse ajusten de tal manera que el exceso de demanda existente paracualquier activo en el mercado sea igual a cero. Esta condicin declaridad del mercado implica que el equilibrio no se alcanza hasta quela cartera M constituya una cartera en la cual todos los activos seancontenidos, de acuerdo a su participacin de mercado relativa.

La lnea recta en el grfico N 10 conforma el set eficiente para todoslos inversionistas. Si los inversionistas comparten creenciashomogneas, entonces todos ellos tienen el mismo set linealeficiente, llamado Lnea de Mercado de Capitales. sta representauna relacin lineal entre el riesgo y el retorno de la cartera. En el


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grfico se aprecia que el intercepto es la tasa libre de riesgo fR , y su

pendiente es ( ) /M f ME R R , por lo tanto, la ecuacin para la

Lnea de Mercado de Capitales es:

( )( )

M f

p f p

M

E R RE R R

= +

USO DE ALGEBRA MATRICIAL

Cuando la cartera est compuesta por ms de tres activos, el clculode su retorno esperado, y sobretodo, el clculo de la desviacinestndar se complica, por ello, resulta ms fcil hacer uso del lgebramatricial

Rentabilidad Esperada de la Cartera. Se puede calcular como lamultiplicacin de la traspuesta del vector columna de ponderaciones

( Tw ) y el vector columna de rentabilidades (e ):

( )T

pE R w e=

Varianza de la Cartera. Se puede calcular como la multiplicacin de

la traspuesta del vector columna de ponderaciones (T

w ) multiplicado

por la matriz de varianzas y covarianzas (V

) y nuevamentemultiplicado por el vector columna de ponderaciones ( w ):

2 T

pw V w =


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Covarianza entre la cartera 1 y la cartera 2. Se puede calcularcomo la multiplicacin de la traspuesta del vector columna de

ponderaciones de la cartera 1 (T

w1 ) multiplicado por la matriz de

varianzas y covarianzas (V ) y nuevamente multiplicado por el vectorcolumna de ponderaciones de la cartera 2 ( 2w ):

1 21,2

TCov w V w=

Clculo del retorno esperado y de la desviacin estndar en larealidad

Dado que las expectativas no pueden ser medidas, es necesario usarvalores observados, es decir, en su forma ex post.

Esto puede hacerse asumiendo que la tasa de retorno sobrecualquier activo es un Juego Justo.En otras palabras, en promedio,la tasa esperada de retorno sobre un activo es igual a la tasa deretorno realizada.

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