Teoría de redes

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Teoría de redes Problema de la Ruta más corta Problema del Árbol de expansión mínima Problema del Flujo máximo Problema de Flujo de costo mínimo UNIVERSIDAD DE MANAGUA Al más alto nivel Maestro Ing. Julio Rito Vargas Avilés

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UNIVERSIDAD DE MANAGUA Al más alto nivel. Teoría de redes. Problema de la Ruta más corta Problema del Árbol de expansión mínima Problema del Flujo máximo Problema de Flujo de costo mínimo. Maestro - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Teoría de redes

Teoría de redesTeoría de redes

Problema de la Ruta más corta Problema del Árbol de expansión mínima Problema del Flujo máximo Problema de Flujo de costo mínimo

Problema de la Ruta más corta Problema del Árbol de expansión mínima Problema del Flujo máximo Problema de Flujo de costo mínimo

UNIVERSIDAD DE MANAGUA

Al más alto nivel

Maestro

Ing. Julio Rito Vargas Avilés II Cuatrimestre 2012

Page 2: Teoría de redes

Introducción• Grafo: Serie de puntos llamados nodos (nudos) unidos

por arcos o aristas.

• Red: Es una grafo con algún tipo de flujo en sus ramales. Ejemplo: Eléctrica, transporte.

Page 3: Teoría de redes

Introducción• Cadena: Serie de elementos que van de un nodo a

otro. Ejemplo: 1- 2, 2 -5, 5 -7.• Ruta: Serie de elementos que conforman una cadena.

Ejemplo: Para el anterior 1 - 2 - 5 - 7.• Ciclo: Es la cadena que une un nodo consigo mismo.

Ejemplo: 3 -5, 5 -2, 2 -4, 4 -7, 7- 6, 6 -3.• Gráfica conectada: Aquella en la cual al menos todos

los nodos están conectados. Ejemplo: El de la gráfica.

Page 4: Teoría de redes

Introducción• Ramal(arco) orientado(dirigido): Es aquel que

tiene un sentido determinado, o sea, que tiene un nodo origen y un nodo destino. Ejemplo:

Page 5: Teoría de redes

Introducción

• Gráfico orientada(dirigido): Aquella en la cual todos sus ramales están orientados. Ejemplo:

Page 6: Teoría de redes

Introducción• Árbol: Gráfica sin ciclos. Ejemplo:

• La capacidad de flujo de un ramal es el límite superior de la ruta de flujo en dicho ramal en un sentido determinado.

Page 7: Teoría de redes

Introducción• Nodo fuente: Aquel en el cual todos sus

ramales están orientados hacia afuera. Ejemplo:

• Nodo receptor: Aquel en el cual todos sus ramales están orientados hacia él.

• Ejemplo

1

9

Page 8: Teoría de redes

Algunas Aplicaciones• Diseño de redes de telecomunicaciones

– Redes de fibra óptica– Redes de computadoras– Redes telefónicas– Redes de Internet o TV por cable, etc.

• Diseño de redes de transporte– Vías ferroviarias, carreteras, etc.

• Diseño de una línea de transmisión eléctrica de alto voltaje.• Diseño de una red de tubería para conectar varias localidades.

Page 9: Teoría de redes

PROBLEMA DE LA RUTA MAS CORTA• Por medio de la aplicación del algoritmo de este problema podemos

conocer la menor distancia entre un nodo origen y un nodo destino. Pasos a seguir:• Primer paso: Elaborar un cuadro con todos los nodos y los ramales que

salen de él.• Segundo paso: Partiendo del origen, debemos encontrar el nodo más

cercano a él.• Tercer paso: Anular todos los ramales que entren al nodo más cercano

elegido.• Cuarto paso: Comenzando en el origen se debe encontrar el nodo más

cercano a él, por intermedio del(los) nodo(s) ya elegido(s) y volver al tercer paso hasta llegar al destino. Ejemplo:

Page 10: Teoría de redes

Algoritmo• Definición de algoritmo: es un conjunto de reglas que permiten

obtener un resultado determinado a partir de ciertas reglas definidas.

• Definición de algoritmo: es una secuencia finita de instrucciones, cada una de las cuales tiene un significado preciso y puede ejecutarse con una cantidad finita de esfuerzo en un tiempo finito.

• Todo algoritmo ha de tener las siguientes características: legible, correcto, modular, eficiente, estructurado, no ambiguo y a ser posible se ha de desarrollar en el menor tiempo posible.)

Page 11: Teoría de redes

Algoritmo de Edsger Dijkstra Nació en Alemania en 1930, su padre era Químico y su madre Matemática. En 1956, Dijkstra anunció su algoritmo. Algoritmo de caminos mínimos, propuso el algoritmo del camino más corto y el algoritmo del

árbol generador minimal. A principios de la década de los 60, Dijkstra aplicó la idea de la exclusión mutua a las comunicaciones entre una computadora y su teclado. Su solución de exclusión mutua ha sido usada por muchos procesadores modernos y tarjetas de memoria desde 1964, cuando IBM la utilizó por primera vez en la arquitectura del IBM 360.

El algoritmo de Dijkstra para ruta más corta, en términos generales, encuentran la ruta más

corta entre dos nodos, inicial a y final z, de la siguiente manera Los nodos de la red son etiquetados con números. Al principio, todos tienen la etiqueta 00

excepto el nodo inicial a que tiene la etiqueta 0. Los arcos tienen un peso dij que representa la distancia del enclace (i, j). El algoritmo de Dijkstra renumeran los nodos, de manera que cuando el nodo z tiene una etiqueta permanente, se ha obtenido la solución final.

Page 12: Teoría de redes

Ejemplo 2:• La administración de Seervada Park necesita determinar

los caminos bajo los cuales se deben tender las líneas telefónicas para conectar las estaciones con una longitud total mínima de cable.

• Se describirá paso a paso la solución de este problema, en base a los datos que se proporcionan en la figura siguiente. Los nodos y distancias se muestran en la red, en donde las líneas delgadas representan ligaduras potenciales.

Page 13: Teoría de redes

Aplicación del algoritmo de la ruta más corta al problema de Seervada Park

NNodos resueltos, conectados

directamente a nodos no resueltos

Nodos no resueltos más

cercanos conectados

Distancia total

involucrada

N-ésimo nodo más cercano

Distancia mínima

Última conexión

1 O A 2 A 2 OA

2,3 OA

CB

42+2=4

CB

44

OCAB

4 ABC

DEE

2+7=94+3=74+4=8

E 7 BE

5 ABE

DDD

2+7=94+4=87+1=8

DD

88

BDED

6 DE

TT

8+5=137+7=14

T 13 DT

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O

A D

B

C E

T

2

7

5

2

4

4

1

4

3

1

5

7

RED SEERVADA PARK

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O

A D

B

C E

T

2

7

5

2

4

4

1

4

3

1

5

7

En forma arbitraria, se selecciona el nodo O como inicio. El nodo no conectado más cercano a O es A. Se conecta el nodo O con A . OA

Page 16: Teoría de redes

O

A D

B

C E

T

2

7

5

2

4

4

1

4

3

1

5

7

El nodo no conectado más cercano a los nodos O o A es el nodo B (más cercano a A). Se conecta el nodo B con el nodo A.- AB

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O

A D

B

C E

T

2

7

5

2

4

4

1

4

3

1

5

7

El nodo no conectado más cercano a los nodos O o A o B es el nodo C (más cercano a B),. Se conecta el nodo C con el nodo B.- BC

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O

A D

B

C E

T

2

7

5

2

4

4

1

4

3

1

5

7

El nodo no conectado más cercano a los nodos O o A o B o C, es el nodo E (más cercano a B),. Se conecta el nodo E con el nodo B.- BE

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O

A D

B

C E

T

2

7

5

2

4

4

1

4

3

1

5

7

El nodo no conectado más cercano a los nodos O, A, B, C o E, es el nodo D (más cercano a E),. Se conecta el nodo D con el nodo E.- ED

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O

A D

B

C E

T

2

7

5

2

4

4

1

4

3

1

5

7

El único nodo no conectado es el nodo T. Esta más cercano al nodo D. Se conecta el nodo T con el nodo D.- DT : SOLUCIÓN: OA-AB-BE-ED-DT=13

SOLUCION: OA-AB-BD-DT = 13

Page 21: Teoría de redes

Usando WinQSB

Page 22: Teoría de redes

Usando WinQSB

Page 23: Teoría de redes

Análisis de la solución• Todo los nodos han quedado conectado por

que ésta es la solución óptima que se buscaba. La longitud total de las ramas es 13 millas.

• El objetivo es diseñar la red más apropiada para el problema dado.

Page 24: Teoría de redes

Ejemplo 2 de red13 19

16

11

24

22

18

27

30

11

Page 25: Teoría de redes

Ruta más corta

Page 26: Teoría de redes

Solución• Es decir, la ruta más corta corresponde a la

ruta ABFJ, la cual suma 30 unidades.

A

B

FJ

Page 27: Teoría de redes
Page 28: Teoría de redes

Árbol de expansión mínima Este problema surge cuando todos los nodos de

una red deben conectar entre ellos, sin formar un loop.

El árbol de expansión mínima es apropiado para problemas en los cuales la redundancia es expansiva, o el flujo a lo largo de los arcos se considera instantáneo.

Page 29: Teoría de redes
Page 30: Teoría de redes
Page 31: Teoría de redes
Page 32: Teoría de redes

EL TRANSITO DE LA CAPITAL La ciudad de Managua esta planificando el desarrollo de una nueva

línea en sistemas de tránsito. El sistema debe unir 5 distritos, Universidades y centros

comerciales. La Dirección de transito necesita seleccionar un conjunto de líneas

que conecten todos los centros a un mínimo costo. La red seleccionada debe permitir:

- Factibilidad de las líneas que deban ser construidas.- Factibilidad de las líneas que deban ser construidas.- Mínimo costo posible por línea.- Mínimo costo posible por línea.

Page 33: Teoría de redes

RED QUE REPRESENTA

EL ARBOL EXPANDIDO

5

2 6

4

7

81

3

Zona Oeste

Zona Norte Universidad

DistritoComercial

Zona EsteCentroComercial

Zona Sur

Zona Centro

33

5030

55

34

2832

35

39

45

38

43

44

41

3736

40

Page 34: Teoría de redes

Solución Solución - Analogía con un problema de redes

- El algoritmo que resuelve este problema es un procedimiento muy fácil (“trivial”).- El algoritmo que resuelve este problema es un procedimiento muy fácil (“trivial”).- Corresponde a una categoría de algoritmos “ávidos”.- Corresponde a una categoría de algoritmos “ávidos”.- Algoritmo:- Algoritmo:

* Comience seleccionando el arco de menor longitud.* Comience seleccionando el arco de menor longitud.* En cada iteración, agregue el siguiente arco de menor * En cada iteración, agregue el siguiente arco de menor longitud longitud del del

conjunto de arcos disponibles , tomando la conjunto de arcos disponibles , tomando la precaución de no formar ningún loop.precaución de no formar ningún loop.* El algoritmo finaliza cuando todos los nodos están * El algoritmo finaliza cuando todos los nodos están conectados.conectados.

Solución mediante el computador- Los entrada consiste en el número de nodos, el largo de los arcos y la descripción de la red.- Los entrada consiste en el número de nodos, el largo de los arcos y la descripción de la red.

Page 35: Teoría de redes

SoluciónSolution for Minimal Spanning Tree Problem PROBLEMA DE TRANSITO MANAGUA

From Node Connect To Distance/Cost From Node Connect To Distance/Cost1 Zona Oeste Zona Centro 28 5 Zona Sur Centro Comercial 362 Zona Centro Zona Norte 30 6 Zona Centro Zona Sur 373 Zona Centro Distrito Comercial 32 7 Universidad Zona Este 384 Zona Centro Universidad 35

Total Minimal Connected Distance or Cost = 236

Solución óptima mediante WINQSB Solución óptima mediante WINQSB

Page 36: Teoría de redes

RED QUEREPRESENTA LASOLUCIÓN ÓPTIMA

CentroComercial

Loop

5

2 6

4

7

81

3

Zona Oeste

Zona Norte

Universidad

DistritoComercial

Zona Este

Zona Sur

ZonaCentro

33

5030

55

34

28

32

35

39

45

38

43

44

41

3736

40

Costo Total = C$236 millones

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Page 38: Teoría de redes
Page 39: Teoría de redes

PROBLEMA DEL FLUJO MAXIMO

• Nos permite conocer(calcular) la máxima cantidad de cualquier artículo o información que podemos transportar desde un origen hasta un destino.

• Pasos a seguir : • Primer paso: Elegir una ruta arbitraria.• Segundo paso: En dicha ruta escoger aquel ramal de menor flujo en

ese sentido y transportar por esa ruta la cantidad escogida.• Hacer esto repetitivamente hasta que no sea posible encontrar una

ruta con capacidad de flujo.

Page 40: Teoría de redes

Algunas AplicacionesAlgunas Aplicaciones• Maximizar el flujo a través de la red de distribución de

una compañía desde sus fábricas hasta sus clientes.• Maximizar el flujo a través de la red de suministros de

una compañía de proveedores a las fábricas.• Maximizar el flujo de petróleo por tuberías.• Maximizar el flujo de agua a través de un sistema de

acueductos.• Maximizar el flujo de vehículos por una red de transporte.

• Maximizar el flujo a través de la red de distribución de una compañía desde sus fábricas hasta sus clientes.

• Maximizar el flujo a través de la red de suministros de una compañía de proveedores a las fábricas.

• Maximizar el flujo de petróleo por tuberías.• Maximizar el flujo de agua a través de un sistema de

acueductos.• Maximizar el flujo de vehículos por una red de transporte.

Page 41: Teoría de redes

Ejemplo 1 Problema de flujo máximo de Seervada Park.• Tiene varias fábricas y múltiples clientes. Se

trata de aumentar la red original que incluya una fuente ficticia y un destino ficticio y algunos arcos nuevos.

Page 42: Teoría de redes

Problema de flujo máximo de Seervada Park

O

A D

B

C E

T

5

3

7

1

4

4

2

4

51

9

6

Page 43: Teoría de redes

Red residual del problema de flujo máximo de Seervada Park

O

A D

B

C E

T

5

3

7

1

4

42

4

51

9

6

0

0

0

0

0

00

0

0

0

0

0

Page 44: Teoría de redes

Iteracción 1: Una de las trayectorias de aumento es O→B →E →T que tiene capacidad residual igual al mín{7,5,6}=5si se asigna un flujo de 5 a esta trayectoria, la red resultante es:

O

A D

B

C E

T

5

3

2

1

4

42

4

01

9

1

0

0

0

5

0

00

0

5

5

50

05

Page 45: Teoría de redes

O

A D

B

C E

T

2

0

2

1

4

42

4

01

6

1

3

0

0

5

3

30

0

5

5

8

Iteracción 2: Una de las trayectorias de aumento es O→A →D →T que tiene capacidad residual igual al mín{5,3,9}=3, si se asigna un flujo de 3 a esta trayectoria, la red resultante es:

0

08

Page 46: Teoría de redes

O

A D

B

C E

T

1

0

2

0

4

42

3

01

5

1

4

0

0

5

4

31

0

5

5

9

Iteracción 3: Una de las trayectorias de aumento es O→A →B →D →T que tiene capacidad residual igual al mín{2,1,4,6}=1, si se asigna un flujo de 1 a esta trayectoria, la red resultante es:

1

09

Page 47: Teoría de redes

O

A D

B

C E

T

1

0

0

0

4

42

1

01

3

1

4

0

0

7

6

33

0

5

5

11

Iteracción 4: Una de las trayectorias de aumento es O→B→D →T que tiene capacidad residual igual al mín{2,3,5}=2, si se asigna un flujo de 2 a esta trayectoria, la red resultante es:

1

011

Page 48: Teoría de redes

O

A D

B

C E

T

1

0

0

0

3

32

1

00

2

1

4

0

1

7

7

33

1

5

5

12

Iteracción 5: Una de las trayectorias de aumento es O→C →E →D →T que tiene capacidad residual igual al mín{4,4,1,3}=1, si se asigna un flujo de 1 a esta trayectoria, la red resultante es:

1

112

Page 49: Teoría de redes

O

A D

B

C E

T

1

0

0

0

2

22

1

00

2

0

4

0

2

7

7

33

1

6

513

Iteracción 6: Una de las trayectorias de aumento es O→C →E →T que tiene capacidad residual igual al mín {3,3,1}=1, si se asigna un flujo de 1 a esta trayectoria, la red resultante es:

1

2

13

Page 50: Teoría de redes

O

A D

B

C E

T

1

0

0

0

1

12

0

10

1

0

4

0

3

7

8

34

1

6

414

Iteracción 7: Una de las trayectorias de aumento es O→C →B → D→T que tiene capacidad residual igual al mín {2,2,5,1,2}=1, si se asigna un flujo de 1 a esta trayectoria, la red resultante es:

1

3

14

Ya no existe trayectoria de aumento, por lo que el patrón actual es óptimo

Page 51: Teoría de redes

Maximal Flow Problem

Page 52: Teoría de redes

Solución WinQSB

Page 53: Teoría de redes

Ejemplo 2• Encontrar el flujo máximo, en la red,, dado

que la capacidad a través del arco que va del nodo i al nodo j es el número más cercano al nodo i del arco entre estos nodos.

Page 54: Teoría de redes

6

3

41

1

4

9

4

43

RED DE FLUJO MAXIMO

I

A

B

C

T

D

E

Origen

Final

Page 55: Teoría de redes

2

3

41

1

0

9

0

43

Iteracción 1: Una de las trayectorias de aumento es I→A →D →T que tiene capacidad residual igual al mín{6,4,4}=4si se asigna un flujo de 4 a esta trayectoria, la red resultante es:

4 4

44

4I

A

B

C

T

D

E

Origen

Final

Page 56: Teoría de redes

2

0

41

1

0

6

0

13

Iteracción 2: Una de las trayectorias de aumento es I→B →E →T que tiene capacidad residual igual al mín{4,3,9}=3si se asigna un flujo de 3 a esta trayectoria, la red resultante es:

4 4

47

73 33

I

A

B

C

T

D

E

Origen

Final

Page 57: Teoría de redes

2

0

31

1

0

5

0

02

Iteracción 3: Una de las trayectorias de aumento es I→B →C →E → T que tiene capacidad residual igual al mín{1,3,4,6}=1, se asigna un flujo de 1 a esta trayectoria, la red resultante es:

4 4

48

84 34

1 1

I

A

B

C

T

D

E

Origen

Final

Page 58: Teoría de redes

2

0

20

1

0

4

0

02

Iteracción 4: Una de las trayectorias de aumento es I→C →E → T, que tiene capacidad residual igual al mín{1,3,5} =1, se asigna un flujo de 1 a esta trayectoria, la red resultante es:

4 4

49

94 35

1 21

I

A

B

C

T

D

E

Origen

Final

Page 59: Teoría de redes

Maximal flow problem

Page 60: Teoría de redes

Solución WinQSB

Page 61: Teoría de redes

Solución final

I A

B

TD

E

C

Page 62: Teoría de redes

Problema del flujo máximoProblema del flujo máximo Este modelo se utiliza para reducir los embotellamientos Este modelo se utiliza para reducir los embotellamientos

entre ciertos puntos de partida y destino en una red.entre ciertos puntos de partida y destino en una red. Existe un flujo que viaja desde un único lugar de origen hacia Existe un flujo que viaja desde un único lugar de origen hacia

un único lugar destino a través de arcos que conectan nodos un único lugar destino a través de arcos que conectan nodos intermediosintermedios

Cada arco tiene una capacidad que no puede ser excedidaCada arco tiene una capacidad que no puede ser excedida La capacidad no debe ser necesariamente la misma para cada La capacidad no debe ser necesariamente la misma para cada

dirección del arco.dirección del arco.

Page 63: Teoría de redes

Definición del ProblemaDefinición del Problema

- Existe un nodo origen (con el número 1), del cual los flujos emanan.- Existe un nodo origen (con el número 1), del cual los flujos emanan.

- Existe un nodo terminal (con el número n), en el cual todos los flujos - Existe un nodo terminal (con el número n), en el cual todos los flujos de la red son depositados.de la red son depositados.

- Existen n-2 nodos (númerados del 2, 3,....,n-1), en el cual el flujo que - Existen n-2 nodos (númerados del 2, 3,....,n-1), en el cual el flujo que entra es igual al flujo que sale.entra es igual al flujo que sale.

- La capacidad C- La capacidad Cij ij que transita del nodo i al nodo j, y la capacidad Cque transita del nodo i al nodo j, y la capacidad C jiji para la dirección opuesta.para la dirección opuesta.

Page 64: Teoría de redes

El objetivo es encontrar la máxima El objetivo es encontrar la máxima cantidad de flujo que salga del nodo 1 al cantidad de flujo que salga del nodo 1 al nodo n sin exceder la capacidad de los nodo n sin exceder la capacidad de los

arcos.arcos.

Page 65: Teoría de redes

COMPAÑÍA QUIMICA UNIDACOMPAÑÍA QUIMICA UNIDA Química unida produce pesticidas y otros productos de control Química unida produce pesticidas y otros productos de control

agrícola.agrícola. El veneno químico necesario para la producción es depositado en El veneno químico necesario para la producción es depositado en

grandes tambores.grandes tambores. Una red de tubos y válvulas regula el flujo del químico de los Una red de tubos y válvulas regula el flujo del químico de los

tambores a las diferentes áreas de producción.tambores a las diferentes áreas de producción. El departamento de seguridad debe diseñar un procedimiento El departamento de seguridad debe diseñar un procedimiento

que vacíe los tambores de la forma más rápida posible dentro de que vacíe los tambores de la forma más rápida posible dentro de los tubos del área de depósito, usando la misma red de tubos y los tubos del área de depósito, usando la misma red de tubos y válvulas.válvulas.

El procedimiento debe determinar:El procedimiento debe determinar:- Qué válvulas deben abrirse y cerrarse- Qué válvulas deben abrirse y cerrarse- Estimar el tiempo total de descarga.- Estimar el tiempo total de descarga.

Page 66: Teoría de redes

Tambores con químico

Tubo de Seg.

1 7

42

3

6

5

10

0

80

0

0

0

0

0

0

10

61

12

1 4

4 2

2 8

3

3

7

2

El máximo flujo de 2 a 4 es 8

No se permite flujo de 4 a 2.

Page 67: Teoría de redes

Solución - Analogía de un problema de programación linealSolución - Analogía de un problema de programación lineal– Variables de decisiónVariables de decisión

XXijij - Flujo que viaja desde el nodo i hacia el nodo j a través del arco que - Flujo que viaja desde el nodo i hacia el nodo j a través del arco que conecta ambos nodos.conecta ambos nodos.

– Función Objetivo - Maximizar el flujo que sale del nodo 1Función Objetivo - Maximizar el flujo que sale del nodo 1Max X12 + X13Max X12 + X13– RestriccionesRestricciones

• [Flujo total que sale del nodo 1] = [Flujo total que entra en el nodo 7][Flujo total que sale del nodo 1] = [Flujo total que entra en el nodo 7]X12 +X13 = X47 + X57 + X67X12 +X13 = X47 + X57 + X67

• [Para cada nodo intermedio: Flujo que entra = flujo que sale][Para cada nodo intermedio: Flujo que entra = flujo que sale]Nodo 2: X12 + X32Nodo 2: X12 + X32 = X23 +X24 + X26 = X23 +X24 + X26 Nodo 3:Nodo 3: X13 +X23 + X63X13 +X23 + X63 = X32 +X35 + X36= X32 +X35 + X36Nodo 4:Nodo 4: X24 +X64X24 +X64 = X46 + X47= X46 + X47Nodo 5:Nodo 5: X35 +X65X35 +X65 = X56 + X57= X56 + X57Nodo 6:Nodo 6: X26 +X36 + X46 +X56 X26 +X36 + X46 +X56 = X63 +X64 +X65 + X67= X63 +X64 +X65 + X67

Page 68: Teoría de redes

• EL flujo no puede exceder la capacidad de los arcosEL flujo no puede exceder la capacidad de los arcos• X12 10; X13 10; X23 1; X24 8; X26 6; X32 1; X12 10; X13 10; X23 1; X24 8; X26 6; X32 1;

X35 15; X36 4; X46 3; X47 7; X56 2; X57 8; X35 15; X36 4; X46 3; X47 7; X56 2; X57 8; X63 4; X64 3; X65 2; X67 2; X63 4; X64 3; X65 2; X67 2;

• Los flujos no pueden ser negativos: Todos XLos flujos no pueden ser negativos: Todos X ijij >= 0 >= 0

Se debe tener presente que este problema es relativamente pequeño Se debe tener presente que este problema es relativamente pequeño y la solución puede ser obtenida rápidamente usando el modelo de y la solución puede ser obtenida rápidamente usando el modelo de programación lineal.programación lineal.

Sin embargo para problemas de mayor envergadura se aconseja usar Sin embargo para problemas de mayor envergadura se aconseja usar el modelo de redes.el modelo de redes.

Page 69: Teoría de redes

Solución-Analogía con un problema de redesSolución-Analogía con un problema de redes

- La idea básica es la siguiente:- La idea básica es la siguiente:

* Encontrara un sin capacidad en cada uno de sus arcos.* Encontrara un sin capacidad en cada uno de sus arcos.* Aumentar el flujo de esos arcos por la mínima capacidad * Aumentar el flujo de esos arcos por la mínima capacidad de uno de de uno de

los arcos de la ruta.los arcos de la ruta.* Repetir este procedimiento hasta completar la ruta de * Repetir este procedimiento hasta completar la ruta de manera manera

tal que todos los arcos tengan una capacidad tal que todos los arcos tengan una capacidad residual positiva.residual positiva.*Designar un nodo origen y un nodo de flotación*Designar un nodo origen y un nodo de flotación* Definir las capacidades de todos los arcos en la red ( en * Definir las capacidades de todos los arcos en la red ( en ambos ambos

sentidos)sentidos)* A continuación se muestra la solución obtenida usando * A continuación se muestra la solución obtenida usando WINQSB.WINQSB.

Page 70: Teoría de redes

El máximo flujo obtenido por WINQSB El máximo flujo obtenido por WINQSB

Tambores con químico

Tubo de Seg.

1 7

42

3

6

5

8

8

2

77

10

7

8

2

Flujo Máximo= 17

Page 71: Teoría de redes

Problema del flujo del costo mínimoProblema del flujo del costo mínimo• El problema del flujo del costo mínimo tiene una posición central

entre los modelos de optimización de redes; 1) abarca una clase amplia de aplicaciones 2) su solución es muy eficiente

• Igual que el problema de flujo máximo, toma en cuenta un flujo en una red con capacidades de arcos limitadas. Igual que el problema de la ruta más corta, considera un costo o distancia del flujo a través de un arco. Al igual que el problema del transporte o el de asignación se pueden manejar varios orígenes y varios destinos del flujo con costos asociados. En realidad estos cuatro problemas son casos especiales del problema del flujo de costo mínimo.

Page 72: Teoría de redes

Método simplex de redesMétodo simplex de redes• A continuación se describe el problema de del flujo de

costo mínimo.1. La red es red dirigida y conexa2. Al menos uno de los nodos es un nodo fuente3. Al menos uno de los nodos es un nodo demanda.4. El resto de los nodos son nodos transbordo.5. Se permite el flujo a través de un arco sólo en la dirección

indicada por la flecha, donde la cantidad máxima de flujo está dada por la capacidad del arco.(si el flujo puede ocurrir en ambas direcciones, debe representarse por un par de arcos con direcciones opuestas.

Page 73: Teoría de redes

Método simplex de redes• A continuación se describe el problema del flujo de

costo mínimo (cont.).6. La red tiene suficientes arcos con suficiente capacidad para

permitir que todos los flujos generados por los nodos fuente lleguen a los nodos demanda.

7. El costo del flujo a través del arco es proporcional a la cantidad de ese flujo, donde se conoce el costo por unidad.

8. El objetivo es minimizar el costo total de enviar el suministro disponible a través de la red para satisfacer la demanda dada. (un objetivo alternativo es maximizar la ganancia total del envío)

Page 74: Teoría de redes

Aplicaciones comunes del problema del flujo de costo mínimo

Tipo de aplicación Nodos fuentes Nodos de transbordo Nodos demanda

Operación de una red de distribución

Fuentes de bienes Almacenes intermedios clientes

Administración de desechos sólidos

Fuentes de desechos sólidos

Instalaciones de procesamiento

Rellenos

Operación de una red de suministros

Agentes de ventas Almacenes intermedios Instalaciones de procesamiento

Coordinación de mezclas de productos en plantas

Plantas Productos de un artículo específico

Mercado del producto específico

Page 75: Teoría de redes

Formulación del modeloFormulación del modelo• Considere una red conexa dirigida en la que

los n nodos incluyen al menos un nodo origen y un nodo destino. Las variables de decisión son:

i nodopor generado neto flujo b

ji arco del capacidad

ji arco del travésa flujo de unidadpor costo

incluye dadan informació lay

arco del travésa

i

ij

ij

ij

U

C

jiflujoX

Page 76: Teoría de redes

Formulación del modelo• El valor de bi depende de la naturaleza del nodo i,

donde:

• El objetivo es minimizar el costo total de mandar los recursos disponibles a través de la red para satisfacer la demanda.

o transbordde nodoun es si 0

demanda nodoun es si 0 b

fuente nodoun es si 0

i

ib

i

ib

i

i

Page 77: Teoría de redes

Formulación del modelo• La formulación de programación lineal de este problema es:

• El objetivo es minimizar el costo total de mandar los recursos disponibles a través de la red para satisfacer la demanda.

jiuy

bXX

XC

ij

n

jijiij

n

i

n

jijij

arco cada para X0

i nodo cada para

:a sujeto

ZMinimizar

ij

1

n

1j

1 1

Page 78: Teoría de redes

PropiedadesPropiedades• No se garantiza que el problema tenga soluciones factibles,

pues todo depende en parte de qué arcos están presentes en la red y de sus capacidades.

• De cualquier manera, para una red diseñada en forma razonable, la condición necesaria más importante es la siguiente.

“El flujo total generado por los nodos origen es igual al flujo total absorbido por los nodos destino.

n

iib

1

0

Page 79: Teoría de redes

Ejemplo 1

X12

X25

X53

X35

X45

X13

X34

X23

X24

Flujo de Mínimo Costo

costo, capacidad

Page 80: Teoría de redes

Como PPL

Capacidad de los nodos

Nodo fuenteNodo de transbordoNodo demanda

Page 81: Teoría de redes

Solución• La solución óptima es: X12 = 12X13 = 8 X23 = 8 X24 = 4 X34 = 11 X35 = 5 X45 = 10Todos los demás Xij = 0. El costo óptimo es $150.

Page 82: Teoría de redes

WinQSB-PPL

Page 83: Teoría de redes

Solución óptima

X12=12

X25

X53

X35=5

X45=10

X13=8

X34=11

X23=8

X24=4

Flujo de Mínimo Costo

Costo óptimo=U$ 150.00

Page 84: Teoría de redes

Ejemplo 2

Page 85: Teoría de redes

ABx ACXADX

ACX

ABX

BCXCEX

EDXDEX

Ejemplo 2

Page 86: Teoría de redes

EDDECEBCADACAB xxxxxxxZ 233942

50 ADACAB xxx

40 BCAB xx

0 CEBCAC xxx

30 EDDEAD xxx

60 EDDECE xxx

10ABx

80CEx

0xij

Minimizar

Sujeto a:

Ejemplo 2

Page 87: Teoría de redes

Solución

ABx ACX10ADX

ABX

40ACX

40BCX

80CEX

20EDXDEX

Page 88: Teoría de redes

Modelo PPL

Page 89: Teoría de redes

Salida PPL