1

TEORÍA DE REDES. CIRCUITOS LINEALES

Sentido convencional de la corriente: Supondremos que la corriente eléctrica en los circuitos lineales que vamos a estudiar está formada por un flujo de cargas positivas que se origina en el polo positivo de las fuentes y se mueven a través de los elementos conductores del circuito hasta alcanzar el polo negativo de las fuentes.

Símbolo de resistencia

2

Rama: grupo de componentes de un circuito por los que circula la misma corriente.

Nudo / nodo: punto de conexión de dos o más ramas.

Red: Sistema de conductores que forman un circuito cerrado.

Lazo: Cualquier trayectoria cerrada en una red.

Malla: Lazo que no contiene otra trayectoria cerrada en su interior

TERMINOLOGÍA BÁSICA DE LA TEORÍA DE REDES

Resistencia

Fuente de voltaje

Fuente de corriente

3

LEYES DE KIRCHHOFF

Ley de Kirchhoff de la corriente.

LKC: En cualquier instante, la suma de todas las corrientes que concurren en un nudo es igual a cero.

054321 iiiii

1i

2i

3i

4i

5iLey basada en la conservación de la carga (ecuación de continuidad): cuando el circuito funciona en régimen estacionario, la carga no se acumula en ningún punto del mismo.

Para su aplicación damos un signo a las corrientes entrantes y el signo opuesto a las corrientes salientes.

Ley de Kirchhoff del voltaje.

LKV: La suma de las caídas de tensión a lo largo de cualquier trayectoria cerrada debe ser igual a cero en cualquier instante.

Definición de caída de tensión.

La caída de tensión V12 entre dos puntos de un circuito (potencial del punto 1 respecto al punto 2) se define como la energía (en julios) disipada cuando una carga de +1 C circula entre el punto 1 y el punto 2.

1

2

Ley basada en la conservación de la energía: la energía disipada en las resistencias debe ser suministrada por las fuentes para mantener constante el flujo de cargas.

2112 VVV

Ejemplo:

Si V12 = +5V, la tensión V2 es menor que V1 se disipan 5 J cuando + 1C circula desde 1 2

Si V12 = -5V, la tensión V2 es mayor que V1 la energía de +1 C de carga se incrementa en 5 J cuando circula desde 1 2.Esto implica que debe haber fuentes que suministren tal energía.

0... 342312 VVVVij

0VAR

BR

CR

1

2

34

4

LEYES DE KIRCHHOFF (Cont.)

Reglas de aplicación

1. En una resistencia hay una caída de tensión positiva en el sentido de la corriente cuyo valor es i·R (ley de Ohm).

2. En una batería (o fuente de c.c.) hay una caída de tensión positiva (igual a su valor V0) en el sentido del terminal + al – con independencia del sentido de la corriente.

iResto del circuito

1

2

0 211221 VVVVV

a

b

0 baabba VVVVV

01221 VVV

0 abba VVV

i

V 9R

+9 V

-9 V

Ejemplo: medidas con polímetros

¿Lectura? ¿Lectura?Ejemplo2

i

V 9R

R

-4.5 V

-9 V

Mismo potencial

Mismo potencial

5

12 AA i RVV

FÓRMULAS DE LOS DIVISORES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE

Divisor de tensión

Formado por un conjunto de resistencias en serie (circula la misma corriente por todas ellas, la resistencia equivalente es igual a la suma de las resistencias).

iDatos conocidos 0 CBA RRRV aplicamos LKV para calcular i

CV

AV

BV

1

2

334

0VAR

BR

CR

0 41342312 VVVVVij

Cálculo de caídas de tensión a través de las resistencias (ley de Ohm)

23 BB i RVV 23 CC i RVV

Caída de tensión a través de fuente: 041 VV

0 :LKV 0 VRiRiRi CBA

CBA RRR

Vi

0

SR

V0Intensidad calculada a

partir de LKV

Fórmula del divisor de tensión: sirve para calcular la caída de tensión (voltaje) en cada resistencia.

AA i RV 0VR

RV

S

AA BB i RV 0V

R

RV

S

BB CC i RV

0VR

RV

S

CC

En general: para la resistencia Rk

0VR

RV

S

kk

Forma alternativa de representar el circuito: cortado a tierra.

CBA VVVV 0

Símbolo de tierra. Representa el potencial más bajo, convencionalmente igual a cero.

0V

AR BR CR

CVAV BV

i

CBAS RRRR Resistencia en serie:

6

Divisor de corriente

Formado por un conjunto de resistencias en paralelo (todas las resistencias están sometidas a la misma diferencia de potencial, y circula una corriente diferente por cada una de ellas). Resistencia equivalente: el inverso de la resistencia de la asociación en paralelo es igual a la suma de los inversos de las resistencias que lo forman.

FÓRMULAS DE LOS DIVISORES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE

Ai Bi Cii

BR AR CR

0V

Datos conocidos 0 CBA RRRV

Resistencia paraleloCBAP RRRR

1111 Obtenemos RP

PR

i0V

La d.d.p. entre los extremos de cada resistencia paralelo es V0. Ley de Ohm:

AA RiV 0

BB RiV 0

CC RiV 0 Circuito equivalente

LKV: 0 0 VRi P PRiV 0 igualamos

AAP RiRi BBP RiRi CCP RiRi iR

Ri

A

PA i

R

Ri

B

PB

PR

Vi 0 i

R

Ri

C

PC

Fórmula del divisor de corriente para la

resistencia Rk

iR

Ri

k

Pk

Obsérvese que se verifica LKC CBA iiii

CR

0V

BRAR

Ai Bi Cii

El mismo circuito cortado a

tierra

7

k 41.22.8 SR

k 1.25

6PR

V 12

2i 3ii

k 2 k 3

6

5

3

1

2

11

PR

k 8.2 k 8.2

k 1.2PR

i

V 12

k 2 k 3

k 8.2V 12

FÓRMULAS DE LOS DIVISORES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE. EJEMPLO

Determinar la corriente y la caída de tensión en cada una de las resistencias del circuito siguiente.

k 8.2

k 1.2PR

i

V 12

k 4SR

i

V 12

mA 3k 4

V 12

i

LKV: 012 SRi

PR

Las resistencias de 2 k y 3 k forman un divisor de corriente en el que la corriente entrante es i = 3 mA.

mA 8.13 2

2.1

22 iR

i P

1 2

3

V 4.812·4

8.212·

8.212

SRV

2i 3ii

i k 2 k 3

32 iii

mA 2.13 3

2.1

33 iR

i P

Cálculo de caídas de tensión

V 6.312·4

2.112·23

S

P

R

RV

Esta es la caída de tensión en las resistencias de 2 k y 3 k

Dibujar el mismo circuito cortado a tierra

Esta es la corriente en la resistencia

de 2.8 k

8

FUENTES DE TENSIÓN o VOLTAJE

ab

Fuente ideal de tensión o voltaje (independiente)Es aquella que mantiene siempre la misma diferencia de potencial entre sus terminales, igual a la fuerza electromotriz de la fuente, independientemente de la corriente que circula por ella y de las tensiones en otras partes del circuito.Fuente real de tensión o voltaje Excepto cuando se encuentra en circuito abierto, toda fuente real de tensión sufre una pérdida de voltaje entre sus terminales debido a que dentro de la misma existe resistencia al paso de la corriente y por lo tanto una parte de la energía que la fuente puede suministrar por unidad de carga se invierte en que la corriente circule a través de la propia fuente. Una fuente real puede considerarse como una fuente ideal de tensión conectada en serie con una resistencia interna r.

ab r

R

i

0 riRi rR

i

LKV: Caída tensión riVab

ab

Fuerza electromotriz (f.e.m.) de una fuenteSe define como el trabajo que la fuente es capaz de realizar sobre la unidad de carga positiva para transportarla del polo negativo hasta el positivo a través de su interior. En el S.I. se expresa en J/C, es decir, en voltios.

Fuente de tensión o voltaje dependienteAquella cuyo valor de tensión depende de las tensiones o corrientes de otras partes del circuito,(No serán consideradas en este tema).

ab

Una fuente de voltaje es de mayor calidad cuanto menor sea su resistencia interna r.

Potencia suministrada

por una fuenteiP ·

9

0i

Rr 76

R2

R4

R4

Fuente ideal de corriente (independiente)Es un elemento que suministra a la rama en la que se encuentra conectado una corriente constante independientemente de la diferencia de potencial entre sus terminales..

Fuente real de corrienteUna fuente real de corriente puede considerarse como la combinación de una fuente ideal con una resistencia r en paralelo, de modo que una fracción de la corriente suministrada por la fuente de corriente ideal no llega a salir al circuito exterior. La calidad de una fuente de corriente es tanto mayor cuanto mayor sea el valor de la resistencia r.

FUENTES DE CORRIENTE

ab 0i

ab

0i

r

Circuito exterior

Ejemplo RRR

RRP 8.3

476

4·76 2

076 76i

R

Ri P

R

04 4i

R

Ri P

R

00 05.076

8.3ii

R

R

00 95.04

8.3ii

R

R

Equivalente: 4R

Ri76

Ri4

R76 R40i

Ri76

Ri4

10

CIRCUITO ABIERTO Y CORTOCIRCUITO

Circuito abierto: puede considerarse como una conexión con resistencia infinita. Por él no circula corriente.

Cortocircuito: es una unión carente de resistencia. Por lo tanto entre sus terminales no hay caída de tensión.

0 i 0 i

ab0abV

ab0abV

APARATOS DE MEDIDA: VOLTÍMETROS Y AMPERÍMETROS

Voltímetro: destinado a medir las caídas de tensión entre dos puntos de un circuito. Se conecta en paralelo y lo ideal es que el aparato se comporte como un circuito abierto (es decir, su resistencia interna RV sea muy grande), para que por él no circule ninguna corriente que pueda alterar la medida de tensión entre los dos puntos conectados a, b.

VR

Circuito

ab

Voltímetro

0 i

Amperímetro: destinado a medir la corriente que circula por una rama de un circuito. Se conecta en serie y lo ideal es que el aparato se comporte como un cortocircuito (es decir, su resistencia interna RA sea lo menor posible), para que pueda medirse la corriente circulante sin alterarla (sin introducir una caída de tensión extra que afecte a su valor).

0AR

Circuito

ab

iRama

Amperímetro

abV

11

SUPERPOSICIÓN

En un circuito lineal donde existen diversas fuentes de voltaje y/o de corriente, las intensidades circulantes y las caídas de tensión en los distintos elementos del circuito pueden calcularse por adición de las contribuciones de cada una de las fuentes en el elemento considerado.

V 8 V 4

100

0010

002mA 84 100

0010

002

mA 84

V 8

100

0010

002

V 4

100

0010

002

+

Para llevar a cabo el cálculo de la contribución una fuente en particular, se considerará que el resto de fuentes de voltaje se sustituyen por un cortocircuito (consideradas ideales, su resistencia interna es cero), y el resto de fuentes de corriente se sustituyen por un circuito abierto (consideradas ideales, su resistencia interna es infinita).

Ejemplo. Calcular la corriente que circula por la resistencia de 200 y la caída de tensión entre los terminales de la fuente de corriente.

La contribución a la corriente en cada rama y a la caída de tensión en cada elemento del circuito es la suma de las contribuciones de los siguientes circuitos simples, constando cada uno de una sola fuente:

1000//200//1001 PR 5.621PR

1000//2002 PR 1672PR

1000//1003 PR 913PR

1i

2i

3i

Cálculo i1: divisor de corriente

mA 15mA 48·200

11 PRi

Cálculo i2: LKV y luego divisor corriente

20i

mA 30A 03.0100

8

220

PRi mA 25·

200 202

2 iR

i P

Cálculo i3: LKV

mA 14A 014.0200

4

33

PRi

mA 26142515321 200 iiii

200i

Caída de tensión entre los terminales de la fuente de corriente: la misma que en la rama situada más a la derecha.

V 2.94200·026.04200· 200 iVab

a

b

12

TEOREMA DE THEVENIN

En cualquier circuito lineal, toda combinación de resistencias, fuentes de voltaje y fuentes de corriente (red lineal), vista desde un par de terminales a y b, puede sustituirse por:* Una fuente de voltaje VTh igual al voltaje medido en circuito abierto entre los terminales a, b.* Una resistencia en serie con la fuente anterior cuyo valor es la resistencia equivalente entre a y b.

Red lineal Resto circuito

a

b

Importante: este teorema implica que cuando una red lineal es sustituida por su equivalente Thèvenin, las corrientes y voltajes del resto del circuito no sufren alteración.

Resistencia equivalente Rab: para su cálculo se determina la resistencia equivalente desde los terminales a, b, después de sustituir las fuentes de voltaje por cortocircuitos y las fuentes de corriente por circuitos abiertos.

b

a

Ejemplo: determinar el equivalente Thévenin entre los terminales a, b del circuito 100

0010

002

mA 84b

a

5.621000//200//100abR

b

a

V 2.94200·026.04200· 200 iVTh

(véase resultado ejemplo anterior)

V 8 V 4

100

0010

002mA 84 b

a

a

b

ThV

abRResto

circuito

5.62

V .29

b

a

Circuito

¿Interpretación?

ThV

13

CCi

TEOREMA DE NORTON

En cualquier circuito lineal, toda combinación de resistencias, fuentes de voltaje y fuentes de corriente (red lineal), vista desde un par de terminales a y b, puede sustituirse por:* Una fuente de corriente ideal igual a la corriente de cortocircuito iCC entre los terminales a, b.* Una resistencia en paralelo con la fuente anterior cuyo valor es la resistencia equivalente entre a y b.

Red lineal Resto circuito

a

b

Importante: este teorema implica que cuando una red lineal es sustituida por su equivalente Norton, las corrientes y voltajes del resto del circuito no sufren alteración.

a

b

CCi

abR

Resto circuito

La corriente de cortocircuito es la corriente que circularía a través de una conexión de resistencia cero que conectase los terminales a y b, cuyo valor está dado por iCC = VTh/Rab. La resistencia equivalente Rab se calcula del mismo modo indicado en el apartado de equivalente Thèvenin. Ejemplo: determinar el equivalente Norton entre los terminales a, b del circuito

V 8 V 4

100

0010

002mA 84

b

a

Thèvenin

Cortocircuito

Circuito

5.62

V .29

b

aab

ThCC R

Vi mA 147A 147.0

5.62

2.9

a

b

abRCCi

14

CONVERSIONES ENTRE FUENTES DE VOLTAJE E INTENSIDAD

Conversión de fuente de corriente y resistencia en paralelo

a

b

R

0iResto

circuito

Aplicando el teorema de Thévenin, para el resto del circuito esto es equivalente a

a

b0V

R

RiV 00

Resto circuito

Si se cumple

a

b0V

R Resto circuito

a

b

R

0i

RVi /00 Si se cumple

Aplicando el teorema de Norton, para el resto del circuito esto es equivalente a

Conversión de fuente de voltaje y resistencia en serie

Resto circuito

15

1V

2V

3V

MÉTODO DE MALLAS

Es un algoritmo basado en la LKV que, ilustrado con un ejemplo, se aplica siguiendo estos pasos:

1. Se numeran las mallas, se elige arbitrariamente un sentido, horario o antihorario, y se asigna a cada malla del circuito a resolver una corriente ficticia, denominada corriente de malla, la cual circula en el sentido elegido (el mismo para todas las mallas del circuito a resolver).

AR

BR

CRDR

ER

FR

GR

1Mi2Mi

3Mi

2. Siendo n el número de mallas, se construye una matriz cuadrada de resistencias colocando en la diagonal principal la suma de resistencias de cada malla, y siendo los elementos fuera de la diagonal principal los opuestos de las sumas de las resistencias compartidas por dos mallas adyacentes (es decir, las situadas en la rama que limita ambas mallas).

1 2

3

BGFEB

EEDCC

BCCBA

RRRRR

RRRRR

RRRRR

R

Obsérvese que la matriz de resistencias así construida es simétrica porque las resistencias compartidas por la malla i y la malla j aparecen tanto en la columna j de la fila i como en la fila i de la columna j.

Compartida mallas 2 y 3

Compartida mallas 1 y 3

Compartida mallas 1 y 2

Compartida mallas 2 y 1

Compartida mallas 3 y 1

Compartida mallas 3 y 2

Malla 1 Malla 2

Malla 3

16

MÉTODO DE MALLAS (CONTINUACIÓN)

1V

2V

3V

AR

BR

CRDR

ER

FR

GR

1Mi2Mi

3Mi

1 2

3

3. Se construye un vector de fuerzas electromotrices que contiene un elemento por cada malla. Cada uno de estos elementos es la suma algebraica de los valores todas las fuentes que existan en el contorno de dicha malla, figurando la f.e.m. de cada fuente con signo + cuando al recorrer la malla en el sentido arbitrariamente elegido se entra en ella por el polo negativo, y signo – cuando se entra en ella por el polo positivo.

3

2

1

V

V

V

V

4. Las corrientes de malla se calculan resolviendo la siguiente ecuación matricial: ViR M

3

2

1

M

M

M

M

i

i

i

idonde las incógnitas son las componentes del vector de las corrientes de malla (iM), dado por

BGFEB

EEDCC

BCCBA

R

RRRRR

RRRRR

RRRRR

BGFE

EEDC

BC

RRRRV

RRRRV

RRV

3

2

1

1

BGFB

EC

BCBA

RRRVR

RVR

RVRRR

3

2

1

2

Para resolver el sistema calculamos los siguientes determinantes:

3

2

1

3

VRR

VRRRR

VRRRR

EB

EDCC

CCBA

RMi

1

1

RMi

2

2

RMi

3

3

Solución:

17

MÉTODO DE MALLAS (CONTINUACIÓN)

Pregunta 2. ¿Tiene alguna ventaja definir las ficticias corrientes de malla para resolver el circuito, en lugar de calcular la corriente en cada rama aplicando directamente las leyes de Kirchhoff?.

Pregunta 1. Demostrar sobre el ejemplo anterior, por aplicación directa de las leyes de Kirchhoff, que el algoritmo indicado conduce al resultado correcto para las corrientes de malla.

Ejemplo numérico. Resolver el circuito siguiente. Calcular qué corriente circula por cada fuente y determinar la caída de tensión entre A y B.

V 20

k 11 2

3

V 5

k 4k 3

k 8

k 5k 01

V 61

V 05

A

B

Matriz de resistencias

1Mi 2Mi

3Mi

105880

88344

0441

R

1037

2380

8154

045

R

Determinantes

Vector f.e.m

2050

516

205

V

70

11

25

2380

8154

045

3

2

1

M

M

M

i

i

iEcuación matricial

del sistema

5797

23870

81511

0425

1

765

23700

8114

0255

2

2890

7080

11154

2545

3

mA 59.51037

579711

R

Mi

mA 74.01037

76522

R

Mi

mA 79.21037

289033

R

Mi(Sentido de la corriente

de malla opuesto al

que supusimos)

mA 38.879.259.53120 MMV iii Sentido opuesto a iM1

mA 85.474.059.5215 MMV iii Sentido opuesto a iM1

mA 74.0216 MV ii Sentido real

mA 79.2350 MV ii

32 516 3 MMAB iiV V 73.27.792 ·5160.74 3 516 3 32 MMAB iiV

18

k 05.0

k .750

k .22

k .33

A .21

V 61

V 63

V 01

Una red lineal está formada por la fuente de corriente, fuentes de voltaje y resistencias que aparecen en el siguiente diagrama de circuito. Utilizando la conversión entre fuentes de intensidad y fuentes de voltaje para aplicar después el método de mallas, se pide:(a) Determinar la corriente circulante por la resistencia de 2.2 k y la d.d.p. en la de 0.05 k. ¿Merece algún comentario el resultado?

(b) Calcular el equivalente Thévenin entre los terminales de la resistencia de 2.2 k.

EJEMPLO

(c) Si sustituimos la resistencia de 0.05 k por otra de 5.05 k, dejando invariable todos los demás elementos del circuito, ¿cómo se vería afectada la corriente que circula por la resistencia de 2.2 k y la d.d.p. entre sus extremos? ¿Qué corriente circula por la resistencia de 5.05 k? ¿Qué d.d.p. hay en la fuente de corriente?

19

k 05.0

k .750

k .22

k .33

A .21

V 61

V 63

V 01

1Mi 2Mi

k .750

k .22

k .33

V 61

V 63

V 01

k 05.0

V 06

V 06 50A 2.1

10

361660

3.32.22.2

2.22.275.005.0

2

1

M

M

i

i

10

40

5.52.2

2.23

2

1

M

M

i

i66.11

5.52.2

2.23

1985.510

2.2401

58102.2

4032

mA 98.1611

Mi

mA 97.422

Mi

Mallas:

mA 01.12212.2 MM iiiA

B

362.2·75.0·16 211 MMMAB iiiV V 15.59

k 05.0

A .21

A

B

k 05.0

V 06

mA 118305.0

15.59

05.005.0 ABVi

05.0iLa fuente de corriente proporciona 1200 mA. Pero al ser su resistencia en paralelo tan pequeña, casi toda la corriente (1183 mA) se desvía a través de ésta y no está disponible para el resto del circuito.

EJEMPLO. SOLUCIÓN.

Corrientes malla

Resistencia 2.2 k:

(a) Convertimos la fuente de corriente y su resistencia paralelo en fuente de voltaje / resistencia serie

(a) Determinar la corriente circulante por la resistencia de 2.2 k y la d.d.p. en la de 0.05 k.

20

(b) Calcular el equivalente Thévenin entre los terminales de la resistencia de 2.2 k.

EJEMPLO. SOLUCIÓN.

k 05.0

k .750

k .22

k .33

A .21

V 61

V 63

V 01

C

D

A

B

k 05.0

k .750

k .22

k .33C

D

A

B

Resistencia entre C y D

Cortocircuitamos las fuentes de voltaje y abrimos la fuente de corriente

80.0

1

2.2

1

.33

11

CDR-1k 2 k 5.0CDRTres resistencias en paralelo

Voltaje Thèvenin: es la d.d.p. medida por un voltímetro ideal entre los terminales C y D. Puesto que ya calculamos antes la corriente circulante por la resistencia de 2.2 k, podemos determinar inmediatamente dicho voltaje.

mA 01.12212.2 MM iii

2.2i

V 4.262.2·01.122.2·2.2 iVCD

V 6.42

k .50

C

D

21

(c) Si sustituimos la resistencia de 0.05 k por otra de 5.05 k, dejando invariable todos los demás elementos del circuito, ¿cómo se vería afectada la corriente que circula por la resistencia de 2.2 k y la d.d.p. entre sus extremos? ¿Qué corriente circula por la resistencia de 5.05 k? ¿Qué d.d.p. hay en la fuente de corriente?

EJEMPLO. SOLUCIÓN.

k 05.5

k .750

k .22

k .33

A .21

V 61

V 63

V 01

1'Mi 2'Mi

k .750

k .22

k .33

V 61

V 63

V 01

k 05.5

V 0606

V 0606 5050A 2.1

10

36166060

3.32.22.2

2.22.275.005.5

2

1

M

M

i

i

10

6040

5.52.2

2.28

2

1

M

M

i

i16.39

5.52.2

2.28

331985.510

2.260401

13208102.2

604032

mA 848' 11

Mi

mA 337' 22

Mi

mA 510''' 212.2 MM iiiA

B

V 11222.2·5102.2·2.2 iVCD

k 05.5

A .21

A

B

k 05.5

V 0606

36·75.016' 1 CDMAB ViV

mA 352

La fuente de corriente proporciona 1200 mA. Como su resistencia en paralelo es ahora mayor, la fracción de la corriente de la fuente que circula por ella es bastante menor que en el apartado a). En consecuencia, crece la corriente que circula por las ramas del circuito, en particular por la de 2.2 k.

Corrientes malla

Resistencia 2.2 k:

Mallas:

C

D

2.2i V 1779

mA 35205.505.0

ABVi

1779 V

mA 488