TEORA DE REDES O TEORA DE GRAFOSLas redes pueden ser de diversos tipos:social, transporte, elctrica, biolgica, internet, informacin, epidemiolgica, etc. La teora de redes es un rea de conocimiento dentro del campo de la Investigacin de Operaciones. Puede ser objeto de estudio laoptimizacincomo en el caso del mtodo de la ruta crtica, elPERT(del inglsProgramEvaluation &ReviewTechnique). Una grfica consiste en un conjunto de puntos y un conjunto de lneas que unen ciertos pares de puntos. Los puntos se llaman nodos (o vrtices) y las lneas se llaman arcos (o ligaduras, aristas, ramas. (Hillier Frederick, 1992).Los arcos de una red pueden tener un flujo de algn tipo que pasa por ellos. La tabla 10.1 proporciona varios ejemplos de flujo de redes.

Si el flujo a travs de un arco se permite solo en una direccin, se dice que es un arco dirigido. Si el flujo a travs de un arco se permite en ambas direcciones, se dice que es un arco no dirigido. Para distinguir entre los dos tipos de arcos, se har referencia a los arcos no dirigidos con el nombre de ligaduras. Una red con solo arcos dirigidos es una red dirigida. De igual manera, si todos sus arcos son no dirigidos, se dice que se trata de una red no dirigida. Una red no dirigida se puede convertir en una dirigida sustituyendo cada arco no dirigido por un par de arcos dirigidos en direcciones opuestas. Una trayectoria entre dos nodos es una sucesin de arcos distintos que conectan estos nodos. Una trayectoria dirigida del nodo i al nodo j es una sucesin de arcos cuya direccin es hacia el nodo j, de manera que el flujo del nodo i al nodo j a travs de esta trayectoria sea factible. Una trayectoria no dirigida del nodo i al nodo j es una sucesin de arcos cuya direccin puede ser hacia o desde el nodo j.Un ciclo es una trayectoria que comienza y termina en el mismo nodo. En una red dirigida un ciclo puede ser dirigido o no, Se dice que dos nodos estn conectados si la red contiene al menos una trayectoria no dirigida entre ellos. Una red conexa es una red en la que cada par de nodos est conectado. Considrese un conjunto de n nodos sin arcos. Se puede entonces hacer crecer un rbol agregando un arco a la vez de cierta manera. El primer arco puede ir a donde sea para conectar algn par de nodos. De ah en adelante, cada arco nuevo debe agregarse entre un nodo que ya ha sido conectado a otros nodos y a un nuevo nodo no conectado.Cada nuevo arco crea un rbol ms grande, que es una red conexa para los n nodos que no contiene ciclos no dirigidos. Una vez que se ha agregado el (n - 1)- simo arco, el proceso se detiene porque el rbol resultante se expande a todos los n nodos. Este rbol se llama rbol de expansin.Los rboles de expansin juegan un papel clave en el anlisis de muchas redes. Por ejemplo, forman la base del problema del rbol de mnima expresin. Otro ejemplo es que los rboles de expansin (factibles) corresponden a las soluciones factibles en el mtodo simplex de redes.Por ltimo, ser necesario introducir terminologa adicional sobre los flujos de redes. La cantidad mxima de flujo que puede circular en un arco dirigido se conoce como capacidad del arco. Un nodo fuente (o nodo origen) tiene la propiedad de que el flujo que sale del nodo excede el flujo que entra a l. El caso inverso es un nodo demanda (o nodo destino), en el que el flujo que llega excede al que sale del nodo. Un nodo de transbordo (o nodo intermedio) satisface la conservacin del flujo, as el flujo que entra es igual al que sale.Problemas fundamentales: Problema de la ruta ms corta; Problema del rbol de expansin mnima; Problema del flujo mximo; Problema del flujo de costo mnimo; Mtodo simplex de redes; Planeacin y control de proyectos con PERT CPM.INTRODUCCIN AL PERT - CPMEl PERT y CPM son dos mtodos usados por la direccin para con los medios disponibles, planificar el proyecto al fin de lograr su objetivo con xito. Existen diferencias importantes entre estos dos procedimientos. Sin embargo, existe una cierta tendencia a unir los dos enfoques en lo que se conoce como sistemas tipo PERT.El objetivo de los sistemas tipo PERT consiste en ayudar en la planeacin y el control por lo que no implica mucha optimizacin directa. Algunas veces su objetivo primario es determinar la probabilidad de cumplir con las fechas de entrega especficas. Tambin identifica aquellas actividades que es ms probable que se conviertan en cuellos de botella y seala, por ende, en qu puntos debe hacerse mayor esfuerzo para no tener retrasos. Un tercer objetivo es evaluar el efecto de los cambios en el programa. Por ejemplo, se puede valorar el efecto un posible cambio de asignacin de recursos de las actividades menos crticas a aquellas que se identificaron como cuellos de botella. Se pueden evaluar otros trueques entre recursos y desempeo. Otra aplicacin importante es la evaluacin del efecto de desviarse de lo programado.Todos los sistemas tipo PERT emplean una red de proyecto para visualizar grficamente las interrelaciones entre sus elementos.ENUMERACIN DE SUCESOSLa enumeracin de los sucesos es otro sistema para la identificacin de la actividad. Para facilitar los clculos en la computadora es conveniente asignar nmeros naturales a los sucesos iniciales y finales. Por ejemplo:

As podemos llamar a las actividades de la siguiente manera: Actividad A = (1,2) Actividad B = (2,3) Actividad C = (3,4) Actividad D = (4,5) Actividad E = (5,6)A todos los sucesos iniciales los llamamos i y a los sucesos finales j.

Excepto al primer suceso inicial y al ltimo suceso final. Normalmente los i y j siguen la sucesin de nmeros naturales con la i menor que la j. Normalmente, y para facilitar el orden de realizacin, es preferible la enumeracin secuencial, aunque se efecten los cmputos a mano.FLECHAS FICTICIASEn un diagrama de flechas, muchas veces existe una relacin de precedencia entre dos actividades, pero no porque se requiera previamente algn trabajo, o recurso, o tiempo sino por circunstancias especiales. En estos casos para expresar la conexin de estas actividades se crea una flecha ficticia, representada con una lnea punteada.EjemploSe ha organizado un equipo de proyectos en Manufacturing Technology (MTI) para disear y desarrollar una versin ligeramente distinta de uno del robot industrial de la empresa. El nuevo robot se conoce como "Random Access Mobile Orthogonal Vision (RAMOV). "Ramov es mvil, tiene capacidad visual, es multiaxial y es programable en el piso de la planta. Uno de los clientes ms importantes de MTI, un gran fabricante automotriz, planea reemplazar en cinco fbricas un banco de mquinas con los nuevos robots, en sus lneas de ensamble. El cliente desea ver en dos meses una demostracin del robot, una propuesta tcnica y una propuesta de costo. Lo primero que hizo el equipo del proyecto fue enlistar y describir sus actividades, determinar su orden y estimar cunto tiempo tomara cada una de las actividades. Esta informacin sobre actividades y eventos del proyecto aparecen en la tabla que incluimos a continuacin. Preparare un programa CPM partiendo de la informacin de dicha tabla.

Evento1. El proyecto se ha iniciado.2. El diseo de RAMOV se ha terminado.3. Las unidades prototipo se han construido.4. Las pruebas de prototipo se han terminado.5. Se han completado las estimaciones de materiales.6. La afinacin del diseo RAMOV est terminada.7. La propuesta tcnica y las estimaciones de costo de mano de obra estn terminadas.8. Las unidades RAMOV se han demostrado y se ha entregado la propuesta al cliente.9. El proyecto se ha terminado.

Note que tanto la actividad c como la actividad d son predecesores inmediatos de la actividad e. Para mostrar que la actividad d debe quedar terminada antes del inicio de la Actividad e, se utiliza una actividad falsa o flecha ficticia. CMPUTO DE TIEMPO LO MS PRONTO POSIBLE Y LO MS TARDE PERMISIBLE DE COMENZAR Y TERMINAR UNA ACTIVIDADLa programacin consiste en estimar la duracin de cada actividad. Esta estimacin puede ser determinstica o probabilstica.Determinstica, esto quiere decir que la duracin ser nica y exacta.Primero se construye el diagrama de flechas y se discute sobre qu actividades son necesarias y que relacin de precedencia hay entre ellas. Luego se estima la duracin (i, j) de cada actividad. Ahora se calculan los tiempos lo ms pronto posible en que puede empezar y terminar una actividad, y lo sealaremos con t(i) y t(j) respectivamente.t (j) = mx. j = 2,3,4, no tambin se puede poner:t (j) = mx. j = 2,3,4, nEl tiempo lo ms tarde permisible es muy importante, porque un retraso en cualquier suceso podr arrastrar el retraso al ltimo suceso. El cmputo se hace desde el final del proyecto hacia el comienzo restando el tiempo de cada actividad.El cmputo del tiempo lo ms tarde permisible de un suceso se obtiene eligiendo el mnimo resultado de las diferencias entre los sucesos posteriores y las duraciones correspondientes a las actividades que llevan stos.La frmula es:t*(i) = mn. i = 1,2 (n -1)o puede expresarse en la siguiente frmula:t* (i) = mn. donde t (n) = t* (n) y t (1) = t* (1) = 0Como t (n) es la duracin total del proyecto, lo llamaremos t (n) = EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

Lo ms pronto posibleEn la actividad (1,2), el tiempo lo ms pronto posible (t) de comenzar t(1) es cero y el tiempo lo ms pronto posible de terminar t(2) es tres unidades de tiempo; ya que t (2) = t(1) + t(1,2) = 0 + 3 = 3En la actividad (1,3) el tiempo t (1) es cero tambin y el tiempo t(3) = 4, ya que:t(3) = t(1) + t(1,3) = 0 + 4 = 4Al empezar con los sucesos 2 y 3, los t = (i) son 3 y 4 unidades de tiempo respectivamente. Por tanto el tiempo lo ms pronto posible de comenzar para la actividad (2,4) es t(2) = 3 y el de terminar es t(4) = t(2) + t(2,4) = 3 + 8 = 11La actividad (3,4), los tiempos los ms pronto posibles de comenzar y terminar son t (3) = 4 y t (4) = 9. Como no se pueden comenzar las actividades (4,5) y (4,6) sin terminar las (2,4) y (3,4) por completo y el tiempo que se tarda en cumplir estas tareas es 11, o sea el del suceso 4 cuyo tiempo es t(4) = 11. Con el mismo razonamiento, para llegar al suceso t(5), elegiremos el camino ms largo entre (2,5) = 3 +15 = 18 y (4,5) = 11 + 5 = 16. As que ser 18.El suceso 6 tiene tres llegadas, o sea las actividades (3,6), (4,6) y (5,6) cuyos tiempos son 7, 21 y 19 respectivamente entonces el t(6) = 21.El suceso final t(7) = 25 es la duracin del proyecto. Tambin es el camino ms largo del proyecto, ya que como tiempo de cada suceso se elige el mximo de las duraciones de las actividades precedentes. Lo ms tarde permisiblePara la actividad (6,7), el tiempo lo ms tarde permisible para terminar es 25 unidades de tiempo y, lo ms tarde permisible para comenzar es t*(7) t (6,7) = t*(6); o sea 25 -4 = 21.Para la actividad (5,6), el t* es 20 (21 - 1)Para el suceso (4), el t*(4) es 11, ya que entre los dos caminos: el menor de ellos es el t*(2) = 3.Para el suceso 3, siguiendo el mismo razonamiento ser t* = 6.Para el suceso 1, t*(1) = 0Una interesante observacin es que en el primero y en el ltimo suceso, el tiempo lo ms tarde permisible. En caso de que no sea as, el cmputo es errneo.