teoria diedrico

5/9/2018 teoria diedrico - slidepdf.com

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Sistema Diédrico

Fundamentos

La geometría descriptiva es la ciencia que estudia larepresentación de los elementos del espacio sobre el plano.

Utiliza unos métodos, llamados sistemas de representación, quese basan en el concepto de proyección desde un punto sobre elplano para reducir las tres dimensiones del espacio a las dosdimensiones del plano. Los sistemas de representación han decumplir el principio de reversibilidad, es decir, que utilizando unsistema de representación podamos representar un cuerpo delespacio sobre el plano, y partiendo de dicha representación lo

podamos reconstruir en el espacio.

Del concepto de proyección desde un punto sobre el plano, sederivan los tres tipos de proyecciones que utilizan los distintossistemas de representación. Si el punto desde el que se proyectanlos elementos del espacio sobre el plano es propio, el tipo deproyección es cónica, y cilíndrica, si es impropio. La proyeccióncilíndrica puede ser ortogonal u oblícua dependiendo de que el rayoproyectante sea perpendicular u oblícuo al plano de proyección.

Fig 1

En Sistema Diédrico se proyectan los elementos del espacio,utilizando la proyección cilíndrica ortogonal, sobre dos planos quese cortan perpendicularmente formando un diédro rectángulo (Fig.2).

Para que las proyecciones de los elementos del espacio quedenrepresentadas sobre un único plano de proyección, que coincidacon el plano del dibujo, se abate el plano Horizontal hasta hacerlo

coincidir con el Vertical (Fig. 3). De esta manera, tendremosrepresentado el espacio tridimensional sobre un único plano.



Fig. 2

El puntoUn punto del espacio se representa por sus dos proyeccionesortogonales sobre los planos de proyección. En la figura 4, el puntoA del espacio queda representado por sus proyecciones a sobre elplano Horizontal, y a’ sobre el plano Vertical.

Al abatir el plano horizontal, alrededor de la línea de tierra, sobre elvertical, la proyección a del punto se traslada con el plano, demanera que las proyecciones a-a’ quedan situadas sobre la misma

perpendicular a la línea de tierra (Fig. 5). Cuando hacemos coincidir los planos abatidos con el plano del dibujo, sólo nos queda la LT ylas proyecciones del punto, pero no el punto del espacio.



Fig. 4

Fig. 5

Conceptos de cota y alejamiento

La cota es la distancia del punto del espacio al plano horizontal, yse representa en el sistema diédrico, como la distancia de laproyección vertical a' a la línea de tierra. El alejamiento es ladistancia al plano vertical y quedaría representado por la distanciade la proyección vertical a la línea de tierra (Fig. 6).

Fig. 6



Fig. 7

Si un punto del espacio se encuentra por encima del plano

horizontal, su cota es positiva y en el sistema diédrico su proyecciónvertical estará por encima de la línea de tierra. El alejamiento de unpunto es positivo si el punto en el espacio se encuentra por delantedel plano vertical. La proyección horizontal de un punto conalejamiento positivo siempre estará por debajo de la línea de tierra.

Los planos de proyección dividen el espacio en cuatro cuadrantes.El primer cuadrante es el espacio que se encuentra por encima delplano horizontal y por delante del plano vertical, por lo que un puntodel 1er cuadrante tiene cota y alejamiento positivos y se representacon la proyección horizontal por debajo de la línea de tierra y la

proyección vertical por encima (Fig. 7).

Si un punto del espacio se encuentra sobre uno de los planos deproyección, la cota ó el alejamiento serán nulos y la proyeccióncorrespondiente se encontrará sobre la línea de tierra.

Alfabeto del punto

El alfabeto del punto es la representación del punto en las distintasposiciones que puede ocupar en el espacio respecto a los planosde proyección y a los planos bisectores. Los planos bisectores sonlos que dividen los cuadrantes en dos diedros iguales. Con losbisectores, el sistema queda dividido en ocho octantes (Figs 9 y10).



Fig. 9

Fig. 10

Los puntos contenidos en los planos bisectores equidistan de losplanos de proyección, por lo que tendrán la misma cota quealejamiento. Si son del mismo signo, las proyecciones del puntoequidistan de la LT; y si son de distinto signo, éstas quedaránsuperpuestas (Fig. 10).

Para representar las diecisiete posiciones del punto en el sistemadiédrico, podemos ayudarnos del esquema de la fig. 10, donde sepuede observar claramente los valores de las cotas y alejamientosdel punto. Por ejemplo, el punto A(a-a') tiene alejamiento positivo (apor debajo de LT) por estar por delante del plano vertical y cota nula(a' en LT) por encontrarse en el horizontal.

Siguiendo este procedimiento podemos representar las demásposiciones (Fig. 11).



La Recta

Dos puntos del espacio determinan una recta. Por lo tanto, pararepresentarla en el sistema diédrico bastará con conocer lasproyecciones de dos puntos cualesquiera de ella A y B. Uniendo lasproyecciones homónimas, es decir a con b y a' con b', se obtienenlas proyecciones horizontal r y vertical r' de la recta (Fig. 12).

Fig. 12

Fig. 13

Trazas de la recta



Una recta también puede definirse por sus trazas. Las trazas deuna recta son los puntos de intersección de la recta con los planosde proyección.

La intersección de una recta con el plano horizontal es un punto H

del plano horizontal, y por tanto con cota nula, lo que implica que suproyección vertical h' se encuentre en la línea de tierra.

La traza vertical V, por tener alejamiento nulo, tendrá su proyecciónhorizontal v, en la línea de tierra.

Partes vistas y ocultas

En este sistema el espectador se sitúa en el primer cuadrante, por ello, sólo serán vistos los elementos situados en él,representandose con línea continua.

Para determinar las partes vistas y ocultas de una recta debemosconsiderar la posición de las trazas. Si, por ejemplo, una recta tienesu traza vertical V(v-v') en el plano vertical superior y su trazahorizontal H(h-h') en el plano horizontal anterior, el segmentocomprendido entre las trazas pertenece al primer cuadrante, lasemirrecta a partir de la traza vertical pertenece al segundo y lasemirrecta a partir de la traza horizontal al tercero.

Fig. 14



Fig. 15

Trazas con los bisectores

Las trazas con los bisectores son los puntos que tienen igual cotaque alejamiento y pertenecen a la recta. El segundo bisector pasapor los cuadrantes que tienen cota y alejamiento de distinto signo,por tanto, la traza B2 con el segundo bisector es el punto deintersección de las proyecciones de la recta. Y al contrario, la trazacon el primer bisector B1 es el punto cuyas proyecciones equidistande la LT. Este se halla trazando la recta simétrica de una de lasproyecciones hasta cortar la otra proyección (Fig. 15).

Alfabeto de la recta

Fig. 16

A) Recta paralela a la línea de tierra: es también paralela a los dosplanos de proyección, por tanto, el alejamiento y la cota de todossus puntos son constantes.

B) Recta horizontal: es paralela al plano horizontal, por lo que suproyección vertical se representa paralela a la LT. Sólo tiene traza

con el plano vertical, al que es oblicua.



C) Recta frontal: es paralela al plano vertical y oblicua al horizontal,su proyección horizontal se representa paralela a LT por tener alejamiento constante. Sólo tiene traza don el plano horizontal.

D) Recta vertical: es perpendicular al plano vertical y sólo tiene

traza con él. Su proyección vertical es perpendicular a LT y lahorizontal es un punto que coincide con su traza.

E) Recta de punta: es perpendicular al plano vertical, por lo quetodos los puntos de la recta se proyectan sobre su traza vertical.

F) Recta genérica: es oblicua a los dos planos de proyección. Lastrazas que la definen pueden ser dos puntos cualesquiera de losplanos de proyección. Sus dos proyecciones son oblicuas a la LT.

G) Recta que pasa por la LT. : Es también oblicua a los dos planos

de proyección, pero sus trazas coinciden en un mismo punto de laLT, por lo que necesitamos un punto -M(m-m’)- que le pertenezcapara definirla.

H) Recta perpendicular a LT. : sus proyecciones sonperpendiculares a la LT. También se necesita un punto paradefinirla.

I) Recta de perfil: por ser paralela a un plano de perfil susproyecciones son perpendiculares a la LT.

Fig. 17

El plano

Alfabeto del plano

El plano se representa por sus trazas. Las trazas de un plano sonlas rectas de intersección del plano con los planos de proyección

vertical y horizontal.



Las distintas posiciones del plano con respecto a los planos deproyección conforman el alfabeto del plano.

Fig. 18

A) Plano horizontal: es paralelo al plano horizontal de proyección,por lo que sólo tiene una traza con el plano vertical que es paralelaa la línea de tierra. Los elementos contenidos en él se proyectan enverdadera magnitud sobre el plano horizontal.

B) Plano Frontal: el paralelo al plano vertical. Sólo tiene trazahorizontal paralela a la LT.

C) Plano de canto o proyectante vertical: es perpendicular al

plano vertical y oblicuo al horizontal. Al ser perpendicular al planovertical, los elementos contenidos en el se proyectan sobre la trazacon dicho plano.

D) Plano vertical o proyectante horizontal: es perpendicular alplano horizontal. Su traza vertical es perpendicular a la LT. Y sutraza horizontal oblicua.

E) Plano genérico: es oblicuo a los dos planos de proyección.

F) Plano paralelo a la LT. : es oblicua a los planos de proyección y

perpendicular a los planos de perfil; se puede considerar unproyectante de perfil, lo que implica que todo lo contenido en él seproyecte sobre su traza de perfil.

G) plano que pasa por LT. : sus trazas se confunde en la LT., por lo que se necesita un punto del mismo para definirlo. También esproyectante de perfil.

H) Plano de perfil: es paralelo al plano de perfil y perpendicular alvertical y al horizontal. Sobre ambas trazas se proyectan loselementos contenidos en él, los cuales se proyectan en verdaderamagnitud en el plano de perfil de proyección.



Fig. 19

Relaciones de pertenencia

Un punto pertenece a una recta, si sus proyecciones estáncontenidas en las proyecciones homónimas de la recta (Fig. 20).

Fig. 20

Fig. 21

Una recta pertenece a un plano, si sus trazas están contenidas en

las trazas homónimas del plano (Fig. 21).



Un punto pertenece a un plano, si está contenido en una recta quea su vez pertenece al plano (Fig. 21).

Rectas notables del plano

•Rectas horizontales: son las rectas horizontales quepertenecen al plano. Su Traza -V(v-v’)- está sobre la traza-P’- del plano y su proyección horizontal es paralela a la trazaP (Fig. 22).•Rectas Frontales: Su única traza -H(h-h’)- pertenece a -P-y la proyección -f’- es paralela a la traza vertical -P’- del plano(Fig. 23).

Fig. 22

Fig. 23

•Recta de máxima pendiente: Es la recta queperteneciendo al plano forma mayor ángulo con el planohorizontal (Fig. 24).•Recta de máxima inclinación: Es la recta del plano queforma mayor ángulo con el plano vertical (Fig. 25).



Fig. 24

Fig. 25

La recta de máxima inclinación tiene, al contrario que la r.m.p., Laproyección vertical perpendicular a la traza homónima del plano.Ambas rectas son suficientes para definir un plano. Si, por ejemplo,se nos da un plano definido por su recta de máxima pendiente, laperpendicular por la traza -h- a la proyección horizontal -r- de larecta es la traza horizontal del plano. La traza vertical -P’- latrazamos uniendo el origen del plano con la traza vertical - v’-.

Determinación de las trazas de un plano

Un plano puede quedar determinado por los siguientes elementos:

•Dos rectas que se cortan (Figs. 26, 27 y 28).•Tres puntos no alineados (Fig. 30).•Una recta y un punto que no le pertenezca.(Fig. 31)•Dos rectas paralelas (Fig. 29).



Fig. 26

Fig. 27

Los casos en que nos dan dos rectas que se cortan o dos rectasparalelas se resuelven hallando las trazas de ambas rectas ytrazando por ellas las trazas homónimas del plano.

Fig. 28



Fig. 29

Cuando nos dan tres puntos no alineados, podemos transformar el

caso en el de dos rectas que se cortan si trazamos las rectas AB yAC, que se cortarán precisamente en el punto A.

El caso de una recta y un punto exterior también se transforma enel primero si situamos en la recta un punto cualquiera, M, y lounimos con el punto dado, los cuales definen una recta S que secorta con la recta dada en el punto M.

Fig. 30

Fig. 31



Intersecciones

Intersección entre planos

La intersección entre dos planos es una recta común a ambos. Paradeterminarla seguiremos los siguientes pasos: trazamos dos planosauxiliares, en la Fig. 1a se han trazado dos planos horizontales. Laintersección del plano (H) con (P) es la recta R, y con (Q) la recta S.La intersección de ambas rectas es el punto A común a los tresplanos y, por lo tanto, pertenece a la recta intersección de (P) y (Q).

Procediendo del mismo modo con el segundo plano auxiliar,obtenemos el punto B, con el que queda definida la rectaintersección de ambos plano.

Si consideramos como planos auxiliares los planos de proyección,las intersecciones de éstos con (P) y (Q), son precisamente sustrazas P-P’ y Q-Q’ (Fig. 1b). Recordad que las trazas de un planoson las rectas de intersección de éste con los planos de proyección.

Fig. 1

Fig.2

Planos cuyas trazas se cortan fuera de los límites del dibujo.



Si sólo se cortan las trazas horizontales de los planos, trazamos unplano horizontal que corte las trazas verticales de los planos dados.Las intersecciones de este plano con los planos (P) y (Q) son dosrectas horizontales que se cortan en el punto A(a-a’) común a lostres planos. Uniendo este punto con el punto de intersección de las

trazas horizontales de los planos obtenemos la recta I (Fig. 2).

Si solamente se cortan las trazas verticales procedemos de igualforma utilizando un plano frontal (Fig. 3), y utilizamos ambos planosauxiliares si no se cortan ninguna de las trazas (Fig. 4).

Fig. 3

Fig.4

Casos particulares

La intersección entre dos planos cuyas trazas concurren en unmismo punto de la línea de tierra, se determina con el auxilio de unplano horizontal que corta a los planos (P) y (Q) seguacute;n dosrectas horizontales. La intersección de dichas rectas es el vérticedel triedro formado por los planos (P), (Q) y (H). Uniendo dichopunto con el punto donde concurren las trazas de los planos dados,obtenemos la recta intersección (Fig. 5).



Fig. 5

Fig. 6

La intersección de dos planos paralelos a la línea tierra es una rectaparalela a la línea de tierra. Por ser los planos perpendiculares alplano de perfil, la intersección de sus trazas en el plano de perfil esla proyección de perfil de la recta intersección. A partir de dichaproyección obtenemos las proyecciones diédricas. (Fig. 6)

Intersección entre recta y plano

La intersección entre una recta y un plano es el punto común a

ambos, para determinarlo procedemos de la siguiente manera:contenemos la recta en un plano proyectante auxiliar (Q). Laintersección entre (P) y (Q) es una recta S que corta a R en el puntoI de intersección. (Fig. 7).

La intersección de una recta R con un plano dado por dos rectasque se cortan S y T, se halla conteniendo la recta R en un planoproyectante, el cual corta el plano definido por las rectas S y T,según la recta AB coplanaria con ambas. La intersección de la rectaR con la recta AB es el punto I de intersección de R con el planodado. (Fig. 8)



Fig. 7

Fig. 8

Paralelismo y Perpendicularidad.Distancias

Paralelismo

Dos rectas son paralelas si tienen sus proyecciones homónimas paralelas.

Las rectas de perfil pueden no ser paralelas en el espacio aúnsiéndolo sus proyecciones diédricas, en este caso es necesario quesus proyecciones de perfil también lo sean (Fig. 9).



Fig. 9

Fig. 10

Una recta es paralela a un plano si lo es a una recta cualquieracontenida en el plano.

Para trazar por un punto A una recta R paralela a un plano P dado,dibujamos una recta cualquiera S contenida en el plano y por elpunto A dado, trazamos la paralela R a la recta S (Fig. 10).

El problema inverso, es decir, trazar por un punto un plano paraleloa una recta R dada, se resuelve trazando por el punto una recta Sparalela a R. Cualquier plano que contenga a la recta S es paraleloa R.



Fig. 11

Fig. 12

Las intersecciones de dos planos paralelos con un plano cualquierason dos rectas paralelas, de aquí que los planos paralelos tengansus trazas homónimas paralelas.

Los planos proyectantes de perfil deben tener paralelas sus trazasde perfil para ser paralelos en el espacio (Fig. 12).

Para trazar por un punto un plano Q, paralelo a un plano P dado,podemos auxiliarnos de un recta horizontal o frontal. Si elegimosuna recta horizontal, trazamos su proyección horizontal por laproyección horizontal del punto dado paralela a la traza horizontaldel plano P. Conteniendo la traza de la recta horizontal, trazamosQ', paralela a P', y por el origen del plano obtenido sobre la línea detierra, la traza Q paralela a P. (Fig. 11).

Perpendicularidad

Si una recta es perpendicular a un plano, lo es a todas las rectasdel plano, pasen o no por el punto de intersección. En la Figura 13a,la recta R es perpendicula a S, T, V, ...



Fig. 13

Teorema de las tres perpendiculares.- Si dos rectas R y S son

perpendiculares en el espacio, y una de ellas, la R por ejemplo, es paralela a un plano de proyección (Fig. 13b) o está contenida en él (Fig. 13c), ambas rectas se proyectan perpendiculares sobre dicho plano.

Considerando el plano proyectante definido por el haz de rectasperpendiculares a R en un punto, resulta que todas la rectas del hazse proyectan sobre su traza. Si la recta T, de dicho haz, es paralelaal plano de proyección, el ángulo formado por R y T se proyecta sindeformación.(Fig. 13b)

perpendicularidad entre recta y plano

Si una recta es perpendicular a un plano lo es a todas sus rectas,por tanto, si la recta R es perpendicular al plano (P), lo es a su trazaP. Por el teorema de las tres perpendiculares, siendo R y Pperpendiculares y estando contenida la traza P del plano en elplano de proyección, las proyecciones de R y P deben mostrarseortogonales. De lo dicho deducimos que si una recta esperpendicular a un plano, sus proyecciones son perpendiculares alas trazas de dicho plano (Figs 14 y 15).



Fig. 14

Fig. 15

Para trazar por un punto M, una recta R perpendicular a un plano Pdado, basta con trazar por las proyecciones del punto lasproyeciones homónimas de la recta, perpendiculares a las trazasdel plano. (Fig. 15)

El problema inverso podemos resolverlo con el auxilio de una rectahorizontal que, pasando por el punto, tenga su proyecciónhorizontal perpendicular a la traza horizontal del plano dado.

Perpendicularidad entre planos

Si una recta R es perpendicular a un plano (P), cualquier plano (Q)que contenga a la recta R es perpendicular a (P).

Perpendicularidad entre rectas

Para trazar una recta R perpendicular a otra S dada, trazamos elplano (P) perpendicular a S, cualquier recta R contenida en el planoP es perpendicualar a la recta S.

Distancias

Los problemas de distancia son una aplicación de laperpendicularidad, consisten en detirminar la mínima distancia entredos elementos geométricas.

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos es el segmento rectilíneocomprendido entre ambos. En el esquema de la Fig. 16, podemosapreciar que la distandia en verdadera magnitud entre las puntos Ay B es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son la

proyección horizontal del segmento AB y la diferencia de sus cotas.Construyendo dicho triángulo sobre el plano horizontal podemosobtenemos la verdadera magnitud del segmento AB. Lo mismo



ocurre con el triángulo cuyos catetos son la proyección vertical delsegmento y la diferencia de sus alejamientos.

Fig. 16

Fig. 17

Distancia de un punto a un plano

La distancia de un punto a un plano es el segmento comprendidoentre el punto y el pie de la perpendicular trazada por el punto alplano.

Para determinar la distancia en el Sistema Diédrico de un punto A aun plano (P) dados, trazamos por A la recta R perpendicular alplano (P). Hallamos el punto B de intersección de la recta R con elplano (P) auxiliandonos de un plano proyectante. Una vez obtenidoel punto B construimos el trángulo rectángulo, de catetos laproyección vertical del segmento AB y la diferencia de alejamientos,para obtener la verdadera magnitud de la distancia.

Distancia de un punto a una recta

Si trazamos por el punto A un plano (P) perpendicular a la recta R y

hallamos el punto B de intersección de la recta con el plano,obtenemos el segmento AB, mínima distancia entre R y A. (Fig. 18)



Fig. 18

Fig. 19

Distancia entre dos rectas paralelas

Trazamos el plano (P) perpendicular común a las rectas R y S. Lasintersecciones del plano con las rectas son los puntos A y B quedeterminan el segmento mínima distancia entre las rectas. (Fig. 19)

Distancia entre dos planos paralelos

Trazamos una recta R perpendicular común a los planos dados yhallamos los puntos de intersección que determinan la distanciaentre los planos. (Fig 20)



Fig. 20

Fig. 21

Distancia entre dos rectas que se cruzan siendo una de ellasperpendicular a uno de los planos de proyección

La distancia entre dos rectas que se cruzan es la perpendicular común a ambas rectas. Si una de las rectas, por ejemplo la R, esperpendicular al plano horizontal de proyección, las perpendicularesa dicha recta son todas paralelas a dicho plano. En virtud delteorema de las tres perpendiculares, la perpendicular común y larecta S han de proyectarse perpendiculares sobre el planohorizontal, puesto que una de ellas es paralela al plano deproyección. (Fig. 21)

En el Sistema Diédrico trazamos por la proyección horizontal de larecta R, la perpendicular a la proyección horizontal de S. El pie dela perpendicular es la proyección horizontal del punto B. Laproyección vertical de B la obtenemos refirindolo sobre S desde laproyección horizontal b. El punto A se obtiene trazando la paralela ala línea de tierra por a', ya que la recta AB es una horizontal.

Al ser la recta AB paralela al plano horizontal se proyecta sobre

éste en verdadera magnitud



Abatimientos, giros y cambios de plano

Cuando un segmento o una figura plana son paralelos a los planosde proyección, se proyectan sobre ellos sin deformación. En lamayoría de los casos nos encontrarenos con figuras que sonoblícuas a ambos planos y, por lo tanto, se proyectan deformadassobre los mismos. En estos casos tendremos que recurrir a losabatimientos, giros o cambios de plano, para obtener posicionesmás favorables de las figuras respecto a los planos de proyección.

Abatimientos

Los abatimientos se usan generalmente, en el Sistema Diédrico,para obtener las verdaderas formas y magnitudes de figuras planaso para su construcción sobre planos oblícuos. Normalmente se

abaten los planos que contienen las figuras sobre uno de los planosde proyección.

Abatir un plano sobre otro plano, consiste en girar uno de ellosalrededor de su traza, denominada charnela, hasta hacerlo coincidir con el otro.

abatimiento de un punto

Cuando se abate un punto, o cualquier otro elemento, lo que seabate en realidad es el plano que lo contiene.

Para abatir el punto A contenido en el plano (P) sobre el plano (H),trazamos un arco de circunferencia de radio AC, igual a la distanciadel punto A a la charnela P. El radio de giro r, es la hipotenusa deun triángulo rectángulo, cuyos catetos son la distancia del punto delespacio al plano de proyección y la distancia de la proyección delpunto a la charnela. Este triángulo podemos dibujarlo sobre el planode proyección para obtener el abatimiento del punto en el SistemaDiédrico. (Fig. 1)

Fig. 1



Fig. 2

Partiendo de las proyecciones del punto y de la traza horizontal del

plano que lo contiene utilizada como charnela, hemos abatido elpunto A sobre el plano horizontal de proyeción. (Fig. 2).

Por la proyección horizontal del punto trazamos la perpencicular ala charnela y determinamos el centro c. Sobre la paralela a lacharnela trazada por a, trasladamos la cota del punto para obtener el radio r. Con centro en c y radio r, trazamos el arco decircunferencia que corta a la prolongación de ac en (A).

Abatimiento de una recta

Para abatir una recta basta con abatir dos de sus puntos. En la Fig.3 hemos abatido las trazas de la recta R. La traza vertical laabatimos como en el apartado anterior y la traza horizontal no semueve por estar contenida en la charnela.

Las rectas horizontales de un plano son paralelas a su trazahorizontal, por lo que abatidas sobre el plano horizontal deproyección, se mantienen paralelas a la charnela. Para abatir estasrectas, basta abatir su traza vertical y trazar por ella la recta abatidaparalela a la charnela (Fig. 4)



Fig. 3

Fig. 4

Abatimiento de un planoAbatir un plano conciste en abatir la traza que no hace la función decharnela, puesto que ésta rota sobre sí misma. Si queremos abatir la traza vertical de un plano sobre el horizontal de proyección, sólotenemos que abatir dos puntos de ella. Si uno de ellos es el origendel plano que por pertenecer también a la charnela no se mueve,basta con abatir un punto cualquiera de la traza vertical y unirlo conel origen del plano (Fig. 4)

Representación de una figura plana

Para representar una figura plana contenida en un plano abatimosel plano y la construimos con las medidas reales sobre el planoabatido. Auxiliandonos de rectas horizontales o frontalesdesabatimos cada uno de sus vértices para obtener susproyecciones diédricas. (Fig. 5)

La circunferencia la podemos representar desabatiendo dosdiámetros perpenciculares de la circunferencia. Éstos setransforman en los diámetros conjugados de las elipses en que seproyectan las circunferencias.

En el desabatimiento de la circunferencia podemos aplicar laafinidad ortogonal de eje la charnela y figuras homólogas lacircunferencia abatida y su proyección sobre el mismo plano. (Fig.6)



Fig. 5

Fig. 6

Los planos proyectantes tienen sus trazas perpendiculares, por lotanto, tras el abatimiento se mantienen perpendiculares. Siabatimos un plano de canto sobre el horizontal tomando comocharnela su traza horizontal, la traza vertical abatida coinciderá conla línea de tierra (Fig. 7)

Los planos paralelos a la línea de tierra son proyectantes de perfil ypodemos abatirlos sobre el mismo plano de perfil (Fig. 8)



Fig. 7

Fig. 8

Giros

Giro de un punto

Si un punto gira alrededor de una recta describe una circunferenciade radio la distancia del punto a la recta y contenida en un plano

perpendicular al eje de giro.Si tomamos como eje de giro una recta vertical, la circunferencia degiro estará contenida en un plano horizontal y se proyectará sobreel plano horizontal de proyección en verdadera magnitud y en elplano vertical como un segmento, igual a su diámetro, coincidentecon la traza del plano horizontal que la contiene (Fig. 9).

En el sistema diédrico se ha girado el punto A trazando un arco decircunferencia con centro en la proyección horizontal del eje,obteniendo así la nueva proyección horizontal del punto a1, por

dicha proyección se traza la perpendicular a la línea de tierra para



obtener sobre la traza del plano la nueva proyección vertical (Fig.10)

Fig. 9

Fig. 10

Giro de una recta

para girar una recta basta girar dos de sus puntos el mismo ángulo.Si la recta corta el eje, el punto de intersección de ambas recta nose mueve tras el giro, por lo que es suficiente con girar un punto yunirlo con el punto de intersección (Fig. 11).

Si la recta y el eje se cruzan, trazamos la perpendicular común, queserá una horizontal si el eje es vertical. La perpendicular común y larecta R se proyectan durante el giro siempre perpendiculares, alpermanecer la primera paralela al plano horizontal. De esta marerapodemos girar la proyección horizontal de R que se mantendrátangente a la circunferencia de giro. Girada la proyección horizontalde R, giramos un segundo punto que tendrá su nueva proyecciónhorizontal sobre la proyección homónima de la recta (Fig. 12).



Fig. 11

Fig. 12

Podemos situar una recta mediante un giro paralela a unos de losplanos de proyección. En la figura 13 hemos transformado unarecta oblícua en frontal girándola alrededor de un eje vertical demanera que su proyección horizontal quede paralela a la línea detierra.

Giro de un plano

Podemos girar un plano girando su traza horizontal y una rectahorizontal. Trazamos un eje vertical que corte la recta horizontal ygiramos la traza P con la perpendicular trazada desde la proyecciónhorizontal del eje. La recta horizontal al girar alrededor de un ejevertical se mantiene siempre paralela al plano horizontal deproyección, por lo tanto, su nueva proyección horizontal seráparalela a la nueva traza horizontal del plano pasando por e, y sutraza v'1 tendrá la misma cota. Uniendo el origen del plano con v'1,obtenemos la nueva traza vertical del plano (Fig. 14).



Fig. 13

Fig. 14

Cambios de planos

En los abatimientos y en los giros los elementos del espaciocambian de posición respecto a los planos de proyección, sinembargo, en los cambios de planos son éstos los que cambianmientras que los elementos del espacio permanecen inmóviles.

El punto en los cambios de plano

Podemos sustituir uno de los planos de proyección por otro planocualquiera siempre que sea perpendicular al plano que permanece.Si cambiamos el plano vertical, el nuevo plano será un proyectantevertical sobre el que obtendremos una nueva proyección vertical a'1del punto A del espacio. La proyección horizontal es la misma enlos dos sistemas al no cambiar el plano horizontal, y por la mismarazón, la cota del punto también es la misma en los dos sistemas.Esto implica que las distancias de las proyecciones verticales a susrespectivas líneas de tierra sean iguales. (Figs. 15 y 16)



Fig. 15

Fig. 16

la recta en los cambios de plano

Para hallar las nuevas proyecciones de una recta tras un cambio deplano hallaremos las nuevas proyecciones de dos de sus puntos,normalmente sus trazas. Si realizamos un cambio de planohorizontal, las proyeciones verticales de sus trazas h' y v'permanecen, obteniendose la nuevas proyeciones horizontales dedichos puntos h1 y v1 trasladando sus cotas a partir de la nuevalínea de tierra. El punto V tiene cota cero en los dos sistemas, por lotanto, sigue siendo la traza vertical en el nuevo sistema (Fig. 17).

Podemos transformar una recta oblícua en vertical realizando doscambios de plano sucesivos. Primero la transformamos en frontalmediante un cambio de plano vertical y posteriormente realizamosun cambio de plano horizontal para transformarla en vertical. Paratransformarla en frontal tenemos que trazar la nueva línea de tierraparalela a la proyección horizontal y para transformar ésta envertical la línea de tierra debe ser perpendicular a su proyecciónvertical (Fig 18).



Fig. 17

Fig. 18

El pano en los cambios de plano

Si realizamos un cambio de plano vertical, el vértice A, definido por la intersección de los dos planos verticales con el plano (P),pertenece a los dos sistemas. Este punto se proyecta con la mismacota en cada uno de los sistemas y pertenece a las trazas verticalesdel plano en ambos sistemas.(Figs. 19 y 20)

Fig. 19



Fig. 20

Ángulos

Para determinar el ángulo que forman dos rectas que se cruzantrazamos por un punto de una de ellas una paralela T a la otra. (Fig.1a)

El ángulo que forma una recta con un plano es el que forma la rectacon su proyección sobre dicho plano. Para determinar la proyecciónde una recta sobre un plano cualquiera, distinto a los de proyección,trazamos por un punto de la recta una perpendicular al plano yhallamos su intersección con él. Uniendo este punto con el punto Ide intersección de la recta dada con el plano también dadoobtenemos la proyección de R sobre (P). (Fig. 1b)

Fig. 1

El ángulo de un diedro formado por dos planos (P) y (Q), es el linealcorrespondiente, determinado por la sección producida sobre eldiedro por un plano perpendicular a su arista.(Fig. 1c).

Ángulo de dos rectas



Para hallar la verdadera magnitud del ángulo formado por dosrectas que se cortan podemos abatir el plano que las contienesobre uno de los planos de proyección. En la figura 2 hemosabatido el ángulo sobre un plano horizontal utilizando comocharnela la recta horizontal que corta a los lados del ángulo en los

puntos M y N. En este caso, el radio del abatimiento del vértice A esla hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son ladistancia de la proyeción del punto a la charnela y la direrencia decotas entre el punto y la recta horizontal

Fig. 2

Fig. 3

Ángulo de una recta y un plano

Ya hemos visto en la figura 2b que el ángulo que forman una recta yun plano es el formado por la recta y su proyección ortogonal sobreel plano. También hemos estudiado los procedimientos previos parahallar la proyección de la recta sobre el plano.

En el sistema diédrico hallamos el punto de intersección I de larecta R con el plano (P). Por un punto cualquira M de la recta R,trazamos una recta perpendicular al plano P y hallamos su punto

punto de interseción A. Las recta R y la que pasa por los puntos I yA son los lados del ángulo de vértice I. Abatiendo el punto I



alrededor de una recta horizontal que corte a los lados del ánguloobtenemos su verdadera amplitud.

Fig. 4

Fig. 5

Ángulo de una recta con los planos de proyección

El ángulo que forma una recta con el plano horizontal de proyecciónes el que forma la recta con si proyección horizontal. Para obtener la verdadera magnitud basta abatir plano proyectante horizontal quecontiene tanto a la recta como a su proyección horizontal.(Fig. 5)

La recta R y su proyección vertical r', estan contenidas en un planoproyectante vertical, si abatimos dicho plano alrededor de su trazavertical obtenemos la verdadera magnitud del ángulo que forma larecta con el plano vertical.(Fig. 5)

Ángulo de un plano con los planos de proyección

El ángulo que forma un plano con el plano horizontal de proyecciónes el que forma su recta de máxima pendiente con el planohorizontal. Abatiendo la recta de máxima pendiente sobre el plano

horizontal se obtiene la verdadera magnitud del ángulo. (Fig. 6)



El ángulo que forma un plano con el vertical de proyección es el queforma su recta de máxima inclinación con el plano vertical. (Fig. 7)

Fig. 6

Fig. 7

Poliedros regulares

Los poliedros son los cuerpos geométricos limitados por polígonos.Poliedros regulares son aquellos que tienen caras, aristas y ángulosiguales.

Fig. 1



Tetraedro

El tetraedro tiene cuatro caras que son triángulos equiláteros y seisaristas.

Representación del tetraedro

Vamos a representar el tetraedro apoyado por una de sus carassobre cualquier tipo de plano. Si la cara apoyada está contenida oes paralela a uno de los planos de proyección se proyecta enverdadera magnitud. De lo contrario, será necesario dibujarla sobreel plano abatido y después desabatirlo.

Fig. 2

Fig. 3

En la fig. 2 se ha representado el tetraedro apoyado por una caraen el plano horizontal de proyección. El tetraedro quedadeterminado por la magnitud de la arista, la altura se obtieneabatiendo el triángulo rectángulo formado por la arista, suproyeccion ortogonal sobre la base y la propia altura (Fig. 1).

La cara apoyada está en verdadera magnitud, y se representa por

tanto, como un triángulo equilátero de lado igual a la arista deltetraedro. El vertice V se proyecta en el centro de la cara apoyada y



está contenido en una recta vertical. La proyección vertical de V seobtiene al trasladar la altura obtenida por abatimiento, sobre la rectavertical.

Para representar el tetraedro apoyado en un plano proyectante, se

abate el plano y se dibuja la cara en verdadera magnitud.Desabatiendo el triángulo obtenemos las proyecciones diédricas dela cara apoyada. La altura es una perpendicular la plano desde elcentro del tiángulo, que resulta una frontal si el plano es de canto.Como las proyecciones verticales de las rectas frontales están enverdadera magnitud, trasladamos la altura del tetraedro sobre ellapara obtener el vértice V. (Fig. 3)

Fig. 4

Cuando la cara del tetraedro se apoya sobre un plano oblícuo a losdos planos de proyección, la altura es también oblícua. Paraobtener el vértice V, podemos girar la altura alrededor de un eje quepase por el centro de la base para situarla en posición frontal. De

esta manera, trasladamos la altura del tetraedro en verdaderamagnitud sobre la recta girada y posteriormente deshacemos el giro(Fig. 4).

Secciones planas

Como norma general, para hallar la sección que produce un planosobre un poliedro se halla la intersección del plano con cada una delas arista, obteniendose así, los vértices del polígono sección.

La sección que produce un plano secante sobre un tetraedro es untriángulo. Si el plano es horizontal o frontal una de las proyecciones



de la sección será un segmento contenido en la traza del plano y laotra estará en verdadera magnitud.

En la figura 5 se ha obtenido la sección con un plano horizontal. Latraza del plano corta las aristas del tetraedro en los vértices de la

sección. La proyección horizontal se obtiene hallando lasproyecciones horizontales de estos vértices sobre las aristasrespectivas.

Fig. 5

Fig. 6

Si el plano es vertical o de canto, una de las proyecciones de lasección sigue estando sobre la traza del plano, pero en este caso laotra proyección no está en verdadera magnitud, siendo necesarioabatirla para obtener su verdadera forma

Cuando el plano es oblicuo a ambos planos de proyección,hallamos un primer vértice de la sección resolviendo el problema dela intersección entre una recta y un plano, siendo la recta unacualquiera de las aristas. Los restantes vértices podemos hallarlossabiendo que la base y la sección son figuras homólogas en unahomología de eje la charnela, o bién, aplicando el mismo mismo

procedimiento por el que hemos hallado el primer vértice, para lasrestantes arista.



Fig. 7

Para obtener la verdadera magnitud de la sección, la abatimossobre uno de las planos de proyección. El abatimiento lo podemosresolver sabiendo que la proyección de la sección y su abatimientoson figuras homologas en la afinidad de eje la charnela.(Fig. 7)

Intersección de una recta con un tetraedro

El procedimiento general para hallar la intersección de una rectacon un sólido consiste en contener la recta en un plano, hallar lasección que produce dicho plano en el sólido y, posteriormente,hallar la intersección de dicha sección con la recta. Los puntos deintersección del polígono sección con la recta son los puntos deentrada y salida de ésta en el sólido.

En el caso del tetraedro conviene trazar el plano definido por larecta y el vértice de manera que el polígono sección sea untriángulo cuyos vértices son dos puntos de la base y el propiovertice del tetraedro (Fig. 8)



Fig. 8

Fig. 9

En la figura 9, hemos trazado una recta S que pasa por V y corta aR en el punto M. Las rectas R y S determinan el plano (P), cuyatraza horizontal P, hemos determinado pasando por las trazashomónimas de las rectas R y S. Los puntos de intersección de latraza P con las aristas de la cara apoyada en el plano horizontal sondos de los vértices de la sección, el tercero es el propio vértice deltetraedro. La intersección de R con los lados de la seccióndeterminan los puntos A Y B.

Poliedros regulares

Hexaedro

El hexaedro tiene seis caras, que son cuadrados, doce aristas yocho vértices.

Representación del hexaedro

Si situamos una de las caras del hexaedro contenida en el planohorizontal, la cara opuesta se proyecta coincidente con ella y lascuatro restantes son proyectantes respecto al plano horizontal.



La proyección horizontal es un cuadrado de lado igual a la arista delcubo. Las caras horizontales se proyectan sobre el plano vertical endos segmentos paralelos a la L.T. a una distancia igual a la arista.(Fig. 10)

Fig. 10

Fig. 11

Para representar el hexaedro apoyado por una cara sobre un planoproyectante vertical, se abate primero éste sobre uno de los planosde proyección y posteriormente se dibuja la cara en verdaderamagnitud. Las aristas perpendiculares a la base lo son también alplano proyectante

Cuando el hexaedro se apoya por una de sus caras sobre un planooblicuo, abatimos el plano para construir la cara apoyada enverdadera magnitud. Tras desabatir la cara, levantamosperpendiculares al plano por los vértices de la misma. Para obtener las medidas en proyección de las aristas perpendiculares a la base,realizamos el giro de una cualquiera de ellas para situarla paralela auno de los planos de proyección.Una vez obtenida y sabiendo queel paralelismo es un invariante de la proyección cilíndrica, trazamosla cara paralela a la base. (Fig. 12)



Fig. 12

Secciones planas

Obtener las secciones planas producidas sobre cualquier poliedropor planos proyectantes no tiene gran dificultad y la manera deproceder no difiere entre ellos, por lo que podemos remitirnos a loexplicado para el tetraedro.

Sin embargo, para la sección con un plano oblicuo, hemos preferidocontener las aristas verticales en planos frontales, los cuales cortanal plano oblicuo según rectas frontales. Las intersecciones de estasrectas con las aristas verticales son los vértices de la sección. En lafigura 13, una de las rectas frontales corta a la arista en suprolongación, fuera del sólido, en este caso se une el punto deintersección con los vértices contiguos de la sección para obtener los vértices correspondientes en la cara opuesta a la base.

La verdadera magnitud de la sección se obtiene por afinidad.



Fig. 13

Intersecciones

El procedimiento general consiste, en hallar los puntos deintersección de la recta, con la sección que produce en el poliedroun plano cualquiera que contenga a la recta dada. En este casohemos optado por contener la recta en un plano perpendicular a la

base, de manera que la sección obtenida sea un cuadriáteroproyectante. < y 14>

Fig. 14



Fig. 15

Poliedros regulares

Octaedro

Representación del octaedro

Cuando un octaedro se representa apoyado por un vértice y conuna de sus diagonales perpendicular al plano horizontal deproyección, el contorno aparente de la proyección horizontal es uncuadrado de lado igual a la arista en verdadera magnitud. Los ladosde este cuadrado son cuatro aristas horizontales que se proyectanen verdadera magnitud sobre el plano horizontal.Las ocho aristasrestantes son oblicuas y se proyectan sobre las diagonales delcuadrado.

Las cotas de los vértices, extremos de la diagonal vertical, son ceroy la magnitud de la diagonal respectivamente, y los cuatro vérticesrestantes se encuentran en el plano medio de octaedro, que eshorizontal, a una distancia igual a d/2 (Fig. 16)

Fig. 16



Fig. 17

Secciones planas

La sección plana que produce un plano proyectante sobre eloctaedro se obtiene directamente sobre la traza oblicua al cortar ésta las aristas del poliedro y después se refieren los puntosobtenidos sobre las respectivas aristas en la otra proyección. (Fig.17)

La verdadera magnitud de la sección se obtiene abatiendo el plano.

Si el plano secante es oblicuo, se puede trasformar en proyectantepor medio de un cambio de plano. En la figura 18, se ha

transformado el plano (P) en proyectante vertical y se ha obtenido lanueva proyección vertical de octaedro para obtener la sección.

Fig. 18



Intersección con recta

La intersección de una recta R con un octaedro se obtieneconteniendo la recta en un plano proyectante (P) y hallando laintersección de R con la sección producida en el sólido por el plano

(P). (Fig. 19)

Fig. 19

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