Teoria dos Grafos Loana T. Nogueira Aula 5. Conectividade: (G) Menor numero de vertices necessarios...
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Teoria dos Grafos
Loana T. NogueiraAula 5
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Conectividade: (G)
Menor numero de vertices necessarios para desconectar G
Se G eh completo, definimos (G)=n-1
Se G eh trivial ou desconexo (G)=0
G eh dito k-conexo se (G) kQualquer grafo conexo eh 1-conexo
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Conectividade por arestas:’(G)
Tamanho do menor corte de um grafo
Se G eh trivial ou desconexo, ’(G)=0
G eh dito conexo por k arestas ou k-conexo por arestas se ’(G) k
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Teorema: ≤ ’ ≤
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Teorema: ≤ ’ ≤ Se G é trivial, ’=0 ≤ .
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Teorema: ≤ ’ ≤ Se G é trivial, ’=0 ≤ . Caso contrario, o conjunto de links
indicentes ao vertice de grau constitui um corte de arestas de G
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Teorema: ≤ ’ ≤ Se G é trivial, ’=0 ≤ . Caso contrario, o conjunto de links
indicentes ao vertice de grau constitui um corte de arestas de G
’=0 ≤
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Teorema: ≤ ’ ≤ Provamos ≤ ’ por inducao em ’
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Teorema: ≤ ’ ≤ Provamos ≤ ’ por inducao em ’ Se ’=0, o resultado e verdadeiro, ja
que neste caso G eh trivial ou desconexo
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Teorema: ≤ ’ ≤ Provamos ≤ ’ por inducao em ’ Se ’=0, o resultado e verdadeiro, ja
que neste caso G eh trivial ou desconexo
Suponha que o resultado seja verdadeiro para conectividade por aresta menor do que k
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Teorema: ≤ ’ ≤ Provamos ≤ ’ por inducao em ’ Se ’=0, o resultado e verdadeiro, ja
que neste caso G eh trivial ou desconexo
Suponha que o resultado seja verdadeiro para conectividade por aresta menor do que k
Seja G um grafo com ’(G) =k > 0
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Teorema: ≤ ’ ≤ Provamos ≤ ’ por inducao em ’ Se ’=0, o resultado e verdadeiro, ja que
neste caso G eh trivial ou desconexo Suponha que o resultado seja verdadeiro
para conectividade por aresta menor do que k
Seja G um grafo com ’(G) =k > 0 Seja e uma aresta no corte por k arestas
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Teorema: ≤ ’ ≤ Faca, H=G-e
’(H)=k-1
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Teorema: ≤ ’ ≤ Faca, H=G-e
’(H)=k-1
(H) ≤ k-1
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Teorema: ≤ ’ ≤ Se H contem um grafo completo como
subgrafo gerador
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Teorema: ≤ ’ ≤ Se H contem um grafo completo como
subgrafo gerador
G tambem contem
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Teorema: ≤ ’ ≤ Se H contem um grafo completo como
subgrafo gerador
G tambem contem
(G) = (H) ≤ k-1
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Teorema: ≤ ’ ≤
Caso contrario… S: corte por vertice de H com (H)
elementos
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Teorema: ≤ ’ ≤
Caso contrario… S: corte por vertice de H com (H)
elementos Como H-S eh desconexo,
G-S eh desconexo G-S eh conexo
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Teorema: ≤ ’ ≤
Caso contrario… S: corte por vertice de H com (H)
elementos Como H-S eh desconexo,
G-S eh desconexo: (G) ≤ (H) ≤ k-1 G-S eh conexo
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Teorema: ≤ ’ ≤
Caso contrario… S: corte por vertice de H com (H)
elementos Como H-S eh desconexo,
G-S eh desconexo G-S eh conexo
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Teorema: ≤ ’ ≤
Caso contrario… S: corte por vertice de H com (H)
elementos Como H-S eh desconexo,
G-S eh desconexo G-S eh conexo
e eh uma aresta de corte de G-S
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Teorema: ≤ ’ ≤
G-S eh conexo e e eh uma ponte: n(G-S)=2
(G) ≤ n(G)-1 = (H)+1 ≤ k
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Teorema: ≤ ’ ≤
G-S eh conexo e e eh uma ponte: n(G-S)=2
(G) ≤ n(G)-1 = (H)+1 ≤ k
G-S tem um corte de 1 vertice {v}, implicando que S {v} eh um corte de G
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Teorema: ≤ ’ ≤
G-S eh conexo e e eh uma ponte: n(G-S)=2
(G) ≤ n(G)-1 = (H)+1 ≤ k
G-S tem um corte de 1 vertice {v}, implicando que S {v} eh um corte de G (G) ≤ (H)+1 ≤ k
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Exemplo:
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Exemplo:
=4
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Exemplo:
=4’=3
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Exemplo:
=4’=3
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Exemplo:
=4’=3=2
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Exemplo:
=4’=3=2
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Blocos
Um grafo conexo sem vertice de corte
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Blocos
Um grafo conexo sem vertice de corte
Todo bloco com pelo menos 3 vertices eh 2-conexo
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Blocos
Um grafo conexo sem vertice de corte
Todo bloco com pelo menos 3 vertices eh 2-conexo
Um bloco de um grafo eh um subgrafo que eh um bloco e que eh maximal com respeito a esta propriedade
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Blocos Um grafo conexo sem vertice de corte Todo bloco com pelo menos 3 vertices
eh 2-conexo Um bloco de um grafo eh um subgrafo
que eh um bloco e que eh maximal com respeito a esta propriedade
Todo grafo eh a uniao de seus blocos
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Familia de Caminhos internamente disjuntos
Uma familia de caminhos eh dita internamente disjunta se nenhum vertice de G eh vertice interno de mais do que um caminho da familia
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Familia de Caminhos internamente disjuntos
Uma familia de caminhos eh dita internamente disjunta se nenhum vertice de G eh vertice interno de mais do que um caminho da familia
Teorema[Whitney, 1932]: Um grafo G com n>2 eh 2-conexo se e
somente se quaisquer dois vertices de G sao conectados por pelo menos dois caminhos internamente disjuntos
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Corolario: Se G eh 2-conexo, entao quaisquer dois vertices de G pertencem a um mesmo ciclo
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Corolario: Se G eh 2-conexo, entao quaisquer dois vertices de G pertencem a um mesmo ciclo
Segue imediatamente do teorema anterior:
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Corolario: Se G eh 2-conexo, entao quaisquer dois vertices de G pertencem a um mesmo ciclo
Segue imediatamente do teorema anterior:
Dois vertice pertencem a um mesmo ciclo se e somente se eles sao conectados por dois caminhos disjuntos
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Subdivisao de aresta
Uma aresta eh dita subdividida quando eh apagada e substituida por um caminho de comprimento dois conectando seus extremos, cujo no interno eh um novo vertice
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Subdivisao de aresta
Uma aresta eh dita subdividida quando eh apagada e substituida por um caminho de comprimento dois conectando seus extremos, cujo no interno eh um novo vertice
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Subdivisao de aresta
Uma aresta eh dita subdividida quando eh apagada e substituida por um caminho de comprimento dois conectando seus extremos, cujo no interno eh um novo vertice
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Subdivisao de aresta
Uma aresta eh dita subdividida quando eh apagada e substituida por um caminho de comprimento dois conectando seus extremos, cujo no interno eh um novo vertice
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Subdivisao de aresta
Uma aresta eh dita subdividida quando eh apagada e substituida por um caminho de comprimento dois conectando seus extremos, cujo no interno eh um novo vertice
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Corolario: Se G eh um bloco com n >2, entao quaisquer duas arestas de G pertecem a um mesmo ciclo