TEORIA ELECTROMAGNTICA

ANLISIS VECTORIAL

CAMPO ESCALAR Y CAMPO VECTORIALEl trmino escalar se refiere a una cantidad cuyo valor puede representarse con un simple nmero real (positivo o negativo), por tanto, slo posee magnitud. Ejemplos: tiempo, masa, distancia, temperatura, potencial elctrico, poblacin.

Un vector es una cantidad que posee tanto magnitud como direccin. Ejemplos: velocidad, fuerza, desplazamiento, intensidad de campo elctrico.

Un campo es una funcin que especifica una cantidad particular en cualquier parte d una regin. de Ejemplos de Campos Escalares: distribucin de la temperatura en un edificio, intensidad del sonido en un teatro, potencial elctrico en una regin. Ejemplos de Campos Vectoriales: fuerza gravitacional, velocidad de las gotas de lluvia en la atmsfera.

ALGEBRA DE VECTORES

1. La suma vectorial sigue la ley del paralelogramo. Vectores Coplanares

La suma vectorial satisface las propiedades conmutativa y asociativa, es decir: A+B=B+A A + (B + C) = (A + B) + C 2. La sustraccin A B se puede expresar como A + (-B). El signo y la direccin del segundo vector se invierten, y se aplica la primera regla.

ALGEBRA DE VECTORES

3. Los vectores pueden multiplicarse por escalares. Si el escalar es positivo, entonces: el vector cambia de magnitud pero no de direccin. Si el escalar es negativo, entonces: la direccin del vector se invierte. La multiplicacin de un vector por un escalar tambin tiene las propiedades asociativa y distributiva, es decir: (r + s)(A + B) = r(A + B) + s(A + B) (r + s)(A + B) = rA + rB + sA + sB

4. La divisin de un vector por un escalar consiste en la multiplicacin por el recproco de dicho escalar. 5. Dos vectores son iguales si su diferencia es cero, es decir: A = B si A B = 0.

VECTORES UNITARIOSUn vector A posee tanto magnitud como direccin. La magnitud de A es un escalar, el cual se escribe A o |A|. Un vector unitario aA a lo largo de A es un vector cuya magnitud = 1 y cuya direccin sigue la direccin de A, esto es:

aA =

A A = A AA=2 Ax2 + Ay + Az2

Siendo

Normalmente, el vector unitario se denota utilizando uno de estos smbolos: uA, aA, 1A o simplemente a. Si se tiene en cuenta que | aA |= 1, A se puede expresar: A = AaA Un vector A se puede expresar en coordenadas cartesianas as: A = (Ax, Ay, Az) o A = Axax + Ayay + Azaz.

VECTORES UNITARIOS(a) Componentes vectoriales x, y y z del vector r. (b) Los vectores unitarios it i del d l sistema de coordenadas cartesianas tienen magnitud unitaria y se dirigen hacia donde aumentan los valores de las respectivas variables. (c) El vector posicin RPQ es igual al vector diferencia rQ - rP.

VECTORES UNITARIOSEjemplo 1.1: Especificar el vector unitario dirigido desde el origen hacia el punto G(2,-2,-1). Solucin: 1. Se construye un vector que se extienda desde el origen hasta el punto G. G = 2ax 2ay az 2. Se determina la magnitud de G.2 G = G x2 + G y + G z2

G =

(2)2 + ( 2)2 + ( 1)2

=3

3. Se expresa el vector unitario deseado como el cociente,

aG =

2 1 G G 2 = = ax ay az G G 3 3 3

a G = 0.667 a x 0.667 a y 0.333 a z

EJERCICIO EN CLASED1.1 Dados los puntos M(-1,2,1), N(3,-3,0) y P(-2,-3,-4), encontrar: a) b) c) d) e) RMN RMN + RMP |rM| aMP |2rP 3rN|Respuestas: a) 4ax 5ay az b) 3ax 10ay 6az c) 2.45 d) -0.14ax 0.7ay 0.7az e) 15.56

PRODUCTO PUNTODados dos vectores A y B, el Producto Punto o Producto Escalar, se define:

A B = A B Cos ABEl producto escalar obedece a la ley conmutativa, esto es:

AB = BALa expresin

El signo del ngulo no afecta el trmino coseno

A B se lee : A punto B.A B

es el menor ngulo entre los vectores A y B Ej. de producto punto:

Trabajo = F dL

PRODUCTO PUNTOEl producto punto de dos vectores expresados en componentes cartesianas sigue la ley distributiva, como se muestra a continuacin: Sean los vectores A y B:

A = A x a x + A ya y + A za z B = B x a x + B ya y + Bza zEl producto A B produce la suma de 9 trminos escalares, y en los cuales se involucra el producto punto de dos vectores unitarios. Como el ngulo entre dos vectores unitarios diferentes es de 90 en coordenadas cartesianas, entonces se cumple que:

ax ay = a y ax = ax az = az ax = ay az = az a y = 0Resultando que:

A B = A x Bx + A y B y + A z Bz

PRODUCTO PUNTOUna aplicacin del producto punto consiste en encontrar la componente de un vector en una direccin dada. Por ejemplo, la componente escalar del vector B en la direccin del vector unitario a, se expresa:

B a = B a cos Ba La componente tiene signo positivo si se cumple que: 0 Ba 90o y negativo cuando: 90o Ba 180o Por otro lado, para obtener la componente vectorial de B en la direccin de a, se multiplica la componente escalar por del vector B por a.a) La componente escalar de B en la direccin del vector unitario a es Ba La componente vectorial de B en la direccin del vector unitario a es (Ba)a

b)

PRODUCTO PUNTOEjemplo 1.2: Considere el campo vectorial G = yax 2.5xay + 3az y el punto Q(4,5,2). Se desea encontrar : 1. G en Q; 1 2. La componente escalar de G en Q en la direccin de a N = 2a x +a y 2a z ; 3 3. La componente vectorial de G en Q en la direccin de aN ; 4. Y el ngulo Ga entre G(rQ) y aN.

(

)

Solucin: 1. Se sustituyen las coordenadas del punto Q en la expresin G. y p p G(rQ) = 5ax 10ay + 3az 2. Luego se encuentra la componente escalar. Utilizando el producto punto se tiene,G a N = (5a x 10a y + 3a z ) 1 (2a x + a y 2a z ) = 1 (10 10 6) = 2 3 3

PRODUCTO PUNTOEjemplo 1.2 (Cont.) : Solucin: 3. 3 Se obtiene la componente vectorial multiplicando la componente escalar vectorial, por el vector unitario en la direccin aN.

(G a N )a N = ( 2) 1 (2a x + a y 2a z ) = -1.333a x 0.667a y + 1.333a z3

4. Y el ngulo entre G(rQ) y aN se obtieneG a N = G cos Ga 2 = 25 + 100 + 9 cos Ga Ga = cos 1 2 = 99.9o 134

EJERCICIO EN CLASED1.3 Los tres vrtices de un tringulo se encuentran en A(6,-1,2), B(-2,3,-4) y C(-3,1,5), C( 3 1 5) encontrar: t a) b) c) d) RAB RAC El ngulo BAC en el vrtice A La proyeccin vectorial de RAB en RAC

Respuestas: R a) b) c) d) -8ax + 4ay 6az -9ax + 2ay + 3az 53.6 -5.94ax + 1.319ay + 1.979az

PRODUCTO CRUZDados dos vectores A y B, el Producto Cruz o Producto Vectorial, se define:

A B = a N A B Sen ABEn este caso el subndice N hace referencia a la normal. La expresin A B se lee : A cruz B. El producto cruz A B es un vector, cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A, B y el seno del ngulo g g ms pequeo entre A y B. La direccin de A B est en la direccin del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B.

PRODUCTO CRUZEl producto cruz no es conmutativo, puesto que : A continuacin se muestra desarrollo del producto cruz coordenadas cartesianas: el en

A B = (B A )De lo anterior se verifica que:a a a a a ax y z y z

A B = Ax Bx a x a x + Ax B y a x a y + Ax Bz a x a z + Ay Bx a y a x + Ay B y a y a y + Ay Bz a y a z + Az Bx a z a x + Az B y a z a y + Az Bz a z a z

a a a a a a

y z x x y

= a = a = a

z x y z x

= a = a = a

Este resultado se puede expresar en la forma:A B = (Ay Bz Az B y )a x + ( Az Bx Ax Bz )a y + (Ax B y Ay Bx )a z

x

z

y

a a a

x y z

a a a

x y z

= 0 = 0 = 0

ax A B = Ax Bx

ay Ay By

az Az Bz

Ms Fcil!

EJERCICIO EN CLASED1.4 Un tringulo se define por tres puntos: A(6,-1,2), B(-2,3,-4) y C(-3,1,5), encontrar: t a) RAB x RAC b) El rea del tringulo c) Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el tringulo.

Respuestas: R a) b) c) 24ax + 78ay + 20az 42.0 0.286ax + 0.928ay + 0.238az

EL SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULAR O CARTESIANOUn punto P se representa mediante las (a) Un sistema de coordenadas coordenadas (x,y,z). Los intervalos de las cartesianas de la mano variables de las coordenadas x, y y z van desde derecha. Si los dedos - hasta + . doblados de la mano derecha indican la direccin de giro por medio de la cual Sistema el eje x se hara coincidir con Ortogonal el eje y, el pulgar muestra la direccin del eje z. (b) Localizacin de los puntos P(1,2,3) y Q(2,-2,1). (c) Elemento diferencial de volumen en coordenadas cartesianas; dx, dy y dz son, en general, diferenciales independientes.

EL SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULAR O CARTESIANO (CONT.)

SISTEMAS DE COORDENADAS CILNDRICAS CIRCULARESRepresentacin de un punto P: ( , , z ) En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z. recibe el nombre j de ngulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy, y z es igual en el sistema cartesiano. Intervalos0