Teoría elemental de números 

Tema 1 : NUMEROS ENTEROS

 

 

La Teoría de Números es la parte de la Matemática que trata de los números enteros y sus propiedades. Estudia la divisibilidad y la congruencia de números enteros, los números primos y su distribución, las operaciones algebraicas entre ellos y las soluciones enteras de ecuaciones diofánticas. Se designará a los conjuntos de números naturales y enteros por N y Z respectivamente.

 

N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

 

El número 0 no es un número natural. El conjunto de los números enteros no negativos se designa por N U {0}. Uno de los principios más importantes en la Teoría de Números es:

 

Principio de la buena ordenación: todo subconjunto no vacío de números enteros no negativos tiene un primer elemento, es decir, tiene un elemento que es menor que todos los demás.

 

Operaciones con números enteros

 

Sean a y b dos números enteros. A partir de las operaciones suma (a + b) y producto (a . b), es fácil definir las siguientes operaciones:

 

Diferencia (d = a - b): otro entero que satisfaga la igualdad a = b + d.

Divide a (a | b): si a # 0 y b = a . q, diremos que a divide a b, a es un divisor de b, a es un factor de b, o que b es un múltiplo de a.

Mayor que (b > a): si existe un número natural n tal que b = a + n.

 

Propiedades de los números enteros

 

Sean a, b, c, x e y números enteros:

 

a . 0 = 0

a . (-b) = -a . b

Si a # 0 y a . b = a . c, entonces b = c

Si a # 0 y a | b, entonces a | b . x

Sean a # 0 y b # 0, si a | b y b | c, entonces a | c

Sea a # 0, si a | b y a | c, entonces a | (b . x + c . y)

Sean a y b positivos, si a | b, entonces a <= b

Sean a # 0 y b # 0, si a | b y b | a, entonces a = b o a = -b

 

Valor absoluto

 

Llamaremos valor absoluto a la aplicación | | : Z -> Z, tal que todo número entero tiene imagen mediante | | y esta imagen es única. Queda definida por:

 

Si n >= 0, entonces |n| = n

Si n < 0, entonces |n| = -n

 

Propiedades del valor absoluto

 

|n| pertenece a N U {0}

|n| = 0 si y sólo si n = 0

|a . b| = |a| . |b|

|a + b| <= |a| + |b|

Si a # 0, b # 0 y a | b, entonces |a| <= |b|

 

Algoritmo de la División

 

Sean a entero y b natural. Entonces existen números enteros q y r tales que:

 

a = b . q + r

 

con 0 <= r < |b|. Además q y r son únicos. A los números a, b, q y r se les llama respectivamente dividendo, divisor, cociente y resto.

 

Módulo

 

Sean a y b números enteros con b # 0. Sea a = b . q + r donde 0 <= r < |b|. Definimos el operador módulo MOD por:

 

a MOD b = r

 

Propiedades del operador MOD

 

Sean a, b, c, d y m números enteros con m # 0. Si a MOD m = c MOD m y b MOD m = d MOD m, entonces:

 

(a + b) MOD m = (c + d) MOD m

(a . b) MOD m = (c . d) MOD m

 

Máximo común divisor

 

Sean a y b enteros. Un entero d # 0 es un divisor común de a y b si d | a y d | b. Un divisor común de a y b se llama máximo común divisor de a y b si d > 0 y cada común divisor de a y b divide también a d. Se designa por:

 

m.c.d.(a, b) = d

 

Algoritmo de Euclides

 

El Algoritmo de Euclides se basa en sucesivas divisiones de dos números hasta obtener su máximo común divisor. Es decir, si m.c.d.(a, b) = d y a = b . q + r, entonces tendremos:

 

d = rn-1 = m.c.d.(rn-2, rn-1) = m.c.d.(rn-3, rn-2) = ... = m.c.d.(b, r1) = m.c.d.(a, b)

 

Si hacemos la divisiones sucesivas partiendo del Algoritmo de la División original:

 

a = b . q1 + r1

b = r1 . q2 + r2

r1 = r2 . q3 + r3

...

rn-4 = rn-3 . qn-2 + rn-2

rn-3 = rn-2 . qn-1 + rn-1

rn-2 = rn-1 . qn + 0

 

[ Cálculo del máximo común divisor de dos números mediante el Algoritmo de Euclides ]

 

 

Tema 2 : NUMEROS PRIMOS

 

 

Dado un número entero p > 1, diremos que p es un número primo si 1 y p son los únicos divisores positivos de p. Un entero a > 1 que no es primo le denominaremos número compuesto. Dos números, a y b, son primos entre sí, si se tiene que m.c.d.(a, b) = 1.

 

Lema de Euclides

 

Sean a, b y c números enteros. Supongamos que a y c son primos entre sí y que c | a . b. Entonces c | b.

 

Teorema Fundamental de la Aritmética

 

Sea n un número mayor que 1. Entonces existen números primos p1, ... , pr tales que:

 

n = p1 . p2 . ... . pr

 

donde p1 <= p2 <= ... <= pr.

 

Teoremas

 

Sea p un entero mayor que 1 y primo. Para cualquier a y b enteros, si p | a . b entonces p | a o p | b.

El número de primos es infinito.

Si pn es el n-ésimo número primo entonces pn <= 22^n-1.

Sea a un entero mayor que 1, entonces si para todo número primo p menor o igual que la raíz de a, p no divide al número a, se verifica que a es primo.

 

Mínimo común múltiplo

 

Sean a y b dos números enteros. Llamaremos mínimo común múltiplo de a y b al menor entero positivo que sea múltiplo de ambos. Lo designaremos por m.c.m.(a, b). Sean a y b enteros no nulos, entonces:

 

|a . b| = [ m.c.d.(a, b) ] . [ m.c.m.(a, b) ]

 

[ Calcular los valores de dos incógnitas para que se cumpla d = a . x + b . y ]

[ Comprobar que un número es primo utilizando la criba de Erastóstenes ]